差分方程模型概论
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下面是公园中大象的一些信息： (1)没有大象的迁入或迁出 ； (2)大象的性别比非常接近1:1。
(3)小象的性别比非常接近1:1，双胞胎大约占1.35%。 (4)母象在10-12岁时开始受孕，每隔3.5年生育一胎， 直到60岁。孕育期长达22个月。 (5)母象可以每年接受射箭避孕而不产生副作用。最 后一次射箭避孕可以使母象2年不受孕。 (6)大约70%-80%的新生小象可以活到1岁。此后，所 有年龄段的大象的成活率都超过95%，直到大约60岁。 可以假设所有的大象的寿命不超过70岁。 (7)没有猎杀等伤害大象的行为。 (数据略) 任务1：建立模型预测2-60岁的大象的成活率。预测 大象当前的年龄结构。 任务2：估计每年需要给多少头母象射标避孕可以使 大象头数稳定在11000头左右。 任务3：如果每年可以迁移50-300头大象，射标避孕 的母象头数如何变化？
生育：各年龄段的生育人口活到第2年成为1龄人 口
n
x1(k 1) (1 d0 ) br xr (k) r 1
整个方程组可以表述为：
x1(k 1) (1 d0 )b1
x2
(k
1)
ห้องสมุดไป่ตู้
xn
(k
1)
(1 d0 )b2 1 d1
(1 d0 )bn x1(k)
x2
(k
)
1 dn1
这一问题是典型的按年龄分布的生物发展模型。 问题在于： (1)由于避孕问题雌雄有别，为了能描述这一问题， 我们可以把状态向量分为雌性和雄性
male(k) male1(k) male2 (k)
malen (k)T
fmal(k) fmal1(k) fmal2 (k)
分别建立发展方程。
fmaln (k)T
基于上述分析，可以做出以下假设： 1、k龄人口的死亡率为dk,(更细致的假设为男性的 死亡率为d1k，女性的死亡率为d2k) 2、由于男性和女性的建模类似，只考虑女性人口 的变化。并假设k龄女性的生育率为bk。
模型的建立：人口的基本发展描述：
xr1(k 1) (1 dk )xr (k) r 1
差分方程和微分方程一样，都描述运动的动态过 程。它们之间的区别在于： 微分方程描述连续过程，而差分方程描述离散过 程。
离散过程：如果状态变量只取离散值，则问题为 差分方程。 具体问题是利用微分方程还是利用差分方程描述 取决于问题本身和我们对问题的理解。
一阶线性差分方程组的一般形式：
X k1 AX k b
xn (k)
求方程组的平衡点，即
X LX
这时，矩阵L有特征值=1。对应的特征向量为
X * 1 1 d1
(1 d1)(1 d2 ) (1 dn1) T
例2：(2000美国数学建模竞赛题)南非国家公园有大 约11000头大象。管理政策需要一个健康的环境来维 持一个大约11000头大象的稳定数量。公园管理人员 每年统计大象的数量。在过去的20年中，每年需要 移出一部分大象群落以将总数尽可能维持在11000头。 每年这一过程包括射杀(其中的绝大多数)和偶然的转 移约600-800头到其他地方。 最近，公众反对射杀大象，且找不到收养大象的地 方。目前一种可以使成熟母象避孕2年的药箭已经研 制出来。
差分方程建模的例子：
例1：剧院地面曲线的设计。 在剧院观看影剧时，经常为前面的观众挡住自己的视 线而烦恼。因此，在剧院地面设计时，为了避免前面 的观众挡住后面人的视线，需要把地面设计成前低后 高的形状。当然，地面的坡度也不能太高，否则观众 的观看视角和行走舒适感都受到影响。
问题：设计剧院的地面曲线形状，使得在后面观众视 线不受阻挡的情况下，地面的倾斜度尽可能小。
利用简单的几何关系即得到 yk1 f ( yk ), y1 b
例2：按年龄分组的种群增长模型。
问题考虑两个要点：增长和人口分布 人口分布：对于连续问题，可以利用分布函数和 密度函数描绘。
我们也可以利用离散的方法描述人口分布。把t时
刻人口从小到大分为n组，第k 组人数xk(t)，则离 散人口分布可以利用向量
(2)雌雄群体的生育都是由母象完成，生育率只与母 象数量有关。
(3)象群的数量控制由母象各年龄组的生育率参数的 控制完成。这些参数可以由母象的正常生育率和避 孕率两个指标完成。其中正常生育率是常数。 设i年龄组母象的数量为fmali(k),正常生育率bi，避 孕率为si，死亡率为di，由于避孕有效期是2年，则 生育率为
一阶线性差分方程组的稳定性： 设一阶线性差分方程组的解为{Xk}, 而受扰动解为 {Yk}。记扰动误差为
k X k Yk 则扰动误差满足
k1 A k
对任意初始扰动0，k0的充分必要条件为
( A) 1
这就是差分方程的稳定性条件。
对一般的差分方程
X k1 F ( X k )
如果X0满足
X0 F(X0)
X (t) x1(t) x2 (t)
描述。
xn (t)T
离散时间的人口分布可以利用 X(k) k=0,1,2,….
描述。 要探索人口分布X(k) 随时间k的变化规律，需要分 析X(k+1)和X(k)的联系。
人口的发展有以下特点： 1、人口的的变化规律：第k阶段r岁的人在第k+1阶 段r+1岁。 2、每一阶段的人口有一定数量的死亡。 3、人分为男性和女性。某些阶段的女性人口会生 育，生育的人口成活者成为下一阶段1岁的人。
问题的图示
b O
a
d
d
模型假设： (1)座位前后间隔相同，间距为d； (2)每个人眼睛距地面高度都是b； (3)每个人头部与地面距离相同； (4)第一排人距设计视点的水平距离为a。
问题可以转化成： 求每个人的眼睛高度。
设第k个人的眼睛高度yk，距设计视点的水平距离 为a+kd。求距设计视点的水平距离为a+(k+1)d处的 眼睛高度yk+1。
则X0称为差分方程(组)的平衡点。在平衡点附近，
F(Xk
)
F(X0)
D(F ) D( X 0 )
(Xk
X0)
原差分方程近似为
X k 1
X0
D(F ) D(X )
|X0
(Xk
X0)
稳定性归结为矩阵
D(F ) D(X ) |X0
的特征值问题。
差分方程的建模： 微分方程的建模考虑很小的时段[tk,tk+1]上的y(t)变 化过程，然后令区间趋向于0。 差分方程考察两个相邻时刻k和k+1点的值yk和yk+1 的转换关系，不需要取极限。因此建模过程相对简 单。
(3)小象的性别比非常接近1:1，双胞胎大约占1.35%。 (4)母象在10-12岁时开始受孕，每隔3.5年生育一胎， 直到60岁。孕育期长达22个月。 (5)母象可以每年接受射箭避孕而不产生副作用。最 后一次射箭避孕可以使母象2年不受孕。 (6)大约70%-80%的新生小象可以活到1岁。此后，所 有年龄段的大象的成活率都超过95%，直到大约60岁。 可以假设所有的大象的寿命不超过70岁。 (7)没有猎杀等伤害大象的行为。 (数据略) 任务1：建立模型预测2-60岁的大象的成活率。预测 大象当前的年龄结构。 任务2：估计每年需要给多少头母象射标避孕可以使 大象头数稳定在11000头左右。 任务3：如果每年可以迁移50-300头大象，射标避孕 的母象头数如何变化？
生育：各年龄段的生育人口活到第2年成为1龄人 口
n
x1(k 1) (1 d0 ) br xr (k) r 1
整个方程组可以表述为：
x1(k 1) (1 d0 )b1
x2
(k
1)
ห้องสมุดไป่ตู้
xn
(k
1)
(1 d0 )b2 1 d1
(1 d0 )bn x1(k)
x2
(k
)
1 dn1
这一问题是典型的按年龄分布的生物发展模型。 问题在于： (1)由于避孕问题雌雄有别，为了能描述这一问题， 我们可以把状态向量分为雌性和雄性
male(k) male1(k) male2 (k)
malen (k)T
fmal(k) fmal1(k) fmal2 (k)
分别建立发展方程。
fmaln (k)T
基于上述分析，可以做出以下假设： 1、k龄人口的死亡率为dk,(更细致的假设为男性的 死亡率为d1k，女性的死亡率为d2k) 2、由于男性和女性的建模类似，只考虑女性人口 的变化。并假设k龄女性的生育率为bk。
模型的建立：人口的基本发展描述：
xr1(k 1) (1 dk )xr (k) r 1
差分方程和微分方程一样，都描述运动的动态过 程。它们之间的区别在于： 微分方程描述连续过程，而差分方程描述离散过 程。
离散过程：如果状态变量只取离散值，则问题为 差分方程。 具体问题是利用微分方程还是利用差分方程描述 取决于问题本身和我们对问题的理解。
一阶线性差分方程组的一般形式：
X k1 AX k b
xn (k)
求方程组的平衡点，即
X LX
这时，矩阵L有特征值=1。对应的特征向量为
X * 1 1 d1
(1 d1)(1 d2 ) (1 dn1) T
例2：(2000美国数学建模竞赛题)南非国家公园有大 约11000头大象。管理政策需要一个健康的环境来维 持一个大约11000头大象的稳定数量。公园管理人员 每年统计大象的数量。在过去的20年中，每年需要 移出一部分大象群落以将总数尽可能维持在11000头。 每年这一过程包括射杀(其中的绝大多数)和偶然的转 移约600-800头到其他地方。 最近，公众反对射杀大象，且找不到收养大象的地 方。目前一种可以使成熟母象避孕2年的药箭已经研 制出来。
差分方程建模的例子：
例1：剧院地面曲线的设计。 在剧院观看影剧时，经常为前面的观众挡住自己的视 线而烦恼。因此，在剧院地面设计时，为了避免前面 的观众挡住后面人的视线，需要把地面设计成前低后 高的形状。当然，地面的坡度也不能太高，否则观众 的观看视角和行走舒适感都受到影响。
问题：设计剧院的地面曲线形状，使得在后面观众视 线不受阻挡的情况下，地面的倾斜度尽可能小。
利用简单的几何关系即得到 yk1 f ( yk ), y1 b
例2：按年龄分组的种群增长模型。
问题考虑两个要点：增长和人口分布 人口分布：对于连续问题，可以利用分布函数和 密度函数描绘。
我们也可以利用离散的方法描述人口分布。把t时
刻人口从小到大分为n组，第k 组人数xk(t)，则离 散人口分布可以利用向量
(2)雌雄群体的生育都是由母象完成，生育率只与母 象数量有关。
(3)象群的数量控制由母象各年龄组的生育率参数的 控制完成。这些参数可以由母象的正常生育率和避 孕率两个指标完成。其中正常生育率是常数。 设i年龄组母象的数量为fmali(k),正常生育率bi，避 孕率为si，死亡率为di，由于避孕有效期是2年，则 生育率为
一阶线性差分方程组的稳定性： 设一阶线性差分方程组的解为{Xk}, 而受扰动解为 {Yk}。记扰动误差为
k X k Yk 则扰动误差满足
k1 A k
对任意初始扰动0，k0的充分必要条件为
( A) 1
这就是差分方程的稳定性条件。
对一般的差分方程
X k1 F ( X k )
如果X0满足
X0 F(X0)
X (t) x1(t) x2 (t)
描述。
xn (t)T
离散时间的人口分布可以利用 X(k) k=0,1,2,….
描述。 要探索人口分布X(k) 随时间k的变化规律，需要分 析X(k+1)和X(k)的联系。
人口的发展有以下特点： 1、人口的的变化规律：第k阶段r岁的人在第k+1阶 段r+1岁。 2、每一阶段的人口有一定数量的死亡。 3、人分为男性和女性。某些阶段的女性人口会生 育，生育的人口成活者成为下一阶段1岁的人。
问题的图示
b O
a
d
d
模型假设： (1)座位前后间隔相同，间距为d； (2)每个人眼睛距地面高度都是b； (3)每个人头部与地面距离相同； (4)第一排人距设计视点的水平距离为a。
问题可以转化成： 求每个人的眼睛高度。
设第k个人的眼睛高度yk，距设计视点的水平距离 为a+kd。求距设计视点的水平距离为a+(k+1)d处的 眼睛高度yk+1。
则X0称为差分方程(组)的平衡点。在平衡点附近，
F(Xk
)
F(X0)
D(F ) D( X 0 )
(Xk
X0)
原差分方程近似为
X k 1
X0
D(F ) D(X )
|X0
(Xk
X0)
稳定性归结为矩阵
D(F ) D(X ) |X0
的特征值问题。
差分方程的建模： 微分方程的建模考虑很小的时段[tk,tk+1]上的y(t)变 化过程，然后令区间趋向于0。 差分方程考察两个相邻时刻k和k+1点的值yk和yk+1 的转换关系，不需要取极限。因此建模过程相对简 单。