理论力学6—点的运动学

2 2 2
ta n 2 |
at an2
| 0 . 3 5 5
2 a rc ta n 0 .3 5 5 1 9 .5
例6 杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小 护环M 运动，已知φ＝wt (w为常数)。求小环M 的运动方程、速 度和加速度。
2 2 2
x y z
2 2
2
其方向余弦为
cos(a , i ) x a , cos(a , j) y a , cos(a , k ) z a
例1 下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长为r ， 自水平位置开始以匀角速度 w 转动，即j =wt，滑槽K-K与导杆 B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄 带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加 x 速度。 B 解：取M点的直线轨迹为 x 轴，曲 柄的转动中心O为坐标圆点。M点 的坐标为：x O M O A sin j r sin j B K M A K
副法线
b
t
切线
在点的运动轨迹曲线 上取极为接近的两点 M和M1，这两点切线 的单位矢量分别为 t 和 t1 ，其指向与弧坐 M1 标正向一致。将 t1 平 移到点M，则 t 和 t1’ t 决定一平面。令M无 t1 限 趋 近 点 M1 ， 则 此 t '1 平面趋近于某一极限 位置，此极限平面称 为曲线在点M的密切 面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的 交线称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。 过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b， 指向与t 、 n构成右手系。
解：
v dS dt 4t
M0 R O
M
当t=4 s时速度为： v＝4×4＝16 cm/s 此时M点的切向加速度为：
at dv dt 4 c m /s
2
M'
A
y A0
M点的法向加速度为：
an v
2
16cm / s
2
R
M点的全加速度为：
a
at an
2
2
1 6 .5 c m /s
2

n
6.3 自然法
4 点的切向加速度和法向加速度
a dv dt τ v
2

n
上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它 表明速度代数值随时间的变化率；分矢量an的方向永 远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方 向随时间的变化率。
6.2 直角坐标法
加速度 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标 对时间的二阶导数。
a axi a y j azk a x v x , x a y v y , y a z v z z
若已知加速度的投影，则加速度的大小为
a ax ay az
6.2 直角坐标法
速度 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对 时间的一阶导数。
v r xi yj zk v x i v y j v z k
若已知速度的投影，则速度的大小为
v x y z
2 2 2
其方向余弦为
cos(v , i ) x v , cos(v , j) y v , cos(v , k ) z v
V1 M1 an1
2
ar1
a1
a2 an2 M2 ar2
2
V1
解：
at
v
2
2s
2
v
1
0 .1 m / s
t
v2 v
at
1
100s
求列车经过M1和M2时的法向加速度为：
2
2
a n1
v
1
1
0 .0 4 2 m / s
2
an2
v
2
2
0 .2 8 1 m / s
△t
M
△j
△s
M'
t'
t"
6.3 自然法
3 点的速度
v lim r t
t 0
lim
S t
t 0

ds dt
M t r
△
v
△s
r
M'
用矢量表示为：
v dS dt τ vτ
r'
在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大小等 于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的 切线，并指向运动的一方。
x r co s w t l 1 sin w t )
2 2
x r co s w t l 1 sin w t )
2 2
将右边最后一项展开：
1 s in w t 1
2 2
1 2
s in w t
2 2
1 8
s in w t
4 4
2
列车经过M1时的全加速度为：
a1 a t a n 1 0 .1 0 8 c m / s
2 2 2
ta n 1 |
at a n1
| 2 .3 8
1 a r c ta n 2 .3 8 6 7 .4
列车经过M2时的加速度为：
a2 a t a n 2 0 .2 9 3 c m / s
s s0 v0t 1 2 a tt
2
了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。 例如所谓曲线匀速运动，即动点速度的代数值保持不 变。
s s0 vt
例4 下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O 转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提 升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t 以s计。求卷筒边缘一点M在 t＝4s时的速度和加速度。
6.1 矢量法
1. 运动方程
r M
O
选取参考系上某确定点O为坐标原点，自 点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的 位置矢量，简称矢径。当动点 M运动时，矢径 r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数， 即
r r (t )
6.1 矢量法
2. 速度 A r(t) O M
Δr
v v* B
M' r(t+Δt)
运动学
运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也 就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动 学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。 学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下 必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在 的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称 为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运 动才有意义。 时间概念要明确：瞬时和时间间隔。 运动学所研究的力学模型为：点和刚体。
速度矢端曲线
M1 M2 v v1 O v2
a
M3
6.2 直角坐标法
如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r 可表示为：
z
r xi yj zk
x f1 ( t ) y f 2 (t ) z f 3 (t )
M
k r z O i j x y x
y
这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。
6.3 自然法
曲率 曲线切线的转角对弧 长一阶导数的绝对值称为 曲线在M点的曲率。曲率的 倒数称为M点的曲率半径。
j S dj dS
t
M
△
△j
s
M'
t'
1

lim
s 0

6.3 自然法
t
两个相关的计算结果 (当Δt→0) O
j τ 2 τ s in j 2
dτ j 1 lim lim n n s 0 s s 0 s ds τ
6.3 自然法
全加速度为at和an的矢量和
a at an
全加速度的大小和方向由下列二式决定： 大小：
a
方向：
ta n
at an
2
2
| at | an
6.3 自然法
如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动 点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规 律。
at c dv atdt
a lim
v t
t 0

dv dt

d r dt
2
2
有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间 的一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。
r a v
6.1 矢量法
加速度的方向确定 如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时 的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到点O，连接各矢量 的端点M1 ，M2 ，M3 ，…，就构成了矢量v端点的连续 曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。动点的加速度 矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行。
x l (1

2
) r (c o s w t

4
c o s 2w t )
4
由此可得滑块B的速度和加速度：
v dx dt a dv dt
2
r w (s in w t

2
s in 2 w t )
r w (c o s w t c o s 2 w )
例3 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面 的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。
s f (t )
(+)
O (-) s M
这就是自然坐标形式的点的运动方程。