孙会元固体物理基础第一章14电场中的自由电子
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固体物理电场中的自由电子23页PPT
固体物理电场中的自由ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ子
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
test 5 answer
《固体物理基础》试题 5 答案---孙会元
一、判断下列说法是否正确，并简要说明理由。(每小题 3 分，共 15 分) 1．不正确；复式晶格不一定是由不同原子组成的.如金刚石。 2．不正确。自由电子的费米面是球形的 . 能带论模型中的费米面不一定是球形 的。 3．不正确。位错属于线缺陷. 4．正确；分子晶体中的电子一般形成满带结构，均为非导体。 5．正确； 剩余电阻率是由杂质原子和电子散射引起的,杂质原子基态和最低激发 态之间的能量间隔一般远大于 kBT, 从而导致电子和杂质原子散射产生的电 阻与温度无关。 二、名词解释（每小题 3 分，共 15 分） 1．肖脱基缺陷就是晶体内部的空格点,可以认为是由于原子因热涨落脱离格点, 跳到晶体表面而产生的。肖脱基缺陷也叫空位。 2．费米面是 K 空间中能量等于费米能量的等能面,在绝对零度下,它将被电子占 K K K 据的状态与不被电子占据的状态分开.3．以单胞的三条棱 a , b , c 为坐标系所决定 的指数,称为米勒指数(Miller indices).常用 ( hkl ) 表示, h, k , l 是互质的整数. 4．离子晶体就是由正、负离子的库仑相互作用而形成的晶体,这种相互作用称为 离子键.如氯化钠晶体.5. 把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子,或用布洛赫波 函数描述的电子称为布洛赫电子(Bloch electron);布洛赫波函数可以理解为受 周期性势场调制的平面波,相应的描述晶体电子行为的这种波称为布洛赫波.布
位移量,其通解为： unq = Aei ( qna −ωt ) 将通解代入方程,整理得： mω 2 = β (2 − e − iaq − eiaq ) ⇒ mω 2 = 4β sin 2
1 ⎛ 4β ⎞ 2 所以: ω (q ) = ⎜ ⎟ sin qa 2 ⎝ m ⎠
一、判断下列说法是否正确，并简要说明理由。(每小题 3 分，共 15 分) 1．不正确；复式晶格不一定是由不同原子组成的.如金刚石。 2．不正确。自由电子的费米面是球形的 . 能带论模型中的费米面不一定是球形 的。 3．不正确。位错属于线缺陷. 4．正确；分子晶体中的电子一般形成满带结构，均为非导体。 5．正确； 剩余电阻率是由杂质原子和电子散射引起的,杂质原子基态和最低激发 态之间的能量间隔一般远大于 kBT, 从而导致电子和杂质原子散射产生的电 阻与温度无关。 二、名词解释（每小题 3 分，共 15 分） 1．肖脱基缺陷就是晶体内部的空格点,可以认为是由于原子因热涨落脱离格点, 跳到晶体表面而产生的。肖脱基缺陷也叫空位。 2．费米面是 K 空间中能量等于费米能量的等能面,在绝对零度下,它将被电子占 K K K 据的状态与不被电子占据的状态分开.3．以单胞的三条棱 a , b , c 为坐标系所决定 的指数,称为米勒指数(Miller indices).常用 ( hkl ) 表示, h, k , l 是互质的整数. 4．离子晶体就是由正、负离子的库仑相互作用而形成的晶体,这种相互作用称为 离子键.如氯化钠晶体.5. 把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子,或用布洛赫波 函数描述的电子称为布洛赫电子(Bloch electron);布洛赫波函数可以理解为受 周期性势场调制的平面波,相应的描述晶体电子行为的这种波称为布洛赫波.布
位移量,其通解为： unq = Aei ( qna −ωt ) 将通解代入方程,整理得： mω 2 = β (2 − e − iaq − eiaq ) ⇒ mω 2 = 4β sin 2
1 ⎛ 4β ⎞ 2 所以: ω (q ) = ⎜ ⎟ sin qa 2 ⎝ m ⎠
孙会元固体物理基础第一章1.2自由电子气体的热性质
1 f ( ) 0 1 2
随着T的增加，f(i)发生变化的能量范围变 宽,但在任何情况下,此能量范围约在 kBT 范围内,且随T0K而无限地变窄。
3) (f / ) 是关于（ -）的偶函数，而且具 有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内 才有显著的值. 即
第二节 费米分布和自由电子气体的热性质
一
化学势和费米能量随温度的变化 自由电子费米气体的比热容
二
1.2.1 化学势和费米能量随温度的变化 T0K时,自由电子费米气体在有限温度下的 宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量 描述.其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克 分布函数,亦即费米分布函数.
3.费米分布函数的特点
f (i ) (i ) kBT e 1
1
1) 由费米分布函数表达式和它的物理意义可 知:
0 f (i ) 1
特别是当T=0 K时
1 f () 0
亦即,≤μ时的所有状态都被占据,而 >态上电 子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当 于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能 量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米 能量相等.
一、费米---狄拉克分布（费米分布函数） 1. 表达式：
f (i ) (i ) kBT e 1
1
是N电子热力学
体系的化学势
2.物理意义
费米分布函数给出了体系在热平衡态时,能量 为i的单电子本征态被一个电子占据的概率.根 据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子,所 以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平 均电子占据数.
4.化学势随温度的变化 化学势的计算要由下式积分确定，式中，g() 为自由电子费米气体单位体积的能态密度
随着T的增加，f(i)发生变化的能量范围变 宽,但在任何情况下,此能量范围约在 kBT 范围内,且随T0K而无限地变窄。
3) (f / ) 是关于（ -）的偶函数，而且具 有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内 才有显著的值. 即
第二节 费米分布和自由电子气体的热性质
一
化学势和费米能量随温度的变化 自由电子费米气体的比热容
二
1.2.1 化学势和费米能量随温度的变化 T0K时,自由电子费米气体在有限温度下的 宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量 描述.其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克 分布函数,亦即费米分布函数.
3.费米分布函数的特点
f (i ) (i ) kBT e 1
1
1) 由费米分布函数表达式和它的物理意义可 知:
0 f (i ) 1
特别是当T=0 K时
1 f () 0
亦即,≤μ时的所有状态都被占据,而 >态上电 子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当 于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能 量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米 能量相等.
一、费米---狄拉克分布（费米分布函数） 1. 表达式：
f (i ) (i ) kBT e 1
1
是N电子热力学
体系的化学势
2.物理意义
费米分布函数给出了体系在热平衡态时,能量 为i的单电子本征态被一个电子占据的概率.根 据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子,所 以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平 均电子占据数.
4.化学势随温度的变化 化学势的计算要由下式积分确定，式中，g() 为自由电子费米气体单位体积的能态密度
孙会元 固体物理基础 第一章 1.5霍尔效应和磁阻
Jy = 0时的电场Ey称为霍尔电场，把Jy = 0代入 方程组，得： c eB B Ey Jx Jx Jx 2 0 me ne ne
me
B 可以理解为与电子所受洛伦兹力 Ey J x 相平衡的电场 ne Ey 得 R 1 按照霍尔系数的定义 RH H J x Bz ne
所以垂直磁电阻为零
但是实验表明电阻率的变化一般不为零,有时还 很大.这进一步反映出自由电子模型的局限性
电子由于受洛伦兹力的作用，沿z方向将螺 旋式前进。其轨迹在 xy平面上的投影为圆,角 频率为 c eB 这就是叫回旋频率(cyclotron m frequency)的原因。 实际上，电子运动时总受到散射(磁致电 阻的产生)，当 c 1 时，电子走圆周的很 小部分既受到散射，然后重新开始。
当磁场增大，使得 c 1 时，电子在相继 的两次散射间可完成多次圆周运动。
以上表明散射程度随磁场而变化，由此 可以理解在与电流垂直的磁场作用下，在电 流方向电阻的变化原因
在能带论之后，我们会认识到这种运动是 量子化的。而且这种现象是研究费米面的重 要手段。
4.隧道磁电阻TMR---Tunnel Magnetoresistance 有隧道节 5.各向异性磁电阻AMR--- Anisotropic Magnetoresistance 与技术磁化相联系 对于我们教材中的垂直磁电阻情况，表示在 与电流垂直的磁场作用下，在电流方向电阻的 B 变化，也就是电阻率的变化 z
me B eE x ev y B vx 0 y me 整理得 eE y evx B v y 0 FB v I FE me vz 0 x J x nevx 电流密度 J nev E
固体物理 第一章第四节 电场中的自由电子 一、准经典模型 二、电子的动力学方程 三、金属的电导率
所以，附加速度
则电流密度
v
eE m
ne2 J nqv E E m
ne2 m
所以，电导率为
b).另一种说法认为，只有费米面附近的电子 ky 才对金属的电导有贡献 E 如图所示，在外场作用下， 费米球从红色位置向蓝色 位置平移。
kx
由于I区和II区均位于原来的 红色球内,且关于 ky – kz 面对 称。所以它们的传导作用被抵 消。只剩下费米面附近未被
由于驰豫时间，相当于相继两次散射间的 平均时间，则单位时间内电子与金属离子的碰 撞几率为-1
dt 时间内，电子受到碰撞的几率为 dt 1 2.模型的适用性 由于金属中电子的平均自由程(mean free path) 的室温值约10 nm(低温下会更长一些),远大于 量子力学中测不准原理得到的坐标不确定度,因 此,在很多问题中,经典近似是很好的近似。
所以，自由电子在外场下的动力学方程为
设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity) 为vd(t),则动量 p(t ) mvd (t ) 从而，自由电子在外场下的动力学方程变为
dvd (t ) vd (t ) m F (t ) m dt
阻尼力
下面我们利用该方程讨论电子的输运行为
那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的 位移为: eE k
费米球在外场作用下产生刚性移动示意图
ky
ky
kx
E
kx
t0
t
k
eE
从0 时刻,费米球中心逆电场方向移动为 讨论：
1). 不加外场时，费米球的中心和K空间的原 点重合；整个费米球对原点对称。此时，如果 有一个电子有速度V,就有另一个电子有速度-V, 因此金属内净电流为零。
孙会元主编固体物理基础序言PPT学习教案
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热导系数K 、扩散系数D 、电导系数取决于 晶体的内禀性质.输运理论的任务就是要从微观 上揭示这些唯象系数与内禀性质的关系.
Ju KT Jn Dn
Je E
唯象关系
上述唯象关系的形式意味着输运过程是一个 扩散过程.因而,输运过程中粒子会在漂移的过 程中不断受到碰撞,不会简单的从一端径直到达 另一端.
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非平衡分布函数 fn(r,k ,t) 的定义是在t时刻 ，在单位体积晶体内位置r 附近找到一个波矢k为 的电子的几率。也就是说， 对于单位体积的样
品，fn (r , k ,t)drdk / 8 3 为时刻t, 在第n个能带
中，在r , k处drdk 相空间体积内一种自旋的平均
电子数。在本章中仅考虑一个能带，也就是导带
中的情况。因而可以去掉带指标n. 借助于分布函数，电流密度(单位时间内垂
直通过单位面积的载流子(电子或空穴)数)可以 表示为更普遍的一种形式。
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则电流密度借助于分布函数的表达式：
Je
2e
f
1
8 3
dt
drdk
2e
dr dt
f
1
8 3 dk
1
4
3
ev(k ) fdk;
其中v(k )相当于群速度。
数、电荷数等广延量的流动.
假设沿晶体的某个方向存在温度梯度T、浓
度梯度n 、电势梯度 =-E,则输运过程中的热
流通量Ju、粒子流通量Jn 、电流通量Je 等与相 应的梯度之间存在如下的唯象关系:
Ju KT
--热导现象,K为热导系数
Jn Dn
--扩散现象,D为扩散系数
Je E --电导现象,为电导系数
固体物理基础参考解答
当 T > 0 K 时，费米分布函数有
⎧
⎪1
f
(ε
)
=
⎪ ⎨0
⎪ ⎪
1
⎩2
ε << µ ε >> µ
ε =µ
下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T > 0 K 时的费米分布函数。
基态和较低温度下的费米分布函数
从
− ∂f ∂ε
=
1 kBT
1 e(ε −µ ) kBT
1 + 1 e-(ε −µ ) kBT
三维自由电子体系，在低能态的能态密度趋于零，因而低温下所引起的热涨落极
小，体系可具有长程序。对一维自由电子体系来说，从图中可以看出，在低能态
的能态密度很大，而且随能量的降低而趋于无穷，因而低温下所引起的热涨落极
大，导致一维体系不具长程序。从图中可以看出，二维自由电子体系的能态密度
是常数，介于一维和三维中间，体系可具有准长程序，而且极易出现特殊相变，
费米分布函数可表示为：
f
(εi )
=
1 e(εi −µ ) kBT
+1
上 式 直 接 给 出 了 体 系 在 热 平 衡 态 (温 度 为 T)时 ，能 量 为 εi 的 单 电 子 本 征 态 被 一
个电子占据的概率。根据泡利原理，一个量子态只能容纳一个电子，所以费米分
布函数实际上给出了一个量子态的平均电子占据数。
∵εF =
2kF 2 2m
,
kF 3
=
3π
2n
2
2
( ) ∴εF
= 2m
3π 2n
3
( ) 1.0557 ×10−34 2
2
( ) ∴ε F = 2 × 9.11×10−31 × 3× 3.142 ×8.48×1028 3 = 1.13×10−18 J = 7.06eV
固体物理第一章课件
1
3
E = V ∫0 g ( E ) EdE = V ∫0
F
E
E
F
E 2m3 2m3 E 2m 3 2 2 F 2 EdE = V E dE = V E ∫ 0 π2ℏ 3 π2 ℏ 3 π2 ℏ 3 5 F
3
5
E=3E N 5 F
能态密度的更一般形式
g ( E )= dN dE
E k =const.
NZ NZ NZ
自由电子模型的物理思想
◆ 自由电子近似 离子静止，忽略电子和离子实之间的相互作用，电子运动范围 仅受限于晶体表面势垒，被限制在晶体内部 ◆ 独立电子近似 忽略电子和电子之间的相互作用 ◆ 驰豫时间近似
Zn Zm ℏ2 e2 H= −∑ ∇n 2 + ∑′ 1 2 n, m 4πε0 R − R n =1 2M n n m Zn e2 ℏ 2 2 e2 1 1 1 −∑ ∇i + ∑′ −∑∑ 2 i =1 2m i , j 4πε r − r i =1 n=1 4πε r − R i 0 i 0 i j n
kF = 3π2 ne
ℏ 2 kF 2 2m
1/3
108cm -1 2~10eV
费米能量：
EF=
费米动量： 费米速度： 费米温度：
pF = ℏk F
υF = ℏkF /m T F = EF / k B
108cm/s 104 ~105 K 参见表 1.1
单位体积内的平均能量
T=0时，单位体积内的平均能量为：
Drude 模型：应用经典力学，服从经典统计，麦克斯韦- 玻耳兹曼分布 Sommerfeld 模型：应用量子理论，服从量子统计，费米-狄拉克分布
f ( E )= e
固体物理基础孙会元知识点总结
固体物理基础孙会元知识点总结固体物理，听起来是不是有点高深莫测？就像一座神秘的城堡，等
待着我们去探索。
孙会元老师关于固体物理基础的知识点，那可真是一座知识的宝库！咱们先来聊聊晶体结构。
晶体就像是排列整齐的士兵方队，每个原子
都有自己特定的位置和规律。
你想想，要是这些原子不乖乖站好，那
整个晶体不就乱套了？
再说说晶体的结合。
这就好比是搭积木，不同的积木拼接方式会产
生不同的结构和性质。
离子晶体就像是用强力胶水粘在一起，牢固得很；共价晶体则像手牵手的小伙伴，彼此紧密相连；金属晶体呢，就
像是一群自由的舞者，欢快地跳跃。
还有晶体的振动和热学性质。
这就好像是一群调皮的小精灵在跳舞，温度一高，它们就跳得更欢啦。
能态和电子运动，这可是固体物理中的重头戏。
电子在晶体中的运动，就像是在迷宫里找出口，有的路通畅，有的路却充满了障碍。
固体物理中的能带理论，这就像是给电子们划分了不同的“班级”，
每个“班级”都有自己的特点和规则。
你说，要是不把这些知识点好好总结，不就像在黑暗中摸索，找不到前进的方向吗？我们把这些知识点梳理清楚，就像是给自己点亮了一盏明灯，照亮了探索固体物理世界的道路。
所以啊，认真总结孙会元老师的固体物理基础知识点，才能在这个神奇的领域里游刃有余，发现更多的奥秘，难道不是吗？。
固体物理电场中的自由电子共23页文档
固体物理电场中的自由电子
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
Байду номын сангаас
23
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
Байду номын сангаас
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孙会元 固体物理基础 第一章 1.7 自由电子气体模型的局限性
3).驰豫时间近似，认为电子受到的碰撞和散 射由驰豫时间简单描述。 [驰豫时间，相当于相继两次散射间的平均时 间，单位时间内电子与金属离子的碰撞几率为 -1 ] 为了弥补自由电子气论的不足，上述三条 基本假定都过于简单，因而，均应该放弃。
但是，基于数学上的考虑和实际结果的分 析，人们发现只对上述模型的第一条假定进行 改进，亦即，考虑离子实系统对电子的作用， 就已经可以解决许多自由电子理论不能解决的 问题了。
上述不足说明,自由电子模型把实际情况给理 想化的太过分了.仅仅使用电子密度这样唯一一 个参量来描述金属根本不可能解释二价金属镁的 导电性比一价金属铜的导电性还要差的实验事实.
无论经典的还是量子的金属自由电子气体模型， 都包含如下的基本假定： 金属自由电子气体模型的基本假定为： 1).自由电子近似，忽略了电子和离子实之间 的相互作用 2).独立电子近似，忽略了电子和电子之间的 相互作用
该模型对于上述诸多问题都给出了比较满意 的解释，标志着这一模型的魅力所在，因而至 今仍被使用。 二、该模型的不足之处和改进方法 尽管该模型能够解释以上诸多金属的性质，但 是对于物质为什么会分为导体、绝缘体、半导 体以及类金属等则根本无法解释。还有，除去 一价金属以外，在定量计算方面和实验结果的 偏离极大。如比热、磁致电阻、霍尔系数等。 对于某些金属的正的霍尔系数也不能用该模型 给出解释。
2
23
3
Rn
Ze
r Rn
r
O
e
由于我们在模型的修改中，没有修改单电 子近似的假设，所以，单电子的薛定谔方程仍 然适用，即: 2 2 [ V (r )] (r ) (r ) 2m 只不过势能项来源于所有离子实对该电子的 作用，所以 V (r ) en (r Rn )
孙会元 固体物理基础 第一章 1.6光学性质
第六节 金属的光学性质
本节主要内容: 研究自由电子在交变场中的行为. 主要有光吸收、光学常数和光反射
§1.6 金属的光学性质
金属一般都具有金属光泽，许多金属可以
用来制作镜子，这表明金属对于可见光具有很
好的反射特性。
我们知道光波属于电磁波。因而为了讨论金
属的光学行为，需要借助电动力学中的波动方
程，并定义出复数介电常量、复数折射率和吸
I0e c
I 0e z
2n2 为吸收系数
c
吸收系数 2n2
c
k
c
(n1
in2 )
吸收系数对于频率的依赖关系 ()称为吸收谱
与虚部n2有关，这就是为什么需要考虑 吸收的影响时，要用复数介电常数之故,同时，
也是把虚部n2叫消光系数的原因。
令
I
2n2 z
I0e c
收系数等物理量 光波在自由电子气中传播 满足的波动方程为
2E
0
E t
00
2E t 2
0
E为电磁波；
0为真空磁导率 0为真空介电常数 为电导率
一. 复数介电常量和复数折射率
1. 复数介电常量
假设入射金属的电磁波是
E
E ei(k r t) 0
2E
0
E t
k
[0 (0
1
i )] 2
矢 的 折
k
[0 ( 0
i
1
)] 2
0 [ 00 (
i
0
1
)] 2
射 率 表
1 0 ( 00 ) 2 (
本节主要内容: 研究自由电子在交变场中的行为. 主要有光吸收、光学常数和光反射
§1.6 金属的光学性质
金属一般都具有金属光泽，许多金属可以
用来制作镜子，这表明金属对于可见光具有很
好的反射特性。
我们知道光波属于电磁波。因而为了讨论金
属的光学行为，需要借助电动力学中的波动方
程，并定义出复数介电常量、复数折射率和吸
I0e c
I 0e z
2n2 为吸收系数
c
吸收系数 2n2
c
k
c
(n1
in2 )
吸收系数对于频率的依赖关系 ()称为吸收谱
与虚部n2有关，这就是为什么需要考虑 吸收的影响时，要用复数介电常数之故,同时，
也是把虚部n2叫消光系数的原因。
令
I
2n2 z
I0e c
收系数等物理量 光波在自由电子气中传播 满足的波动方程为
2E
0
E t
00
2E t 2
0
E为电磁波；
0为真空磁导率 0为真空介电常数 为电导率
一. 复数介电常量和复数折射率
1. 复数介电常量
假设入射金属的电磁波是
E
E ei(k r t) 0
2E
0
E t
k
[0 (0
1
i )] 2
矢 的 折
k
[0 ( 0
i
1
)] 2
0 [ 00 (
i
0
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)] 2
射 率 表
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1 3
kB e
2
2.45108W
•K2
上式表明，在给定温度下，金属的热导率和 电导率的比值为常数，称为洛伦兹常数。
由于，在1853年维德曼(Wiedeman)－夫兰兹 (Franz)二人，最早从实验上发现了该现象，所 以常把上述规律称为维德曼－夫兰兹定律。
如果采用经典模型，电子比热容为： cVe
rs
3/
4
n
1 3
3.交变电场情形金属的电导率
假设此时
v E
Ev0eit ; vvd
vvd
eit
0
代入电子的动力学方程得
imevvd
v eE
mevvd
me
dvvd (t) dt
v F (t )
me
vvd (t)
整理得
v
vvd
eE me (1 i )
imevvd
v eE
mevvd
由 得到
v J
假定t时刻电子的平均动量为P(t)，经过dt时间 没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献为 P(t+dt)。
则没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应 为t时刻电子的平均动量和dt时间后动量的变化 之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。
所以有:
pv(t
dt)
(1
dt
)
[
pv(t)
v F (t
)dt
]
v F (t )dt
me
可见与经典模型下的结果一致。由上式的推导 过程可知，费米球内所有的电子都参与了导电.
但是，如果我们具体分析在外电场的作用下 费米球的刚性移动过程，不难发现只有费米面 附近的很少一部分电子才对金属的电导有贡献.
如图所示，在外场作用下，费米球从红色
位置向蓝色位置平移。
ky
v E
kx
vv
v
v
电子所占的比例为：
但是，进一步的实验发现，维德曼－夫兰兹定律在
较低的温度下不成立，在这一温区，洛伦兹常数依赖
于温度。这主要是由于我们假定了电导过程和热导过
程有相同的弛豫时间，发生的都是弹性散射所引起的。
由于在温度小于德拜温度时，非弹性散射变得重要起
来，这种散射对于电导率影响不大，但是，对于热导
率有很大的影响。所以，维德曼－夫兰兹定律在较低
热传导的定义告诉我们，产生热传导的条 件是温度不均匀。
温度不均匀的数学描述就是温度梯度T
金属样品中存在温度梯度T时，就会产生热
传导，热传导的强弱用热流强度JQ 来描述
高温
低温
2.热流强度
单位时间里通过单位横截面积的热量，称为 热流强度
当温度梯度T不太大时，热流强度JQ与T
成正比。
即
v
JQ T
这就是热传导定律
nevvd
ne2
me
•1
1 i
vv
•E E
ne2 • 1 0 me 1 i 1 i
0 为直流电导率
二、索末菲近似下金属的电导率
索末菲近似下，基态时金属中的自由电子费
米气体全部分布在费米球内。此时金属自由电
子具有确定的动量
pv
mevv
v hk
电子速度
vv
v hk
/
me
不加外场时，费米球的中心和k空间的原点重 合，整个费米球对原点对称。如果有一个电子 有速度v，就有另一个电子有速度-v，因此金属 内净电流为零。
v F (t )
me
vvd (t)
阻尼力
该方程又称为漂移速度理论
2.稳恒电场情形下金属的电导率
对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度
所以：dvd (t) 0, F eE
dt
me
dvvd (t) dt
v F (t )
me
vvd (t)
整把得理它到后们：得代0到入电自eE子v由的电me漂子vvd移在速外度场为下的v动vd 力学em Ee方v 程
h
考虑到动量的变化关系：
pv
me
vv
h
v k
得电子在稳恒电场下逆电场方向的速度增量：
vv
h
v k/
me
v
eE
/
me
vv
v
h k /
me
v
eE
/
me
上式就是电子在稳恒电场下获得的定向漂移 速度，对金属内每一个电子来说，都有这样的
漂移速度，由此可得电流密度：
v J
ne( vv)
ne2
v E
me
所以，电导率为 ne2
3.金属的热导率
金属的热导率为:
1 3
cV
vl
1 3
cV v
2
其中cV 为电子比热
v 为电子运动的平均速度， l为电子的平均
自由程， 为驰豫时间
按照索末菲模型，电子的比热为
CVe
T
2
2
nkB
T TF
电子的平均速度取费米速度
F
1 mv2 2F
kBTF
mv2
TF
F
2kB
CVe
T
2
2
nkB
T TF
是对于所有电子而言的，电场力对所
有电子有作用，但是，有贡献的只是未发生碰
撞的电子.
整理得
pv(t
dt)
(1
dt
)[
pv(t)
v F (t
)dt
]
pv(t
dt
)
pv(t
)
v F (t )dt
pv(t)
dt
v F (t )dt
dt
取一级近似
pv(t
dt)
pv(t)
v F (t )dt
pv(t)
dt
从而有
按照特鲁德-洛仑兹模型，电子遵循碰撞近似 和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向,所以电 子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分 电子。
定义驰豫时间，借以概括电子和金属离子的碰
撞特征.
驰豫时间,相当于相继两次散射间的平均时间
由弛豫时间τ的定义，dt时间内，电子受到碰 撞的几率为dt/τ，从而电子没有受到碰撞的几 率为(1-dt/τ)。
mv2
TF
F
2kB
1 3
cV
v
2
F
v ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱF
所以金属的热导率为:
1 3
ce V
vF2
F
12
32
nkB
2kBT
me
v2 F
vF2 F
2
k
2
B
n
F
3me
T
热导率：
2
k
2
B
n
F
T
3me
则存在如下关系:
电导率：
ne2 F
me
2k2n
T
B
3m
T
ne2
T
1 3
kB
e
2
2.45108W
•
K
2
m
T
的温度下不成立。
つづき
vk
kF
(eE F ) • v1
h kF
eEv F
hkF
emEvvFF
所以参与导电的电子数目约为
v
n (emEevvFF )n
由于这些电子以费米速度逆电场方向运动，
则对电流的贡献为
v J
envvF
ne2 F
me
vv
E E
电导率 ne2 F
me
和前面得到的电导率形式
上一样，只是用F 代替
两种电导率形式上虽然一样，但是两者导电 的物理机理却不同。第一种形式认为费米球内 所有电子都参与了导电,电子数目多但速度缓慢； 第二种则认为只有费米面附近的电子参与了导 电,电子数目少但速度极大，取费米速度；所以, 两者效果一样，即电流密度一样。
第四节 金属的电导率和热导率
本节主要内容： 一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率 二、索末菲近似下金属的电导率 三、金属的热导率
一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率
无论是经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论，还 是量子的索末菲自由电子论，在解释金属的电 导和热导问题上都取得了成功,并成功解释了维 德曼—夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁德-洛 仑兹自由电子论的结果。 1. 电场下经典的动力学方程
经典统计下电子的动能：
E
1 2
mev 2
3 2
kBT
所以电子的平均速率： v
3kBT me
由此可得到电子的平均自由程： l v
室温下电子的平均速率大约为107 cm/s。对于
普通的金属, 的量级约10-14s,所以l 约1 nm
由电子的密度我们容易得出电子的半径rs的大 小约为0.1 nm左右，差不多和经典下电子的平均 自由程在一个量级，显示了经典模型的局限性。
严格的理论计算支持了后一种的说法。这主要 是由泡利原理导致的。能量比费米能低得多的 电子，其附近的状态已被电子占据，没有空态 可接受其它电子。因此，这部分电子无法从电 场里获得能量进入较高的能级而对电导做出贡 献，能被电场激发的还是费米面附近的电子。
三、 金属的热导率
1.热传导
由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温 度低的地方转移，这种现象叫热传导
v k
v k (t)
v k (0)
v eE
t
h
心此移式动表为明，在kvK空间，从0t 时刻，费米球中
负号表示费米球沿与外场相反的方向移动
那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的位
移为:
v k
v eE
h
费米球在外场作用下产生刚性移动示意图