高中数学必修一知识点总结(学习笔记)

数学笔记
必修一
第一章：集合
第一节：集合的含义及表示
一、定义：（描述性）
一定范围内，某些确定的
．．构成一个集合
．．．对象的全体
．．．、不同的
二、表示：
1.列举法：A={a、b}
2.描述法：{x|p（x）}
代表元分割线代表元满足的性质
3.图示法：（数轴、Venn图）
三、特点：
确定性、互异性、无序性
四、常用数集
N自然数集
N*、N+正整数集
Z整数集
Q有理数集
R实数集
五、元素与集合的关系
a M ∈、a M ∉（两者必居其一）
六、集合相等
两个集合所含元素完全相同 A B =
七、集合的分类
1.有限集 含有有限个元素的集合
2.无限集 含有无限个元素的集合
3.空集∅ 不含有任何元素的集合
第二节：子集、全集、补集
（一）子集
一、定义
（文字）A 中的任一元素都属于B
（符号）B A ⊆（或)A B ⊇
（图形）或
（二）真子集
一、定义
（文字）B A ⊆，且
B 中至少有一元素不属于A （符号）A ≠⊂B （或B ≠
⊃A ） B A
A(B)
（图形）
注意
空集是任何非空集合．．．．的真子集
A ≠∅⊂（A 为非空子集）
（三）补集
一、定义
（文字）设U A ⊆，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集
（符号）U A ={|,}x x U x A ∈∉且
（图形）
第二节：子集、全集、补集
（一）交集
一、定义
（文字）由所有属于集合A 且．
属于集合B 的元素构成的集合称为A 与B 的交集
（符号）{|,x x A ∈且．}x B ∈
（图形）
B
A
（二）并集
一、定义
（文字）由所有属于集合A或者
．．属于集合B的元素构成的集合称为A与B的交集
（符号）{|,
x x A
∈或．}
∈
x B Array
（图形）
1
（三）区间
设,a b是两个实数，且a b
<，规定
闭区间a x b
≤≤[,]
a b；
开区间a x b
<<(,)
a b；
半开半闭区间（左闭右开）a x b
≤<[,)
a b
（左开右闭）a x b
<≤(,]
a b
,,,
≥>≤<
x a x a x b x b
+∞+∞-∞-∞．
a a
b b
[,),(,),(,],(,)
注意：
对于集合{|}
<<与区间(,)
x a x b
a b，前者a可以大于或等于b，而
后者必须a b
<，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．
第二章：函数
第一节：函数的概念
一、定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()
f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:f A B
二、三要素：
定义域、值域和对应法则
三、相同函数：
定义域相同，且对应法则也相同的两个函数
四、函数定义域：
1.()
f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
2.()
f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数
的集合．
3.对数函数的真数大于零
4.对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零
5. tan y x =中，()2
x k k Z ππ≠+∈． 6. 零（负）指数幂的底数不能为零．
7. 若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
8. 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．
9. 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
10. 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
五、求函数值域（最值）：
1. 观察法：初等坐标函数
2. 配方法：二次函数类
3. 判别式法：二次函数类 2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥
4. 不等式法：基本不等式
5. 换元法：变量代换、三角代换
6. 数形结合法：函数图象、几何方法
7. 函数的单调性法．
8. 分离常数法:反比例类
六、函数的表示方法：
解析法
● 列表法
● 图象法(不是所有函数都有图像)
七、分段函数
八、复合函数
九、求函数解析式
1. 配凑（换元)法
2. 待定系数法:已知函数模型
3. 方程组法:互为相反数、互为倒数
第二节：函数的简单性质
(一) 、单调性
一、定义
如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,
当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．
，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．
．
当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是
减函数
．．．．
注意
1.不在区间
．．内谈单调增或单调减都无意义
2.端点不计入区间
3.一般情况下单调区间不能并
4.单调区间≠区间单调
二、证明
1.任取
2.作差
3.变形
4.定号
5.下结论
三、证明
1.定义
2.初等坐标函数、已知函数
3.函数图象（某个区间图象）
4.复合函数：同増异减
（二）、最值
一、定义
（1）一般地，设函数()y f x =
的定义域为I ，如果存在实数M 满
足： ① 对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤
② 存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．
（2）一般地，设函数()y f x =
的定义域为I ，如果存在实数m 满
足：
① 对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥
② 存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．
● 注意:开区间无最值 二、题型
● 定函数动区间
● 动函数定区间
● 注意:抓住对称轴和区间的相对关系
（二）、奇偶性
一、定义
（1）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．
．
（2）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．
二、证明
1. 定义域
f(x)的定义域．．．为——
任意的 ⊆x ——
2. f(－x)与f(x)
3. 下结论
正确——严格证明
错误——举出反例
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数 两个反例
注意：
1. 分段函数要分段讨论
2. 0可单独讨论
3. 若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则
(0)0f = 三、应用
1. 定义（一般到一般）
2. 代“0”（特殊到一般）需检验
四、奇偶性
●若奇函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调增
●若偶函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调减
第三节：映射的概念
一、定义
设A、B是两个非空
．．集合，如果按照某种对应法则f，对于
集合A中任何一个
．．的元素和它对应，．．．．元素，在集合B中都有唯一
那么这样的对应叫做集合A到B的映射，记作:f A B
B
●注意
可用树状图考虑
第三章：指数函数、对数函数和幂函数
第一节：指数函数
（一）、根式
一、定义
如果,,,1
n
x a a R x R n
=∈∈>，且n N+
∈，那么x叫做a的n次方根➢当n是奇数时，a的n
➢当n是偶数时，正数a的正的n
负的
n
次方根用符号
➢0的n次方根是0；负数a没有n次方根．根指数
根式
被开方数
●当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0
a≥．二、性质：
(0)
||
(0)
a a
a
a a
≥
⎧
==⎨
-<
⎩
n a
=；当n
a
=；当n为偶数时，．
三、分数指数幂
1. (0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈
2. ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
3.
()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
（二）指数函数
一、定义
函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数
二、图像与性质
三、图像移动及解析式变化
➢ 平移变换
0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位
右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位
➢ 伸缩变换
01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸
➢ 对称变换
()()x y f x y f x =−−−→=-轴
()()y y f x y f x =−−
−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点
1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象
保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象
将轴下方图象翻折上去
四、指数型复合函数
换元 取值范围、单调性
同增异减
初级坐标函数 值域、单调性五、指数函数的应用
1. 审题 归纳
2. 建模 注意定义域 “指数型函数”模型
3. 求解（解模）
4. 还原（结论——答）
● 注意
1. 每一个步骤读一遍题
2. 注意定义域、精确度
第二节：对数函数
（一）对数 一、定义
如果a （．a ．＞．0．，．a ．≠．1．）．的b 次幂等于N 即a b
=N
那么就称b 是以a 为底N 的对数 记作log a N=b
底数 真数．
二、互化
log x a x N a N a a N =⇔=>≠> x a x N a N a a N =⇔=>≠ (x a x N a N a a =⇔=>≠ x a
x N a a N =⇔=>≠> (a x N N a a N ==>≠>
对数 底数 真数 底数 指数 幂 根指数 被开方数 方根
三、常用对数与自然对数
➢ 常用对数：lg N ，即10log N ；
➢ 自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．
四、运算
1. 加法：log log log ()a a a M N MN +=
2. 减法：log log log a a a M M N N
-=
3. 数乘：log log ()n a a n M M n R =∈
4. log
a
N
a N
=
5. log log (0,)b
n a a
n
M M b n R b
=
≠∈ 6. 换底公式：log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且 （二）对数函数
一、定义
函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数
二、图像与性质
单调性在(0,)
+∞上是减函数
+∞上是增函数在(0,)过定点（1，0）、（a，1）
渐近线y轴
三、题型
1.比较大小
①利用单调性
②利用图像（真数相同）
③利用中间值
2.解不等式
3.求值
4.判断奇偶性
第三节：幂函数
一、定义
函数y xα
=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数
一、图像与性质
● 定义域：(0,)+∞一定有定义 ● 过定点：(1,1)． ● 单调性：[0,)+∞上
➢ 0α>，过原点、(0,)+∞上为增函数． ➢ a=0，常函数
➢ 0α<，(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ● 奇偶性：
➢ 当α为奇数时，幂函数为奇函数， ➢ 当α为偶数时，幂函数为偶函数．
➢ 当q p
α=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，
则q p
y x =是奇函数，
➢ 若p 为奇数q 为偶数时，则q p
y x =是偶函数， ➢ 若p 为偶数q 为奇数时，则q
p y x =是非奇非偶函数． ● 图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，
➢当1
α>时，若01
x>，其图
<<，其图象在直线y x=下方，若1
x
象在直线y x
=上方，
➢当1
α<时，若01
x>，其图
x
<<，其图象在直线y x=上方，若1象在直线y x
=下方．
第四节：函数的应用
（一）、零点
一、定义
对于函数)
)
(=
x
f成立的实数x叫做函
y∈
=，把使0
f
(D
)(
x
x
数)
f
y∈
=的零点
x
)(
(D
x
二、意义
函数)(x
y=的零点
f
方程0
)
x
f实数根
(=
函数)(x
y=的图象与x轴交点的横坐标
f
●注意
1.零点不是点
2.穿过零点，y值变号y值变号，穿过零点（图像连续
．．．．
不断
．．）
三、求法
1．（代数法）
①证单调区间
②零点定理
1．（几何法）交点
（二）、零点定理
一、定义
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续
．．，且f(a)× f(b)<0，
那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点
二、应用（二次函数的实根分布）
已知二次函数 2()f x ax bx c =++（a ＞0）
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠（a ＞0）的
两实根为12,x x ，
①k ＜x 1≤x 2
∆ ＞0
k ＜2b
x a
=-
f (k )＞0
②x 1≤x 2＜k
∆ ＞0
k ＞
2b
x a
=-
f (k )＞0
③x 1＜k ＜x 2
f (k )＜0
④k1＜x1≤x2＜k2
∆＞0
f(k1)＞0
f(k2)＞0
k1＜
2
b
x
a
=-＜
k2⑤k1＜x1＜k2
f(k1)＞0
f(k2)＜0。