数字信号处理课后习题答案-第六章习题与答案

1．、2．用冲激响应不变法将以下 )(s H a 变换为 )(z H ，抽样周期为T。

为任意正整数 ,)()( )2()()( )1(022n s s As H b a s a s s H na a -=+++=分析：①冲激响应不变法满足)()()(nT h t h n h a nT t a ===，T 为抽样间隔。

这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。

②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][+=n n S n t L ,n a n t s a S S As H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=⇔-=-，可求出)()()(kT Th t Th k h a kT t a ===，|又dz z dX zk kx )()(-⇔，则可递推求解。

解: (1)22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ⎡⎤+==+⎢⎥+++++-⎣⎦[])( 21)()()(t u e e t h tjb a t jb a a --+-+=由冲激响应不变法可得：[]()()()() ()2a jb nTa jb nT a T h n Th nT e e u n -+--==+11011() () 211naT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞------=⎡⎤==+⎢⎥--⎣⎦∑2211cos 21cos 1 ------+--⋅=ze bT z e bT z e T aT aT aT(2) 先引用拉氏变换的结论[]1!+=n n s n t L 可得： na s s As H )()(0-=))()!1()(10t u n t Ae t h n t s a -=-则)()!1()()()(10k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==-dzz dX zk kx az k u a ZZk )()(, 11)( 1-−→←-−→←-且按)11()()!1( )()!1( )()(111111000--∞=---∞=----=-==∑∑ze dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n k kT s n n k k可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=•••---,3,2)1(1,1)(111000n z e z e AT n z e AT z H n T s T S n T s ，可以递推求得：2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(s s s H a ++=而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用502⨯πs来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π ：设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。

分析：阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统 阶跃响应的等间隔抽样，)()()(nT g t g n g a nT t a ===,由模拟系统函数)(s H a 变换成数字系统函数的关系式为：}]])([{[1)(1nT t a s s H L Z z z z H =--=，还要用到一些变换关系式。

解: 】根据书上公式可得模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：)(1)(s H s s G a a =)108696044.928830.444(108696044.9424⨯++⨯=s s s22)14415.222()14415.222(14415.222)14415.222(1++++-=s s s由于[]2200)()()(sin Ω++Ω=Ω-a s t u t e L at[]220)()()(cos Ω+++=Ω-a s as t u t e L at[]s t u L 1)(=*故[])()(1s G L t g a a -=u(t) )]} 14415.222cos( ) 14415.222[sin(1{ 14415.222t t e t +-=-则)()(nT g n g a =u(n) )]}T 14415.222cos( )T 14415.222[sin(1{nT 14415.222n n e +-=-利用以下z 变换关系：[])()(z X n x Z =[])()(z e X n x eZ aTnaT=-[]1cos 2sin )()(sin 2+-=aT z z aTz n u naT Z[]1cos 2cos )()(cos 22+--=aT z z aTz z n u naT Z /[]1)(-=z z n u Z且代入a=s f T s 310250011-⨯===可得阶跃响应的z 变换 [])()(n g Z z G =41124070.01580459.130339071.0122+----=z z zz z z)41124070.01580459.1)(1(10784999.014534481.022+--+=z z z z z $由此可得数字低通滤波器的系统函数为：)(1)(z G z z z H -=212141124070.01580459.1110784999.014534481.0----+-+=z z z z3．设有一模拟滤波器 11)(2++=s s s H a抽样周期 T = 2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数)(z H 。

分析：双线性变换法将模拟系统函数的S 平面和离散的系统函数的Z 平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为1111--+-=z z cs 。

解：由变换公式 1111--+-⋅=zz c s 及 Tc 2= 可得：T = 2时：1111--+-=z z s1111|)()(--+-==∴z z s a s H z H/11111111211+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=----z z z z2213)1(--++=z z4．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知3dB 截止频率为100Hz ，系统抽样频率为1kHz 。

解:归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：21() 1.41421361a H s s s ==++ 则将cs s Ω=代入得出截止频率<为c Ω的模拟原型为 1)200(4142136.1)200(1)(2++=ππss s H a18.39478458.88818.3947842++=s s由双线性变换公式可得： 11112|)()(--+-⋅==z z T s a s H z H18.394784)11102(58.888)11102(18.3947841132113++-⋅⨯⨯++-⋅⨯=----z z z z21214241.01683.11)21(064.0----+-++=zz z z…5. 试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数（设 s rad c 1=Ω）。

解:幅度平方函数为：42)/(11|)(|c j H ΩΩΩ+=令22s -=Ω，则有4)/(11)()(c a a s s H s H Ω+=-各极点满足下式：：]4122[ππΩ-+=k j c k es ，k=1,2,3,4则k=1,2时，所得的k s 即为)(s H a 的极点：34122j c s ej π=Ω=--542j c s e jπ=Ω=- 由以上两个极点构成的系统函数为3233)( 3 , 1)( 0 323 ))(()( 2020210++====++=--=s s s H k s H s s s k s s s s k s H a a a 所以可得时代入>6. 试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。

已知通带波纹为2dB ，归一化截止频率为s rad c 1=Ω。

(试用不同于书本的解法解答）解:7647831.05848932.05848932.0 110110 2 2.010211==⇒=-=-==εεδδ则，由于dB因为截止频率为s rad c 2=Ω，则-0.804222)765.01(21)4sin()1(14sin 111=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--sh sh sh N sh a c c πεπσΩΩ）（378.1 222)765.01(21)4cos()1(1)4cos(111=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡==--sh ch sh N ch b c c πεπΩΩΩ~0116057.1 7943282.02735362.17943282.011)0( )0(0 22735362.1608.10116057.1 ))(()(378.1804.0 378.1804.02221121=⨯==+====++=--=--==+-=*A H s N s s s s s s As H j s s j s a a 可求得时，有故是偶数，因为则则εΩ7. 已知模拟滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型，而实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型。

则设计各类型数字滤波器可以有哪些方法试画出这些方法的结构表示图并注 明其变换方法。

模拟—模拟 频带变换 数字化 …(a) 先模拟频带变换，再数字化 ~(b) 把(a)的两步合成一步直接设计数字化 数字—数字 频带变换(c) 先数字化，再进行数字频带变换;模拟归一化原型 模拟低通、 高通、带通、带阻 ） 数字低通、 高通、带通、带阻 数字低通、高通、带通、带阻~ 数字低通 数字低通、 高通、带通、 带阻 模拟归一化原型 模拟归一化原型8. 某一低通滤波器的各种指标和参量要求如下：(1) 巴特沃思频率响应，采用双线性变换法设计； (2) 当Hz f 5.20≤≤时，衰减小于3dB ； (3) 当Hz f 50≥时，衰减大于或等于40dB ； (4) 抽样频率Hz f s 200=。

试确定系统函数)(z H ,并求每级阶数不超过二阶的级联系统函数。

解： 、3s105f 1T -⨯==2200150224020015.222πππωπππω=⨯⨯===⨯⨯==T f T f st st c c采用双线性变换法:)2(tg T 2ωΩ=由指标要求得：404tg 400j H 20380tg 400j H 20a 10a 10-≤-≥|)((|log |)((|log ππ又 N2c2a )(11)j (H ΩΩΩ+=故 >])([log |)(|log N2c10a 10110j H 20ΩΩΩ+-= 40)4(4001log 103)80(4001log 10 210210-≤⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Ω+--≥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Ω+-N c N c tg j tg j ππ因而取等号计算，则有：)2( (10)]/)4/(400[(1)1(............ 10]/)80/(400[1423.02=Ω+=Ω+Nc N c tg tg ππ得42.1)]80/(/1log[)]110/()110log[(213.04=--=πtg N~取N=2 , 代入(1)式使通带边沿满足要求，7.15 =Ωc 可得又二阶归一化巴特沃思滤波器为：1s 4142136.1s 1)s (H 2a ++= 代入 c /s s Ω= ：5.246s 2.22s 5.246)s (H 2a ++=;由双线性变换1111400|)()(--+-==z z s a s H z H2121221)1(5.246)1()1(4002.22)]1(400[5.246----+++⋅-⨯+-=z z z z )895.0889.11(11.6862110513665.1)21( 1019507.310691265.15.24621212521155--------+-++=⨯+++⋅⨯-⨯=z z z z z z z z或者也可将N=2代入(2)中使阻带边沿 满足要求，可得40c =Ω，这样可得： 1600s 240s 1600s H 2a ++=)( 14115z 198z 8686z z 21z H 1221..)(+-++=----看题目要求。