线性相位FIR滤波器的特点

H(ω) = ∑c(n)sin(ωn)
n=1
N 1 2
N 1 其中： 其中：c(n) = 2h n 2
N 1 n =1,..., 2
H(ω) = ∑c(n)sin(ωn)
n=1
N 1 2
ω = 0, π , 2π 时 sin(ωn) = 0
则 H(ω) = 0 ∴z = ±1 是零 点
jω
h(n) = h(N 1 n)
j N1 N 1 ω 2
N 1 H(e ) = H(z) z=e jω = je ∑h(n)sin 2 nω n=0 N 1 π j ω+ j N 1 N 1 2 2 =e ∑h(n)sin 2 nω n=0
相位函数： 相位函数：
N 1 π θ(ω) = ω+ 2 2
线性相位FIR滤波器的特点 第一节 线性相位 滤波器的特点
FIR滤波器的单位冲激响应： 滤波器的单位冲激响应： 滤波器的单位冲激响应
h(n) 0 ≤ n ≤ N 1
系统函数： 系统函数：
H(z) = ∑h(n)z
n=0
N1
n
平面有N 在 z 平面有 –1 个零点 处是N 在 z = 0 处是 –1 阶极点
n=0 N1
n=0 N N1
N1 n=0
n=0 N1
n=0
∑h( n) sin (τ n)ω = 0
n=0
N1
τω的充要条件： 第一类线性相位 θ (ω) = 的充要条件：
h(n) = h(N 1 n) 0 ≤ n ≤ N 1
N 1 n = (N – 1) /2 为h(n)的偶对称中心 τ = 的偶对称中心 2
因sin(ωn)对 = 0, π，π 呈 对 ω 2 奇 称 故 (ω)对 = 0, π，π呈 对 H ω 2 奇 称
4）h(n)奇对称，N为偶数 ） 奇对称， 为偶数 奇对称
幅度函数： 幅度函数：
N 1 H(ω) = ∑h(n)sin nω n=0 2
N 1
N 1 = ∑2h(n)sin nω n=0 2
1 i ( N 1)
H(zi ) = 0
2）h(n)为实数，则零点共轭成对 ） 为实数， 为实数
即 zi*, 1/ zi* 也是零点
线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对 即共轭成对且镜像成对。 即共轭成对且镜像成对。
jθ 1） zi = re i ） i
ri ≠1 θi ≠ 0或 π
re i
jθi
1、线性相位条件 、
h(n)为实序列时，其频率响应： 为实序列时，其频率响应： 为实序列时
N 1 n=0
H(e jω ) = ∑h(n)e jωn = H(ω)e jθ (ω) = ± H(e jω ) e jθ (ω)
线性相位是指 θ (ω) 是 ω 的线性函数
dθ (ω) =τ 即群Fra Baidu bibliotek时 dω
N 1 N =5 τ = =2 2
1 H(zi ) = 2 1 2r cosθi z1 + r2 z2 r2 2r cosθi z1 + z2 i i i i r i
2） zi = re jθi ） i
r =1 θi ≠ 0或 ，即零点在单位圆上 π i
零点： 零点： e jθi
e
由H ( z) = ±z( N1) H(z1)
1 得 H(z) = H(z) ± z( N1) H(z1) 2
N 1 1 N1 n ( N 1) n = ∑h(n)z ± z ∑h(n)z 2 n=0 n=0
1 N1 = ∑h(n) zn ± z( N1) zn 2 n=0
N2 1n N2 1n N 1 N 1 ±z z 2 h(n) =z ∑ 2 n=0
jθi
Hi (z) = 1 e z
(
jθi
1
)(
1 e
jθi
z1
)
=1 2r cosθi z1 + z2
N 1 N =3 τ = =1 2
3） zi = re jθi ） i 零点： i 零点： r
r ≠1 θi = 0或 ，即零点在实轴上 π i
1 r i
1
1 1 Hi (z) = (1± rz ) 1± z i i r
N1 N1 2 n=0
N 1 2
∴H(ω) = ∑a(n)cos(ωn)
N 1 其中： 其中： a(0) = h 2
N 1 a(n) = 2h n 2
N 1 n =1,..., 2
H(ω) = ∑a(n)cos(ωn)
n=0
N 1 2
其中： 其中：
N 1 a(0) = h 2 N 1 a(n) = 2h n n =1,..., N 1 2 2
N /2
1 ω = π 时 cos ω n = 0 2
则 H(π ) = 0 ∴z = 1是零点
H(ω)对ω = 0, 2π呈偶对称 H(ω)对ω = π呈奇对称
z = 1 为零点 故不能设计成高通、带阻滤波器 故不能设计成高通、
3）h(n)奇对称，N为奇数 ） 奇对称， 为奇数 奇对称 幅度函数： 幅度函数：
H(e jω ) = H(z)
z=e jω
j N2 1ω N1 N 1 "+" ∑h(n)cos 2 nω e n=0 = N 1 N 1 j je 2 ω h(n)sin N 1 nω ∑ "" 2 n=0
1）h(n)偶对称 ） 偶对称 频率响应： 频率响应：
为第二类线性相位 N 1 τ= β0 = π /2 2
3、幅度函数的特点 、
1）h(n)偶对称，N为奇数 ） 偶对称， 为奇数 偶对称 幅度函数： 幅度函数：
N 1 H(ω) = ∑h(n)cos nω n=0 2
N 1
N 1 N 1 Qcos (N 1 n)ω = cos n ω 2 2
∑h( n) sin (τ n)ω = 0
n=0
N1
的充要条件： 第二类线性相位 θ (ω) = β0 τω 的充要条件：
h(n) = h(N 1 n) 0 ≤ n ≤ N 1
n = (N – 1) /2 为h(n)的奇对称中心 τ = N 1 的奇对称中心 2 β0 = ±π /2
2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点 、线性相位 滤波器频率响应的特点
N 1
N 1 = ∑2h(n)cos nω n=0 2
N 1 2
N 1 H(ω) = ∑2h(n)cos nω n=0 2
N 1 2
N 令 n = m 2 =
1 N ∑2h 2 mcos m 2 ω m=1
N /2
N 2
1 ∴H(ω) = ∑b(n)cos ω n 2 n=1
第一类线性相位：θ (ω) = τω 第一类线性相位： 第二类线性相位： 第二类线性相位：θ (ω) = β0 τω
是常数
H(e jω ) = ∑h(n)e jωn = ± H(e jω ) e jθ (ω) = ± H(e jω ) e jωτ
n=0
N 1
第一类线性相位： 第一类线性相位： θ (ω) = τω
N n =1,..., 2
1 H(ω) = ∑d(n)sin ω n 2 n=1
N /2
其中： 其中：
N d(n) = 2h n 2
N n =1,..., 2
1 H(ω) = ∑d(n)sin ω n 2 n=1
N /2
1 ω = 0, 2π 时 sin ω n = 0 2
则 H(ω) = 0 ∴z = 1是零点
H(ω)对ω = 0, 2π呈奇对称
H(ω)对ω = π呈偶对称
4、零点位置 、 由 H(z) = ±z( N1) H(z1) 得：
1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点 ） 的零点， 的零点
QH(zi ) = 0
∴H(z ) = ±zi
其中： 其中：
N b(n) = 2h n 2
N n =1,..., 2
1 H(ω) = ∑b(n)cos ω n 2 n=1
N /2
其中： 其中：
N b(n) = 2h n 2
N n =1,..., 2
1 H(ω) = ∑b(n)cos ω n 2 n=1
N 1 H(ω) = ∑2h(n)sin nω n=0 2
令 N 1 n = m 2
N 1 2
N-3 2
N 1 = ∑2h msin(m ) ω 2 m=1
∴H(ω) = ∑c(n)sin(ωn)
n=1
N1 2
其中： 其中：
N 1 c(n) = 2h n 2
N 1 n =1,..., 2
N 1 H(ω) = ∑h(n)sin nω n=0 2
N 1
N 1 N 1 Qsin (N 1 n)ω = sin n ω 2 2
N 1 = sin nω 2 N 1 N 1 ∴sin nω 对 呈 奇对称 2 2
N 1 h(n)奇 称 N为 数 ∴h 对 且 奇 =0 2
零点： i 零点： re
jθi
1 jθi e ri
1 jθi e ri
Hi (z) = (1 re jθi z1)(1 re jθi z1) i i
1 jθi 1 1 jθi 1 1 e z 1 e z i i r r
1 = 2 1 2r cosθi z1 + r2 z2 r2 2r cosθi z1 + z2 i i i i r i
h(n) = h(N 1 n)
H(e ) = H(z)
jω
z=e jω
=e
j
N 1 N 1 ω 2
N 1 ∑h(n)cos 2 nω n=0
相位函数： 相位函数：
N 1 θ(ω) = ω 2 为第一类线性相位 N 1 τ= 2
2）h(n)奇对称 ） 奇对称 频率响应： 频率响应：
N 1 2
N 1 H(ω) = ∑2h(n)sin nω n=0 2
N 1 2
N 令 n = m N 2 2 1 N = ∑2h msin m ω 2 2 m=1
1 ∴H(ω) = ∑d(n)sin ω n 2 n=1
N /2
其中： 其中：
N d(n) = 2h n 2
± H(e jω ) cos(ωτ ) = ∑h( n) cos(ωn) ± H(e jω ) sin(ωτ ) = ∑h( n) sin(ωn)
n=0 N1 N1
∑h( n) sin(ωn) sin(ωτ ) tg (ωτ ) = = cos(ωτ ) ∑h( n) cos(ωn) ∑h( n) sin(ωτ ) cos(ωn) ∑h( n) cos(ωτ ) sin(ωn) = 0
H(ω) = ∑a(n)cos(ωn)
n=0
N 1 2
Qcos(ωn)对ω = 0, π，π 呈 2 偶对称 ∴H(ω)对 = 0, π, 2π 呈偶对 ω 称
2）h(n)偶对称，N为偶数 ） 偶对称， 为偶数 偶对称 幅度函数： 幅度函数：
N 1 H(ω) = ∑h(n)cos nω n=0 2
N 1 = cos nω 2 N 1 N 1 ∴cos nω 对 呈偶对 称 2 2
N 1 N 1 H(ω) = h nω + ∑2h(n)cos 2 n=0 2
N 1 令 n = m 2
N-3 2
N 1 N 1 = h mcos(m ) ω + ∑2h 2 m=1 2
N2 1n N2 1n N 1 N 1 ±z z 2 H ( z) = z h(n) ∑ 2 n=0
N 1 n 2 N 1 n 2 z=e jω
z
±z 2
e jx + e jx cos x = 2
N 1 cos 2 nω "+" = j sin N 1 nω "" 2
由 h(n) = ±h(N 1 n) 0 ≤ n ≤ N 1 系统函数： 系统函数：
H(z) = ∑h(n)zn = ∑±h(N 1 n)zn
n=0 n=0
N 1
N1
令 = N 1 n = ∑±h(m)z( N1m) m
m=0
N1
= ±z( N1) ∑h(m)zm
m=0
N 1
= ±z( N1) H(z1)