第一章 矩阵基本知识
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矩阵论第一章线性空间和线性变换
而开方运算则不是，因为显然有
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
线性代数 第一章、矩阵
张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
M M O M
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,
线性代数第一章矩阵的转置
矩阵转置的性质
矩阵转置具有一些重要的性质，如$(A+B)^T=A^T+B^T$、$(AB)^T=B^TA^T$、$(A^T)^T=A$等，这 些性质在基变换过程中具有重要作用。
实例分析：利用矩阵转置进行向量空间基变换
实例描述
基变换过程
结果分析
考虑二维平面上的一个向量空间，其 原基为$begin{bmatrix} 1 0 end{bmatrix}$和$begin{bmatrix} 0 1 end{bmatrix}$，现需要将其变换为 新基$begin{bmatrix} 1 1 end{bmatrix}$和$begin{bmatrix} -1 1 end{bmatrix}$。
线性代数第一章矩阵的转置
• 矩阵转置基本概念 • 矩阵转置与线性变换 • 特殊类型矩阵的转置 • 矩阵转置在方程组求解中应用 • 矩阵转置在向量空间中应用 • 总结与回顾
01
矩阵转置基本概念
矩阵转置定义
01
将矩阵的行和列互换得到的新矩 阵称为原矩阵的转置矩阵。
02
对于任意矩阵A，其转置矩阵记为 AT或A'，满足AT=A'。
关键知识点总结
01
02
03
04
$(kA)^T = kA^T$，其中$k$ 是常数
$(AB)^T = B^TA^T$
对称矩阵：若矩阵$A$满足 $A^T = A$，则称$A$为对称
矩阵。
反对称矩阵：若矩阵$A$满足 $A^T = -A$，则称$A$为反
对称矩阵。
常见误区提示
误区一
认为只有方阵才能进行转 置操作。实际上，任何形 状的矩阵都可以进行转置。
误区二
错误地认为$(AB)^T = A^TB^T$。正确的公式是 $(AB)^T = B^TA^T$。
矩阵转置具有一些重要的性质，如$(A+B)^T=A^T+B^T$、$(AB)^T=B^TA^T$、$(A^T)^T=A$等，这 些性质在基变换过程中具有重要作用。
实例分析：利用矩阵转置进行向量空间基变换
实例描述
基变换过程
结果分析
考虑二维平面上的一个向量空间，其 原基为$begin{bmatrix} 1 0 end{bmatrix}$和$begin{bmatrix} 0 1 end{bmatrix}$，现需要将其变换为 新基$begin{bmatrix} 1 1 end{bmatrix}$和$begin{bmatrix} -1 1 end{bmatrix}$。
线性代数第一章矩阵的转置
• 矩阵转置基本概念 • 矩阵转置与线性变换 • 特殊类型矩阵的转置 • 矩阵转置在方程组求解中应用 • 矩阵转置在向量空间中应用 • 总结与回顾
01
矩阵转置基本概念
矩阵转置定义
01
将矩阵的行和列互换得到的新矩 阵称为原矩阵的转置矩阵。
02
对于任意矩阵A，其转置矩阵记为 AT或A'，满足AT=A'。
关键知识点总结
01
02
03
04
$(kA)^T = kA^T$，其中$k$ 是常数
$(AB)^T = B^TA^T$
对称矩阵：若矩阵$A$满足 $A^T = A$，则称$A$为对称
矩阵。
反对称矩阵：若矩阵$A$满足 $A^T = -A$，则称$A$为反
对称矩阵。
常见误区提示
误区一
认为只有方阵才能进行转 置操作。实际上，任何形 状的矩阵都可以进行转置。
误区二
错误地认为$(AB)^T = A^TB^T$。正确的公式是 $(AB)^T = B^TA^T$。
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
矩阵论第一章
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为 集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作
a M
(或
a M ) .
表示法：
(1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an
实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素 的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系， 它是满足某种规律的有序对全体。
例 1：
A与B之间是一个住宿关系。
设A {甲，乙，丙，丁}(四个人），B {1, 2,3} （三套房间），
显然，R {(甲，1),(乙，3),(丁，3),(丙，2)} A B
逆映射与复合映射
1.1.8 逆映射的定义
定义: 设有映射 使 称此映射 g为 f 的逆映射 , 习惯上 计为 f 1. 若f有逆映射，则称f可逆. 例如, 映射
A
f
f 1
若存在一新映射
B
其逆映射为
机动
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定理1.1.4 设映射f :A→B是可逆的，则f 的逆 映射 f 1 是唯一的。
实数集合
R x x 为有理数或无理数
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B
若 A B 且 B A 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . 例如 , , ,
线性代数-第一章第2节-矩阵的运算
四、矩阵的转置
1. 定义
将矩阵 A m×n 的行换成同序数的列，列 换成同序数的行所得的 n×m 矩阵称为 A的转置矩阵，记作 AT 或 A'。
例如： A 1 0 2
4 3 0
则
AT
1 0
4 3
2 0
2）、转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
阵,且HH T E.
证明 HT E 2XXT T ET 2 XXT T
E 2XXT H , H是对称矩阵.
HH T H 2 E 2XX T 2 E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XT X XT
E 4XX T 4XX T E.
1.55 2.1 2.6
C (cik )32, A (aij )32, B (bjk )22
•而
2
cik aijbjk j 1
• （即A的第i行与B的第k列对应相乘再相加）
三、矩阵与矩阵相乘 定义 设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n ,
则 A 与 B 的乘积 C＝AB = ( cij ) m×n
A
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n
b2n
bmn
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn
bmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
矩阵分析第一章
1 5 1 1 5 fk 2 2 5 fk 1 1 5 lim 0.618 k f 1 2 k 1
k
k
例三：矩阵理论在数字滤波器设计中的应用
考虑一个N 2M阶的对称系数FIR滤波器的如下约束加 权最小二乘设计问题：期望响应D()，实际频率响应
向量组(I)的秩 向量组(II)的秩 （6）等价的向量组具有相同的秩
H ( ) (n) cos n ( )T
n 0
M
逼近误差度量定义为
W ( k )H ( k ) D( k )2 T G 2 T g c
k 1
L
c 其中W()0为权函数，
L
2 W ( ) D ( ) , k k k 1 L
Hale Waihona Puke xiT x j || xi ||2 || x j ||2
求解方法：矩阵的奇异值分解（SVD）
X UV T
其中U∈RN×N、V∈Rn×n是正交矩阵，
S R N n , S diag i 0
（和XTX）特征值的正平方根；U和V的列向量分别是矩阵 XTX和XTX的特征向量。 设X的秩为r < n，并令
R(A) {yCm| y Ax, xCn, ACmn}
二： 向量的线性相关性
定义：设V是F上的线性空间，1, 2, , rV, k1, k2, , kr F, 称k11 k22 krrV为1, 2, , r的线性组合 定义：设V是F上的线性空间，1, 2, , rV。若存在不 全为零的数k1, k2, , kr F, 使
其中u(t)为ℓ维输入变量，x(t)为n维状态变量，y(t)为m维输 出变量，A, B, C分别为nn, nℓ和mn矩阵。 定义：对于系统(A, B, C)的任意一个初始状态，如果可以 找到一个输入u(t)，在有限时间内把系统从初始状态驱动到 原点，则称该系统是能控的；否则，称该系统是不能控的。
01_矩阵论_第一章线性空间与线性变换
则有
1 0 0 1 0 0 0 0 A a11 0 0 a12 0 0 a21 1 0 a22 0 1
因此 R22 中任何一个向量都可写成向量组
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 0 0 , E12 0 0 , E21 1 0 , E22 0 1
Pn [ x] { ai xi | ai R}
i 0 n 1
在通常多项式加法和数乘多项式运算下构成线性 空间 Pn[x]。 值得指出的是次数等于 n 1 的多项式集合
V { ai x | ai R, an1 0}
i i [a, b] = {f (x) | f (x) 是区间 [a, b] 上 实连续函数 } ，对于函数的加法与数乘运算构成 实数域上的线性空间。
定义 1.3 设 1, 2, …, n 是线性空间 Vn(F) 的一组基，若 V,
xi i (1 2
i 1 n
x1 x2 n ) x n
(1.1)
则称数 x1, x2, …, xn 是 在基 {1, 2, …, n} 下 的坐标，(1.1) 式中向量 (x1, x2, …, xn)T 为 的坐 标向量，也简称为坐标。
从上述线性空间例子中可以看到，许多常见 的研究对象都可以在线性空间中作为向量来研究。 另外应理解加法和数乘分别是 V 中的一个二元运 算和数域 F 和 V 中元素间的运算，要求运算满足 定义 1.1 中的八条性质，它们已不再局限在数的 加法、乘法的概念中。
一个数学例子 取集合为正实数集合 R+，F 为实数域 R，加 法“”和数乘“”如下定义 ：a, bR+，ab = ab， ：kR(i.e. F )，aR+，k a = ak。 在此运算下，R+ 是 R 上的一个线性空间，其中 加法零元素是 R+ 中的数 1，R+ 中元素 a 的负元素 是 a1。
矩阵论第一章
二、基与维数
设X是数域K上的线性空间, { x1 , x2 ,L , xn } ⊂ X . 相关与无关 若存在不全为零的数 ai ∈ K , i = 1, 2,L , n, 使 则称 { x1 , x2 ,L , xn } 是线性相关的，否则称为线性无关的. 生成空间 设 E ⊂ X , 称
M中元素 的个数
当 A1 = A2 = L = An 时，记A = A1 × A2 ×L × An
n
习惯上：有理数集Q、实数集R、整数集Z、
{ } C = {α α = ( x , x ,L, x ) ,其中x ,L, x ∈ C} R = { A A = ( a ) , a ∈ R} C = { A A = ( a ) , a ∈ C}
矩阵论课件
2013.9
矩阵论简介 矩阵论是线性代数的深入，是用现代数学 的方法对有限维空间的描述与分析；对复杂矩 阵的分析、刻画与处理。 矩阵论不仅是学习数学理论的一个基本工 具，也是工程技术领域处理大量有限维空间形 式与数量关系的强有力工具。因此也是许多研 究方向的博士生入学考试的规定课程。
第一章
=0
故M为R
的子线性空间。
二、基与维数
1 0 0 1 0 0 取e1 = , e2 = , e3 = ∈ M. 0 −1 0 0 1 0 x1 x2 0 0 因为 x1e1 + x2e2 + x3e3 = = x − x 0 0 1 3
是Z到Z的双射；
x11 f4 x21
x12 x22
x13 = ( x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 ) x23
是R2×3到R6的双射。
矩阵论简明教程(整理全)
an1 L
( j 1,2,L ,n)
a2, j1 a3, j1
M an, j1
a2, j1 L a3, j1 L
MO an, j1 L
a2n
a3n
M
ann
2 、 A d e tA ( 1 ) j1 j2 L jn a 1 j1 a 2 j2 L a n jn j1 j2 L jn
二、块矩阵的行列式
Bs1
Bs2
L
Bsr
A11B11 A12B12 L A1r B1r
则, ABA21B21
A22B22 L
A2r
B2r
,
M
M O M
As1Bs1
As2Bs2 L
Asr
Bsr
2、数乘
A11 A12 L A1r
A11 A12 L A1r
设 AA21 A22 L A2r， 则 AA21 A22 L A2r
M MO M
an1 an2 L ann
a 1 1 ( 1 ) 1 1 M 1 1 a 1 2 ( 1 ) 1 2 M 1 2 ... a 1 n ( 1 ) 1 n M 1 n
n
n
a1j(1)1j M 1j a1jA 1j
j1
j1
(1)
a21 L
其中M1j
a31 M
L O
ADCB
Example 3
设 ACmn,BCnm,
证 明n ImABmInBA
证：
左边=n
ImAB
ImAB
0
A
In
Im B
A Im
In B
0
In
Im B
A Im
In B
0 In
矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-子空间与维数定理、线性空间的同构
(2) W W .
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
子空间举例
零子空间{0}与线性空间V 本身称为平凡子空间.
例1 线性空间V 的子集：(1,2 ,,m V )
m
L(1,2 ,,m ) { | kii , ki P} i 1
是V的子空间，称为由
称为子空间 V1 与 V2 的交；
（2）集合 V1 V2 { | V1, V2 }
称为子空间 V1 与 V2 的和；
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
定理1-3：线性空间V 的两个子空间V1与V2的 交W=V1∩V2也是V 的子空间.
证 (1) W 是非空集合， 0 W ；
生成的子空间.
例2 在n维线性空间V=Pn 中，子集
W { | A 0, Pn}
是V 的一个n-r 维子空间，r是的ຫໍສະໝຸດ .目录 上页 下页 返回 结束
第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
二、子空间的运算
定义：设V1, V2是线性空间V 的两个子空间，则
（1）集合 V1 V2 { | V1且 V2 }
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
推论：若n维线性空间V 的两个子空间的维数之和
大于n，则其交V1∩V2必含非零向量. dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
定义1-5：设V1, V2是线性空间V 的两个子空间， 若和 W V1 V2 具有性质：
（4） dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) .
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
子空间举例
零子空间{0}与线性空间V 本身称为平凡子空间.
例1 线性空间V 的子集：(1,2 ,,m V )
m
L(1,2 ,,m ) { | kii , ki P} i 1
是V的子空间，称为由
称为子空间 V1 与 V2 的交；
（2）集合 V1 V2 { | V1, V2 }
称为子空间 V1 与 V2 的和；
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
定理1-3：线性空间V 的两个子空间V1与V2的 交W=V1∩V2也是V 的子空间.
证 (1) W 是非空集合， 0 W ；
生成的子空间.
例2 在n维线性空间V=Pn 中，子集
W { | A 0, Pn}
是V 的一个n-r 维子空间，r是的ຫໍສະໝຸດ .目录 上页 下页 返回 结束
第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
二、子空间的运算
定义：设V1, V2是线性空间V 的两个子空间，则
（1）集合 V1 V2 { | V1且 V2 }
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第一章第三四节 子空间与维 数定理、线性空间的同构
推论：若n维线性空间V 的两个子空间的维数之和
大于n，则其交V1∩V2必含非零向量. dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
定义1-5：设V1, V2是线性空间V 的两个子空间， 若和 W V1 V2 具有性质：
（4） dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) .
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矩阵的相似与相合
定理1.2.11. n阶实对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式大于0.
6
第一章 矩阵的相似与相合
§1.3 典型题析
例1.3.1. 求下列矩阵的特征值与特征向量.
( 1 −1 )
(1) A =
;
11
210
(2) A = −4 −2 0
4 −8 −3
说明 特征值与特征向量的求解是本章的重要内容. 一般地, n阶方阵A的特征值和 特征向量的求法可归纳为:
推论1.2.3. n元二次型xT Ax的正、负惯性指数分别为A的正、负特征值个数.
定理1.2.9. 任一n阶实对称矩阵A相合于
Ip 0
0 −Ir−p
0 0
0 00
其中r = r(A), 且p由A唯一确定, 分别称p, r − p为A的正惯性指数和负惯性指数.
推论1.2.4. 两个n阶实对称矩阵相合的充要条件是它们的秩相等, 并且它们的正 惯性指数也相等.
r(λI − A) = n − s, 其中s为λ的重数. 1.2.4 实对称矩阵的对角化
定理1.2.4. 实对称矩阵的特征值都是实数. 对实对称矩阵A, 因为A的特征值λ是实数, 所以齐次线性方程组(λI − A)x = 0的 基础解系可由实向量组成, 因此A属于特征值λ的特征向量可以取为实向量. 定理1.2.5. 属于实对称矩阵的不同特征值的实特征向量彼此正交. 定理1.2.6. 任意n阶实对称矩阵A一定可正交对角化. 即有正交矩阵P , 使
(1.2.6)
其中di > 0, i = 1, 2, · · · , r, r是这个二次型的秩.
可逆线性变换
y1
y2 ...
=
1 diag( √ ,
d1
矩阵分解及应用
引言数学是人类历史中发展最早，也是发展最为庞大的基础学科。
许多人说数学是万理之源，因为许多学科的研究都是以数学做为基础，有了数学的夯实基础，人类才铸就起了众多学科的高楼大厦，所以数学的研究和发展一直在不断的发展壮大。
在数学中有一支耀眼的分支，那就是矩阵。
在古今矩阵的研究发展长河中产生了许多闪耀星河的大家。
英国数学大家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特，一个数学狂人，正是他的孜孜不倦的研究使得矩阵理论正式被确立并开启了矩阵发展的快速发展通道。
凯莱和西尔维斯特是非常要好的朋友，他也是一位非常伟大的数学大师，正是他们伟大的友谊，加上两人的齐心协力最后他们共同发展了行列式和矩阵的理论。
后来高斯在矩阵方面的研究取得重要的成就，尤其是高斯消去法的确立，加速了矩阵理论的完善和发展。
而在我国，矩阵的概念古已有之。
从最早的数学大家刘徽开始我们古代数学大家都已或多或少的研究了矩阵。
尤其在数学大家刘徽写的《九章算术》中，它最早提出了矩阵的类似定义。
而且是将矩阵的类似定义用在了解决遍乘直除问题里了。
这已经开始孕育出了最早的矩阵形式。
随着时间转移，矩阵的理论不断的完善，在对于那些大型矩阵的计算中如果用基本方法显得过于繁重，于是发展出了矩阵的分解，随着对矩阵分解的不断研究完善，矩阵分解方法和理论也日趋成熟矩阵经常被当做是数学工具，因为在数学问题中要经常用上矩阵的知识。
矩阵是一个表格，要掌握其运算法则，作为表格的运算与数的运算既有联系又有差别，在所有矩阵的运算方法中，矩阵的分解是他们中一种最重要并且也是应用最广泛。
矩阵分解主要是对高斯消去法的延续和拓展。
在一些大型的矩阵计算中，其计算量大，化简繁杂，使得计算非常复杂。
如果运用矩阵的分解，将那些大型矩阵分解成简单的矩阵的乘积形式，则可大大降低计算的难度以及计算量。
这就是矩阵分解的主要目的。
而且对于矩阵的秩的问题，特征值的问题，行列式的问题等等，通过矩阵的分解后都可以清楚明晰的反应出来。
戴华《矩阵论》 第一章线性空间与内积空间 ppt课件
22r111221221000001001000001iiieeee????????????????????????显然111221112212211000101aeeeeee??????????????????类似地211221112212211000101aeeeeee?????????????????????312211112212200111010aeeeeee??????????????????则基iii到基i的过渡矩阵为11100001100111100c??????????????412211112212200111010aeeeeee?????????????????????而基iii到基ii的过渡矩阵为21111111011001000c????????????所以1234111221221aaaaeeeec1234111221222bbbbeeeec从而112ccc?1123421aaaacc?因此基i到基ii的过渡矩阵为21110111122???2100010?????????1234111221222bbbbeeeec注意
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
ppt课件
30
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间 Rnn 的维数为
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）
27
ppt课件
28
注: （1）若把线性空间V 看作无穷个向量组成的向
量组，那么 V 的基就是向量组的极大无关组, V 的 维数就是向量组的秩.
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
ppt课件
30
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间 Rnn 的维数为
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）
27
ppt课件
28
注: （1）若把线性空间V 看作无穷个向量组成的向
量组，那么 V 的基就是向量组的极大无关组, V 的 维数就是向量组的秩.
矩阵论简明教程整理全PPT课件
k
ei
e
H j
E ei , ej , k
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Remark
det E u,v, det In uvH det 1 vHu
1 vHu (由n Im AB m In BA 得到）
第46页/共188页
四、其他特殊矩阵
1幂零矩阵：Ak 0, k : 某正整数; 2幂等矩阵：A2 A; 3 实对称正定矩阵：
a a jn 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
第13页/共188页
二、块矩阵的行列式
1、设A Cmm , B Cmn , C Cnm , D Cnn , 则
1 A
0A
BA
0 AD
0D 0D CD
2 A B 1mn C D 1mn B A
CD
AB
DC
3 A B m A B
minrank A, rank B
第30页/共188页
推论1
设ACmn , B Cnk ,且AB 0,则
rank A rank B n
第31页/共188页
§1.4 特殊矩阵
一、 几类基本的特殊矩阵
1、零矩阵，单位矩阵 2、对角矩阵
a11
D
a22
diag
a11
,
a22
,
ann
第50页/共188页
§2.1 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1、定义 定义1
设ACnn ,若存在数 C和x Cn , x 0使得 Ax x
则称是A的特征值，x称为A属于的特征向量。
第51页/共188页
2、特征多项式 定义2
设ACnn , 称In A为A的特征矩阵，称detIn A 为A的特征多项式,称detIn A 0为A的特征方程。
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为正定二次型。 注：判断二次型正定的方法->判断对应的实对称矩阵A的特征值全大于零或阵 A的
所有顺序主子式全大于零判断。
b. 半正定二次型：f c1,c2,L ,cn 0 c. 半负定二次型：f c1,c2,L ,cn 0 d. 负定二次型： f c1,c2,L ,cn 0
J0
0 M
0
O
O O
M 1
0
0L
0
ss
1.4 矩阵的相似变换
约当标准型：
1 1
1 O
O1
1
J1
J
J2 O
2 1 2 O O1
J
k
2
O
可乘条件：A矩阵的列数=B矩阵的行数。 注意：AB=BA?
3. 分块矩阵：矩阵分块后每个子块就如同矩阵的元素一样进行运算，但要注意 转置问题：子块先进行行列互换，然后每个子块转置。
4. 矩阵的初等变换： ①某行乘K。②某行乘非0的K加到另一行。③对调矩阵的任意两行或两列。 通过初等变换可以求矩阵的秩。
⑧ rank P 1AP rankA
1.4 矩阵的相似变换
3. 化标准型（对角型、约当型）
① 化对角标准型
➢ n阶方阵A可对角化的充要条件：A有n 个线性无关的特征向量。
➢ 若A有n 个不同的特征值，则A一定与如下对角阵相似：
1
2
n
➢ 实对称方阵一定可对角化，因其有n个线性无关的特征向量。
③ P 1 A1 A2 P P 1 A1PP 1 A2 P
④若 f A 为一特征多项式，则有P 1 f AP f P 1AP
⑤ P1AP A
⑥ tr P 1AP tr AP 1P trA
⑦ I A I P1AP
0 0
得特征向量： 1
1 -1
1.4 矩阵的相似变换
对于2 =4，有
2 -2
-1
1
X1 X2
0 0
得特征向量：
2
=
1 2
第三步，利用特征向量做满秩矩阵P.
P 1
2
1 1
1 2
则
P-1
1 3
2 1
1
1
对角阵：
1.4 矩阵的相似变换
B
P1
AP
1 3
2 1
1 2
1
2
1 1 3 1
1 2
1
4
1.4 矩阵的相似变换
②化约当标准型（矩阵特征向量数小于矩阵的阶次，可化为约当标准型）
约当块
0 1 L 0
1.4 矩阵的相似变换
1. 矩阵相似的概念：
设有两个 n 阶方阵A、B，如果存在一个n阶可逆方阵P，使得 P P1AP
则称 B 与 A 是相似的，记做: A ～B
2. 相似的运算性质：
① P 1 A1 A2 P P 1 A1P P 1 A2 P ② P 1kAP kP 1AP
BT PT APT PT AT P PT AP B
1.5 二次型概念
• 二次型的一些重要概念
a. 正定二次型：实二次型 f X1, X2,L , Xn 如果对于任意一组不为零的实数
c1, c2 L cn 都有 f c1,c2,L ,cn 0 则称 f X1, X2,L , Xn
0 0 0 X1 0
-1
1
-1
X
2
=
0
-1 1 -1 X3 0
0 1= 1
1
1.4 矩阵的相似变换
对 2I A2 1 ,有
0 0 0 X1 0
-1
1
-1
1 -1 3
解：第一步，将A化为约当标准型
2 0 0
I
A
1
1
1
1 1 3
初等变换
I
A
1 0
0 2
0
0
0
0
-2
2
初等因子：-2，-22
2
则约当标准型： J 0
0
1.2 基本运算
5. 矩阵的求逆计算：三种方法
①利用伴随矩阵adjA
A-1 1 adjA A
②利用矩阵的初等变换求逆。
AI 初等变换 I A-1
③利用分块矩阵求逆
6. 矩阵的因式分解
1.3 矩阵的特征方程、特征值和特征向量
1. 矩阵A的特征矩阵：I A 2. 特征多项式： f I A 3. 特征方程： f I A 0
1.4 矩阵的相似变换
设矩阵
A
2 2
1 3
，试将其对角化。
解：第一步，列些特征方程并求特征值。
-2 I -A
-1 1 4 0
-2 -3
1=1，2 =4
第二步，求特征向量。对于 1=1 有
-1 -2
-1
1
X1 X2
iI A1 0 iI A i 0 如果为多重根： i I A 2 =-1
M
i I An =-n1
1.4 矩阵的相似变换
变换矩阵： 即：
P 1,2,L ,n
P-1AP J
1.4 矩阵的相似变换
2 0 0
设 A 1 1 1 ，求使 P1AP J 的P。
1.4 矩阵的相似变换
• 化约当标准型的方法
初等因子法
a) 列出矩阵A的特征矩阵I A ，得 矩阵，进行初等变换，使之称为对角阵，并求其
初等因子； b) 相应于每个初等因子，做对应的约当块； c) 把全部约当块直合成约当标准型。
求变换矩阵的方法
a) 利用获取的特征值求出对应的特征向量；
k 1 k O
O 1
由一些约当块组成的准对角 阵，称为约当标准型
k
1.4 矩阵的相似变换
• 约当标准型存在定理 a. 复数域上任一n阶方阵A都可以化为一个约当标准型。除去A的约 当标准型的约当块的排列次序外，是被A唯一确定的。 b. 复数域上的n阶仿真A的约当标准型J的主对角元恰好是A的特征 值，并且J的主对角线上A的任意特征值出现次数等于其特征值 的重数。
即： A i i i
i 为 i 的特征向量
2 2
n n
1.4 矩阵的相似变换
化对角标准型的步骤： 1. 写特征方程并求特征值； 2. 求特征向量； 3. 利用特征向量 1, 2 做满秩矩阵P； 4. 化对角阵 B P1AP 注：当线性无关的特征向量的个数小于矩阵的阶次时无法进行对角化。
的矩阵所对应的行列式。
• 伴随矩阵：矩阵B，其第 i 和 j 列元素等于 Aji 时，称B为A的伴随
矩阵。B = adjA
• 正交矩阵：若n阶方阵A和它的转置矩阵 AT 满足AT A I 则称矩
阵A为正交矩阵。
1.2 基本运算
1. 矩阵的加减法：相应行列的元素进行加减。 2. 矩阵的乘法：A*B
4. 特征值：特征方程式的解 i 5. 特征向量：若 0 为矩阵A的特征值，则方程 AX 0 X 一定有非0解向量 X 。
则 X 为矩阵A的属于特征值 0 的特征向量。
6. 凯莱-哈密尔顿定理：若n阶方阵A的特征多项式为 f 则有：f A 0
1.3 矩阵的特征方程、特征值和特征向量
f
X1, X2,L , Xn
a11X12 2a12 X1X2 L
ann
X
2 n
称为实数域上的一个n元二次型。若上式无交叉项，称为二次标准型。
二次型都可以唯一的同一个n阶实对称矩阵：
a11 a12 L a1n
x1
A a12 a22 M
O
a2
n
对应
f
x1, x2,L
X
2
1
-1 1 -1 X3 1
1
同理，可求出：3
0
-1
0 1 1
故 P 1
2
3 1
0
0
1 0 -1
1
2 0
0
1.5 二次型概念
• 定义：一个系数在实数域的 X1, X 2,L , X n 的二次齐次多项式
• 对角矩阵：n阶方阵A除了朱对角线元素外，其余元素都是0。当对 角矩阵，主对角线上的元素全为1时，则称为：单位阵（幺阵），
记为：I 。
1.1 基本概念和定义
• 零阵：所有元素全等于零的矩阵。 • 矩阵相等：
①行数和列数分别相等； ②对应的元素都相等。
• 对称矩阵：方阵A满足aij a ji
• 转置矩阵： n m阶矩阵A的行列互换而得到
m n 阶矩阵叫做A的转置矩阵。AT 或 A'
• 共轭矩阵;矩阵A的复数元素全部用各自的共轭复数来替换，则两个矩 阵互为共轭矩阵。
1.1 基本概念和定义
所有顺序主子式全大于零判断。
b. 半正定二次型：f c1,c2,L ,cn 0 c. 半负定二次型：f c1,c2,L ,cn 0 d. 负定二次型： f c1,c2,L ,cn 0
J0
0 M
0
O
O O
M 1
0
0L
0
ss
1.4 矩阵的相似变换
约当标准型：
1 1
1 O
O1
1
J1
J
J2 O
2 1 2 O O1
J
k
2
O
可乘条件：A矩阵的列数=B矩阵的行数。 注意：AB=BA?
3. 分块矩阵：矩阵分块后每个子块就如同矩阵的元素一样进行运算，但要注意 转置问题：子块先进行行列互换，然后每个子块转置。
4. 矩阵的初等变换： ①某行乘K。②某行乘非0的K加到另一行。③对调矩阵的任意两行或两列。 通过初等变换可以求矩阵的秩。
⑧ rank P 1AP rankA
1.4 矩阵的相似变换
3. 化标准型（对角型、约当型）
① 化对角标准型
➢ n阶方阵A可对角化的充要条件：A有n 个线性无关的特征向量。
➢ 若A有n 个不同的特征值，则A一定与如下对角阵相似：
1
2
n
➢ 实对称方阵一定可对角化，因其有n个线性无关的特征向量。
③ P 1 A1 A2 P P 1 A1PP 1 A2 P
④若 f A 为一特征多项式，则有P 1 f AP f P 1AP
⑤ P1AP A
⑥ tr P 1AP tr AP 1P trA
⑦ I A I P1AP
0 0
得特征向量： 1
1 -1
1.4 矩阵的相似变换
对于2 =4，有
2 -2
-1
1
X1 X2
0 0
得特征向量：
2
=
1 2
第三步，利用特征向量做满秩矩阵P.
P 1
2
1 1
1 2
则
P-1
1 3
2 1
1
1
对角阵：
1.4 矩阵的相似变换
B
P1
AP
1 3
2 1
1 2
1
2
1 1 3 1
1 2
1
4
1.4 矩阵的相似变换
②化约当标准型（矩阵特征向量数小于矩阵的阶次，可化为约当标准型）
约当块
0 1 L 0
1.4 矩阵的相似变换
1. 矩阵相似的概念：
设有两个 n 阶方阵A、B，如果存在一个n阶可逆方阵P，使得 P P1AP
则称 B 与 A 是相似的，记做: A ～B
2. 相似的运算性质：
① P 1 A1 A2 P P 1 A1P P 1 A2 P ② P 1kAP kP 1AP
BT PT APT PT AT P PT AP B
1.5 二次型概念
• 二次型的一些重要概念
a. 正定二次型：实二次型 f X1, X2,L , Xn 如果对于任意一组不为零的实数
c1, c2 L cn 都有 f c1,c2,L ,cn 0 则称 f X1, X2,L , Xn
0 0 0 X1 0
-1
1
-1
X
2
=
0
-1 1 -1 X3 0
0 1= 1
1
1.4 矩阵的相似变换
对 2I A2 1 ,有
0 0 0 X1 0
-1
1
-1
1 -1 3
解：第一步，将A化为约当标准型
2 0 0
I
A
1
1
1
1 1 3
初等变换
I
A
1 0
0 2
0
0
0
0
-2
2
初等因子：-2，-22
2
则约当标准型： J 0
0
1.2 基本运算
5. 矩阵的求逆计算：三种方法
①利用伴随矩阵adjA
A-1 1 adjA A
②利用矩阵的初等变换求逆。
AI 初等变换 I A-1
③利用分块矩阵求逆
6. 矩阵的因式分解
1.3 矩阵的特征方程、特征值和特征向量
1. 矩阵A的特征矩阵：I A 2. 特征多项式： f I A 3. 特征方程： f I A 0
1.4 矩阵的相似变换
设矩阵
A
2 2
1 3
，试将其对角化。
解：第一步，列些特征方程并求特征值。
-2 I -A
-1 1 4 0
-2 -3
1=1，2 =4
第二步，求特征向量。对于 1=1 有
-1 -2
-1
1
X1 X2
iI A1 0 iI A i 0 如果为多重根： i I A 2 =-1
M
i I An =-n1
1.4 矩阵的相似变换
变换矩阵： 即：
P 1,2,L ,n
P-1AP J
1.4 矩阵的相似变换
2 0 0
设 A 1 1 1 ，求使 P1AP J 的P。
1.4 矩阵的相似变换
• 化约当标准型的方法
初等因子法
a) 列出矩阵A的特征矩阵I A ，得 矩阵，进行初等变换，使之称为对角阵，并求其
初等因子； b) 相应于每个初等因子，做对应的约当块； c) 把全部约当块直合成约当标准型。
求变换矩阵的方法
a) 利用获取的特征值求出对应的特征向量；
k 1 k O
O 1
由一些约当块组成的准对角 阵，称为约当标准型
k
1.4 矩阵的相似变换
• 约当标准型存在定理 a. 复数域上任一n阶方阵A都可以化为一个约当标准型。除去A的约 当标准型的约当块的排列次序外，是被A唯一确定的。 b. 复数域上的n阶仿真A的约当标准型J的主对角元恰好是A的特征 值，并且J的主对角线上A的任意特征值出现次数等于其特征值 的重数。
即： A i i i
i 为 i 的特征向量
2 2
n n
1.4 矩阵的相似变换
化对角标准型的步骤： 1. 写特征方程并求特征值； 2. 求特征向量； 3. 利用特征向量 1, 2 做满秩矩阵P； 4. 化对角阵 B P1AP 注：当线性无关的特征向量的个数小于矩阵的阶次时无法进行对角化。
的矩阵所对应的行列式。
• 伴随矩阵：矩阵B，其第 i 和 j 列元素等于 Aji 时，称B为A的伴随
矩阵。B = adjA
• 正交矩阵：若n阶方阵A和它的转置矩阵 AT 满足AT A I 则称矩
阵A为正交矩阵。
1.2 基本运算
1. 矩阵的加减法：相应行列的元素进行加减。 2. 矩阵的乘法：A*B
4. 特征值：特征方程式的解 i 5. 特征向量：若 0 为矩阵A的特征值，则方程 AX 0 X 一定有非0解向量 X 。
则 X 为矩阵A的属于特征值 0 的特征向量。
6. 凯莱-哈密尔顿定理：若n阶方阵A的特征多项式为 f 则有：f A 0
1.3 矩阵的特征方程、特征值和特征向量
f
X1, X2,L , Xn
a11X12 2a12 X1X2 L
ann
X
2 n
称为实数域上的一个n元二次型。若上式无交叉项，称为二次标准型。
二次型都可以唯一的同一个n阶实对称矩阵：
a11 a12 L a1n
x1
A a12 a22 M
O
a2
n
对应
f
x1, x2,L
X
2
1
-1 1 -1 X3 1
1
同理，可求出：3
0
-1
0 1 1
故 P 1
2
3 1
0
0
1 0 -1
1
2 0
0
1.5 二次型概念
• 定义：一个系数在实数域的 X1, X 2,L , X n 的二次齐次多项式
• 对角矩阵：n阶方阵A除了朱对角线元素外，其余元素都是0。当对 角矩阵，主对角线上的元素全为1时，则称为：单位阵（幺阵），
记为：I 。
1.1 基本概念和定义
• 零阵：所有元素全等于零的矩阵。 • 矩阵相等：
①行数和列数分别相等； ②对应的元素都相等。
• 对称矩阵：方阵A满足aij a ji
• 转置矩阵： n m阶矩阵A的行列互换而得到
m n 阶矩阵叫做A的转置矩阵。AT 或 A'
• 共轭矩阵;矩阵A的复数元素全部用各自的共轭复数来替换，则两个矩 阵互为共轭矩阵。
1.1 基本概念和定义