高中数学—18—轨迹方程

1．已知AB 是圆252

2

=+y x 的动弦，若6=AB ，则线段AB 的中点的轨迹方程为 ．

2．已知5=PQ ，P 到平面内一直线l 的距离为2且Q 到直线l 的距离为4，则满足条件的直线l 有 条．

3．ABC ∆的三边长分别为||,||,||BC a BA c A C b ===，且a b c >>成等差数列，

(1,0),(1,0)A C -，则顶点B 的轨迹方程为 ．

4．已知圆O 的方程是022

2

=-+y x ，圆O '的方程是01082

2

=+-+x y x ，由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 ．

5．()24，

P 是圆C ：03628242

2

=---+y x y x 内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足ο90=∠APB ，则弦AB 的中点Q 的轨迹方程为 ．

轨迹方程

热身练习

知识梳理

求轨迹是解析几何一个很重要的题型，方法较多，难度较大。在此两讲中，我们将学习最为常见的几种求轨迹的方法（直接法、转移代入法、几何定义法、综合法、点差法、消参法、交轨法等）.

1、直接法

直接法，又称“直译法”，是求轨迹最基本的方法，圆锥曲线的标准方程都是通过直接法得到的.

解题步骤就是“建设现代化镇”

（1）建系，目前大部分题目都已经建好坐标系了，一般可以省略；

x y；

（2）设点，直接设动点坐标为(,)

（3）写式，运用一定平面几何知识，写出题目中动点满足的几何关系式；

（4）代入，将动点坐标、已知数据全部代入关系式；

（5）化简，化简式子，注意等价性；

（6）证明，证明轨迹的完备性和纯粹性，由于前几步的等价性，所以现已省略此步.

2、转移代入法

转移代入法，也称“相关点法”.当动点是随着相关的点有规律的运动而运动时，可用此法.

解题步骤：

第一，需找到动点和相关点之间的坐标关系，进行表示和反表示，就是坐标转移；

第二，需找到相关点在运动时满足的那个关键式，代入关键式；

第三，化简即可，注意范围。

目前一般常见的题型有两种：一静一动类，双动类.

3、几何定义法

几何定义法，根据动点满足的几何关系式，发现动点正好满足某个我们已经学过的曲线的定义，那么就可以直接用结论，节省了时间，是对曲线的定义，特别是圆锥曲线的定义的重要考查形式.

我们来复习一下几个常见定义：

（1）到定点的距离等于定值的点的轨迹--------圆；

（2）到定直线的距离等于定值的点的轨迹------两条平行线；

（3）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和大于两定点间的距离）------椭圆；

（4）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和等于两定点间的距离）------线段；

（5）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差的绝对值小于两定点间的距离）------双曲线；

（6）到两定点的距离之差的为定值的点的轨迹（差的绝对值小于两定点间的距离）------双曲线的一支；（7）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差的绝对值等于两定点间的距离）-----两条射线；（8）到两定点的距离之差的为定值的点的轨迹（差的绝对值等于两定点间的距离）----------一条射线；（9）到定点与到定直线距离相等的点的轨迹（该定点不在定直线上）------抛物线；

（10）到定点与到定直线距离相等的点的轨迹（该定点在定直线上）-------直线；

注意：1..理论上，所有的几何定义法的题目都可以用直接法解决，但往往计算量大，容易出错；

2.而在用几何定义法做题时，也不是万能的，一定要注意定义的细节以及等价原则；

3.曲线的定义与方程无关，并不是说所有题一定都是标准方程.

4、点差法

只要是“直曲交、中点弦”问题，理论上就可以使用点差法.

点差点差，设出两交点，代入方程，然后做差，就可以得到弦中点的坐标与弦斜率的关系式，从而解决问题.计算量较之综合法会小很多.

但是，点差法是一种技巧，缺乏几何意义，只能解决几种特定题型，而且点差法是不保证有两个交点的，所以往往需要最后回代检验，也有些麻烦.

5、综合法（消参法）

综合法，就是直线与圆锥曲线曲线相交问题中的轨迹问题，其精髓是，联立消元，设而不求，利用韦达定理和消参法来解决问题.从条件中无法直接找到,x y的联系，可通过一辅助变量k，分别找到,x y

与k的联系，从而得到,x y和k的方程：

()

()

x f k

y g k

=

⎧⎪

⎨

=

⎪⎩

，即曲线的参数方程，消去参数k后即可得到轨迹

方程.在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、有向线段的数量、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．

6、交轨法

在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程，该法经常与参数法并用．

注意：区分“求轨迹”与“求轨迹方程”的不同

一般来说，若遇“求轨迹方程”，求出方程就可以了；若是“求轨迹”，求出方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型，有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果应用“定义法”求解，可不求轨迹方程．