线性相位FIR滤波器的特点
滤波器设计中的FIR和IIR滤波器的优势和不足
滤波器设计中的FIR和IIR滤波器的优势和不足在信号处理和通信系统设计中，滤波器是一个重要的组件，用于去除、增强或改变信号的特定频率分量。
滤波器根据其实现方式可分为两类：FIR（有限脉冲响应）滤波器和IIR（无限脉冲响应）滤波器。
本文将讨论这两种滤波器的优势和不足。
一、FIR滤波器FIR滤波器是一种离散时间线性系统，其特点是其脉冲响应具有有限长度。
以下是FIR滤波器的优势和不足：优势：1. 稳定性：FIR滤波器始终是稳定的，这意味着它们不会引起无限大的振荡或不可控的反馈。
2. 线性相位响应：FIR滤波器的线性相位响应使其在许多应用中非常有用，例如音频处理和图像处理。
线性相位响应保持信号中各频率分量之间的时间关系，不会导致信号失真。
3. 简单实现：FIR滤波器的实现相对简单，可以使用直接形式、级联形式或转置形式等不同的结构。
在实际应用中，FIR滤波器的设计和实现通常更加直观和容易。
不足：1. 较高的计算复杂度：由于其脉冲响应是无限长的，FIR滤波器通常需要更多的运算和存储资源来实现相应的滤波功能。
因此，在某些实时应用或资源受限的系统中，可能不适合使用FIR滤波器。
二、IIR滤波器IIR滤波器是一种具有无限脉冲响应的离散时间系统。
以下是IIR滤波器的优势和不足：优势：1. 较低的计算复杂度：与FIR滤波器相比，IIR滤波器通常需要更少的计算资源来实现相同的滤波功能。
这对于计算能力有限的嵌入式系统或移动设备非常重要。
2. 更窄的滤波器带宽：IIR滤波器可以实现更窄的带宽，对于需要更精确滤波的应用非常有用。
不足：1. 不稳定性：IIR滤波器的不稳定性是其最大的不足之一。
由于其脉冲响应是无限长的，IIR滤波器可能会引起不稳定的振荡或不可控的反馈，这在某些应用中是不可接受的。
2. 非线性相位响应：与FIR滤波器不同，IIR滤波器的相位响应通常是非线性的。
这可能导致信号的相位畸变，对于某些应用如音频处理中可能会产生问题。
FIR滤波器的设计及特点
FIR滤波器的设计及特点FIR（Finite Impulse Response）滤波器是一种数字滤波器，其特点在于其频率响应仅由其滤波器系数决定，而与输入序列无关。
它是一种线性相位滤波器，常用于数字信号处理中的陷波、低通、高通、带通等滤波应用。
窗函数法是最简单也是最常用的设计方法之一、它通过在滤波器的理想频率响应上乘以一个窗函数来得到最终的滤波器系数。
常用的窗函数包括矩形窗、汉宁窗、汉明窗和布莱克曼窗等。
窗函数的选择决定了滤波器的主瓣宽度和副瓣衰减。
最小二乘法是一种优化方法，它通过最小化输出序列与理想响应序列之间的均方误差来得到滤波器系数。
最小二乘法可以得到线性相位的滤波器设计，但计算量较大。
频域采样法是通过在频域上对理想频率响应进行采样，然后进行插值来得到滤波器系数。
频域采样法可以得到具有任意响应的滤波器，但需要对理想频率响应进行采样和插值，计算量较大。
优化算法是通过优化问题的求解方法来得到滤波器系数。
常用的优化算法包括遗传算法、粒子群算法和蚁群算法等。
优化算法可以得到满足特定需求的非线性相位滤波器设计，但计算量较大。
1.线性相位特性：FIR滤波器的线性相位特性使其在处理信号时不引入相位延迟，因此适用于对信号相位有严格要求的应用，如音频信号处理和通信系统中的调制解调等。
2.稳定性：FIR滤波器是稳定的，不会引入非物理的增益和相位。
这使得其在实际应用中更加可靠和可控。
3.容易设计：FIR滤波器的设计相对较为简单，不需要考虑稳定性和因果性等问题，只需要选择合适的滤波器结构和设计方法即可。
4.灵活性：FIR滤波器的频率响应可以通过改变滤波器系数来实现。
这使得其适用于各种滤波需求，例如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。
5.高阻带衰减：由于FIR滤波器的频率响应只受滤波器系数控制，因此可以设计出具有较高阻带衰减和较窄主瓣带宽的滤波器。
总之，FIR滤波器的设计简单、稳定性高、频率响应灵活可调等特点，使得其在数字信号处理中得到广泛应用。
线性相位FIR滤波器的特点
特点：对FIR系统而言，冲激响应就是系统函数旳系数
5.1 线性相位FIR滤波器旳特点
学习三个内容 ①什么是线性相位 ②满足什么样条件旳数字滤波器才是线性相位FIR ③怎样设计一种线性相位FIR，需满足哪些约束条件
线性相位条件
线性相位FIR DF 旳特征 幅度特征
零点特征
§ 5.1.1 FIR数字滤波器线性相位旳条件
e jn e j N 1n
h
N
1 e
j
N 1 2
n0
2
H (e j )
e
j
N 1 2
N 3 2
h
n0
n
j n N 1
(e 2
j n N 1
e 2 )
h
N 2
1
e
j
N 1 2
N 3
2 n0
2hn
cos
n
N 2
1
h
N 2
1
H e j ＝H ()e()
FIR滤波器在确保幅度特征满足技术要求旳同步，很 轻易做到有严格旳线性相位特征
设FIR滤波器单位冲激响应h(n)长度为N，其系统函数
H(z)为：
N 1
H (z) h(n)z n
n0
H(z)是z-1旳N-1次多项式，它在z平面上有N-1个零点，
原点z=0是N-1阶重极点。所以，H(z)永远稳定。
稳定和线性相位特征是FIR滤波器突出旳优点
, N 1 2
N 1/ 2
则 H a(n) cos n n0
因为 cos n关于 0, ,2 呈偶对称，所以 H 对
这些频率也呈偶对称
( N 1) 2
H1( ) a(n) cos(n )
FIR滤波器结构
5.3.3 频率抽样型结构
分析:
1) N点有限长序列的z变换 H (z) 在单位圆上作N等分抽样，就得 到 H%(k) ，其主值序列就等于 h(n)的离散傅立叶变换 H (k) 。
N 1
N点有限长序列的z变换： H (z) h(n)zn n0
周期序列 h%(n) 的离散傅立叶级数 H%(k) ：
将序列补齐：x1
(n)
x1 (n) 0
x2
(n)
x2 (n) 0
0 n N1 1 N1 n L 1 0 n N2 1 N2 n L 1
L N1 N2 1
步骤：1) 将x(n) 和h(n)变成L点序列； 2) 求x(n)和h(n)各自的Ｌ点DFT； 3) 将X (k) 和 H (k) 相乘得L点的频域序列 Y (k) ； 4) 求Y (k) 的L点IDFT，得到输出序列 y(n) 。
N 1
H (e j ) h(n)e jn | H (e j) | e j n0
N 1
H (e j ) h(n)e jn | H (e j ) | e j( ) n0
令等式两端实部和虚部分别相等，可得两个式子：
N 1
h(n)sin[( n)] 0
n0
N 1
h(n)sin[( n) ] 0
5.3.2 级联形式结构
分解成实系数二阶因子的乘积形式
[N]
[N]
N 1
2
2
H (z) h(n)zn (0k 1k z1 2k z2 ) Hk (z)
n0
k 1
k 1
级联结构的基本节信号流图
最F小IR相级联位滤系波统器结构
特点：级联结构直接控制滤波器的零点；级联结构所需要的系数 个数要高于直接型；（直接型是N个，级联型是 [ N ] 3 个）
05_01(第19讲)第5章FIR滤波器线性相位
nω
⎨
n =1
⎪ ⎪⎩
c(n)
=
2 h⎜⎛ ⎝
N −1 2
+
n ⎟⎞ ⎠
数字信号处理 V. 2013 第5章
⎧
N −1
⎪ ⎪
H
(ω
)=
2
∑
c ( n ) sin
nω
⎨
n =1
0
π
2π
⎪ ⎪⎩
c(n)
=
2 h ⎜⎛ ⎝
N −1 2
+
n
⎟⎞ ⎠
由于 sinnω对ω = 0,π,2π 点呈奇对称，所以 H (ω )
器，如高通、带阻滤波器。
数字信号处理 V. 2013 第5章
b(n) = 2h⎜⎛ N −1+ n ⎟⎞
⎝2
⎠
∑ H
(ω
)
=
N /2 n =1
b(n)
cos
⎢⎣⎡ω
⎜⎛ ⎝
n
−
1 2
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
数字信号处理 V. 2013 第5章
3. h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)
N −3
n=0
cos ⎢⎣⎡ω
⎜⎛ ⎝
n
−
N
− 2
1
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
∑ H
(ω
)
=
N / 2−1
2h(n)
n=0
cos
⎢⎣⎡ω
⎜⎛ ⎝
n
−
N
− 2
1
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
∑ 令 n = N −1+ m ，则
2
− N +1
H (ω) =
2 m=0
2h
第7章FIR数字滤波器的设计方法
通滤波器。
4. h(n)奇对称，N为偶数
H () N / 2 a(n) sin[(n 1 )]
n 1
2
幅度响应 H ()具有以下特点：
(1)当 0, 2 时， (2)H ()对 呈偶对称。H() 0 对 0, 2 呈奇对称
因此，具有h(n)奇对称，N为偶数的FIR滤波器不能实现低 通、带阻滤波器。
H (e j )
Hd
(e j ) *W (e j )
满足： () 或者 () 其中 都是常数。
当 d () 也标志滤波器具有线性相位。
对于FIR滤波器，设其单位冲激响应为h(n)，长度为N，则
N 1
对应的系统函数为：H (z) h(n)zn n0
下面讨论有限长单位冲激响应h(n)为实序列，并关于(N 1) / 2
偶对称或者奇对称两种情况的相位特性。
偶对称性或者奇对称，那么该FIR滤波器具有线性相位
特性。
7.1.2 线性相位FIR数字滤波器的幅度特点 1. h(n)偶对称，N为奇数
H
( )
N 1
h(n) cos[(n
n0
N 2
1)
]
由于N为奇数,中间项为 n N,1 cos[(n N 1)] 1
2
2
其余项偶对称 ,
N 3
H () h( N 1) 2 2h(n) cos[(n N 1)]
为偶数的FIR滤波器不能用
于高通滤波器或者带阻滤
波器。
3. h(n)奇对称，N为奇数 ( N 1) / 2 H () a(n) sin(n)
n 1
幅度响应H ()具有以下特点：
(1)当 0, , 2 时，H() 0
(2) H ()对 0, , 2 呈奇对称。 因此，具有h(n)奇对称，N为奇数的FIR滤波器只能实现带
fir滤波器阶数和系数的关系
fir滤波器阶数和系数的关系以fir滤波器阶数和系数的关系为标题，本文将介绍fir滤波器的基本概念，阶数与系数之间的关系以及阶数对滤波器性能的影响。
一、fir滤波器的基本概念fir滤波器（Finite Impulse Response Filter）是一种常见的数字滤波器，它的输出仅与输入的有限个历史样本有关。
与其他滤波器相比，fir滤波器具有以下特点：1. 线性相位：fir滤波器的频率响应在整个频率范围内具有相同的延迟，因此可以保持信号的相位关系。
2. 稳定性：fir滤波器对于任何有界的输入都能产生有界的输出，不会出现振荡或发散的情况。
3. 可实现性：fir滤波器的结构相对简单，容易实现，并且可以通过调整滤波器的系数来满足不同的滤波需求。
二、阶数与系数之间的关系fir滤波器的阶数是指滤波器的长度，它决定了滤波器对输入信号的影响程度。
阶数越高，滤波器的频率响应越陡峭，对信号的干扰越小，但计算复杂度也会增加。
fir滤波器的系数是根据滤波器的设计需求计算得出的，它们控制着滤波器的频率响应。
一般来说，fir滤波器的系数越多，滤波器的频率响应越精确，但也会增加计算复杂度。
fir滤波器的系数可以通过不同的设计方法得到，常见的设计方法有窗函数法、最小二乘法等。
这些方法可以根据滤波器的设计需求和性能要求选择合适的系数。
三、阶数对滤波器性能的影响fir滤波器的阶数对其性能有着重要的影响。
较低的阶数可以实现较低的计算复杂度，但会导致滤波器的频率响应较为平缓，滤波效果可能不够理想。
较高的阶数可以实现更陡峭的频率响应，可以更好地滤除不需要的频率成分，提高滤波器的性能。
但高阶滤波器也会增加计算复杂度，可能会导致实时性要求较高的应用无法满足。
在实际应用中，需要根据具体的滤波需求和系统性能要求来选择合适的阶数。
如果需要更高的滤波性能，可以适当增加阶数，但也需要考虑计算复杂度和实时性的平衡。
总结：本文介绍了fir滤波器的基本概念，阶数与系数之间的关系以及阶数对滤波器性能的影响。
FIR滤波器的设计说明
WR
( )
sin(N / 2) sin( / 2)
N
sin(N / 2) N / 2
N
sin x
x
N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改
变WR( 的绝对值大小和起伏的密度。
肩峰值的大小决定了滤 波器通带内的平稳程度 和阻带内的衰减，所以 对滤波器的性能有很大 的影响。
c
0. 0895 1
一、FIR数字滤波器的线性相位特性
H (e j )线性相位是指 ()是的线性函数
第一类线性相位
()
第二类线性相位
d () d
可以证明，线性相位FIR滤波器的单位脉冲 响应应满足下面条件：
h(n)为实序列，且满足 h(n) h(N 1 n)，N为 长度，即，h(n)关于 N 1 偶对称或奇对称。
2
分四种情况：
1． h(n) 偶对称， h(n) = h(N-1-n) 2． h(n) 偶对称， h(n) = h(N-1-n)
N 为奇数 N 为偶数
3. h(n) 奇对称， h(n) = - h(N-1-n) N为奇数
4. h(n) 奇对称， h(n) = - h(N-1-n) N为偶数
四种线性相位FIR DF特性：
Io
I0(x)是零阶修正贝塞尔函数； β可自由选择，决定主瓣宽度与 旁瓣衰减。
0 n N 1
β越大，w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。 一般取 4<β<9。
β=5.44 接近汉明；β=8.5 接近布莱克曼 β=0 为矩形
第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。
第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器， 不能设计高通和带阻。
第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器， 其它滤波器都不能设计。
详解FIR滤波器和IIR滤波器的区别
详解FIR滤波器和IIR滤波器的区别数字滤波器广泛应用于硬件电路设计，在离散系统中尤为常见，一般可以分为FIR滤波器和IIR滤波器，那么他们有什么区别和联系呢。
FIR滤波器定义：FIR滤波器是有限长单位冲激响应滤波器，又称为非递归型滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。
特点：●FIR滤波器的最主要的特点是没有反馈回路，稳定性强，故不存在不稳定的问题；●FIR具有严格的线性相位，幅度特性随意设置的同时，保证精确的线性相位；●FIR设计方式是线性的，硬件容易实现；●FIR相对IIR滤波器而言，相同性能指标时，阶次较高，对CPU的性能要去较高。
图1 FIR滤波原理图IIR滤波器定义：IIR滤波器是无限脉冲响应滤波器，又称递归型滤波器，即结构上带有反馈环路。
特点：●IIR数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式，具有反馈回路；●IIR数字滤波器的相位非线性，相位特性不好控制，随截止频率变化而变化，对相位要求较高时，需加相位校准网络；●IIR滤波器有历史的输出参与反馈，同FIR相比在相同阶数时取得更好的滤波效果；●IIR数字滤波器采用递归型结构，由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。
图2 IIR基础原理图区别●稳定性：由于FIR滤波器没有反馈回路，稳定性要强于IIR；●相位特性：FIR 为线性相位延迟，IIR 为非线性相位延迟。
如下图所示为10Hz的方波信号，采样率为1KHz图3 方波信号FIR滤波器后，滤波后效果图下图所示图4 FIR滤波效果图IIR滤波器后，滤波后效果图下图所示图5 IIR滤波效果图通过对比不难发现，IIR滤波器存在非线性相位延迟，校正时需要双向滤波进行校正，复杂不易控制；FIR滤波器为线性延迟，可通过左右平移的方式直接校正，误差小。
信号处理速度：FIR的滤波输出取决于当前输入数据和历史输入数据，IIR的滤波输出取决于当前输入数据、历史输入数据和历史输出数据。
fir滤波器总结
FPGA设计有4种常用的设计思想与技巧：乒乓操作、串并转换、数据接口同步、流水线操作。
1个6阶FIR滤波器由移位寄存器单元、输入模块、查找表单元、流水加法器阵列和锁存模块组成。
Booth算法。
FIR和IIR的优缺点比较：与IIR 滤波器相比，FIR 滤波器的优点为：可以设计出具有线性相位的滤波器，从而保证信号在传输过程中不会产生失真；由于FIR 滤波器没有递归运算，所以不论在理论上或实际应用中，有限字长效应带来的运算误差都不会导致系统不稳定；只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都能变成因果的有限长序列，因而能用因果系统来实现；FIR 滤波器由于单位脉冲响应是有限长的，因而可用快速傅里叶变换FFT 算法来实现过滤信号，可大大提高运算效率。
同样FIR 滤波器也存在其缺点：虽然可以采用加窗方法或频率取样等简单方法设计FIR 滤波器，但往往在过渡带和阻带衰减上难以满足要求，因此不得不采用多次迭代或采用计算机辅助设计，从而使设计过程变得复杂；在相同的频率特性情况下，FIR 滤波器阶次比较高，所需的存储单元多，从而提高了硬件设计成本。
从以上简单比较可以看出，IIR 和FIR 滤波器各有优缺点，因此在应用时应根据技术要求及所处理信号的特点予以选择。
图像处理以及数据传输等领域都要求信道具有线性相位特性，由于FIR 滤波器具有稳定性、因果性、线性相位等特点，因此在这些领域得到了广泛的应用。
超前进位加法器。
华莱士加法树。
硬件乘法器的设计。
数据吞吐率。
(1)在查阅大量中英文文献的基础上，详细分析了FIR数字滤波器的原理和设计方法，研究了实现FIR数字滤波器的网络结构。
(2)通过对加法器和乘法器的深入研究，将Booth算法应用于乘法器的硬件电路设计，设计了一个16×16补码乘法器的硬件电路，其时钟频率达到30 MHz以上，该乘法器可作为基本运算单元用于各种数字信号处理系统中。
在此基础上设计了一个33阶的常系数低通FIR数字滤波器电路，通过改变滤波器的系数输入，可实现各种类型的FIR数字滤波器。
第6章FIR数字滤波器的设计
表6-1a 四种线性相位FIR滤波器的特性 类型 h(n) h(n)=h(N-1-n) N为奇数 h(n)=h(N-1-n) N为偶数
H ( )
( )
1型
关于 0, ,2 偶对称
( )
2型
关于 0,2 偶对称 关于 奇对称
N 1 2
第一类线性相位
H()
1 H ( ) d ( n) sin ( n ) 2 n 1 o N N 其中：d ( n) 2h( n) n 1,2,3, , 2 2 由此看出：
N /2
2
1 （）由于sin ( n ) 在 0，处为0， 1 2 2 即H ( )在 0,2处为零。即H ( z )在z 1处有一零点。 H ( )对 0，处呈奇对称，对 呈偶对称。 2 （2 ）此类型不能用于设计 低通、带阻滤波器。
0
N 1 2
N 1 π
N/2 1 H () b(n) cos n 2 n1
N-1 n H() o
2
2型
情 况 2
b(n)
0
N 2
n
19
奇对称单位冲激响应
相位响应
h(n)=-h( N-1-n)
3型
情 况 3
7
H (e j ) sin 4e j 3 | sin 4 | e j ( )
1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 0 -0.5 -1
0
0.5
1
0
0.5
1
0
1 0.5 0
-1
-2
-0.5 -1
-3
FIR数字滤波器的设计
第九章 FIR 数字滤波器的设计有限长单位脉冲响应滤波器的特点:线性相位滤波. §1. 线性相位FIR 数字滤波器、 特点 1. 线性相位FIRDF 含义设滤波器的脉冲响应为()h n , 长为N . 则10()()N j j n H e h n e ωω--==∑,再表成()()()j j g H e H e ωθωω-=其中()g H ω(可正负,|()|0j H e ω≠≥)称为幅度特性函数,()θω称为相位特性函数.注: 不是 arg[()]()()j j j j H e H e H e e ωωω=如4()()x n R n =的3/2sin(2)()sin(/2)j j X e e ωωωω-=它的()g H ω为sin(2)sin(/2)ωω, ()θω为32ω.若()θωωτ=-,τ是与采样点数N 有关的常数,则称滤波器是线性相位的.系统的群时延定义为:()d ()/d τωθωω=-. 对线性相位滤波器, 群时延是常数.2. 线性相位的条件(1) ()h n 的特点 设滤波器是线性相位的, 则应有10()()()N j j n j g n H e h n e H e ωωωτω---===∑即1()(cos sin )()(cos sin )N gn h n n j n Hj ωωωωτωτ-=-=-∑从而有1010()cos ()cos ()sin ()sin N g n N g n H h n n H h n nωωτωωωτω-=-===∑∑上面二式相除且整理为11()cos sin ()sin cos N N n n h n n h n n ωωτωωτ--===∑∑移项化简为1()sin ()0N n h n n ωτ-=-=∑求得一种情形:当()sin ()h n n ωτ-关于12N τ-=奇对称时,上式为零. ()h n ⇒是偶对称的. 即满足()(1),01h n h N n n N =--≤≤-.此时()(1)/2N θωω=--.在()h n 偶对称的条件下, 再分13N = 和 12N =(2) ()g H ω的特点数学推导见参考文献[1], 下面只给出结论. 当N 是奇数时,0 612-0.100.10.25 611-0.10.10.2(1)/2111()2cos 22N g n N N H h h n n ωω-=--⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑当N 是偶数时,(1)/2111()2cos 22N g n N H h n n ωω-=-⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑所以在()h n 偶对称的条件下, 滤波器有两种形式0.51 1.5200.5100.51 1.52-1-0.500.5113N =12N =(对13=N ,是低通滤波器, 可转换成高通,带通,带阻滤波器)(对12=N 也是低通滤波器,但不可转换成高通,带阻滤波器).(3) 零点分布特点 (()h n 偶对称) 110()()(1)----====--∑∑N N nn n n H z h n zh N n z1(1)(1)1()()N N m Nm h m z z H z -------===∑ 由此可得, 对0k z ≠, 若()0=k H z , 则1()0-=kH z .由()h n 是实数列, 得()H z 是实系数的, 所以, 有三种情形的零点. 例如 hn=[1 3 5 3 1]; zplane(hn,1);(4) 极点均在0z =, 且为1N -阶的, 系统必稳定. 因为 11()[(0)(1)]/N N H z h z h N z --=++-.(5)网络结构特点由()h n 对(1)/2=-n N 的对称性, 推得 当N 为偶数时,-101-1-0.50.514Real PartI m a g i n a r y P a r t/21(1)0()()[]N nN n n H z h n zz -----==+∑当N 为奇数时,1(1)/21(1)21()()[]2N N nN n n N H z h n z zh z--------=-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑例如当4=N 时,1(3)0()()[]---==+∑n n n H z h n z z312(0)[1](1)[]---=+++h z h z z . 可有如下网络结构.直接型 省了2个乘法器当5=N 时, 情形类似, 见书P185. §2 用窗函数设计FIR 数字滤波器 线性相位的FIR 时域要求是()h n 对称性. 本节讨论如何在幅频特性上逼近期望滤波器.1-z()y n ()x n 1z -(0)h 1z -1z -(1)h (2)h (3)h ()x n ()y n (0)h (1)h 1-z 1-z以低通为例. 设()j d H e ω, 则-1()()d 2=⎰j j n d h n H e e πωωπωπ ()j d H e ω一般为片断函数, 故()d h n 无限长,需处理.1. 基本方法(1) 提出希望频率响应函数 线性相位, 具有片断特点, 即||()0||-⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩j j cd ce H e ωτωωωωωπ(2) 算出O0.25-π|()|j d H e ω0.25πω1π-π-1()()d 2=⎰j j nd h n He e πωωπωπ1d 2--=⎰c cj j ne e ωωτωωωπ s i n (())()-=-c n n ωτπτ(无限长)(3) 加窗()w n ,长N , 得()()()=d h n h n w n (*)要线性相位, 就要()h n 关于(1)/2-N 偶对称, 而()d h n 关于τ偶对称, 故要求10203000.510102030-0.100.10.20.3(1)/2=-N τ所以要求()w n 关于(1)/2=-N τ偶对称.10203000.51102030-0.10.10.20.3再回过来检验()j H e ω是否满足精度要求.1230.51O0.25-π|()|j d H e ω0.25πω1π-π()j H e ω00.51⇒若基本满足, 则依截取的()h n , 制硬件, 编软件.2. 窗函数法的性能分析由(*)式知, 取点一样时, 逼近性质与窗形(值)有关. 下面分析当()()=N w n R n 时的频率性质. 由()()()=d R h n h n w n , 得1()()()2=*j j j d R H e H e W e ωωωπ(1)/2s i n (/2)()F T [()]s i n (/2)--==j j N R RN W e w n e ωωωω()-=j j Rg W e e ωωτ. 其中sin(/2)()sin(/2)=j Rg N W e ωωω,12-=N τ. 代入卷积()1()()()d 2--=⎰j j j d R H e H e W e πωθωθπθπ ()1()e ()e d 2---=-⎰j j dg Rg H W πθτωθτπθωθθπ1e ()()d 2--=-⎰j dg Rg H W πωτπθωθθπ1e ()()2-=*j dg Rg H W ωτωωπ()e ()=j g H θωω,故1()()()2=*g dg Rg H H W ωωωπ,(1)()2--=N ωθω. 相位是线性的. 实际幅度=希望幅度*窗函数幅度. 卷积=对每个ω, 求一积分, 其值记为()g H ω.故有如下图形演示.O -c ω()dg H θωθ1π-πcω-2.5-2-1.5-1-0.50.511.52-100102030θO2/Nπ2/-N π()dg W θ2Nπ⨯主瓣宽度2/Nπ旁瓣宽度2/右图为当/4,31c N ωπ==时,|()||()|j g H H e ωω=的幅频图.阻带最小衰减21dB, 一般不 满足实际工程需要.-1.5-1-0.50.51 1.50.51w-...+147697764.69733060586876851814058 cos(.50000000000000000000000000000000 w)23-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52-100102030O ()dg H θc ωω=θ1π-π()-Rg W ωθO|()/(0)|dg dg H H ωω122/B N∆π=⨯加窗后滤波器过渡带宽窗函数的频域主瓣宽00.250.40.60.81-80-60-40-200≈过渡带宽0.13过渡带宽4/310.414/310.13π≈=⇔=(归一化), 这可以通过增加N 来减小. 这是窗函数设计的一个 指标. 3.典型窗函数下面给出各种窗函数的表达式、时域波形、幅度特性，以及理想滤波器加窗后的波形和幅度特性. 以下均设低通滤器(e )j d H ω的/2,31c N ωπ==. (1) 矩形窗()R N w R n =, 已求得sin(/2)()sin(/2)=j Rg N W e ωωω,12-=N τ矩形波形 矩形波形的幅频特性1020300.5100.51-60-40-200%矩形窗时域波形N=31; w=rectwin(N);n=0:30;subplot(1,2,1); stem(n,w);axis([0 33 0 1.3]);grid on ; %矩形窗频域特性[hw,w]=freqz(w,1);subplot(1,2,2);13dBn α=-旁瓣峰值plot(w/pi,20*log10(abs(hw)/abs(hw(1)))); axis([0 1 -60 0]);grid on;pause;%理想滤波器加窗后采样序列wc=pi/2;N=31;n=0:30;t=(N-1)/2;hdn=sin(wc*(n-t))./(pi*(n-t));hdn(16)=0.5;%补点;subplot(1,2,1);stem(n,hdn);axis([0 33 -0.2 0.8]);grid on; %滤波器加窗后的频域特性[hw,w]=freqz(hdn,1);subplot(1,2,2);plot(w/pi,20*log10(abs(hw)/abs(hw(1)))); axis([0 1 -60 8]);grid on;理想滤波器时域采样 加窗后滤波器的频率特性102030-0.200.20.40.600.51-60-40-20过渡带宽度4/31,B ∆π=最小衰减21dB s α=-. 当21,31,63N =时矩形窗的幅频特为0.10.2-50-40-30-20-10000.10.2-50-40-30-20-10000.10.2-50-40-30-20-1004/B N ∆π=与N 成反比, 要改21dB s α=-,需另选.(2) 三角窗(Bartlett Window)21012()212112B n N n N w n n N n N N -⎧≤≤⎪⎪-=⎨-⎪-<≤-⎪-⎩2(1)/22sin(/4)(e )esin(/2)j j N B N W N ωωωω--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦22sin(/4)()sin(/2)B N W N ωωω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦01020300.5100.51-100-50-250102030-0.200.20.40.600.51-40-20各指标为:25dB,2(4/),25db n s B N α∆πα=-==-. (3) 升余弦窗(汉宁窗, hanning window)2()0.51cos ()1hn N n w n R n N π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦,010203000.5100.51-100-50102030-0.200.20.40.600.51-80-60-40-200各指标为:31dB,2(4/),44db n s B N α∆πα=-==-(4) 改进升余弦窗(海明窗, hanning window)2()0.540.46cos ()1hm N n w n R n N π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦, 41dB,2(4/),53db n s B N α∆πα=-==-01020300.5100.51-100-50102030-0.200.20.40.600.51-80-60-40-200(5) 布莱克曼窗(blackman window)24()0.420.5cos 0.08coscos ()11bl N n n w n R n N N ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 01020300.5100.51-100-60102030-0.200.20.40.600.51-100-50各指标为: 57dB,2(6/),74db n s B N α∆πα=-==-.为便于选择使用, 将5种窗函数基本参数列于下表.类型 窗函数的 旁瓣峰值n α过渡带宽度B ∆加窗后滤波器的 阻带最小衰减s αrectwin -13 4π/N -21 bartlet 三角 -25 8π/N -25 hanning -31 8π/N -44 hamming -41 8π/N -53 blackman-5712π/N-74如阻带最小衰减60dB s α≥,过渡带宽度0.1B ∆π≤. 则选布莱克曼窗, 且由12/0.1N ππ≤, 得120N =. 事实上, 还有很多窗形可供选择. 见P193. 4.设计步骤(1) 由阻带指标选窗型w , 由过渡带宽度选点数N , (2) 构造要逼近的()j d H e ω, 构造c ω(对低通)应使()(0)/26dB g c g H H ω≈⇔(3) 计算-1()()d 2j j n d d h n H e e πωωπωπ=⎰ (4) 加窗()()()d h n h n w n =.例1 用窗函数法设计线性相位高通FIRDF, 指标为 通带截止频率:/2p ωπ=; 通带最大衰减:1dB p α=. 阻带截止频率:/4s ωπ=;阻带最小衰减:40dB s α=解(1)根据阻带指标, 可选汉宁和海明窗, 我们选海明窗, 由84p s B N ππ∆ωω=≤-=, →32N ≥, 对高通滤波器, 必须取奇数33N =.故有 33()0.540.46cos ()16hm n w n R n π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (2) 16τ=,/229/66c p B ωω∆π=-=, 则要逼近()00j j c d ce H e ωτωωωπωω-⎧≤≤=⎨≤<⎩(全通-低通) 1O πωp ωs ω|()|j H e ω(3) 求()d h n sin(())sin(())()()c n n n n ωτπτπτπτ--=--- 2966sin[()](16)()n n n πτδπτ-=---表示全通滤波器 低通滤波器 (4) 加窗 ()()()d h n h n w n =(见书, 略) 上述过程可用Matlab 中的命令fir1来实现. 格式1: hn=fir1(N,wc,’ftype ’,window(N+1)); ftype 可选high, stop; window 窗名, 默认hamming. 格式2: hn=fir1(N,wc); 阶数为N, 6dB 截止频率wc16()FT[(16)]j j H en eωωδ-=-=(0~1)的低通滤波器.(注h(n)的长度为N+1)当wc=[wc1,wc2]时, 为带通滤波器.例如上例的命令为(注设计时,对 作归一化)wc=29/66; N=32;%N=h(n)的长度-1hn=fir1(N,wc, 'high'); subplot(1,2,1);n=0:32; stem(n,hn);axis([0 32 -0.4 0.6]);grid on; [hw,w]=freqz(hn,1); subplot(1,2,2);plot(w/pi,20*log10(abs(hw)));axis([0 1 -80 5]);grid on; 注对高通,带阻,阶数必须为偶数.102030-0.4-0.200.20.400.51-80-60-40-200例2 用窗函数法设计一个FIR 带通滤波器, 指标为 阻带下截止频率:0.2ls ωπ=;阻带最小衰减60dB s α= 通带下截止频率:0.35lp ωπ=;通带最大衰减1dB p α= 通带上截止频率:0.65up ωπ=; 阻带上截止频率:0.8us ωπ=;解 由阻带衰减指标, 选blackman 窗, 由过度带宽120.350.20.15lp ls B Nπ∆ωωπππ=≤-=-=, 得80N =, 通带区间约定用c ω表示, 计算如下,22c lp up B B ∆∆ωωωπ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦程序命令为wls=0.2*pi;wlp=0.35*pi;wup=0.65*pi; B=wlp-wls; N=ceil(12*pi/B); wp=[wlp/pi-6/N,wup/pi+6/N];hn=fir1(N-1,wp,blackman(N));subplot(1,2,1); n=0:79; stem(n,hn); axis([0 80 -0.4 0.4]);grid on;[hw,w]=freqz(hn,1);subplot(1,2,2); plot(w/pi,20*log10(abs(hw))); axis([0 1 -100 5]);grid on;20406080-0.4-0.200.20.400.20.40.60.81-100-80-60-40-200例3 用窗函数法设计FIR 低通滤波器, 实现对模拟信号采样后进行数字低通滤波, 对模拟信号的指标通带截止频率:2kHz p f =; 阻带截止频率:3kHz s f =;阻带最小衰减:40dB s α=;采样频率:10kHz s F =. 选合适窗函数, 求出()h n ,并画出幅频衰减曲线和相频特性曲线.解 (1) 转换成数字频率为 通带数字截止频率:240000.410000p p sf F ππωπ===;阻带数字截止频率: 260000.610000s s s f F ππωπ===;阻带最小衰减:40dB;过渡带宽度:0.2s p B ωωπ=-=.(2) 由衰减:40dB, 选hamming 窗, 由8N B π≤,得840N B N π≥⇒=.(3) 确定/20.40.10.5c p B ωωπππ=+=+=, 命令如下:fp=2000;fs=3000;Fs=10000; wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;B=ws-wp;N=ceil(8*pi/B);wc=(wp+B/2)/pi; hn=fir1(N-1,wc);n=0:N-1;subplot(1,2,1);stem(n,hn,'.'); grid on; [hw,w]=freqz(hn,1); subplot(1,2,2);plot(w/pi,20*log10(abs(hw)));grid on; axis([0 1 -100 4]);0.20.40.60.81-100-80-60-40-200010203040-0.200.20.40.6w=-2.2:0.01:2.2;wg=sin(31*w/2)./sin(w/2);wg(221)=31;plot(w,wg);axis([-2.5 2.2 -10 32]);%理想滤波器的频域特性.ezplot(int('sin((w-x)*16)/sin((w-x)/2)/6.28',-pi/4,pi/4),[-1.7 1.7]);加窗后的幅度函数的频域特性.附录1对称性数据P183n13=0:1:12;%P183h13=[-0.05 -0.03 0 0.08 0.16 0.25 0.28 0.25 0.16 0.08 0 -0.03 -0.05]; subplot(1,2,1);stem(n13,h13);axis([0 13 -0.1 0.3])n12=[0:1:11];h12=[-0.05 -0.03 0 0.08 0.16 0.25 0.25 0.16 0.08 0 -0.03 -0.05]; subplot(1,2,2);stem(n12,h12);axis([0 13 -0.1 0.3])2对称性数据P186N=31;n=0:30;hd=sin(0.25*pi*(n-15))./(pi*(n-15));hd(16)=0.25;subplot(1,2,1);stem(n,ones(1,N));axis([0 31 0 1.3]); subplot(1,2,2);stem(n,hd);axis([0 31 -0.1 0.3]);plot(n,hd); axis([0 30 -0.1 0.27]); %wc=0.25pi加图hk=fft(hd,128); k=0:63; plot(k/64*pi,abs(hk(1,1:64)));axis([0 pi 0 1.1])。
FIR滤波器的设计
2
线性相位分析
H ( z) z
j
( N 1) N 1 2
1 ( n ( N21) ) 1 ( n ( N21) ) h( n) Z Z 2 n 0 2
( N 1) 2 N 1
( N 1) H (e ) je h(n) sin (n ) (2) n 0 2 j ( ) e H ( ) 或
h(n) h( N 1 n)
H ( z)
m N 1n N 1 n h( n) z n 0
N 1 h( N n 0
1 n) z
n
即：
N 1 ( N 1m ) h ( m) z m 0
( N 1) N 1 m z h ( m) z m 0
j
H (e ) e
j
j
( N 1) j 2 2
( N 1) 为线性相位 则 ( ) 2 2
N 1 h(n) sin n 0
( N 1) (n ) 2
线性相位分析
物理意义：FIR有(N-1)/2个采样周期的群时延，且 信号通过此类FIR时，所有频率成份都有900相移， 称为正交变换。
( N 1)
H (z )
1
1 ( N 1) 1 h( z ) H ( z ) z H (z ) 2
1 N 1 n ( N 1) n h( n) z z z 2 n 0
( N 1) 1 ( n 2 ) Z
( N 1) ( N 1) ( n ) N 1 1 2 z 2 h( n) Z n 0 2
FIR滤波器的设计
①变化了理想频响旳边沿特征，形成过渡带，宽为4π/N ，
等于WR()旳主瓣宽度。（决定于窗长）
②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），
取决于WR()旳旁瓣。旁瓣多，余振多；旁瓣相对值
大，肩峰强 ，与 N无关。（决定于窗口形状）
③N增长,过渡带宽减小,肩峰值不变。（ 8.95% ，吉布斯 （Gibbs）效应）
不大于33点采样时插入一种过渡带采样点旳过渡带宽 4π/33 ，而阻带衰减增长了20多分贝，达-60dB以上， 当然，代价是滤波器 阶数增长，运算量增长。
小结： 频率采样设计法优点： ① 直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观以便； ② 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几种 非零值。
缺陷：截止频率难以控制。 因频率取样点都局限在2π/N旳整数倍点上，所以在
WR ( )
sin(N / 2) sin( / 2)
N
sin(N / 2) N / 2
N
sin x
x
N旳变化不能变化主瓣与旁瓣旳百分比关系，只能
变化WR( 旳绝对值大小和起伏旳密度。
肩峰值旳大小决定了滤 波器通带内旳平稳程度 和阻带内旳衰减，所以 对滤波器旳性能有很大 旳影响。
c
0. 0895 1
FIR滤波器旳ห้องสมุดไป่ตู้计
FIR型滤波器旳系统函数为：
M
H (z) h(0) h(1)z1 h(M )zM h(n)zn
n0
FIR数字滤波器旳特点(与IIR数字滤波器比较)：
优点 ：（1）很轻易取得严格旳线性相位，防止被 处理旳信号 产生相位失真；
（2）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题； （3）任何一种非因果旳有限长序列，总能够经 过一定旳延时，转变为因果序列， 所以因果性总 是满足； （4）无反馈运算，运算误差小。
FIR滤波器的设计及特点讲解学习
加窗得到设计结果
.低通滤波器设计——汉明窗 • wp=0.2*pi; • ws=0.3*pi; • N=67; • n=0:N-1; • wc=(wp+ws)/2; • a=(N-1)/2; • hd=sin(wc*(n-a+eps))./(pi*(n-a+eps)); • [H0,w0]=freqz(hd,[1],1000,'whole'); • H0=(H0(1:1:501)); • w0=(w0(1:1:501)); • mag0=abs(H0); • db0=20*log10((mag0+eps)/max(mag0));
B、实际低通滤波器 单位脉冲响应h(n)是有限时宽的，是因果的，可以实现的
h(n)hd(n)R N(n)
hd(n)
h(n)
实际低通滤波器的幅频特性
p : 通带边界频率
边
s : 阻带截止频率
界 频
c : 3 d B 截止频率
率
p : 通带最大衰减
s : 阻带最小衰减
缓冲带越窄就越接近理想低通滤波器
Z
1
1
，Z
1
，(Z11)
都是其零点
二、理想低通滤波器和实际低通滤波器的特点
1、低通滤波器的特点 （1）容许低于截止频率的信号通过， 滤除高于截止频 率的信号。 （2）通频带中心位于2π的整数倍。
（2）理想低通滤波器和实际低通滤波器
A、想低通滤波器 单位脉冲响应hd(n)是无限时宽的，且是非因果的，无法 实现的
Hg(w)关于0，2π奇对称，π 偶对称
不能设计低通、高通、带阻滤 可设计高通、带通滤波器，不
波器，只能设计带通。
能设计低通，带阻滤波器。
FIR滤波器与IIR滤波器的区别与特点
FIR 滤波器与IIR 滤波器的区别与特点FIR 和IIR 滤波器的一个主要区别：FIR 是线性相位，IIR 为非线性相位（双线性变换法），对于非线性相位会造成的影响，可以这样考虑：对于输入的不同频率分量，造成的相位差与频率不成正比，则输出时不同频率分量的叠加的相位情况和输入时有变化，得到的通带信号产生失真。
iir 滤波器有以下几个特点：​​1 iir 数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。
​​2 iir 数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。
iir 滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。
由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。
​​3 iir 数字滤波器在计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。
在设计一个iir 数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。
​​4 iir 数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。
在matlab 下设计iir 滤波器可使用buttterworth 函数设计出巴特沃斯滤波器，使用cheby1 函数设计出契比雪夫i 型滤波器，使用cheby2 设计出契比雪夫II 型滤波器，使用ellipord 函数设计出椭圆滤波器。
与fir 滤波器的设计不同，iir 滤波器设计时的阶数不是由设计者指定，而是根据设计者输入的各个滤波器参数（截止频率、通带滤纹、阻带衰减等），由软件设计出满足这些参数的最低滤波器阶数。
《FIR滤波器设计》PPT课件
其中
(N1)/2
H (ej)ej(N1)/2
a(k)cos(k)
n0
a (k ) 2 h (N 1 k ) k 1 ,2 ,...,N 1
2
2
（7.10）
a(0) h(N 1) 2
可整理ppt
12
幅度函数为 相位函数为
(N1)/2
H() a(k)cos(k) n0
() (N1)
2
（7.11） （7.12）
I型线性相位滤波器的幅度函数和相位函数的特点：
幅度函数对 N 1 偶对称，同时对 0,,2 也呈偶对称；
2 相位函数为准确的线性相位。
可整理ppt
13
证明： h(n)h(Nn1 )
H (ej)ej N 2 1 N 1h(n)cons N [ (1) ]
n0
2
相位函数为
()
N1
2
而幅度函数 H()N1h(n)cons[N (1)]
可整理ppt
7
FIR滤波器具有式（7.4）的线性相位的充分必要条件是：
单位抽样响应 h ( n ) 关于群延时 奇对称，即满足
N 1 2
（7.7）
2
（7.8）
h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1 （7.9）
可整理ppt
8
把满足式（7.7）、（7.8）和式（7.9）的奇对称条件的FIR 滤波器分别称为Ⅲ型线性相位滤波器和Ⅳ型线性相位滤波 器。
2
j
e
2
N1
2
N1 n0
h(n)
sin[(n
N21)]
幅度函数与相位函数分别为
H()N1h(n)sin[(nN1)],
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是常数
H(e jω ) = ∑h(n)e jωn = ± H(e jω ) e jθ (ω) = ± H(e jω ) e jωτ
n=0
N 1
第一类线性相位： 第一类线性相位： θ (ω) = τω
n=0 N1
n=0 N N1
N1 n=0
n=0 N1
n=0
∑h( n) sin (τ n)ω = 0
n=0
N1
τω的充要条件： 第一类线性相位 θ (ω) = 的充要条件：
h(n) = h(N 1 n) 0 ≤ n ≤ N 1
N 1 n = (N – 1) /2 为h(n)的偶对称中心 τ = 的偶对称中心 2
1 i ( N 1)
H(zi ) = 0
2）h(n)为实数，则零点共轭成对 ） 为实数， 为实数
即 zi*, 1/ zi* 也是零点
线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对 即共轭成对且镜像成对。 即共轭成对且镜像成对。
jθ 1） zi = re i ） i
ri ≠1 θi ≠ 0或 π
re i
jθi
N /2
1 ω = π 时 cos ω n = 0 2
则 H(π ) = 0 ∴z = 1是零点
H(ω)对ω = 0, 2π呈偶对称 H(ω)对ω = π呈奇对称
z = 1 为零点 故不能设计成高通、带阻滤波器 故不能设计成高通、
3）h(n)奇对称，N为奇数 ） 奇对称， 为奇数 奇对称 幅度函数： 幅度函数：
N n =1,..., 2
1 H(ω) = ∑d(n)sin ω n 2 n=1
N /2
其中： 其中：
N d(n) = 2h n 2
N n =1,..., 2
1 H(ω) = ∑d(n)sin ω n 2 n=1
N /2
1 ω = 0, 2π 时 sin ω n = 0 2
N 1 = cos nω 2 N 1 N 1 ∴cos nω 对 呈偶对 称 2 2
N 1 N 1 H(ω) = h nω + ∑2h(n)cos 2 n=0 2
N 1 令 n = m 2
N-3 2
N 1 N 1 = h mcos(m ) ω + ∑2h 2 m=1 2
N 1
N 1 = ∑2h(n)cos nω n=0 2
N 1 2
N 1 H(ω) = ∑2h(n)cos nω n=0 2
N 1 2
N 令 n = m 2 =
1 N ∑2h 2 mcos m 2 ω m=1
N /2
N 2
1 ∴H(ω) = ∑b(n)cos ω n 2 n=1
H(ω) = ∑a(n)cos(ωn)
n=0
N 1 2
Qcos(ωn)对ω = 0, π，π 呈 2 偶对称 ∴H(ω)对 = 0, π, 2π 呈偶对 ω 称
2）h(n)偶对称，N为偶数 ） 偶对称， 为偶数 偶对称 幅度函数： 幅度函数：
N 1 H(ω) = ∑h(n)cos nω n=0 2
N 1 H(ω) = ∑h(n)sin nω n=0 2
N 1
N 1 N 1 Qsin (N 1 n)ω = sin n ω 2 2
N 1 = sin nω 2 N 1 N 1 ∴sin nω 对 呈 奇对称 2 2
N 1 h(n)奇 称 N为 数 ∴h 对 且 奇 =0 2
h(n) = h(N 1 n)
H(e ) = H(z)
jω
z=e jω
=e
j
N 1 N 1 ω 2
N 1 ∑h(n)cos 2 nω n=0 相位函数： 相位函数：
N 1 θ(ω) = ω 2 为第一类线性相位 N 1 τ= 2
2）h(n)奇对称 ） 奇对称 频率响应： 频率响应：
N2 1n N2 1n N 1 N 1 ±z z 2 H ( z) = z h(n) ∑ 2 n=0
N 1 n 2 N 1 n 2 z=e jω
z
±z 2
e jx + e jx cos x = 2
N 1 cos 2 nω "+" = j sin N 1 nω "" 2
∑h( n) sin (τ n)ω = 0
n=0
N1
的充要条件： 第二类线性相位 θ (ω) = β0 τω 的充要条件：
h(n) = h(N 1 n) 0 ≤ n ≤ N 1
n = (N – 1) /2 为h(n)的奇对称中心 τ = N 1 的奇对称中心 2 β0 = ±π /2
2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点 、线性相位 滤波器频率响应的特点
零点： i 零点： re
jθi
1 jθi e ri
1 jθi e ri
Hi (z) = (1 re jθi z1)(1 re jθi z1) i i
1 jθi 1 1 jθi 1 1 e z 1 e z i i r r
1 = 2 1 2r cosθi z1 + r2 z2 r2 2r cosθi z1 + z2 i i i i r i
由H ( z) = ±z( N1) H(z1)
1 得 H(z) = H(z) ± z( N1) H(z1) 2
N 1 1 N1 n ( N 1) n = ∑h(n)z ± z ∑h(n)z 2 n=0 n=0
1 N1 = ∑h(n) zn ± z( N1) zn 2 n=0
N2 1n N2 1n N 1 N 1 ±z z 2 h(n) =z ∑ 2 n=0
为第二类线性相位 N 1 τ= β0 = π /2 2
3、幅度函数的特点 、
1）h(n)偶对称，N为奇数 ） 偶对称， 为奇数 偶对称 幅度函数： 幅度函数：
N 1 H(ω) = ∑h(n)cos nω n=0 2
N 1
N 1 N 1 Qcos (N 1 n)ω = cos n ω 2 2
jω
h(n) = h(N 1 n)
j N1 N 1 ω 2
N 1 H(e ) = H(z) z=e jω = je ∑h(n)sin 2 nω n=0 N 1 π j ω+ j N 1 N 1 2 2 =e ∑h(n)sin 2 nω n=0
相位函数： 相位函数：
N 1 π θ(ω) = ω+ 2 2
其中： 其中：
N b(n) = 2h n 2
N n =1,..., 2
1 H(ω) = ∑b(n)cos ω n 2 n=1
N /2
其中： 其中：
N b(n) = 2h n 2
N n =1,..., 2
1 H(ω) = ∑b(n)cos ω n 2 n=1
因sin(ωn)对 = 0, π，π 呈 对 ω 2 奇 称 故 (ω)对 = 0, π，π呈 对 H ω 2 奇 称
4）h(n)奇对称，N为偶数 ） 奇对称， 为偶数 奇对称
幅度函数： 幅度函数：
N 1 H(ω) = ∑h(n)sin nω n=0 2
N 1
N 1 = ∑2h(n)sin nω n=0 2
H(e jω ) = H(z)
z=e jω
j N2 1ω N1 N 1 "+" ∑h(n)cos 2 nω e n=0 = N 1 N 1 j je 2 ω h(n)sin N 1 nω ∑ "" 2 n=0
1）h(n)偶对称 ） 偶对称 频率响应： 频率响应：
N 1 2
N 1 H(ω) = ∑2h(n)sin nω n=0 2
N 1 2
N 令 n = m N 2 2 1 N = ∑2h msin m ω 2 2 m=1
1 ∴H(ω) = ∑d(n)sin ω n 2 n=1
N /2
其中： 其中：
N d(n) = 2h n 2
± H(e jω ) cos(ωτ ) = ∑h( n) cos(ωn) ± H(e jω ) sin(ωτ ) = ∑h( n) sin(ωn)
n=0 N1 N1
∑h( n) sin(ωn) sin(ωτ ) tg (ωτ ) = = cos(ωτ ) ∑h( n) cos(ωn) ∑h( n) sin(ωτ ) cos(ωn) ∑h( n) cos(ωτ ) sin(ωn) = 0
jθi
Hi (z) = 1 e z
(
jθi
1
)(
1 e
jθi
z1
)
=1 2r cosθi z1 + z2
N 1 N =3 τ = =1 2
3） zi = re jθi ） i 零点： i 零点： r
r ≠1 θi = 0或 ，即零点在实轴上 π i
1 r i
1
1 1 Hi (z) = (1± rz ) 1± z i i r
由 h(n) = ±h(N 1 n) 0 ≤ n ≤ N 1 系统函数： 系统函数：
H(z) = ∑h(n)zn = ∑±h(N 1 n)zn
n=0 n=0
N 1
N1
令 = N 1 n = ∑±h(m)z( N1m) m
m=0
N1
= ±z( N1) ∑h(m)zm
m=0
N 1
= ±z( N1) H(z1)
线性相位FIR滤波器的特点 第一节 线性相位 滤波器的特点
FIR滤波器的单位冲激响应： 滤波器的单位冲激响应： 滤波器的单位冲激响应
h(n) 0 ≤ n ≤ N 1
系统函数： 系统函数：
H(z) = ∑h(n)z