高中数学—18—轨迹方程

1．已知AB 是圆2522=+y x 的动弦，若6=AB ，则线段AB 的中点的轨迹方程为 ．2．已知5=PQ ，P 到平面内一直线l 的距离为2且Q 到直线l 的距离为4，则满足条件的直线l 有 条．3．ABC ∆的三边长分别为||,||,||BC a BA c A C b ===，且a b c >>成等差数列，(1,0),(1,0)A C -，则顶点B 的轨迹方程为 ．4．已知圆O 的方程是0222=-+y x ，圆O '的方程是010822=+-+x y x ，由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 ．5．()24，P 是圆C ：036282422=---+y x y x 内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足ο90=∠APB ，则弦AB 的中点Q 的轨迹方程为 ．轨迹方程热身练习知识梳理求轨迹是解析几何一个很重要的题型，方法较多，难度较大。

在此两讲中，我们将学习最为常见的几种求轨迹的方法（直接法、转移代入法、几何定义法、综合法、点差法、消参法、交轨法等）.1、直接法直接法，又称“直译法”，是求轨迹最基本的方法，圆锥曲线的标准方程都是通过直接法得到的.解题步骤就是“建设现代化镇”（1）建系，目前大部分题目都已经建好坐标系了，一般可以省略；x y；（2）设点，直接设动点坐标为(,)（3）写式，运用一定平面几何知识，写出题目中动点满足的几何关系式；（4）代入，将动点坐标、已知数据全部代入关系式；（5）化简，化简式子，注意等价性；（6）证明，证明轨迹的完备性和纯粹性，由于前几步的等价性，所以现已省略此步.2、转移代入法转移代入法，也称“相关点法”.当动点是随着相关的点有规律的运动而运动时，可用此法.解题步骤：第一，需找到动点和相关点之间的坐标关系，进行表示和反表示，就是坐标转移；第二，需找到相关点在运动时满足的那个关键式，代入关键式；第三，化简即可，注意范围。

目前一般常见的题型有两种：一静一动类，双动类.3、几何定义法几何定义法，根据动点满足的几何关系式，发现动点正好满足某个我们已经学过的曲线的定义，那么就可以直接用结论，节省了时间，是对曲线的定义，特别是圆锥曲线的定义的重要考查形式.我们来复习一下几个常见定义：（1）到定点的距离等于定值的点的轨迹--------圆；（2）到定直线的距离等于定值的点的轨迹------两条平行线；（3）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和大于两定点间的距离）------椭圆；（4）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和等于两定点间的距离）------线段；（5）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差的绝对值小于两定点间的距离）------双曲线；（6）到两定点的距离之差的为定值的点的轨迹（差的绝对值小于两定点间的距离）------双曲线的一支；（7）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差的绝对值等于两定点间的距离）-----两条射线；（8）到两定点的距离之差的为定值的点的轨迹（差的绝对值等于两定点间的距离）----------一条射线；（9）到定点与到定直线距离相等的点的轨迹（该定点不在定直线上）------抛物线；（10）到定点与到定直线距离相等的点的轨迹（该定点在定直线上）-------直线；注意：1..理论上，所有的几何定义法的题目都可以用直接法解决，但往往计算量大，容易出错；2.而在用几何定义法做题时，也不是万能的，一定要注意定义的细节以及等价原则；3.曲线的定义与方程无关，并不是说所有题一定都是标准方程.4、点差法只要是“直曲交、中点弦”问题，理论上就可以使用点差法.点差点差，设出两交点，代入方程，然后做差，就可以得到弦中点的坐标与弦斜率的关系式，从而解决问题.计算量较之综合法会小很多.但是，点差法是一种技巧，缺乏几何意义，只能解决几种特定题型，而且点差法是不保证有两个交点的，所以往往需要最后回代检验，也有些麻烦.5、综合法（消参法）综合法，就是直线与圆锥曲线曲线相交问题中的轨迹问题，其精髓是，联立消元，设而不求，利用韦达定理和消参法来解决问题.从条件中无法直接找到,x y的联系，可通过一辅助变量k，分别找到,x y与k的联系，从而得到,x y和k的方程：()()x f ky g k=⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k后即可得到轨迹方程.在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、有向线段的数量、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．6、交轨法在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程，该法经常与参数法并用．注意：区分“求轨迹”与“求轨迹方程”的不同一般来说，若遇“求轨迹方程”，求出方程就可以了；若是“求轨迹”，求出方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型，有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果应用“定义法”求解，可不求轨迹方程．一、直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程的一般步骤 （1）建立恰当的直角坐标系；（2）设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程； （3）化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为：“建系、设点、列式、化简”．【例1】若0|3|)1()3(22=+---++y x y x ，则点),(y x M 的轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【例2】已知ABC ∆中，||||2,||AB BC m AC ==，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【例3】在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．例题解析【例4】已知两点(1,0),(1,0)M N -，且点P 时,,MP MN PM PN NM NP ⋅⋅⋅u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r成公差小于零的等差数列．（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 的坐标为00(,)x y ，记θ为PM u u u u r 与PN u u ur 的夹角，求tan θ（用点P 的坐标数值表示）．【例5】已知椭圆C ：12222=+by a x (a >b >0)的一个焦点为(5，0)，长轴长为6.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【思维升华】直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略： (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．【巩固训练】1．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线2．已知△O 方程为x 2＋y 2＝4，过M (4,0)的直线与△O 交于A ，B 两点，则弦AB 中点P 的轨迹方程为____________________．3．已知圆： ，由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，并且，求点的轨迹。

4．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线5．如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT (点S 、T 分别在第一、四象限)上移动，且OA →·OB →＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA→＋OB →. △求mn 的值；△求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？二、几何定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程的步骤（1）判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义； （2）设标准方程，求方程中的基本量； （3）求轨迹方程．C 22(1)(1)4x y ++-=P C PA PB A B 60APB ︒∠=P【例6】设F 为圆锥曲线的焦点，P 是圆锥曲线上任意一点，则定义PF 为圆锥曲线的焦半径，下列几个命题：△．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆△．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线. △．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线 △．以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切 △．以抛物线的焦半径为直径的圆和y 轴相切△．以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切 其中正确命题的序号是 ．【例7】点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，则点M 的轨迹方程是_______．【例8】设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹是_______．【例9】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．【例10】设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是△两条双曲线；△一条双曲线和一条直线；△一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△△【巩固训练】1．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( ) A.28y x = B.28(0)y x x =>和0y =C.28y x =(0)x >D.28(0)y x x =>和0(0)y x =<2．已知椭圆13422=+y x 的两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得｜PQ ｜＝｜F 2P ｜，求Q 的轨迹方程是是 ．3．△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－,0),C (,0)，且满足条件sin C －sin B =sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________．4．在△ABC 中，A （x ，y ），B （﹣2，0），C （2，0），给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，如表给出了一些条件及方程：条件方程△△ABC 周长为10； △△ABC 面积为10； △△ABC 中，△A =90°E 1：y 2=25； E 2：x 2+y 2=4（y≠0）；E 3：)0(15922≠=+y y x则满足条件△、△、△的轨迹方程分别用代号表示为（ ） A ．E 3，E 1，E 2 B ．E 1，E 2，E 3 C ．E 3，E 2，E 1 D ．E 1，E 3，E 25．已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．6．设双曲线12222=-by a x (a >0，b >0)两焦点为F 1，F 2，点Q 为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F 1作△F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是( ) A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分2a 2a 217．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，△O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作△O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点F ，求点F 的轨迹方程．8．在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点A 、B 的坐标分别为A （－1，0），B （1，0），平面内两点G 、M 同时满足下列条件：（1）GA GB GC O ++=u u u r u u u r u u u r u r ，（2）||||||MA MB MC ==u u u r u u u r u u u u r ，（3）//GM AB u u u u r u u u r ，则ABC ∆的顶点C 的轨迹方程为（ ）A. 2213x y += (0)y ≠B. 2213x y -= (0)y ≠C. 2213y x += (0)y ≠ D. 2213y x -= (0)y ≠三、“代入法”或“相关点”求轨迹方程“代入法”或“相关点法”的基本步骤：（1）设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；（2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；（3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 【例11】已知点(,)P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(,)Q x y xy +的轨迹是( ) A.圆B.抛物线C.椭圆D.双曲线【例12】双曲线22143x y -=关于直线20x y -+=对称的曲线方程是 ．【例13】双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q △A 1P ，A 2Q △A 2P ，A 1Q与A 2Q 的交点为Q ，则Q 点的轨迹方程为( )A. 22224()a x b y a x a +=≠± B. 22224()a x b y a x a -=≠± C. 22224()b y a x b y b -=≠± D. 22224()b x a y b y b +=≠±【例14】设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．【例15】已知椭圆1222=+y x ， （1）求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．【巩固训练】1．自椭圆221204x y +=上的任意一点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程为2．已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足△APB =90°，则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程是( )A. 2256x y += B.22139x y += C. 22139x y -= D. 2272x y +=3．设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →△PF →，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．y xQ RPOBA4．已知椭圆2214x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过Q 点作y 轴的垂线，垂足为N ，线段QN 的中点为M ，则点Q 的轨迹方程为 ，点M 的轨迹方程为 ．5．曲线(),0f x y =关于直线30x y --=对称的曲线方程为 ．6．已知抛物线和点，为抛物线上一点，点在线段上且，当点在该抛物线上移动时，求点的轨迹方程．7．如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的短轴长为4，焦距为2，过点)0,4(P 的直线l 与椭圆交于,A B两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段,A B 中点Q 的轨迹方程．四、参数法求轨迹方程参数法求轨迹方程的步骤（1）选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标；（2）得动点M 的轨迹的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （k ），y ＝g （k ）；（3）消参数k ，得M 的轨迹方程；（4）由k 的范围确定x ，y 的范围，确保完备性与纯粹性．21y x =+(31)A ，B P AB :1:2BP PA =BP【例16】设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.【例17】设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA △OB ，OM △AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.【例18】过抛物线)0(22>=p px y 的顶点O 作互相垂直的直线OA 与OB ， （1）求AB 中点P 的轨迹方程；（2）求顶点O 在AB 上的射影M 的轨迹方程；【例19】如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i △N *,1≤i ≤9)．求证：点P i (i △N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；【例20】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆22122:153+=-x y C a b 上异于其顶点的任意一点Q 作圆224:3+=O x y 的两条切线，切点分别为,(,M N M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为,,m n 证明：22113+m n 为定值；【巩固训练】1．方程|cos sin |,22(02)1(1sin )2x y θθθπθ⎧=+⎪⎪<<⎨⎪=+⎪⎩表示( )A ．双曲线的一支, 这支过点（1,21） B ．抛物线的一部分, 这部分过（1,21） C ．双曲线的一支, 这支过点（–1,21)D ．抛物线的一部分, 这部分过（–1,21)2．过不在坐标轴上的定点(),M a b 的动直线交两坐标轴于点,A B ，过,A B 作坐标轴的垂线交于点P ，求交点P 的轨迹方程.3．已知MN 是椭圆12222=+by a x 上垂直于长轴的动直线，A 、B 是长轴的两个顶点，求直线MA 与NB的交点P 的轨迹方程.4．已知MN 是双曲线上垂直于实轴的动直线，A 、B 是实轴的两个顶点，求直线MA 与NB 的交点P 的轨迹方程.5．在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题.（1）已知动点P 为圆O ：222x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=u u u r u u u r，求动点P 的轨迹方程；（2）若动点Q 为椭圆M ：22194x y +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=u u u r u u u r，求出动点Q 的轨迹方程；（3）在（2）问中若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）.五、方程综合问题【例21】设曲线：，则曲线所围封闭图形的面积为_______．【例22】若圆222(0)x y R R +=>和曲线||||134x y +=恰有六个公共点，则R 的值是 ．【例23】曲线21y x =+的部分图像是（ ）A B C D【例24】方程(2x －y )(x ＋y －3)＝0与(x －y －1)(2x －y －3)＝0所表示的两曲线的公共点个数是 ( ) (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 多于3个【例25】若直线x +y +m =0与曲线(y x 2)(x 2+y 2-1)=0有唯一公共点,则m 的取值范围是____________．【例26】若直线1y kx =+与曲线220x y x ky ++-=的的个交点的横坐标之和为零，则k = ．【例27】（1）画出方程1x -=（2）曲线122)y x =-≤≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时，试求出实数k 的取值范围．C )(32222y x y x +=++C【例28】对于曲线:(,)0C f x y =，若存在非负实数M 和m ，使得曲线C 上任意一点(,)P x y ，||m OP M ≤≤恒成立（其中O 为坐标原点），则称曲线C 为有界曲线，且称M 的最小值0M 为曲线C 的外确界，m 的最大值0m 为曲线C 的内确界．（1）写出曲线1(04)x y x +=<<的外确界0M 与内确界0m ；（2）曲线24y x =与曲线22(1)4x y -+=是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（3）已知曲线C 上任意一点(,)P x y 到定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之积为常数(0)a a >，求曲线C 的外确界与内确界．【巩固训练】1．曲线x 2－y 2=a 2与(x －1)2＋y 2=1恰有三个不同的交点,则a 的值为( ) (A) a ≠0 (B) a =0 (C) a ≠1 (D) a =12．关于曲线1:34=-y x C ，给出下列四个结论： △ 曲线C 是双曲线； △ 关于y 轴对称；△ 关于坐标原点中心对称； △ 与x 轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确结论的序号都填上）3．若曲线222x y k +=与曲线xy k =无交点，则k = ．4．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线21C :y x a =+到直线:l y x =的距离等于222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a = ．5．动点P 到两定点(,0),(,0)(0)A a B a a ->距离之比为:2:1,PA PB =（1） 求点P 的轨迹方程；（2） 点P 在什么位置时，ABC ∆的面积最大？6．（1）若两条曲线的方程是1200(,)0(,)0,(,)F x y F x y P x y ==和交点为，证明：方程12(,)(,)0F x y F x y λ+=的曲线也经过0(P λ为任意实数）；（2）求经过曲线222230330x y x y x y y ++-=++=和的交点的直线方程．7．曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2(0)k k >的点的轨迹，设曲线C 的轨迹方程(,)0f x y =．（1）求曲线C 的方程(,)0f x y =；（2）定义：若存在圆M 使得曲线(,)0f x y =上的每一点都落在圆M 外或圆M 上，则称圆M 为 曲线(,)0f x y =的收敛圆．判断曲线(,)0f x y =是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程； 若不存在，请说明理由．1．已知动点),(y x P 满足5|1243|)2()1(22++=-+-y x y x ，则点P 的轨迹是 （ ）A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆2．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2＋y 2＝9C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y3．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4课后练习4．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1 (x >3) D.x 216－y 29＝1 (x >4) 5．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2△R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线6．设曲线F 1(x ，y )＝0和F 2(x ，y )＝0的交点为P ，那么曲线F 1(x ，y )＋λF 2(x ，y )＝0(λ△R )必定( ) A.经过P 点 B.经过原点C.不一定经过P 点D.经过P 点和原点7．动点P 在直线x ＝1上运动，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是( ) A ．圆 B ．两条平行直线 C ．抛物线 D ．双曲线8．在平面直角坐标系中，方程|x ＋y |2a ＋|x －y |2b ＝1 (a ，b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是( )A ．三角形B ．正方形C ．非正方形的长方形D ．非正方形的菱形9．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________．10．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．11．如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________．12．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，求顶点A 的轨迹方程13．如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．14．如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．15．如图，DP △x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时．专业引领共成长(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点T(0，t)作圆x2＋y2＝1的切线l交曲线C于A、B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．。