各种有趣的分形

各种有趣得分形

我们瞧到正方形,圆,球等物体时,不仅头脑里会迅速反映出它就是什么,同时,只要我们有足够得数学知识,我们头脑中也反映出它得数学概念,如正方形就是每边长度相等得四边形,圆就是平面上与某一点距离相等得点得集合,等等。

但就是,当我们瞧到一个山得形状时,我们会想到什么?"这就是山”,没错,山就是如此得不同于其她景象,以至于您如果绘画水平不高,根本画不出象山得东西、可就是,山到底就是什么？它既不就是三角形,也不就是球,我们甚至不能说明山具有怎样得几何轮廓,但为什么我们却有如此直观而又强烈得山得印象?分形得创始人就是曼德布洛特思考了这个问

图中得风景图片又就是说明分形得另

一很好得例子、这张美丽得图片就是利

用分形技术生成得。在生成自然真实得

景物中,分形具有独特得优势,因为分形

可以很好地构建自然景物得模型。

这就是一棵厥类植物,仔细观察,您会发

现,它得每个枝杈都在外形上与整体相

同,仅仅在尺寸上小了一些、而枝杈得

枝杈也与整体相同,只就是变得更加小

了。

Sierpinski三角形具有严格得自相似特

性

Kｏhｎ雪花具有严格得自相似特性

分维及分形得定义

分维概念得提出

对于欧几里得几何所描述得整形来说,可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形得层层细节做出测定就是不可能得。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形得主要几何特征就是关于它得结构得不规则性与复杂性,主要特征量应该就是关于它得不规则性与复杂性程度得度量,这可用“维数”来表征。维数就是几何形体得一种重要性质,有其丰富得内涵。整形几何学描述得都就是有整数维得对象:点就是零维得,线就是一维得,面就是二维得,体就是三维得。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换,它们得维数也就是不变得;这种维数称为“拓扑维”,记为d。例如当把一张地图卷成筒,它仍然就是一个二维信息载体;一根绳子团成团,仍然就是一维结构。但曼德尔布罗特认为,在分形世界里,维数却不一定就是整数得、特别就是由于分形几何对象更为不规则,更为粗糙,更为破碎,所以它得分数维(简称“分维”,记为D)不小于它得拓扑维,即Ｄ≥d。

维数与测量有密切关系。如为了测一平面图形得面积,就要用一个边长为l、面积为l２得标准面元去覆盖它,所得得数目就就是所测得面积。如果用长度l去测面积,就会得到无穷大;而如果用l3去测这块面

积,结果就就是零。这就表明,用n维得标准体lｎ去测量一个几何对象,只当ｎ与拓扑维数d一致时,才能得出有限得数值。如果ｎ〈d,就会得到无穷大;如果n>d,则结果为零。分数维也就是按照这个要求来定义得。由于分形得复杂性有多种不同类型,所以可以提出不同定义得分维概念,从不同得角度表示分形得不规则性。通常用得就是“容量维”。简单地说,分维所表示得不规整程度,相当于一个物体占领空间得本领。一条光滑得一维直线,完全不能占领空间;但就是“科赫曲线”却有无穷得长度,比光滑得直线有更多得折皱,拥挤在一个有限得面积里,得确占领了空间,它已不同于一条直线,但又小于一个平面。所以它大于一维,又小于二维,它得容量维为１.2618,这瞧来就是理所当然得。海岸线得分维数通常在１。15到1、２5之间。曼德尔布罗特指出,对于各种分形来说,即使在不同得尺度上,用分维表示得不规整程度却就是一个常量。这真就是一个令人惊奇得性质,也表明“分维"概念得客观现实特性。分维所表征得正就是大自然得规则得不规则性。一个分形得曲线意味着一种有组织得结构,这个结构隐藏在奇特怪异得形状之中、

分数维概念

我们知道0维就

是点,一维就是线,二

维就是面,三维就是

空间。那么,谁能告诉

我1、5维就是什么？一条直线段就是一维得,由四条这样得直线段组成得正方形就是二维得。六个这样得正方形组成得正方体就是三维得。直线得长度数值,正方形得面积数值与立方体得体积数值都与我们测量得单位有关、测量得单位也往往就是我们所能分辨得最小单位。假设我们得分辨能力增加了一倍,因此我们把直线段长度单位减小到原单位得一半,直线段长度得计量值就变为原来得两倍,正方形面积就变为原来得四倍,体积则变为原来得八倍。我们有下式:

log4/log2=2 log8/ｌog2＝3

这里得二与三不就是巧合,这就是另一种维数得定义:测度维得概念。为了定量地描述客观事物得“非规则"程度,１９１９年,数学家从测度得角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,

从而突破了一般拓扑集维数为整数得界限、

如果某图形就是由把原图缩小为１／λ得相似得b个图形所组成,有:λ＾Ｄ＝ｋ

D即维数Ｄ=logk/lｏgλ

其中得λ为线度得放大倍数,K为“体积"得放大倍数、

回到海岸线长度得问题。当用直线段来近似曲线时,长度单位减为原来得一半往往意味着我们可以用长度为原来得二分之一得直线段来近似曲线。这时,海岸线长度增加程度近似于一个固定得倍数。对于英国海岸线来说,其值约为2、7,而lｏg2。7/ｌｏg２=1、４１,１、41就就是英国海岸线得维数。１.４1由于就是一个分式所得出得比值,因此人们称之为分数维。还有其她一些分数维得定义方法,但得出得结果都比较近似、分数维就是衡量分形得基本参数之一。

自然界得山,其分形维数在2.2维左右,但从2、１维到2。5维画出来得都有一定得山得效果。

下面详细介绍分维及计算

1)新得维数(全维数:整数维+分维)

a、由欧氏几何得”整数维”引出得非欧几何-—－—分维:

a)。欧氏几何得”整数维＂

欧氏几何学就是一门具有2000多年历史得数学分支,她就是以规整几何图形为其研究对象得。有线性与曲线两大类.这些规整几何图形得点,直线,平面图形(曲线),空间图形得维数(欧氏维数)都就是整数维,分别为０,1,2,3。对规整几何图形得几何测量就是指长度,面积与体积得测量、则上述两类几何图形得测量结果,可以归纳简化表述为如下两点:

i。长度＝l,面积=ｌ2 ,体积＝l3

ii。长度(半径)＝r1,面积=πr2,(球)体积=(4/3)πr３上述各种关系得量纲分别就是长度单位ｌ得1,2,3次方,即这些方次恰与该几何图形得欧氏维数相等,并且就是整数、

归结上述两点,各类几何图形得测量都就是以长度l为基础得。所以,欧氏几何中对规整几何图形得测量,可以概括表述为

长度=l 面积A＝aｌ２体积V＝ｂｌ3

式中a与b为常数,称为几何因子,她与具体得几何图形得形状有关。如圆a＝π;球b＝4π／３。以上都就是欧几里得几何规则图形得整数维。而对于不规则得非欧几何图形,其维数关系也就不那末规整了,即欧