最小二乘法的综述及算例
最小二乘法综述及举例
最小二乘法综述及算例一最小二乘法的历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
经过两百余年后，最小二乘法已广泛应用与科学实验和工程技术中，随着现代电子计算机的普及与发展，这个方法更加显示出其强大的生命力。
二最小二乘法原理最小二乘法的基本原理是：成对等精度测得的一组数据),...,2,1(,n i y x i i =，是找出一条最佳的拟合曲线，似的这条曲线上的个点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。
设物理量y 与1个变量l x x x ,...,2,1间的依赖关系式为:)(,...,1,0;,...,2,1n l a a a x x x f y =。
其中n a a a ,...,1,0是n +l 个待定参数,记()21∑=-=mi i i y vs 其中 是测量值, 是由己求得的n a a a ,...,1,0以及实验点),...,2,1)(,...,(;,2,1m i v x x x i il i i =得出的函数值)(,...,1,0;,...,2,1n il i i a a a x x x f y =。
在设计实验时, 为了减小误差, 常进行多点测量, 使方程式个数大于待定参数的个数, 此时构成的方程组称为矛盾方程组。
通过最小二乘法转化后的方程组称为正规方程组(此时方程式的个数与待定参数的个数相等) 。
我们可以通过正规方程组求出a最小二乘法又称曲线拟合, 所谓“ 拟合” 即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点, 只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。
基本最小二乘法
基本最小二乘法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：基本最小二乘法（Least Squares Method）是统计学中一种常用的参数估计方法，其基本思想是通过最小化实际观测值与理论值之间的残差平方和来求得模型参数。
最小二乘法常用于回归分析、拟合曲线以及解决线性方程组等问题。
最小二乘法的核心思想是寻找使得误差的平方和最小的参数估计值。
具体来说，假设有n个数据点(x_1,y_1), (x_2,y_2), …, (x_n,y_n)，要拟合这些数据点，可以假设它们之间存在某种函数关系y=f(x)，通过最小化残差平方和的方法来确定函数f(x)的参数值。
最小二乘法的数学表达式可以用下面的公式来表示：\min_{\beta} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \beta^{T}x_{i})^{2}y_{i}是实际观测值，x_{i}是自变量，\beta是要求解的参数向量。
最小二乘法的优势在于它是一种封闭解的方法，能够直接获得参数的解析解，而不需要通过迭代算法来求解。
最小二乘法对于数据中的离群点具有一定的鲁棒性，能够有效地排除异常值的影响。
最小二乘法在实际应用中有着广泛的应用。
在回归分析中，最小二乘法可以用来拟合数据点并预测新的输出值；在信号处理中，最小二乘法可以用来估计信号的频率和幅度；在机器学习和人工智能领域，最小二乘法也被广泛应用于线性回归、岭回归等算法。
最小二乘法也存在一些限制。
最小二乘法要求数据满足线性关系，并且误差项服从正态分布。
如果数据不符合这些假设，最小二乘法的结果可能会出现偏差。
最小二乘法对数据中的离群点较为敏感，如果数据中存在大量离群点，最小二乘法的结果可能会受到影响。
为了解决最小二乘法的这些限制，人们提出了许多改进的方法。
岭回归（Ridge Regression）和Lasso回归（Lasso Regression）是两种常见的正则化方法，可以在最小二乘法的基础上引入惩罚项来减少模型的复杂度，并提高模型的泛化能力。
最小二乘法公式计算公式
最小二乘法公式计算公式最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它通过最小化观测数据与拟合曲线之间的残差平方和，来确定拟合曲线的参数。
在数学领域中，最小二乘法通过求解线性方程组来确定问题的最优解。
本文将详细介绍最小二乘法的计算公式，并给出应用示例。
1. 最小二乘法的一般形式假设我们有一组观测数据，包括自变量x和因变量y。
我们希望找到一个拟合曲线，使得观测数据与该曲线的残差平方和最小。
拟合曲线的一般形式可以表示为：y = f(x, β) + ε其中，f(x, β)是关于自变量x和参数向量β的函数，ε是误差项。
根据最小二乘法的原理，我们需要最小化残差平方和:RSS(β) = Σ(y - f(x, β))^22. 最小二乘法的求解过程为了找到使得残差平方和最小的参数向量β，我们需要对该函数进行求导，并令导数为零。
首先，我们定义一个矩阵X，该矩阵的每一行表示一个观测数据的自变量，每一列表示一个参数。
类似地，我们定义一个向量y，其中每个元素对应一个观测数据的因变量。
拟合曲线可表示为：y = Xβ + ε将这个表达式代入残差平方和的公式中，得到：RSS(β) = (y - Xβ)T(y - Xβ)我们的目标是找到一个参数向量β，使得RSS最小化。
使用微积分的方法，我们可以对RSS进行求导，得到：∂RSS(β) / ∂β = -2X^T(y - Xβ) = 0通过上述求导结果，我们可以解得最小二乘法的估计量β的闭式解为：β = (X^TX)^(-1)X^Ty3. 应用示例让我们通过一个简单的线性回归示例来演示最小二乘法的应用。
假设我们有以下观测数据：x = [1, 2, 3, 4, 5]y = [2, 4, 5, 4, 5]我们希望通过最小二乘法来拟合一个线性模型y = β0 + β1x。
首先，我们将数据转换为矩阵形式：X = [[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5]]y = [[2], [4], [5], [4], [5]]接下来，我们可以计算参数向量β：β = (X^TX)^(-1)X^Ty计算过程如下：X^TX = [[5, 15], [15, 55]](X^TX)^(-1) = [[11, -3], [-3, 1]]X^Ty = [[20], [70]]将上述结果代入β的公式，即可计算得到具体的参数值：β = [[11, -3], [-3, 1]] * [[20], [70]] = [[1.1818], [3.2727]]因此，最小二乘法拟合出的线性模型为：y = 1.1818 + 3.2727x通过该模型，我们可以预测其他自变量对应的因变量的值。
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。
然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。
在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。
具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。
在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
最小二乘法概述
最小二乘法一、简介最小二乘法，又称最小平方法，是一种数学技术。
它通过最小误差的平方和寻找数据函数的最佳匹配。
最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系bx a y +=，对其进行)2(>n n 次观测而获得n 对数据。
若将这n 对数据代入方程求解a ,b 之值则无确定解。
最小二乘法提供了一个求解方法,其基本思想就是寻找“最接近”这n 个观测点的直线。
最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。
相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。
作为其进一步发展或纠正其不足而采取的对策，不少近现代的数理统计学分支也是在最小二乘法基础上衍生出来的。
最小二乘法之于数理统计学，有如微积分之于数学，这并非夸张之辞。
统计学应用的几个分支如相关分析、回归分析、方差分析和线性模型理论等，其关键都在于最小二乘法的应用不少现代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来，作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策，如回归分析中一系列修正最小二乘法而产生的估计方法等就是最好的例子。
二、创立思想勒让德在先驱者解线性方程组的基础上，以整体的思想方法创立了最小二乘法；高斯由寻找随机误差函数为突破，以独特的概率思想导出了正态分布，详尽地阐述了最小二乘法的理论依据。
最小二乘法(OLSE)的思想就是要使得观测点和估计点的距离平方和达到最小，在各方程的误差之间建立一种平衡，从而防止某一极端误差，对决定参数的估计值取得支配地位，有助于揭示系统的更接近真实的状态。
这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。
三、原理设一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n = ,现用近似曲线)(x y ϕ=拟合这组数据,“拟合得最好”的标准是所选择的()x ϕ在i x 处的函数值()i x ϕ(1,2,,)i n = 与i y (1,2,,)i n = 相差很小,即偏差（也称残差）()i i x y ϕ-(1,2,,)i n = 都很小.一种方法是使偏差之和()1ni i i x y ϕ=⎡⎤⎣⎦∑－很小来保证每个偏差都很小.但偏差有正有负,在求和的时候可能相互抵消.为了避免这种情况,还可使偏差的绝对值之和()1||ni i i x y ϕ=-∑为最小.但这个式子中有绝对值符号,不便于分析讨论.由于任何实数的平方都是正数或零,因而我们可选择使“偏差平方和21ni i i x y ϕ=-∑［（）］最小”的原则来保证每个偏差的绝对值都很小,从而得到最佳拟合曲线y =()x ϕ.这种“偏差平方和最小”的原则称为最小二乘原则,而按最小二乘法原则拟合曲线的方法称为最小二乘法或称最小二乘曲线拟合法.一般而言,所求得的拟合函数可以使不同的函数类,拟合曲线()x ϕ都是由m 个线性无关函数()1x ϕ,()2x ϕ ,…, ()m x ϕ的线性组合而成,即()()()()1122m m x a x a x a x ϕϕϕϕ=+++…)1(-<n m ,其中1a ，2a ，…，m a 为待定系数.线性无关函数()1x ϕ,()2x ϕ ,…()m x ϕ,称为基函数,常用的基函数有: 多项式：1,x , 2x ,…,m x ;三角函数： sin x ,sin 2x ,…,sin mx ;指数函数：x x x m e e e λλλ,,,21 ,x λ２ｅ,…,x λｍｅ.最小二乘法又称曲线拟合,所谓“ 拟合” ,即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点,只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势,它的实质是离散情况下的最小平方逼近.四、运用曲线拟合做最小二乘法 1 一元线性拟合已知实测到的一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n = ,求作这组数据所成的一元线性关系式.设线性关系式为y a bx =+,求出a 和b 即可.法一：即要满足则）（令,0,0,,12=∂∂=∂∂--=∑=bsa sb a bx a y s ni i i ,则,a b 要满足s a ∂∂＝0,sb∂∂＝0.即 11()()ni i i n i i ii sy a bx a s y a bx x b==∂⎧--⎪⎪∂⎨∂⎪--⎪∂⎩∑∑＝－2＝0＝－2＝0化简得112111n n i i i i nn ni i i i i i i b a x y n n a x b x x y =====⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑∑∑∑∑１＋＝＋＝ 从中解出1112211111n n n i i i ii i i n n i i i i n n i ii i n x y x yb n x x b a y x n n =======⎧⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑－＝－＝－ （1） 法二：将i x ,i y 代入y a bx =+得矛盾方程组1122n y a bx y a bx y a bx n=+⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎩ (2) 令A =12111n x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,B =12n y y y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则（2）式可写成b B A a ⎛=⎫⎪⎝⎭,则对应的正规方程组为TTa b A B A A ⎛=⎫ ⎪⎝⎭,所以a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1()T TA A AB -,其中A 称为结构矩阵,B 称为数据矩阵,T A A 称为信息矩阵,TA B 称为常数矩阵.2 多元线性拟合设变量y 与n 个变量1x ,2x ,…,n x （1n ≥）内在联系是线性的,即有如下关系式∑=+=nj j j x a a y 10,设j x 的第i 次测量值为ij x ,对应的函数值为i y (1,2,,)i m = ,则偏差平方和为s ='220111()()mm ni i i i ij i i j y y y a a x ===-=--∑∑∑,为了使s 取最小值得正规方程组011001111011202020m n i j ij i j m n i j ij i i j m n i j ij in i j ns y a a x a s y a a x x a s y a a x x a ======⎧∂⎛⎫=---=⎪ ⎪∂⎝⎭⎪⎪∂⎛⎫=---=⎪⎪∂⎨⎝⎭⎪⎪⎪∂⎛⎫=---=⎪ ⎪∂⎝⎭⎩∑∑∑∑∑∑ （3） 即011101111n m mij j i j i i mn m mik ij ik jik i i j i i ma x a y x a x x a x y =======⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩∑∑∑∑∑∑∑1,2,,k n = . （4） 将实验数据(,)i i x y 代入（4）式,即得m a a a ,,,10 .3 指数函数拟合科学实验得到一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n = 时,还可以考虑用指数函数为基函数来拟合,此时设拟合函数具有形式bxy ae =（,a b 为待定系数）.对上式两端取自然对数可得：ln ln y a bx =+ （9）令Y =ln y ,0ln b a =,则（9）式可转化为一元线性函数形式0Y b bx =+,此时将指数函数拟合转化成了一元线性拟合,利用一元线性拟合中的两种方法均可求出0b 和b ,继而根据0b a e =可求出a ,从而得出因变量y 与自变量x 之间的函数关系式0b bx bx y ae e +==4 对数函数拟合科学实验得到一组数据(,)i i x y (1,2,,)i n = 时,还可以考虑用对数函数为基函数来拟合,此时设拟合函数具有形式ln y a b x =+(0)x >（,a b 为待定系数）.0b >时,y 随x 增大而增大,先快后慢;0b <时,y 随x 增大而减小,先快后慢.当以y 和ln x 绘制的散点图呈直线趋势时,可考虑采用对数函数描述y 与x 之间的非线性关系,式中的b 和a 分别为斜率和截距.这时令X =ln x ,就可以利用一元线性拟合的方法来求解.更一般的对数函数还可设为y =()ln a b x k ++,式中k 为一常量.五 举例例1 使电流通过2Ω的电阻,用伏特表测量电阻两端的电压V .测得数据如下表：t I /A1 2 4 6 8 10 t V /V1.83.78.212.015.820.2试用最小二乘法建立I 与V 之间的一元经验公式（有效数字保留到小数点后第3位）. 解：可取一次线性关系式V a bI =+作为I 与V 之间的一元经验公式. 将数据代入得矛盾方程组1.82 3.748.2612.0815.81020.2a b a b a b a b a b a b +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨+=⎪⎪+=⎪+=⎩ 令1112141618110A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1.83.78.212.015.820.2B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则上述矛盾方程组可写成矩阵形式0a A B b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此得出其正规方程组0T T a A A A B b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,将数据代入即得63161.7031221442.4a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解之得0.212.032a b =-⎧⎨=⎩,故所求经验公式为0.2152.V I =-+. 例 2 在在开发一种抗过敏性的新药时,要对不同剂量的药效进行实验.10名患者各服用了该新药的一个特定的剂量.药物消失时立即纪录.观测值列于下表中.x 是剂量,y 是症状消除持续的日数.用7个不同的剂量, 其中3个剂量重复给两名患者.试给出y 与x 之间的一元经验公式(保留3位有效数字).1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑ /i x mg334566788959/i y d9 5 12 9 14 16 22 18 24 22 1512i x 9 9 16 25 36 36 49 64 64 81 389i i x y271548458496154144192198 1003解：可设y 与x 之间的经验公式为y a bx =+. 由上表可知,101i i x =∑59=,101i i y =∑151=,101i i i x y =∑1003=,1021i i x =∑389=,2101i i x =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑3481= 再由（1）式可求得,1010101112101021110101003591512.7410389348110i i i ii i i i i i i x y x y b x x =====-⨯-⨯===⨯-⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑10101111 2.7415159 1.0710101010i i i i b a y x ===-=⨯-⨯=-∑∑所以y 与x 之间的经验公式为 1.07 2.74y x =-+.最小二乘法能将从实验中得出的一大堆看上去杂乱无章的数据中找出一定的规律，拟合成一条曲线来反映所给数据特点。
最小二乘法及其应用
最小二乘法及其应用什么是最小二乘法？最小二乘法（LeastSquaresMethod）是一种常用的统计分析方法，用于找到在一组已知数据上拟合度最高的线性模型。
最小二乘法通常用于在一组可选的模型中自动选择最能够最佳地拟合数据的模型。
它也可以用来估计在未观测到的预测值，从而预测某个变量的取值范围。
最小二乘法可以用于多元统计回归分析，而且也是用来计算一元线性回归系数的主要方法。
最小二乘法的基本思想是拟合所选择的模型，以便使拟合模型的预测结果（横坐标的值）与实际观测结果（纵坐标的值）之间的差异最小化。
最小二乘法的运算步骤是：计算每个观测值（纵坐标）与回归模型（横坐标）之间的差值；然后将这些差值的平方和求和，并选择使平方和最小的回归系数，从而获得最佳拟合。
最小二乘法也可以用来估计不可观测的参数。
例如，在预测一个系统的行为时，可以用最小二乘法进行拟合，找到模型参数的最佳估计值，从而估计系统的行为趋势。
在另一方面，最小二乘法也可以用来预测诸如未来产量或销售额等量化指标。
在应用最小二乘法进行科学研究时，它已成为科学界公认的标准统计方法。
它已经被用于统计分析、估计、预测、演示和建模等多个科学研究领域。
例如，最小二乘法可以用于统计推断，用于探究一些不同因素之间的关系，以及推断出假设条件下的基本模型。
它也可以用于估计参数，比如用于估计一个模型的参数值，从而使模型能够更精确地模拟数据。
最小二乘法也被用于拟合非线性曲线。
当数据不满足线性关系时，可以使用最小二乘法拟合曲线。
曲线拟合有很多方法，比如传统的曲线拟合方法，最小二乘法，最小绝对值拟合，和其他各种复杂的曲线拟合方法等等。
总之，最小二乘法是一种非常常用的统计分析方法。
它可以用来自动选择在一组可选的模型中最能够拟合数据的模型，并且可以用于估计不可观测的参数。
此外，最小二乘法也可以用于拟合非线性曲线，从而更精确地模拟实际数据。
由于这种效率和可靠性，最小二乘法已成为科学研究中一种公认的统计分析方法。
最小二乘法分类
最小二乘法分类最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的参数估计方法，用于寻找一个函数模型的最佳拟合参数，使得模型的预测值与观测值的残差平方和最小化。
这种方法最早由高斯提出，并被广泛应用于统计学和计算机科学等领域。
本文将介绍最小二乘法的基本原理、应用场景以及相关的算法和评估指标。
一、基本原理：最小二乘法用于求解形如y = f(x;θ) 的函数模型的参数θ，其中y是观测值，x是自变量，f是函数模型。
最小二乘法的目标是找到最佳的参数θ，使得模型的预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1. 定义函数模型：根据具体问题，选择适当的函数模型，如线性模型、多项式模型、指数模型等。
2. 表达目标函数：根据函数模型和参数θ，将目标函数表达为关于θ的函数形式。
3. 定义损失函数：通常采用残差的平方和作为损失函数，即Loss = Σ(y_i - f(x_i;θ))^2 。
4. 求解参数θ：通过最小化损失函数，即求解使得∂Loss/∂θ = 0 的参数θ。
5. 参数估计：根据求解得到的参数θ，即可获得最佳的函数模型。
二、应用场景：最小二乘法在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 线性回归：最小二乘法用于拟合线性回归模型，求解自变量与因变量之间的关系。
2. 特征选择：最小二乘法可用于特征选择，筛选对目标变量影响最大的特征。
3. 数据压缩：通过最小二乘法可以估计出一个低维子空间，将高维数据进行压缩。
4. 图像处理：最小二乘法可用于图像去噪、图像恢复等问题，如使用低秩矩阵模型对图像进行恢复。
5. 信号处理：最小二乘法可用于信号滤波、信号恢复等问题，如基于 DCT 的音频和图像压缩。
三、算法与评估指标：1. 最小二乘法的数值解：在实际应用中，最小二乘法的数值解可以通过各种数值优化算法来求解，包括梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等。
2. 算法评估指标：常用的评估指标包括残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）、均方误差（Mean Square Error, MSE）以及决定系数（Coefficient of Determination, R^2）等。
数值分析最小二乘法ppt课件
例3. 用最小二乘法解超定方程组
2 x 4 y 11
3 x 5 y 3
x
2
y
6
2 x y 7
解 欲求（x,y）使得其尽可能使四个等式成
立，即使
Q (x,y)(2x4y1)2 1 (3x5y3)2
(x2y6)2(2xy7)2
达到最小
S1(x)Abx
得法方程
1A 63.380 b77 3.5 26394 3.380A 71.3 584 b31 5.6 82229
解得
A 4 .48,0 b 7 1 .0 2567
从而得到 a e A 1.3 12 15 3 03
y 1 . 3 1 2 1 3 e 5 0 1 . 0t5 3 F 6 ( 2 ) ( t 7 )
则（x,y）应满足
Q ( x,
Q
(
x x
,
y) y)
0 0
y
即 6x y 17
3x 46y 48
解得
x 3.0403
y
1.2408
所以用最小二乘法解得的超定线性方程组
的解为 x 3.0403
y
1.2408
第三章 补充
逼近问题的发展
逼近问题的发展
对基于经验数据估计函数依赖关系的方法的 研究（从实例学习的研究）已经有很长的历 史了。这些研究是由两个伟大的数学家开始 的：他们是高斯（Gauss,1777-1855）和拉普 拉斯（Laplace,1749-1827），他们提出了从 天文学和物理学中的观测结果估计依赖关系 的两种不同方法。
最小二乘法
故可设所求经验公式为 y ax b ，为了用最小 2 a 和 b ，由10对数据可计算 xi 与 xi yi 的 二乘法计算 2 数值如下： xi
1 2 3 4 5 6
i
15 25 30 37 40 48
x
y
4 6 7.5 8 10 15 225 625 900 1369 1600 2304
xi yi
60 150 225 296 400 720
7 8
9 10 合计
50 55
60 65 425
12 18
23 25 128.5
2500 3025
3600 4225 20373
600 990
1380 1625 6446
代入最小二乘法标准方程组，得
20373 a 425b 6446 , 425 a 10b 128 .5
[ yi f ( xi )]2 min
i 0 n
y
o x
, 它们大体
来确定近似函数 f (x) .
最小二乘法原理:
设有一列实验数据
分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式 .
特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b
商品进货额 x/万元
商品销售利润 y/万元
15
4
25
6
30
7.5
37
8
40
10
48
15
50
12
55
18
60
23
65
25
解 将上表中的10组数据作为点的坐标，绘图如下
y
30 25 20
15
(完整word版)最小二乘法(word文档良心出品)
最小二乘法基本原理：成对等精度测得一组数据，试找出一条最佳的拟合曲线，使得这条曲线上的各点值与测量值的平方和在所有的曲线中最小。
我们用最小二乘法拟合三次多项式。
最小二乘法又称曲线拟合，所谓的“拟合”就是不要求曲线完全通过所有的数据点，只要求所得的曲线反映数据的基本趋势。
曲线的拟合几何解释：求一条曲线，使所有的数据均在离曲线的上下不远处。
第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)常用的方法有以下三种：一是误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir02的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=m i ir 02=[]∑==-mi ii y x p 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。
函数)(x p 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
Φ可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。
最小二乘法的例题
最小二乘法的例题
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
假设我们有一组数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要找到一条直线 y = mx + c，使得所有数据点到这条直线的垂直距离之和最小。
最小二乘法的目标是最小化误差平方和：
Σ[(yi - (mx_i + c))^2]
其中，m 是直线的斜率，c 是截距。
现在，我们通过解下面的方程来找到 m 和 c 的值：
Σ[(yi - (mx_i + c))^2] = min
这个方程可以简化为：
Σ[(yi - mx_i + c)^2] = Σ[(yi)^2 - 2yimx_i + (mx_i)^2 - 2cyi + c^2]
通过整理，我们可以得到：
Σ[(yi)^2] - 2mΣ[yix_i] + m^2Σ[(x_i)^2] + 2cΣ[yi] - 2mcΣ[x_i] + nc^2 = min
其中 n 是数据点的数量。
现在，我们要解这个方程组来找到 m 和 c 的值。
首先，我们需要计算
Σ[yi^2], Σ[yix_i], Σ[(x_i)^2], Σ[yi], Σ[x_i] 和 c^2。
然后，我们将这些值代入上面的方程中来找到 m 和 c 的值。
下面是一个使用 Python 实现最小二乘法的例子：
给定数据点 (1, 2), (2, 3), (3, 6)，我们想要找到一条直线 y = mx + c，使得所有数据点到这条直线的垂直距离之和最小。
计算结果为： [{c: , m: 2}]
所以，最佳拟合直线为：y = 2x +。
各种最小二乘法汇总(算例及MATLAB程序)
⎛ ⎜
^
a1
⎞ ⎟
⎛ -1.4916 ⎞
^
θ
LS
=
⎜^ ⎜ a2 ⎜^ ⎜ b1
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
=
(
H
T L
H
L
)−1
H
T L
Z
L
=
⎜ ⎜
0.7005
⎟ ⎟
⎜1.0364 ⎟
⎜
⎟
(1.1)
⎜⎜⎝
^
b2
⎟⎟⎠
⎝ 0.4268 ⎠
⎛ Z (3) ⎞
⎛ hT (3) ⎞ ⎛ −Z (2) −Z (1)
b2 a1 50 100 150 200 250 300 350 400 450
图 1 一般最小二乘参数过渡过程
4
盛晓婷 最小二乘算法总结报告
估计方差变化过程
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450
图 2 一般最小二乘方差变化过程
u(400)
⎟ ⎠
Matlab程序见附录 1。
1.2. 递推最小二乘算法
递推最小二乘算法公式：
^
^
^
θ (k) = θ (k −1) + K (k)[z(k) − h' (k)θ (k −1)]
K (k) = P(k −1)h(k)[h' (k)P(k −1)h(k) + 1 ]−1
(1.2)
Λ(k)
P(k) = [I − K (k)h'(k)]P(k −1)
最小二乘法原理及算例PPT学习教案
强度 kg/mm2
5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
第3页/共33页
从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系， 可用一条直线来表示两者之间的关系。
解：设 y*=a+bxi ，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根据最
（ 0 ，0 ）=5，（1， 1）=1.875，（ 2 ，2）=1.3828 （0 ，1）=（ 1 ，0）=2.5,（0 ，2）=（ 2 ，0）=1.875 （1 ，2）=（ 2 ，1）=1.5625 （y ， 0）=8.7680，（y，1）=5.4514，（ y，2）=4.4215
第21页/共33页
( x) a0 a1 x a2 x2 ... an xn
则以同样原理,的相应法方程组(共有m组数据且m n)
m
xi
xi
x2 i
... ...
xn i
a0
x n1
i
a1
y i
xi
y i
... ... ... ... ... ...
xn i
xn1 i
...
x2 i
主页
第24页/共33页
解:取 M=Span（1，x，x2 ） 其三个基函数为 j （x）=x j j=0, 1, 2 拟和函数 是基函数的线性组合:
（x）=c0+c1x+c2 x2 取0=1==4=1 ,由公式
5
5
（ j，k）= xi j+k， （y， k）= y i x i k ，
【文献综述】最小二乘法的原理和应用
文献综述数学与应用数学最小二乘法的原理和应用一、国内外状况天文学自古代至18世纪是应用数学中最发达的领域。
观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子，在此种意义下，天文学家就是最初的数理统计学家。
天文学的问题逐渐引导到算术平均，以及参数模型中的种种估计方法，以最小二乘法为顶峰。
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
勒让德是法国军事学校的教授，曾任多界政府委员，后来成了多科工艺学校的总监，直至1833年逝世。
有记载最小二乘法最早出现在勒让德1805年发表的论著《计算彗星轨道的新方法》附录中。
他在该书中描述了最小二乘法的思想、具体做法及其优点。
勒让德的成功在于它从一个新的角度来看待这个问题，不像其前辈那样致力于找出几个方程（个数等于未知数的个数）再去求解，而是考虑误差在整体上的平衡。
从某种意义讲，最小二乘法是一个处理观测值的纯粹代数方法。
要将其应用于统计推断问题就需要考虑观测值的误差，确定误差分布的函数形式。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系y=a+dx,对其进行n（n>2）次观测而获得n对数据，若将这n对数据代入方程求解a 、b 之值则无确定解。
最小二乘法
最小二乘法1：最小二乘法的原理与要解决的问题最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：标函数 = \sum（观测值-理论值）^2\\观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。
目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。
举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有 m 个只有一个特征的样本： (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)样本采用一般的 h_{\theta}(x) 为 n 次的多项式拟合，h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+...\theta _nx^n,\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 为参数最小二乘法就是要找到一组\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 使得\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 (残差平方和) 最小，即，求 min\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^22 ：最小二乘法的矩阵法解法最小二乘法的代数法解法就是对 \theta_i 求偏导数，令偏导数为0，再解方程组，得到 \theta_i 。
矩阵法比代数法要简洁，下面主要讲解下矩阵法解法，这里用多元线性回归例子来描：假设函数h_{\theta}(x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\t heta_nx_n 的矩阵表达方式为：h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta\\其中，假设函数 h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta 为 m\times1 的向量, \theta 为 n\times1 的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。
常用算法分析——最小二乘法
常用算法分析——最小二乘法目录1.引言2.普通最小二乘法（OLS）3.OLS实现4.广义最小二乘法（GLS）简介1、引言最小二乘法应该是我们最早接触的一种数值估计算法。
它的特殊形式，一元线性回归，被广泛地应用于多种数值统计分析场合。
例如，在验证欧姆定律（U = IR）时，通常的实验方法是分别测量出多个不同电压Ui下，通过电阻的电流值Ii，然后将这些(Ui, Ii)观测点，代入到一元最小二乘公式(1-1)中，便可计算出\hat{R}。
\begin{cases}a&=&\frac{\sum{xy}-\frac{1}{N}\sum{x}\sum{y}}{\sum{x^2}-\frac{1}{N}(\sum{x})^2}\\b&=&\frac{1}{N}\sum{y}-\frac{a}{N}\sum{x}\end{cases} (1-1)由此可得出线性拟合式(1-2)\hat{y}=a\hat{x}+b (1-2)其中，\hat{y}=\hat{U},\ \hat{x}=\hat{I},\ a=\hat{R},\ b 是残差。
通过此方法将观测点及拟合曲线绘制在同一个直角坐标系中，正常情况下可以直观地看到，观测点会均匀分布在直线附近，且每个点的残差平方和（即方差）最小。
“最小二乘法”由此得名。
2、普通最小二乘法（OLS）最小二乘法显然不只是一元线性回归那么简单，它还可以应用于多元参数的拟合。
本节将对普通最小二乘法（Ordinary Least Squares）的原理进行简单的推导和证明。
2.1、高斯—马尔可夫定理高斯—马尔可夫定理（the Gauss–Markov theorem，简称G-M定理）在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量（即Best Linear Unbiased Estimator，简称BLUE)。
G-M定理共对OLS普通线性方程提出5个假设：假设1（线性关系）：要求所有的母集团参数（population parameters）为常数，用来保证模型为线性关系。
最小二乘法公式例题
最小二乘法公式例题在我们学习数学的过程中，有一个非常实用的工具叫做最小二乘法。
这玩意儿听起来可能有点高大上，但其实没那么可怕，咱们通过一些例题来好好瞅瞅它。
我记得有一次给学生们讲最小二乘法的时候，有个学生瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这到底是啥呀？”我笑着回答：“别着急，咱们一步步来。
”咱们先来说说最小二乘法的公式：对于给定的一组数据（x₁, y₁），（x₂, y₂），...，（xₙ, yₙ），要找到一条直线 y = a + bx 来拟合这些数据，使得误差的平方和最小。
这里误差就是实际的 y 值减去通过直线计算得到的 y 值。
那误差的平方和 S 就可以表示为：S = Σ（yᵢ - （a + bxᵢ））²。
为了找到使 S 最小的 a 和 b 的值，我们需要对 S 分别关于 a 和 b 求偏导数，并令它们等于 0。
经过一系列计算（这个过程咱就不细说了，不然脑袋得晕），最终可以得到求解 a 和 b 的公式：b = [Σ（xᵢ - x）（yᵢ - ȳ）] / [Σ（xᵢ - x）²] ，a = ȳ - b x。
这里x是 x 的平均值，ȳ是 y 的平均值。
咱们来看个例题哈。
假设我们有一组数据：（1，2），（2，3），（3，5），（4，6），（5，7）。
首先，咱们来计算一下 x 的平均值x和 y 的平均值ȳ 。
x = （1 + 2 + 3 + 4 + 5）/ 5 = 3 ，ȳ = （2 + 3 + 5 + 6 + 7）/ 5 = 4.6 。
然后计算Σ（xᵢ - x）（yᵢ - ȳ）和Σ（xᵢ - x）²。
（1 - 3）×（2 - 4.6） + （2 - 3）×（3 - 4.6） + （3 - 3）×（5 - 4.6）+ （4 - 3）×（6 - 4.6） + （5 - 3）×（7 - 4.6），（1 - 3）² + （2 - 3）² + （3 - 3）² + （4 - 3）² + （5 - 3）²。
最小二乘法
最小二乘法最小二乘法（Least Squares Method）是一种统计学上常用的参数估计方法，通过最小化观测数据与理论模型之间的误差的平方和，来估计模型的参数。
在统计学和数学中，最小二乘法被广泛应用于曲线拟合、回归分析、数据处理以及信号处理等领域。
最小二乘法的基本思想是，通过找到可以使得各观测数据与理论模型预测的数据之间的差异最小的参数估计值，从而得到最佳的拟合结果。
它是一种数学上比较成熟且有效的方法，可以用来解决具有一定误差的线性和非线性函数拟合问题。
在应用最小二乘法时，首先需要建立数学模型来描述观测数据与自变量之间的关系。
这个数学模型可以是线性的，也可以是非线性的，根据实际问题的特点来确定。
然后，根据观测数据和数学模型，利用最小二乘法的原理来求解模型的参数估计值。
最小二乘法的基本步骤如下：1. 建立数学模型：通过分析问题的背景和要求，确定观测数据与自变量之间的关系，并建立数学模型。
2. 确定误差函数：定义误差函数，它是观测数据与数学模型之间的差异度量。
3. 最小化误差函数：通过最小化误差函数，即求解误差函数的导数为0的参数估计值，来得到最佳的模型拟合结果。
4. 评估拟合结果：通过各种统计指标和图示分析来评估最小二乘拟合的效果，并对结果进行解释和验证。
最小二乘法的优点在于它是一种数学上比较简单和直观的方法，并且在实际应用中得到了广泛的应用。
它能够充分考虑观测数据的误差，通过最小化误差的平方和来估计模型的参数，从而得到较为可靠的拟合结果。
最小二乘法的应用非常广泛，涵盖了许多学科领域，如物理学、经济学、工程学、生物学和地球科学等。
在曲线拟合中，最小二乘法可以用来拟合直线、曲线和曲面等；在回归分析中，最小二乘法可以用来建立回归模型，并进行参数估计和显著性检验；在数据处理中，最小二乘法可以用来进行信号滤波和数据平滑等。
总之，最小二乘法是一种重要的数学和统计方法，在许多实际问题中起着重要的作用。
它不仅可以用来拟合曲线和回归分析，还可以应用于信号处理、数据处理和参数估计等领域。
最小二乘法数值计算
最小二乘法数值计算
最小二乘法是一种找到逼近一组数据的最佳直线的方法，特别地，它寻求使每个数据点与预测值之间的差的平方最小化。
为什么要使用平方呢？这是因为在某些情况下，预测值可能大于或小于实际值，直接找到这些差值之和不能很好地反映两个值之间的实际位移。
然而，平方数总是正的，因此，把这些差的平方加起来可以更好地了解最佳拟合线的精度。
最小二乘法使用特定的公式来求直线$y=mx+b$，使这个平方和最小，实际上就是要找到一对$m$和$b$的值，使得各点$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,...,$(x_n,y_n)$的纵坐标的平方和最小。
求解上述最小值时的$m$和$b$，就得出直线$y=mx+b$。
最小二乘法有以下优点：
- 简单易懂：最小二乘法是一种直观且易于理解的方法，不需要复杂的数学推导。
- 全局最优解：最小二乘法可以得到全局最优解，即找到使误差平方和最小的参数。
- 可解释性强：最小二乘法得到的参数有明确的物理或统计学意义，可以解释模型的效果。
在实际应用中，最小二乘法可以用于多种场景，如线性回归、趋势预测等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题目:最小二乘法的综述及算例院系：航天学院自动化班级：学号：学生签名：指导教师签名：日期：2011年12月6日目录1．综述 (3)2．概念 (3)3．原理 (4)4．算例 (6)5．总结 (10)参考文献 (10)1．综述最小二乘法最早是由高斯提出的，这是数据处理的一种很有效的统计方法。
高斯用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确定了某些行星和彗星的天体轨迹。
这类天体的椭圆轨迹由5个参数确定，原则上，只要对它的位置做5次测量就足以确定它的整个轨迹。
但由于存在测量误差，由5次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。
最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间。
最小二乘法普遍适用于各个科学领域，它在解决实际问题中发挥了重要的作用。
它在生产实践、科学实验及经济活动中均有广泛应用。
比如说，我们引入等效时间的概念,根据Arrhenius 函数和指数函数研究水化热化学反应速率随温度的变化,最后采用最小二乘法回归分析试验数据,确定绝热温升和等效时间的关系式。
为了更好地掌握最小二乘法，我们引入以下两个问题：(1)假设已知一组二维数据（i i y x ,），（i=1,2,3···n ），怎样确定它的拟合曲线y=f(x)（假设为多项式形式f(x)=nn x a x a a +++...10）,使得这些点与曲线总体来说尽量接近？(2)若拟合模型为非多项式形式bxae y =，怎样根据已知的二维数据用最小二乘线性拟合确定其系数，求出曲线拟合函数？怎样从给定的二维数据出发，寻找一个简单合理的函数来拟合给定的一组看上去杂乱无章的数据，正是我们要解决的问题。
2．概念在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数（i i y x ,）（i=1,2,3···m ）中寻找自变量x 与y 之间的函数关系y=F(x).由于观测数据往往不准确，此时不要求y=F(x)经过所有点（i i y x ,），而只要求在给定i x 上误差i δ=F （i x ）i y -（i=1,2,3···m ）按某种标准最小。
若记δ=()δδδmT2,1,就是要求向量δ的范数δ最小。
如果用最大范数，计算上困难较大，通常就采用Euclid 范数2δ作为误差度量的标准。
关于最小二乘法的一般提法是：对于给定的一组数据（i i y x ,） (i=0,1,…m)要求在函数空间Φ=span{n ϕϕϕ,....,,10}中找一个函数S*(x)，使加权的误差平方和22δ=2))()((iimi iy x S x -∑=ω最小，其中，0)(>=i x ω是[a,b]上的权函数，它表示反应数据（i i y x ,）在实验中所占数据的比重。
我们说，S(x)=)()()(1100x a x a x a n n ϕϕϕ+++ (n<m)这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说就是曲线拟合的最小二乘法。
注意这里的)(0x ϕ，)(1x ϕ)(x n ϕ 是线性无关的。
在研究两个变量之间的关系时，可以用回归分析的方法进行分析。
当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以使用最小二乘法估计模型中的参数，进而建立经验方程。
为了通过试验数据来估计参数的值，可以采用许多统计方法，而最小二乘法是目前最常用、最基本的。
3．原理1.最小二乘法原理简单地说，最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小.这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近（在古汉语中“平方”称为“二乘”），“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小.在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1.x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi 与利用(式1-1)计算值(Y=a0+a1X)的离差(Yi-Y 计)的平方和〔∑(Yi - Y 计)2〕最小为“优化判据”。
令：φ = ∑(Yi - Y 计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi -Y)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
亦即：m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-4)(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-5)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-6)a1 = [m∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)] / [m∑Xi2 - (∑Xi)2 )] (式1-7)这时把a0、a1代入(式1-1)中，此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1. x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏，可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0 越好。
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) *在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。
从计算的角度看，最小二乘法与插值法类似，都是处理数据的算法.但从创设的思想看，二者却有本质的不同。
前者寻求一条曲线，使其与观测数据“最接近”，目的是代表观测数据的趋势；后者则是使曲线严格通过给定的观测数据，其目的是通过来自函数模型的数据来近似刻画该函数.在观测数据带有测量误差的情况下，就会使得这些观测数据偏离函数曲线，结果使得与观测数据保持一致的插值法不如最小二乘法得到的曲线更符合客观实际。
最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX 平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2Y=kX+b: k=（（XY）平--X平*Y平）/（（X^2）平--(X平）^2）;b=Y平--kX平X平=1/n∑Xi；(XY)平=1/n∑XiYi2.什么时候用最小二乘法在研究两个变量之间的关系时，可以用回归分析的方法进行分析。
当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以使用最小二乘法估计模型中的参数，进而建立经验方程.例如，在现实世界中，这样的情形大量存在着：两个变量X和Y（比如身高和体重）彼此有一些依赖关系，由X可以部分地决定Y的值，但这种关系又是不确定的.人们常常借助统计学中的回归模型来寻找两个变量之间的关系，而模型的建立当然是依据观测数据.首先通过试验或调查获得x和Y的一组对应关系(x1，Y1)，(x2，Y2)，…，(x n，Y n)，然后回答下列5个问题：1. 这两个变量是否有关系？(画出散点图，作直观判断)2. 这些关系是否可以近似用函数模型来描述？（利用散点图、已积累的函数曲线形状的知识和试验数据，选择适当的回归模型，如一元线性模型y=b0＋b1x，二次函数模型y=b0＋b1x＋b2x2等）3. 建立回归模型.4. 对模型中的参数进行估计，最小二乘法是这些参数的一种常用估计方法.5. 讨论模型的拟合效果.在上述第3步中，设所建立的回归模型的一般形式是εθ+=)|(x f Y ，其中Y 称为响应变量，x 称为解释变量或协变量；)|(θx f 是一个由参数θ决定的回归函数；ε是一个不可观测的随机误差.为了通过试验数据来估计参数θ的值，可以采用许多统计方法，而最小二乘法是目前最常用、最基本的.由θ的估计值∧θ决定的方程)|(∧∧=θx f y 称为经验回归方程或经验方程.教科书中涉及的回归模型是最简单的一元线性模型ε++=x Y bb 1此时模型的拟合效果可以通过Pearson 相关系数来描述。
事实上，在线性回归模型中可以证明相关指数等于相关系数的平方.4．算例例题一一组测量数据{（i i y x ,），i=0,1,2,…,m}，基于最小二乘原理，求得变量x 和y 之间的函数关系f(x,A),使它最佳地逼近已知数据。
其中A=（n a a a ,...,,10）是一些待定参数。
为了是问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的22δ都考虑为加权平方和，即22δ=20))()((i i mi i y x f x -∑=ω其中，0)(>=i x ω是[a,b]上的权函数，它表示反应数据（i i y x ,）在实验中所占数据的比重。
选择参数A 使得加权平方和最小，即求满足0)(,))()((min))(*)((22>=-=-∑∑==i iimi iiimi ix y x f x y x f x ωωω(1)的f*(x)。
要使（1）最小，它转换为求多元函数∑∑==-=m i nj i i j j i n x f x a x a a a I 02010])()()[(),,(ϕω ，的极小点),(**1*0n a a a 问题。
由求多远函数极值的必要条件，有∑∑====-=∂∂m i i k n j i i j j i k n k x x f x a x a I00).,,1,0(0)(])()()[(2 ϕϕω 若记∑==mi i k i j i k j x x x 0)()()(),(ϕϕωϕϕ，则∑==≡=mi k i k i i k n k d x x f x f 0),,,1,0()()()(),( ϕωϕ可改写为∑===nj k j k jn k d a 0).,,1,0(),( ϕϕ（2）此方程成为法方程。
它也可以写成矩阵形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡====),(),(),(),(),(),(),(),(),(,),,,(,),,(,1011101010001010n n n n n n Tn T n G d d d d a a a a d Ga ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ，其中由于0ϕ，1ϕn ϕ 线性无关，故0≠G ,方程组（2）存在唯一解a ak k*=（i=1,2,3···n ）, 从而得到函数f(x)的最小二乘法解为)()()()(**1*10*0x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++=可以证明，这样得到的对于任何多项式形式的)(x S ，都有∑∑==-≤-mi i i i mi iiix f x S x x f x S x 0202)]()([*)()]()(*)[(ωω故)(*x S 确实所求最小二乘解。