复习秘籍：高考理科数学复习资料-教育文档
高考数学复习资料(推荐5篇)
高考数学复习资料（推荐5篇）1.高考数学复习资料第1篇三、一元函数积分学(一)不定积分知识范围(1)不定积分原函数与不定积分的定义原函数存在定理不定积分的性质(2)基本积分公式(3)换元积分法第一换元法(凑微分法) 第二换元法(4)分部积分法(5)一些简单有理函数的积分要求(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。
(2)熟练掌握不定积分的基本公式。
(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。
(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。
(5)会求简单有理函数的不定积分。
(二)定积分知识范围(1)定积分的概念定积分的定义及其几何意义可积条件(2)定积分的性质(3)定积分的计算变上限积分牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式换元积分法分部积分法(4)无穷区间的广义积分(5)定积分的应用平面图形的面积旋转体体积物体沿直线运动时变力所作的功要求(1)理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件。
(2)掌握定积分的基本性质。
(3)理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。
(4)熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
(5)掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
(6)理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
(7)掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。
会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。
四、向量代数与空间解析几何(一)向量代数知识范围(1)向量的概念向量的定义向量的模单位向量向量在坐标轴上的投影向量的坐标表示法向量的方向余弦(2)向量的线性运算向量的加法向量的减法向量的数乘(3)向量的数量积二向量的夹角二向量垂直的充分必要条件(4)二向量的向量积二向量平行的充分必要条件要求(1)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。
(2)熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。
理科高考数学必考知识点归纳
理科高考数学必考知识点归纳理科高考数学是高中数学教育的重要组成部分，其知识点广泛而深入，涵盖了代数、几何、概率统计、函数等多个领域。
以下是理科高考数学必考知识点的归纳：1. 代数基础：包括实数、复数、指数和对数运算，以及代数式的简化和因式分解。
2. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、分式方程、不等式的基本解法，以及高次方程和线性方程组的解法。
3. 函数：函数的概念、性质（单调性、奇偶性、周期性）、函数的图像，包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数。
4. 导数与微分：导数的定义、几何意义、基本导数公式，以及微分的概念和应用。
5. 积分：不定积分和定积分的概念、性质、计算方法，以及积分在几何和物理中的应用。
6. 三角函数：三角函数的定义、图像、性质，包括正弦、余弦、正切等函数，以及和差化积、积化和差等恒等变换。
7. 解析几何：包括直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的方程，以及它们的性质和位置关系。
8. 立体几何：空间直线与平面的位置关系，多面体和旋转体的体积和表面积的计算。
9. 概率与统计：随机事件的概率、条件概率、独立事件，以及统计数据的收集、描述和分析。
10. 数列：数列的概念、通项公式、求和公式，包括等差数列和等比数列。
11. 组合与排列：组合数和排列数的计算，以及二项式定理的应用。
12. 不等式证明：基本不等式的应用，如柯西不等式、詹森不等式等，以及不等式的证明方法。
13. 极限：极限的概念、性质和计算方法，以及无穷小量的比较。
14. 级数：级数的概念、收敛性判断，包括等差级数和等比级数。
15. 矩阵与行列式：矩阵的运算、行列式的性质和计算，以及线性方程组的矩阵表示。
16. 函数的极值与最值问题：利用导数研究函数的极值，以及实际问题中的最值问题求解。
17. 复数：复数的运算、性质、复平面上的表示，以及复数在几何和代数中的应用。
理科高考数学的复习是一个系统性的过程，需要对每个知识点进行深入理解和大量练习。
高考数学知识点复习指导(理).docx
《高考数学知识点总结》【理】第一部分集合与简易逻辑 (2)第二部分不等式的解法 (2)第三部分函数 (3)第四部分导数 (6)第五部分三角函数 (7)第六部分数列 (10)第七部分平面向量 (12)第八部分不等式性质 (13)第九部分直线和圆 (14)第十部分圆锥曲线 (15)第十一部分立体几何 (18)第十二部分空间向量与立体几何 (19)第十三部分复数 (21)第十四部分概率与统计 (21)第十五部分排列、组合和二项式定理、数学归纳法 (24)第十六部分极坐标与参数方程 (25)第一部分集合与简易逻辑1.数集的符号表示：自然数集N ；正整数集 N* ；整数集 Z ；有理数集 Q、实数集 R2.是任何集合的子集，条件为 A B 时不要遗忘了A的情况3.对于含有 n 个元素的有限集合子集数目：其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n , 2n -1, 2n -1,2n -24. 理解集合的意义―抓住集合的代表元素。
如:{x|y=f(x)}表示y=f(x)的定义域，{y|y=f(x)}表示 y=f(x)的值域，{(x,y)|y=f(x)}表示y=f(x)的图像5. A 是 B的子集A B A∪ B=B A∩ B=A，6.四种命题及其相互关系 :若原命题是“若 p 则 q”，则逆命题为“若 q 则 p”；否命题为“若﹁ p 则﹁ q”；逆否命题为“若﹁ q 则﹁ p”。
互为逆否关系的命题是等价命题.对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A”判断其真假7.要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；命题“p 或 q ”的否定是“p 且q”；“ p 且 q ”的否定是“ p 或 q ”p q 真假判断：两真才真，一假则假；命题p q 真假判断：两8、逻辑联结词：命题假才假，一真则真；命题p 真假与P相反9、⑴全称量词——“所有的” 、“任意一个”等，用“”表示；全称命题 p： x M,P(x) ；全称命题 p 的否定p: x M,P(x) 。
(精校)高考理科数学知识点总结
近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。
定义域 函数及其表示 函数的三要素 值域 对应法则
解析法
函数的表示方法 列表法
函数
图象法
单调性导 传数 统定 定义 义： ：则在 在 递f 区 区 增( x间 间 区) 在间aa,,a；bb,b上 上如上， ，f 递 (若 若x1减fa)(,xxfa1)(,bxx02是2，)，的则 b ,则递 如f (f减 fx(()区 xx在1)间 在 )a。f,ab(,bx上2上递)，递增则减,fa,(,abx,)b是在是递a的增,b递区上减间递区；增间如,。af ,(bx是)0
(完整 word 版)高考理科数学知识点总结(word 版可编辑修改)
偶函数，则 f (x) 0 （反之不成立）
2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数;之积（商）为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商）为奇函数。
4、两个函数 y f (u) 和 u g(x) 复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数,那么该复合
1、若 f (x), g(x) 均为某区间上的增（减)函数，则 f (x) g(x) 在这个区间上也为增（减) 函数 2、若 f (x) 为增（减）函数，则 f (x) 为减（增）函数 3、若 f (x) 与 g(x) 的单调性相同，则 y f [g(x)] 是增函数；若 f (x) 与 g(x) 的单调性不同， 则 y f [g(x)] 是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数 图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x 0 处有定义，则 f (0) 0 ,如果一个函数 y f (x) 既是奇函数又是
数学高三理科知识点大全集
数学高三理科知识点大全集在高三阶段，数学是理科生最为重要且必修的学科之一。
深入掌握高三数学理科知识点，对于高考取得优异成绩具有至关重要的作用。
下面是数学高三理科知识点的大全集，帮助同学们全面了解和复习这些重要内容。
1. 数的性质与运算1.1 数的分类（自然数、整数、有理数、无理数、实数、虚数）1.2 数的性质（整除性、互质性、奇偶性等）1.3 数的运算（加法、减法、乘法、除法）1.4 数的进制转换1.5 数的比较大小1.6 平方根与立方根的性质及运算2. 函数与方程2.1 函数的定义与性质2.2 常用函数的图像与性质（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等）2.3 函数的运算（四则运算、复合函数、反函数等）2.4 方程的解与解集（一元一次方程、一元二次方程、高次方程等）2.5 方程组的解与解集（一元一次方程组、二元一次方程组、高次方程组等）3. 三角函数3.1 三角函数的定义与常用性质3.2 三角函数的图像与性质（正弦函数、余弦函数、正切函数等）3.3 三角函数的运算公式3.4 解三角函数的方程和不等式3.5 三角函数的应用（三角函数的诱导公式、三角恒等式等）4. 数列与数列极限4.1 数列的概念与性质4.2 等差数列与等比数列的性质与应用4.3 数列极限的定义与性质（数列极限存在准则、数列极限运算法则等）4.4 数列极限的计算与判断4.5 数列极限在应用题中的应用5. 导数与微分5.1 函数的导数与导数的定义5.2 常用函数的导数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等）5.3 导数的四则运算与求导法则5.4 高阶导数与隐函数求导5.5 函数的微分与微分中值定理5.6 函数的单调性与极值点6. 不等式与讨论6.1 不等式的性质与解法（一元一次不等式、一元二次不等式、常用不等式等）6.2 绝对值不等式的性质与解法6.3 对数不等式与指数不等式的性质与解法6.4 不等式组的解与解集6.5 讨论函数的性质（定义域、值域、奇偶性、周期性等）7. 空间几何7.1 点、线、面的性质与关系7.2 直线与平面的位置关系（相交、平行、垂直等）7.3 空间图形的投影（点投影、直线投影、面投影等）7.4 空间向量的运算与性质7.5 空间几何的应用（平面解析几何、直线解析几何等）8. 概率与统计8.1 随机事件与样本空间8.2 概率的定义与性质8.3 条件概率与全概率公式8.4 期望与方差的计算与性质8.5 抽样与统计的基本概念与方法8.6 正态分布与中心极限定理以上是数学高三理科知识点的大全集，希望同学们能够仔细学习和复习这些知识，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。
高考理科数学必考知识点总结
高考理科数学必考知识点总结在高考中，数学作为一门必修科目，是一个决定考生总分的重要因素。
针对数学这门科目，数学知识点繁多，数学知识体系广泛而深奥。
对于考生来说，如何抓住关键知识点，事半功倍地备考数学，便成为了他们备考的重点之一。
在这篇文档中，我们将针对高考理科数学必考的知识点进行总结，以期帮助广大考生有效备考数学。
高考数学解题方法在决定要复习的知识点之前，让我们先来说一下高考数学解题的方法：1. 熟练掌握基本数学运算高考数学考试题目少有论述性题目，绝大部分为计算题。
因此，在备考阶段，熟悉掌握基本运算，如加减乘除、分式运算、代数运算等是必不可少的。
2. 善于总结数学知识点高考数学考试的范围广，基本功要求高，知识体系复杂，难以直接记忆。
这时，学生需要将学过的知识点进行分类、总结，理清知识体系，形成属于自己的思维导图，以便在解题时能够迅速有效地运用所学的知识点。
3. 多做数学题，提高解题能力高考数学考试需要学生运用所学知识解决实际问题，因此，多做数学题是提高解题能力的必备方法。
不仅可以熟悉考试题型，还能够提高解题速度和应用能力。
高考数学常考知识点接下来，我们将详细列出高考数学常考知识点，以便广大考生可以有的放矢、针对性地进行复习。
1. 函数综合应用在高考数学中，函数作为一个重要的知识点，综合应用题更是经常出现。
这一部分的考察内容主要包括函数的概念、性质、图像、反函数、复合函数等。
考生需要掌握函数解决实际问题的能力，如最值、增减性等。
2. 数列数列是高考数学中重要的知识点，考生应该掌握数列的概念、性质、递推式的求解、通项公式的推导和应用等方面。
数列常见的问题类型包括公差、首项、通项公式、求和公式、极限等，考生需要熟练掌握不同类型的题目的解决方法。
3. 三角函数在第一学期中，高中生就学习了三角函数的相关知识，包括正弦、余弦和正切等函数。
在高考中，三角函数是一个经常考察的知识点，考生需要掌握三角函数的概念、性质、图像、证明以及在解决实际问题时的应用方法。
高考理科数学复习知识点
高考理科数学复习知识点高考是每个学生都会经历的一场大考，尤其对于理科生来说，数学的考试更是必不可少的一项。
而为了在数学考试中取得好成绩，复习是不可或缺的步骤。
本文将针对高考理科数学的复习知识点进行阐述。
一、函数与方程函数与方程是较为基础的数学知识，在高考数学中所占的比重也比较大。
常见的函数与方程包括线性方程、二次函数、指数函数、对数函数等。
学生需要掌握各种函数的定义、性质及基本图像，并了解它们之间的关系与转化。
同时，也需要熟练掌握方程的解法，包括一元一次方程、一元二次方程、三角方程等。
在解题时，要注意运用逻辑推理和代数运算的方法，找到合适的方程解决问题。
二、几何与向量几何与向量是另一个重要的知识点。
几何部分主要涉及到平面几何和空间几何，包括直线与平面的方程、三角形的性质、圆锥曲线的方程等。
学生需要理解几何图形的构造和性质，并能够巧妙地应用几何知识解决实际问题。
而向量部分则需要学生了解向量的定义、运算和表示方法，掌握向量的共线性和垂直性判定等基本技巧。
在实际应用中，向量也常用于解决力学问题和物理问题。
三、概率与统计概率与统计是数学的应用领域，也是高考数学中的一大重点。
概率部分主要包括事件与概率、条件概率和期望值等概念。
学生需要理解概率的定义和性质，能够运用概率的基本公式解题。
统计部分则涉及到数据的收集、整理、描述和分析等内容，包括频数分布、均值、方差等统计指标的计算和解释。
在实际应用中，概率与统计常用于调查、研究和预测等领域。
四、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是数学中的一种重要思维方法。
数列是一系列按特定规律排列的数，而数学归纳法则是通过已知条件证明一般情况成立的方法。
学生需要了解常见数列的定义和特点，并能够根据给定的条件求解数列的通项公式。
同时，学生也需要熟悉数学归纳法的使用，能够通过简单的步骤证明一般性结论。
在解题时，运用数列与数学归纳法能够更加简洁而且有效地解决问题。
五、解析几何与立体几何解析几何和立体几何是高考数学中较为复杂的部分。
高考理科知识点文档
高考理科知识点文档一、数学知识点1.代数与函数a. 二次函数：定义、图像、性质、解析式、题型b. 指数与对数：定义、性质、运算、题型c. 三角函数：正弦、余弦、正切、图像、性质、题型d. 等差数列与等比数列：通项公式、前n项和、题型2.几何与向量a. 平面几何：角的性质、面积与体积、圆的性质、相交线与平行线、题型b. 空间几何：直线与平面的位置关系、空间中的距离、题型c. 向量：向量运算、向量的线性相关性、向量的模、题型3.概率与统计a. 概率：事件与样本空间、概率计算、条件概率、题型b. 统计：统计指标、频率分布、正态分布、题型二、物理知识点1.运动与力学a. 牛顿定律：三大定律、质点运动状态、动量、题型b. 万有引力：万有引力定律、行星运动、卫星运动、题型c. 力学中的能量：功与动能、势能、机械能守恒、题型2.电磁学与电路a. 静电学：库仑定律、电场强度、电势差、题型b. 电磁感应：法拉第电磁感应定律、电动势、题型c. 电路：欧姆定律、电阻、电流、电压、题型3.光学与波动a. 光学：光的反射与折射、光的成像、光的衍射与干涉、题型b. 波动：波的特性、波的传播、波的干涉、题型三、化学知识点1.物质的结构与性质a. 元素周期表：周期律、元素的分类、题型b. 化学键：离子键、共价键、金属键、题型c. 分子键：氢键、范德华力、题型2.化学变化与能量a. 反应速率：化学反应速率、因素影响、题型b. 化学平衡：动态平衡、平衡常数、题型c. 热化学：热量计算、热力学定律、题型3.化学实验与实践a. 实验基本技能：仪器的使用、实验操作、实验安全、题型b. 常见实验现象与实验室常识：化学反应、实验室设备、实验规则、题型四、生物知识点1.生物基础知识a. 细胞：细胞的结构、生物膜、关键生物分子、题型b. 遗传与进化：基因、遗传规律、进化理论、题型c. 分子与细胞遗传：DNA、RNA、蛋白质合成、题型2.生物生命过程与环境a. 新陈代谢与能量转换：ATP、呼吸、光合作用、题型b. 生物体内环境的稳态调节：神经体液调节、内分泌调节、题型c. 群落与生态系统：群落结构、物种多样性、生态系统演替、题型3.应用生物学a. 生物技术与实践：基因工程、克隆技术、遗传性疾病、题型b. 生物资源与保护：生物多样性、物种保护、题型以上就是高考理科各学科的核心知识点，每个学科都有相应的题型进行实践和考察。
高考理科数学一轮复习资料
高考理科数学一轮复习资料高考理科数学一轮复习资料高考对于每个学生来说都是一次重要的考验，而数学作为高考的一门必考科目，更是让许多学生感到头疼。
为了帮助学生更好地备考，提高数学成绩，以下是一些高考理科数学一轮复习的资料和建议。
1. 复习大纲：首先，学生需要熟悉高考数学的大纲和考点分布。
通过仔细阅读大纲，了解各个知识点的重要性和考查形式，可以帮助学生有针对性地进行复习。
2. 教材复习：教材是学生复习的基础，建议学生从头至尾地复习教材。
可以先快速浏览一遍，了解各个章节的内容，然后再逐章深入学习。
在学习过程中，要注意归纳总结重点知识点和解题方法，做好笔记，方便日后温故知新。
3. 做真题：做真题是提高数学成绩的有效方法。
可以从近几年的高考真题开始，逐年回顾，重点关注高频考点和常见题型。
通过做真题，可以了解高考数学的命题风格和难度，提高解题能力和应试技巧。
4. 刷题软件和题库：现代技术的发展为学生提供了更多的学习资源。
有许多刷题软件和在线题库可以供学生使用，这些题库中的题目种类丰富，覆盖了各个知识点和难度级别。
学生可以根据自己的实际情况选择适合自己的刷题软件，进行有针对性的练习。
5. 解题方法与技巧：数学解题方法和技巧的掌握对于高考数学的顺利解答非常重要。
学生可以通过参考解题技巧的书籍、教辅资料或者网上的教学视频，学习各类题目的解题思路和方法。
同时，要勤加练习，通过大量的题目练习，熟悉各类题目的解题方法和技巧。
6. 小组讨论和互助学习：学习数学不是孤立的过程，可以组织小组讨论，与同学们一起交流解题思路和方法。
通过互相学习和讨论，可以帮助学生更好地理解和掌握知识点，提高解题能力。
7. 寻求帮助：如果学生在复习过程中遇到困难，可以及时向老师、同学或者家长寻求帮助。
老师和同学们会根据自己的经验和知识给予学生适当的指导和建议，帮助学生解决问题。
总之，高考理科数学的一轮复习需要学生有系统性、有针对性地进行。
通过熟悉大纲、复习教材、做真题、刷题软件、掌握解题方法和技巧、互助学习以及寻求帮助，学生可以提高数学成绩，为高考取得好成绩打下坚实的基础。
复习秘籍：高考理科数学复习资料-教育文档
复习秘籍：2019高考理科数学复习资料高考复习面广量大，不少学生感到既畏惧，又无从下手。
同学们如何才能提高复习的针对性和实效性呢?下面来看看高考理科数学复习资料，相信对你的复习有很大帮助~一、高考冲刺阶段分科复习，这样做就行1、复习笔记，放弃题海考虑到剩下的时间已经不多了，所以一定要让孩子们千万不要陷入题海战术。
都不要想着把题都做完，现在应该是以复习，夯实知识点为主。
因为孩子们都已经在之前，肯定做了很多的笔记。
所以，在这段时间里，一定要做好就是相应的复习安排。
比如说每一个科目该看哪一个部分?是全都看还是按照之前画的重点看?这个一定要有一个自己的计划。
2、回顾主流，放弃偏题剩下的的时间差不多了，我们要把所有知识点再熟悉一遍再说一遍，以及保持做题的的手感。
不要再纠结于我们知道的难题或者偏题，不要再这样去练习，应该还是回归一下，比较主流的题目。
这个时候在纠结于某一个题的话，还是有些得不偿失了。
3、由厚变薄，直击薄弱把我们之前在一轮或者二轮复习的时候做的大量的笔记，不管是做标记还是重新整理，把目标放在自己最容易错的地方。
我当时的一个经验就是我们在大的笔记本的基础上，还做了一个小的笔记本，记得都是一些平时最容易错的地方。
4、合理分配时间早读——早读时候我觉得其实还挺重要，我的建议是把这个时间用来进入学习状态，以及学一些不愿意放到大块时间做的，比如说语文和英语。
我们就是读一些语文和英语的课文，新概念三、四这种。
可以有一定难度，还可以对英语词汇量积累，作文的提升都很有帮助。
上午黄金时间——上午，我把这个阶段称为黄金时间，如果在早读。
能够有效的提神进入学习状态的话。
这个时间就要分配一些比较有用的，比如说数学的做一个套卷或者是匀出两个小时来做一套完整的卷子。
所以建议大家是。
能够把最重要也最难的东西放到上午的黄金时段。
中午休息时间——我都是把中午时间用来自习做一些不是那么耗费精力的，比如说语文作文素材积累或者是英语有一些题目的练习。
(word完整版)高考数学(理科)知识点总结,推荐文档
高考数学（理科）知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n（3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U UUUUUA B A B A B A B Y I I Y ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。
5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝ 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。
）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。
）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？10. 如何求复合函数的定义域？[]0义域是_。
>->=+-如：函数的定义域是，，，则函数的定())()()f x a b b a F(x f x f x[]a a-（答：，）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）()()如：求函数的反函数f x xx xx ()=+≥-<⎧⎨⎪⎩⎪1002()()（答：）f x x x x x -=->--<⎧⎨⎪⎩⎪1110() 13. 反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？∴……）15. 如何利用导数判断函数的单调性？()在区间，内，若总有则为增函数。
高考理科数学一轮复习资料
高考理科数学一轮复习资料高考是每个考生人生的重要节点，而数学科目对理科生而言更是至关重要的一科。
在高三备考阶段，复习资料的选择往往能够直接影响到学习效果和结果。
因此，本文将介绍一些适合高考理科数学一轮复习的资料，帮助同学们更好地备考。
1. 教材复习资料教材是学生在课堂上接触到的最基本、最全面的知识点，因此，复习时需要重视教材的学习。
建议同学们在第一轮复习时把教材逐一过一遍，标出重要知识点和易错点。
同时也要注重把握例题，做到例题中的基本知识点和方法要理解和掌握。
在教材复习的基础上，同学们可以学习一些针对教材的题目或者整体练习题，来对知识点进行巩固和加深理解。
这对同学们的备考是有很大帮助的。
2. 历年真题与模拟试题复习时还要重视历年真题和模拟试题的练习，在这个过程中能够帮助同学们更好地发现自身知识点上的薄弱环节，并加以针对性训练。
同时，历年真题和模拟试题还能够让同学们熟悉高考试题形式，提高应试能力。
建议同学们在准备复习这些题目时，可以尝试用自己的方式进行分类整理，以便于查漏补缺。
比如可以把同类型的题目，按照题型进行分类整理，也可以按照知识点的难度程度进行整理等。
3. 辅导资料辅导资料是很多同学需要关注的，因为很多高中在教学过程中侧重于知识点的介绍，有时候并不会给出具体的做题方法和提示，可能会让同学们产生一些误解。
因此，一些专业知识的辅导资料可以为同学们的复习提供实用性的指导。
同时，辅导资料具有完善的习题、习题解析、技巧点等内容，可以作为同学们备考的参考资料，在使用过程中能够收到明显的进步。
总结：在准备高考理科数学的过程中，复习资料的选择是至关重要的。
学生要把重心放在教材复习、历年真题和模拟试题的练习、辅导资料的研究上，结合自身的学习状况和诉求，开展有针对性的学习，减少盲目的猜测和偏差。
通过这些努力可以提升学生成绩的质量，为高考进一步拓展道路奠定坚实基础。
高考数学理科二轮复习资料全套
高考数学理科二轮复习资料全套一、集合与常用逻辑用语（理科数学）1.集合(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.(2)子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.(3)数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘记集合本身和空集这两种特殊情况.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.2.四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假.3.含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题p∨q：若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真.(2)命题p∧q：若p、q中至少有一个为假，则命题为假命题，p、q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真.(3)命题綈p与命题p真假相反.4.全称命题、特称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0).(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x).5.充分条件和必要条件(1)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(2)若p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；(3)若p⇔q，则称p是q的充要条件；(4)若p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件.1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.2.易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}.3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.4.空集是任何集合的子集.由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况.5.区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”.6.在对全称命题和特称命题进行否定时，不要忽视对量词的改变.7.对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.1.已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )A.0或 3B.0或3C.1或 3D.1或3答案 B解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1，3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是( )A.{a|a≥2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≤2}答案 A解析若A⊆B，则a≥2，故选A.3.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于( )A.{x|－3<x<5}B.{x|－5<x<5}C.{x|x<－5或x>－3}D.{x|x<－3或x>5}答案 C解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.4.满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 D解析满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个.5.已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪(∁U B)等于( )A.[－1，0]B.[1，2]C.[0，1]D.(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 D解析B＝{x|x2－2x<0}＝(0，2)，A∪(∁U B)＝[－1，1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.6.下列命题正确的是( )(1)命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R，20x≤0”；(2)l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；(3)给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”，则綈p 是假命题； (4)“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件.A.(1)(4)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(3)(4) 答案 C解析 命题“∀x ∈R ，2x>0”的否定是“∃x 0∈R ，2x ≤0”；l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l ∥α或l ⊂α；给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”；则p 且q 是真命题，綈p 且綈q 是假命题；“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件，因此(1)(3)为真，选C.7.设命题p ：∃x 0∈R ，使x 20＋2x 0＋a ＝0(a ∈R)，则使得p 为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a >－2 B.a <2 C.a ≤1 D.a <0 答案 D解析 设f (x )＝x 2＋2x ＋a ，则p 为真命题⇔f (x )在R 内有零点⇔Δ≥0⇔a ≤1.8.已知命题p ：在△ABC 中，若AB <BC ，则sin C <sin A ；命题q ：已知a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的必要不充分条件.在命题p ∧q ，p ∨ q ，(綈p )∨q ，(綈p )∧q 中，真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 A解析 由题意得，在△ABC 中，若AB <BC ，即c <a ，由正弦定理可得sin C <sin A ，所以p 真，又已知a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的充分不必要条件，所以q 假，只有p ∨q 为真命题，故选A.9.已知命题p ：∀m ∈[0，1]，x ＋1x≥2m，则綈p 为( )A.∀m ∈[0，1]，x ＋1x<2mB.∃m 0∈[0，1]，x ＋1x≥20mC.∃m 0∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，x ＋1x≥20mD.∃m 0∈[0，1]，x ＋1x<20m答案 D解析 根据全称命题与特称命题的关系，可知命题p ：∀m ∈[0，1]，x ＋1x≥2m，则綈p 为“∃m 0∈[0，1]，x ＋1x<20m ”，故选D.10.下列结论正确的是________. (1)f (x )＝ax －1＋2(a >0，且a ≠1)的图象经过定点(1，3)；(2)已知x ＝log 23，4y＝83，则x ＋2y 的值为3；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则f (2)＝18； (4)f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数； (5)已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，则m 的值为1或－1. 答案 (1)(2)(4)解析 (1)当x ＝1时，f (1)＝a 0＋2＝1＋2＝3，则函数的图象经过定点(1，3)，故(1)正确；(2)已知x ＝log 23，4y ＝83，则22y＝83，2y ＝log 283，则x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 2(83×3)＝log 28＝3，故(2)正确；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则(－2)3－2a －6＝6，即a ＝－10，则f (2)＝23－2×10－6＝－18，故(3)错误；(4)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， f (x )＝x (11－2x －12)＝x ·1＋2x2(1－2x )，则f (－x )＝－x ·1＋2－x2(1－2－x )＝－x ·2x ＋12(2x －1)＝x ·1＋2x2(1－2x )＝f (x )，即有f (x )为偶函数，则f (x )＝x (11－2x－12)为偶函数，故(4)正确； (5)已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，当m ＝0时，B ＝∅，也满足条件，故(5)错误，故正确的是(1)(2)(4). 11.已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________.答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)解析 若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0，∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a ＜5，∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.12.若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的.若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z}，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则(1)“好集”P 中的元素最大值为________；(2)“好集”P 的个数为________. 答案 2 012 1 006解析 因为a ＝－2b ，c ＝4b ，若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b ＝2c且a ＋c ＝2b ，故满足条件的“好集”为形如{－2b ，b ，4b }(b ≠0)的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503，且b ≠0，P 中元素的最大值为4b ＝4×503＝2 012.符合条件的b 值可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006.13.设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，－4]解析 由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ， ∵q 是p 的必要不充分条件， ∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4].14.已知命题p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞) 解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1⇔－1≤x ＋12－1≤1⇔0≤x ＋12≤2⇔－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3； ∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0⇔1－m <x <1＋m ，∴q ：1－m <x <1＋m . ∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－1，3]是(1－m ，1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－1，1＋m >3，解得m >2.二、函数与导数1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域； ③在实际问题中应使实际问题有意义． (2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞，a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a ； ③反比例函数y ＝kx(k ≠0)的值域为{y ∈R|y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 3．关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期．②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期． ③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期． (2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )， 即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )， 即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )， 则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．4．函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质． ①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]， 那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f [g (x )]的单调性． 5．函数图象的基本变换 (1)平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换：y ＝f (x )――→0<ω<1，伸ω>1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→0<A <1，缩A >1，伸y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y ＝a x(a >0，且a ≠1)恒过(0,1)点；y ＝log a x (a >0，且a ≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a >1时，y ＝a x在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a <1时，y ＝a x在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减． 7．函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点．(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：即解方程f(x)＝0.②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．8．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．9．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0 (x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．10．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x>0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．7．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；而已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )＞0(＜0)的解集为(a ，b )．8．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x－4，x >0，则f [f (1)]等于( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2 答案 C解析 由f [f (1)]＝f (21－4)＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2，故选C.2．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1，32)C ．[1,2)D ．[32，2)答案 B解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，y ′＝2x －12x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得，⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32，故选B.3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(94，3)B ．[94，3)C ．(1,3)D ．(2,3) 答案 D解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，所以1<a <3且由f (7)<f (8)得，7(3－a )－3<a 2，解得a <－9或a >2，所以实数a 的取值范围是(2,3)，故选D.4．函数y ＝x ·2x|x |的图象大致形状是( )答案 A解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，－2x，x <0，y ＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，且y ＝2x ＞0，排除B ，D ；又y ＝－2x在(－∞，0)上单调递减，排除C.5．(2016·课标全国甲)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D 解析 函数y ＝10lg x的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－1)＝2，则f (2 017)的值是( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 答案 D解析 由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以T ＝4的周期函数，所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－2，故选D.7．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0 答案 A解析 由题意知f (x )为(0，＋∞)上的减函数， 又f (x 0)＝0，x 1＜x 0， ∴f (x 1)＞f (x 0)＝0，故选A.8．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 D解析 易知log 23>1，log 32，log 52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝log 5x 的图象，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式得log 32>log 52，即a ＞b . 9．若函数f (x )定义域为[－2,2]，则函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为________． 答案 (－1,1]解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，x ＋1>0，∴－1<x ≤1，即函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为(－1,1]．10．(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 答案 3解析 因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.11．设奇函数y ＝f (x )(x ∈R)，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈[0，12]时f (x )＝－x 2，则f (3)＋f (－32)的值等于________．答案 －14解析 由于y ＝f (x )为奇函数，根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )， 可得f (－t )＝f (1＋t )，所以函数y ＝f (x )的一个周期为2， 故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝－14，∴f (3)＋f (－32)＝－14.12．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________． 答案 －7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3， 经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意， 故a ＋b ＝－7. 13．已知函数f (x )＝x ＋1ex(e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t的取值范围．解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增， 在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max . ∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋(1－t )x ＋1ex，∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x ＝－(x －t )(x －1)e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减， ∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1；②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0；③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减， 若t ∈(t,1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t,1)上单调递增， ∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}， 即2·t ＋1et<max{1，3－te}．(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et在[0,1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e ， ∴不等式(*)无解．综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立．三、三角函数、平面向量1.准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数的基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α(cos α≠0).3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a). 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 5.三种三角函数的性质图象单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π] (k ∈Z)上单调递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z)上单调递减在[－π＋2k π，2k π] (k ∈Z)上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z)上单调递减在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z)上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z)；对称轴：x ＝π2＋k π (k ∈Z) 对称中心：(π2＋k π，0)(k ∈Z)；对称轴：x ＝k π(k ∈Z)对称中心：(k π2，0)(k ∈Z)6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换：y ＝sin x ――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ). 7.正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .8.余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 9.面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .10.解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解. (4)已知三边，利用余弦定理求解. 11.平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 12.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 13.利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 14.利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 15.三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围.3.求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ.5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.7.a·b >0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件.1.2sin 45°cos 15°－sin 30°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.1 答案 C解析 2sin 45°cos 15°－sin 30°＝2sin 45°cos 15°－sin(45°－15°)＝2sin 45°cos 15°－(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)＝sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝32.故选C. 2.要得到函数y ＝sin 2x 的图象，可由函数y ＝cos(2x －π3)( ) A.向左平移π6个单位长度得到B.向右平移π6个单位长度得到C.向左平移π12个单位长度得到D.向右平移π12个单位长度得到答案 D解析 由于函数y ＝sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π12)－π3]，所以可由函数y ＝cos(2x －π3)向右平移π12个单位长度得到函数y ＝sin 2x 的图象， 故选D.3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.932 C.332D.3 3 答案 C解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C.4.(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B.1＋ 2 C.2 D.2(tan 18°＋tan 27°) 答案 C解析 由题意得，tan(18°＋27°)＝tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°，即tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°＝1，所以tan 18°＋tan 27°＝1－tan 18°tan 27°，所以(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝2，故选C.5.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，三角形为直角三角形. 6.已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 答案 A解析 ∵A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，∴A ＋B >π2，即A >π2－B >0，∴sin A >sin(π2－B )＝cos B ，∴p·q ＝sin A －cos B >0.再根据p ，q 的坐标可得p ，q 不共线，故p 与q 的夹角为锐角. 7. f (x )＝12sin(2x －π3)＋32cos(2x －π3)是( )A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数答案 C解析 f (x )＝12sin(2x －π3)＋32cos(2x －π3)＝sin(2x －π3＋π3)＝sin 2x ，是最小正周期为π的奇函数，故选C.8.已知a ，b 为同一平面内的两个向量，且a ＝(1，2)，|b |＝12|a |，若a ＋2b 与2a －b 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A.0 B.π4 C.2π3D.π 答案 D解析 |b |＝12|a |＝52，而(a ＋2b )·(2a －b )＝0⇒2a 2－2b 2＋3b·a ＝0⇒b·a ＝－52，从而cos 〈b ，a 〉＝b·a|b|·|a |＝－1，〈b ，a 〉＝π，故选D.9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c有下列命题：①若A>B>C，则sin A>sin B>sin C；②若cos Aa＝cos Bb＝cos Cc，则△ABC为等边三角形；③若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形；④若(1＋tan A)(1＋tan B)＝2，则△ABC为钝角三角形；⑤存在A，B，C使得tan A tan B tan C<tan A＋tan B＋tan C成立. 其中正确的命题为________.(写出所有正确命题的序号).答案①②④解析若A>B>C，则a>b>c⇒sin A>sin B>sin C；若cos Aa＝cos Bb＝cos Cc，则cos Asin A＝cos Bsin B⇒sin(A－B)＝0⇒A＝B⇒a＝b，同理可得a＝c，所以△ABC为等边三角形；若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，因此△ABC为等腰或直角三角形；若(1＋tanA)(1＋tan B)＝2，则tan A＋tan B＝1－tan A tan B，因此tan(A＋B)＝1⇒C＝3π4，△ABC为钝角三角形；在△ABC中，tan A tan B tan C＝tan A＋tan B＋tan C恒成立，因此正确的命题为①②④.10.若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S＝a2－(b－c)2，则sin A＝________.答案8 17解析由余弦定理得S＝a2－(b－c)2＝2bc－2bc cos A＝12bc sin A，所以sin A＋4cos A＝4，由sin2A＋cos2A＝1，解得sin2A＋(1－sin A4)2＝1，sin A＝817(0舍去).11.若tan θ＝3，则cos2θ＋sin θcos θ＝________.答案2 5解析∵tan θ＝3，∴cos2θ＋sin θcos θ＝cos2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝1＋tan θtan2θ＋1＝1＋332＋1＝25.12.已知单位向量a，b，c，且a⊥b，若c＝ta＋(1－t)b，则实数t的值为________.答案1或0解析c＝ta＋(1－t)b⇒c2＝t2＋(1－t)2＝|c|2＝1⇒t＝0或t＝1.13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b cos A＝(2c＋a)cos(A＋C).(1)求角B的大小；(2)求函数f(x)＝2sin 2x＋sin(2x－B)(x∈R)的最大值.解(1)由已知，b cos A＝(2c＋a)cos(π－B)，即sin B cos A＝－(2sin C＋sin A)cos B，即sin(A＋B)＝－2sin C cos B，则sin C ＝－2sin C cos B ， ∴cos B ＝－12，即B ＝2π3.(2)f (x )＝2sin 2x ＋sin 2x cos2π3－cos 2x sin 2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin(2x －π6)， 即x ＝π3＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值 3. 14.已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且锐角A 满足f (A )＝1，b ＝2，c ＝3，求a 的值. 解 (1)f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)， 所以f (x )的最小正周期为π. 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z)， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，所以f (x )的单调增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z). (2)由题意知f (A )＝2sin(2A －π4)＝1， sin(2A －π4)＝22，又∵A 是锐角， ∴2A －π4＝π4， ∴A ＝π4，由余弦定理得a 2＝2＋9－2×2×3×cos π4＝5， ∴a ＝ 5.四、数 列1.牢记概念与公式 等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n }的常用性质(2)判断等差数列的常用方法 ①定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数) (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.②通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.③中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. ④前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.(3)判断等比数列的三种常用方法 ①定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列. ②通项公式法：a n ＝cq n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列. ③中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列. 3.数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和. (3)通项公式形如a n ＝c(an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和.(4)通项公式形如a n ＝(－1)n·n 或a n ＝a ·(－1)n(其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论.(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列. (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1.已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示.事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n时，无法正确赋值求解.4.易忽视等比数列中公比q ≠0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.5.运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论.6.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.7.裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等， 如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8.通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成分n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式.1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 等于( ) A.2n ＋1B.2nC.2n －1D.2n －2答案 A解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4⇒a 1＝4，∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，故选A.2.已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 016的值为( ) A.0 B.2 C.5 D.6 答案 A解析 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 016＝6·336，∴S 2 016＝336S 6＝0，故选A. 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝14－a 6，则S 10等于( ) A.35 B.70 C.28 D.14 答案 B解析 a 5＝14－a 6⇒a 5＋a 6＝14，S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 5＋a 6)2＝70.故选B. 4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则使S n ＋63a n取得最小值时n 的值为( ) A.7 B.7或8 C.172 D.8答案 D解析 a 2＝4，S 10＝110⇒a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110⇒a 1＝2，d ＝2，因此S n ＋63a n ＝2n ＋n (n －1)＋632n ＝n 2＋632n＋12，又n ∈N *，所以当n ＝8时，S n ＋63a n 取得最小值. 5.等比数列{a n }中，a 3a 5＝64，则a 4等于( ) A.8 B.－8 C.8或－8 D.16 答案 C解析 由等比数列的性质知，a 3a 5＝a 24， 所以a 24＝64，所以a 4＝8或a 4＝－8.6.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S na n 等于( )A.4n －1B.4n －1C.2n －1D.2n－1答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，∴S n a n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝2×(1－12n )1－122×(12)n －1＝2n－1.故选D. 7.设函数f (x )＝x a＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则数列{1f (n )}的前9项和是( ) A.2936 B.3144 C.3655 D.4366答案 C解析 由题意得函数f (x )＝x a＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，即axa －1＋a ＝2x ＋2，所以a ＝2，即f (x )＝x 2＋2x ，1f (n )＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)， 所以S n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2).则S 9＝12(1＋12－110－111)＝3655，故选C.8.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( ) A.4 B.3 C.23－2 D.92答案 A解析 据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)2－2(n ＋1)＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2(n ＋1)×9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4. 9.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于________. 答案 4解析 由等比数列的性质有a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5，所以T 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1a 2…a 8)＝lg(a 4a 5)4＝lg(10)4＝4.10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n 且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________. 答案 n 2－n ＋2 解析 a n ＋1＝a n ＋2n ，∴a n ＋1－a n ＝2n ，采用累加法可得∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1， ＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋2＝n 2－n ＋2.11.若数列{a n }满足a n ＝3a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________. 答案 2×3n －1－1解析 设a n ＋λ＝3(a n －1＋λ)，化简得a n ＝3a n －1＋2λ， ∵a n ＝3a n －1＋2，∴λ＝1， ∴a n ＋1＝3(a n －1＋1)， ∵a 1＝1，∴a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2×3n －1，∴a n ＝2×3n －1－1.12.数列113，219，3127，4181，51243，…的前n 项之和等于________________.答案n (n ＋1)2＋12[1－(13)n] 解析 由数列各项可知通项公式为a n ＝n ＋13n ，由分组求和公式结合等差数列、等比数列求和公式可知前n项和为S n ＝n (n ＋1)2＋12[1－(13)n]. 13.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，且λ≠－1)，且a 1，2a 2，a 3＋3为等差数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和.解 (1)方法一 ∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2).∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0， 又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }为以1为首项，以λ＋1为公比的等比数列， ∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3， 整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1. ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.方法二 ∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1. ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3， 整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1. ∴a n ＋1＝S n ＋1 (n ∈N *)， ∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2， ∴数列{a n }为以1为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)设数列{a n b n }的前n 项和为T n ，a nb n ＝(3n －2)·2n －1，∴T n ＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n －2)·2n －1.① ∴2T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －5)·2n －1＋(3n －2)·2n.②①－②得－T n ＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n －1－(3n －2)·2n＝1＋3·2·(1－2n －1)1－2－(3n －2)·2n.整理得T n ＝(3n －5)·2n＋5.14.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)，(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若λ≤T n 对于任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)，①∴S n －1＝a n －1(a n －1＋1)2(n ≥2).②①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)，整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝(a n ＋a n －1)， ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0， ∴a n －a n －1＝1(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解 由(1)得S n ＝n 2＋n2，∴b n ＝2n 2＋n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，∴T n ＝2[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1，∵T n ＝21＋1n，∴T n 单调递增，∴T n ≥T 1＝1，∴λ≤1.故λ的取值范围为(－∞，1].五、不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3.分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.4.基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)当且仅当a ＝b 时取等号. ②a ＋b2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；②a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立). ③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划。
理科高中数学复习提纲及知识点
理科高中数学复习提纲及知识点一、函数与方程1.一次函数与二次函数的性质及图像-一次函数的定义、性质和图像特点-二次函数的定义、性质和图像特点-一次函数与二次函数的求解与应用2.指数函数与对数函数-指数函数的定义、性质和图像特点-对数函数的定义、性质和图像特点-指数函数与对数函数的求解与应用3.三角函数-常用三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义、性质和图像特点-三角函数的合成与分解、化简与应用4.方程与不等式-一元一次方程和一元二次方程的解法与应用-一元一次不等式和一元二次不等式的解法与应用5.空间几何与坐标几何-点、线、面的几何性质及相关定理-直角坐标系和极坐标系的概念与应用二、解析几何1.直线与平面的相关知识-点、线、面的关系与性质-直线和平面的交点与位置关系2.点与线的相关知识-点到直线的距离与垂足-直线的两点式、斜截式和一般式方程3.点与平面的相关知识-点到平面的距离与投影-平面的一般方程、点法式和法线式4.直线与直线、直线与平面、平面与平面的相关知识-直线与直线的位置关系及夹角-直线与平面的位置关系及夹角-平面与平面的位置关系及夹角三、概率与统计1.概率基本概念-随机事件、样本空间和概率的基本概念-事件的相等与互斥、独立事件和事件的运算2.概率计算-等可能概型和非等可能概型的概率计算-条件概率和事件独立性的概念及计算方法3.排列与组合-排列与组合的定义和性质-排列与组合的应用4.统计基本概念-统计图表的制作与解读-平均数、中位数、众数的计算与应用四、数列与数学归纳法1.数列的基本概念-数列的定义、性质和表示法-等差数列和等比数列的通项公式与求和公式2.数列的应用-根据数列的特点解决实际问题-数列的迭代与循环3.数学归纳法-数学归纳法的基本原理与步骤-数学归纳法的应用以上是理科高中数学复习的主要提纲和知识点。
通过对这些知识点的复习和掌握，可以为考试提供较好的备考基础，帮助学生达到理科高中数学的基本要求。
理科高中数学复习提纲及知识点
必修1.1集合与函数概念1.合中元素的特征：确定性、互异性、无序性。
2.集合的表示方法：列举法、特征描述法、Ven图法。
3.集合的运算：并集、交集、补集。
4.函数的概念：定义域、值域、对应法则。
5.函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。
6.函数的性质：单调性、奇偶性。
常见集合符号：N：非负整数集合或自然数集合N*或N+：正整数集合{1,2,3,…} Z：整数集合{…,-1,0,1,…} Q：有理数集合Q+：正有理数集合Q-：负有理数集合R：实数集合R+：正实数集合R-：负实数集合C：复数集合∅：空集合、又叫空集运算律交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A结合律：A∪（B∪C）=（A∪B）∪C；A∩（B∩C）=（A∩B）∩C分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)对偶律：（A∪B)^C=A^C∩B^C ；（A∩B)^C=A^C∪B^C同一律：A∪∅=A；A∩U=A求补律：A∪A'=U；A∩A'=∅对合律：A''=A等幂律：A∪A=A；A∩A=A零一律：A∪U=U；A∩U=A吸收律：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A德·摩根律（反演律）：（A∪B）'=A'∩B' ；（A∩B）'=A'∪B'必修 1.2 基本初等函数必修 1.3 函数的应用对数函数:有a x=N ,那么x叫做以a为底N的对数，记做x=log a N ;a﹥0,N﹥0(为底数，N为真数）log10N=lgN; log e N=lnN;对数函数的一些性质:必修 2.1 空间几何体必修 2.2 点、直线、平面之间的位置关系标准立方体：直四棱柱及其对角线 ：常见勾股数组: 3-4-5; 5-12-13; 8-15-17;棱台体积公式： 121h(3V S S =++必修 2.3 直线与方程倒角公式: l 1→l 2 :2112tan 1k k k k α-=+ (倒角公式具有方向性） 夹角公式: 2112tan ||1k k k k α-=+ 两直线平行：12k k = 两直线垂直:121k k ⋅=- 点P （x 0,y 0）到直线l:Ax+By+C=0的距离是d =两平行直线间的距离是d =直线上两点间距离： 2121||AB x x y =-=-必修 2.4 圆与方程圆的一般方程:220x y Dx Ey F ++++= 圆的标准方程:222()()x a y b r -+-= 三角函数为参数的圆方程cos x a r θ=+sin y b r θ=+必修 3.1 算法初步冒泡排序:将左侧第一个数与其右边相邻的数进行比较,如果满足条件,不交换位置,否则将两个数交换位置,然后右移一位继续比较,直至到最右边结束,显然一次比较不一定排序结束,因此重复刚才的过程,排好顺序呢.(进行最大循环结构,这种排列方式,如果有n 个元素,只要进行n-1次循环即可.插入排序法:[必修 3.2 统计][必修 2-3.3 统计案例]必修 3.3 概率古典概型特征：1.实验的所有可能结果只有有限个，每次实验只能出现其中一种结果。
高考理科数学复习指导-word文档
高考理科数学复习指导
对于理科学生而言，数学一般是强项，但越是强项的科目也就越容易大意。
那么，根据理科生的实际特点，高考数学应该怎复习呢？
无论一轮复习还是二轮复习都应该将重点放在基础知识、基本技能的训练上，尤其是计算能力的培养。
复习中，学生要提炼高考热点，查漏补缺，针对易错的地方加强练习，熟练掌握解决中低档题目的方法。
在此，提醒考生，千万别排斥高频率的模拟测试，它能帮助学生掌握答题的节奏、技巧，稳定心理状态，提高动手能力。
回想这几年的高考情况，以下是考生容易失分的三个方面。
第一，步骤不完整。
从这几年看，高考答案的步骤非常详细，而有些考生虽然会做，最后的结果也对，但是缺少中间步骤，这样很容易失分。
第二，审题不仔细。
不少考生审题时，只看到了部分条件，例如f(x)≤0，有的学生就会当成f(x)0，这样一来，全部错误。
从往年的情况看，有的考生因为粗心丢掉了10多分。
第三，答题时间安排不合理。
数学选择题做题时间一般是2分钟，曾有一位女生，学习成绩非常好，考试中遇到一道不会做的题，耽误了15分钟，题是做出来了，可当她看到别的同学已经开始做解答题时，慌了，结果考得一塌糊涂。
针对这些问题，特别提醒考生，考试中一定要规范答题，遇到不会做的题目时先放一放，此外就是一定要认真仔细，提高答题速度和准确性，要规范答题。
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复习秘籍：2019高考理科数学复习资料高考复习面广量大，不少学生感到既畏惧，又无从下手。
同学们如何才能提高复习的针对性和实效性呢?下面来看看高考理科数学复习资料，相信对你的复习有很大帮助~
一、高考冲刺阶段分科复习，这样做就行
1、复习笔记，放弃题海
考虑到剩下的时间已经不多了，所以一定要让孩子们千万不要陷入题海战术。
都不要想着把题都做完，现在应该是以复习，夯实知识点为主。
因为孩子们都已经在之前，肯定做了很多的笔记。
所以，在这段时间里，一定要做好就是相应的复习安排。
比如说每一个科目该看哪一个部分?是全都看还是按照之前画的重点看?这个一定要有一个自己的计划。
2、回顾主流，放弃偏题
剩下的的时间差不多了，我们要把所有知识点再熟悉一遍再说一遍，以及保持做题的的手感。
不要再纠结于我们知道的难题或者偏题，不要再这样去练习，应该还是回归一下，比较主流的题目。
这个时候在纠结于某一个题的话，还是有些得不偿失了。
3、由厚变薄，直击单薄
把我们之前在一轮或者二轮复习的时候做的大量的笔记，不管是做标记还是重新整理，把目标放在自己最简易错的地方。
我当时的一个经验就是我们在大的笔记本的基础上，还
做了一个小的笔记本，记得都是一些平时最简易错的地方。
4、合理分配时间
早读——
早读时候我觉得其实还挺严重，我的建议是把这个时间用来进入学习状态，以及学一些不愿意放到大块时间做的，比如说语文和英语。
我们就是读一些语文和英语的课文，新概念
三、四这种。
可以有一定难度，还可以对英语词汇量积累，作文的提升都很有帮助。
上午黄金时间——
上午，我把这个阶段称为黄金时间，如果在早读。
能够有用的提神进入学习状态的话。
这个时间就要分配一些比较有用的，比如说数学的做一个套卷或者是匀出两个小时来做一套统统的卷子。
所以建议大家是。
能够把最严重也最难的东西放到上午的黄金时段。
中午休息时间——
我都是把中午时间用来自习做一些不是那么耗费精力的，比如说语文作文素材积累或者是英语有一些题目的练习。
但是到后期也就是咱们现在这个时间段，我还是建议大家，多休息，因为到了夏天天气渐渐热起来就简易犯困，这个时候如果再透支精力的话，下午可能也不能保持精力了。
所以要合适学习然后休息。
下午习题时间——
下午时间安排我觉得可以比如说多单独做一些理综的选择题，处理分科的卷子，做物理或者化学。
然后也可以加上一些去找老师问问题这样的安排。
因为我个人是比较喜欢在题目中做出标记。
比如说这个做到问题的话就标记下来，回头老师过来答疑的时候就去问。
所以这个时候老师们都在倒也是去问题的好时间。
晚上解放安排时间——
晚饭时间我把它单拎出来大家其实也可以解放安排。
因为我也是在学校吃。
所以吃完饭回来到晚上的自习之前还会有40分钟的时间我也会用利用，做一些和中午相似的安排，比如说去做一些语文作文素材的积累。
因为可以就是
摘抄不用特别的费脑，是一个比较有用率的利用，像类似一些其他不用费脑子的也都可以放在这个时间去做。
晚自习时间——
这个时候，我觉得最佳是做一些整理的工作比如说今天做了然后也去找老师答疑。
有一些知识点可能是积累下来的漏洞，发现了就可以整理到我刚才说的那个专门记简易错的知识点的小本上。
这种时候做一些整理工作其实是这一天的回顾。
也不是那么好费精力，都是今天最熟悉的东西。
这个大概就是我在解放复习阶段，一天的时间安排。
我觉得整体的宗旨就是，根据例外时间的精力去做最有用率的事情。
比如说数理化需要花费更多精力就放到上午下午比较集
中而且大块的时间做，至于中午或者是吃饭，这样的零星时间就安排一些小的积累性的。
然后晚自习的话，因为属于也比较无力的时间就做整理总结。
5、多寻求老师的帮助
我提到的一个比较严重的点也是我在整个高三阶段收益最大的。
就是有问题都去找老师的。
大家可能会觉得自己做题，然后可以在一定程度上，提高高考的命中率但事实上如果在高三这么长的时间，到了最后做了那么多题之后，简易没有成就感。
我就会选择，圈下我不会的题目，然后去找老师探讨。
在最后阶段了，很多题其实不是咱们找老师问，更多的是有了自己的思路，然后和老师不断探讨，给老师提供启发了，而老师也能从我们的思路中受益。
6、相信自己，不盲从
大家在最后这个阶段一定要把精力全集中在自己的学习上。
不要过多的注意其他人做了什么。
因为事实上别人在做那个，可能是因为他练套卷没有什么手感。
但是如果你做套卷在时间分配上就很好了。
只不过有个别的的不太熟，需要强化练习。
二、克服考试之前的压力，你减压了吗?
1、合适休息，学会放松
这个环节和时间的利用一定要做好。
所以给大家提出其他一些这样的小方法。
比如说运动的小安排。
我们学校就会一下
午给大家半个小时去操场上放放风什么的。
这个大家呢也可以选择。
比如说吃饭的时候和同学一块去然后聊聊天。
这样都是非常好的放松。
另外一个是可以找一个学习的伙伴互相督促啊。
我当时是和一个我们学习差不多的他同学，每天在晚自习中间、课间的时候。
下楼去跑步顺便复习一下生物选修三互相提醒，互相督促。
这样也是能够放松并且帮助学习，还是挺开心的。
2.心理压力大，找老师聊天
我在高三觉得还是特别喜欢找老师聊天儿的。
如果某一次考试之后觉得自己的哪一科，因为考了不是很好，或者说长期有一些下滑，我都会主动去找老师问一问他。
关于我最近的学习状态，有没有什么观察，然后有没有什么建议?老师们都已经带过多年高三了，所以对于这些现象。
他们也都非常有经验。
大部分咱们出现的问题也是。
一种普遍现象。
老师，往往都能给说的建议。
而且去诉说本身就是一种排解压力、解决问题的方式。
3、模拟考试权当练习，别太在意排名
有的同学可能会介意长期波动的波峰波谷。
比如说我二模的时候考到好而且我三模的时候稍微退步了一些啊。
这个时候就忍不住开始算呢。
我高考那一次是赶上波峰还是波谷啊。
我觉得这种做法就是，如果你上次是波峰就算了。
如果是波谷的话，那你可以想一想中间有没有什么其他的校考?比如
说。
老师组织一次语文考试，组织一次理综。
就把这个往里一加，然后马上又是波峰了。
做完这样的一个计算之后我都开心。
不管这次考试的成绩继续投入下一个阶段的复习。
我觉得大家也可以借鉴一下这种阿Q精神。
三、关于考前的注意事项我有哪些“独门秘籍”?
我在考试之前大凡做一些什么?
1、笔记本成为必杀技
这个就是在考试复习的一个必杀技了。
比如说下午要考理综之前。
你要想到最近做的习题太多了。
那种大的课堂笔记知识点总结的话也太多了，根源就翻不完，所以这个时候就是我们的笔记大显身手的时候了，一定要保持少而精，这样在考试时前看才不会造成太大的问题。
2、保持做题手感
这个听起来会比较抽象，因为可能有的老师会说，临考之前光看看笔记就行了，再做题的话早就没有用了。
但是我觉得结合自身的体验。
做题保持手感是一定要的。
比如说数学，如果你光去看一些文字笔记，考场的话肯定做题的手感是没有的。
所以，在考试之前是要做上几个选择，然后做上一道两道大题。
如果有时间的话可以稍微多做一些做题保持手感。
不管对错要的就是一个介入试题的状态，身体注意关键点。
习惯把这种状态提起来，进入考场效率才最高。
3、我的独家解压方法
很多同学包括我，有可能会因为有点吃紧。
考语文之前那天晚上有一点失眠。
当时睡不着我就会干一件事情就是冥想，就是把自己放平放空。
想象自己比如说是站在大海前面或者说他在一片草地上。
就这样，其他一些特别优美特别安静的事物。
这种冥想状态特别能够让人放松，然后慢慢进入睡眠。
4、考试当天不要吃太多
要注意的一点就是考试那天。
不管是哪一顿饭一定不要吃多了。
因为考试吃紧的心理状态会导致肠胃的共鸣，会出现一些反胃这样的症状。
我记得我在考语文的时候，就是看到第一篇科技文肚子就开始难受。
然后最后看到那个作文居然是要写一封信，然后就更加难受。
整个考试就是在与卷子斗争同时与自己的胃的斗争中度过的。
所以这一点，大家一定要引以为鉴。