琴生不等式培训资料

常用不等式

琴生不等式：设)(x f 是（b a ,）内的凸函数，则对于（b a ,）内任意的几个实数n x x x ,,,21 有

)]()()([1

)(

2121n n x f x f x f n

n x x x f ，

等号当且仅当n x x x 21时取得。

加权的琴生不等式：11221122(...)()()()n n n n f q x q x q x q f x q f x q f x L ，其中

n

121

(,,...,0,1)n i i q q q q 且。

例1、利用琴生不等式证明均值不等式。

例2、(1)在△ABC 中，求sinA+sinB+sinC 和cosA+cosB+cosC 的最大值。

(2)若12,,...,n a a a 是一组实数，且12...n a a a k （k 为定值），试求222

12...n

a a a 的最小值。

柯西不等式：设,(1,2,..,)i i a b R i n ，则2

2

21

1

1

(

)

()()n

n n

i i

i i i i i a b a b ，当数组

1212,,...,;,,...,n n a a a b b b 不全为零时，当且仅当(1)i i b a i n 时等号成立。

推论1：对n 个正数12,,...,n a a a ，有2

1

()()i i

i

i

a n

a ，当且仅当1...n a a 时取等号。

推论1: 对n 个正数12,,...,n a a a ，有22()()i i i

i

a n a ，当且仅当1...n a a 时取等号。

例3、

⑴已知实数a,b,c,d,t 满足8a b c d t , 2

2

2

2

2

16a b c d t ，求t 的最大值。 ⑵若正数a,b,c,满足1a b c ，求2

2

2

1

11()()()a b c a b c

的最小值。

例4、设12,,...,(2)n p p p n ，是1，2，…,n 的任意一个排列，求证：

122321111111

...2

n n n n n p p p p p p p p n

排序不等式：设有两个数组：1212....;....n n a a a b b b ，令

S= 1122...n n a b a b a b ，11122...i i n in S a b a b a b ，21211...n n n S a b a b a b ， 则有12S S S ，当且仅当1212....;....n n a a a b b b 时取等号。

例5、证明

121212

101010,,,a b c a b c a b c R bc ca ab

例6、有10个人各拿一只水桶到水龙头前打水，他们所花的时间分别是1分钟，2分钟，3分钟，…..，10分钟，因为只有一个水龙头，所以他们得排队打水。问：怎样适当安排他们的打水顺序，才能使这个排队等候打水的时间总和最小？最小多少？

例7、设,,,a b c d 都是正实数，证明不等式：

2

232323233

a b c d b c d c d a d a b a b c

例8、△ABC 三内角度数分别为A,B,C 所对边长分别为a,b,c ，证明：3

aA bB cC P a b c