第一章 矩阵基本知识

4. 特征值：特征方程式的解 i 5. 特征向量：若 0 为矩阵A的特征值，则方程 AX 0 X 一定有非0解向量 X 。
则 X 为矩阵A的属于特征值 0 的特征向量。
6. 凯莱-哈密尔顿定理：若n阶方阵A的特征多项式为 f 则有：f A 0
1.3 矩阵的特征方程、特征值和特征向量
BT PT APT PT AT P PT AP B
1.5 二次型概念
• 二次型的一些重要概念
a. 正定二次型：实二次型 f X1, X2,L , Xn 如果对于任意一组不为零的实数
c1, c2 L cn 都有 f c1,c2,L ,cn 0 则称 f X1, X2,L , Xn
向量的最大个数）的数目。
• 余子式 M ij ：从 n n 阶矩阵A中去掉第 i 行、第 j 列所得带到
的（n -1）（n -1）阶对应的行列式叫做矩阵A的余子式。
1.1 基本概念和定义
• 余因子式：矩阵A中元素aij 的余因子式定义为Aij (1)i j M ij ， 也就是方阵中元素 aij 即为用 (1)i j 乘A中去掉 i 行和 j 列后构成

0 0
得特征向量： 1

1 -1
1.4 矩阵的相似变换
对于2 =4，有
2 -2
-1
1


X1 X2


Biblioteka Baidu 0
得特征向量：

2
=
1 2
第三步，利用特征向量做满秩矩阵P.
P 1

2


1 1
1 2
则
➢ 相似变换中的满秩阵 P 可由方阵 A 的特征向量所构成。
1.4 矩阵的相似变换
根据相似性，若存在满秩阵 P;
1

P 1AP
2




n

1

则有 AP P
2




n

设 P 1 2 n 则有 AP A 1 A 2 A n 1 1
第一章 矩阵基本知识
• 基本概念和定义 • 基本运算 • 矩阵的特征方程、特征值和特征向量 • 矩阵的相似变换 • 二次型概念 • 矩阵的微分和积分 • 广义矩阵
1.1 基本概念和定义
• 矩阵：简化复杂数学表达式。
例如：
a11X1 a12X2 a1nXn b1
a 21X1a
可乘条件：A矩阵的列数=B矩阵的行数。 注意：AB=BA?
3. 分块矩阵：矩阵分块后每个子块就如同矩阵的元素一样进行运算，但要注意 转置问题：子块先进行行列互换，然后每个子块转置。
4. 矩阵的初等变换： ①某行乘K。②某行乘非0的K加到另一行。③对调矩阵的任意两行或两列。 通过初等变换可以求矩阵的秩。
1.2 基本运算
5. 矩阵的求逆计算：三种方法
①利用伴随矩阵adjA
A-1 1 adjA A
②利用矩阵的初等变换求逆。
AI 初等变换 I A-1
③利用分块矩阵求逆
6. 矩阵的因式分解
1.3 矩阵的特征方程、特征值和特征向量
1. 矩阵A的特征矩阵：I A 2. 特征多项式： f I A 3. 特征方程： f I A 0
0 0 0 X1 0
-1
1
-1

X
2

=
0
-1 1 -1 X3 0
0 1= 1
1
1.4 矩阵的相似变换
对 2I A2 1 ,有
0 0 0 X1 0
-1
1
-1

k 1 k O


O 1


由一些约当块组成的准对角 阵，称为约当标准型
k
1.4 矩阵的相似变换
• 约当标准型存在定理 a. 复数域上任一n阶方阵A都可以化为一个约当标准型。除去A的约 当标准型的约当块的排列次序外，是被A唯一确定的。 b. 复数域上的n阶仿真A的约当标准型J的主对角元恰好是A的特征 值，并且J的主对角线上A的任意特征值出现次数等于其特征值 的重数。
, xn
x1, x2,L
,
xn

A

x2

M
a1n a2n L
ann


xn

1.5 二次型概念
• 正交变换 若方阵A,B满足如下关系:
正交矩阵：PT P I
B PT AP
当P为正交矩阵时，则称这种变换关系为正交变换。
注：一个对称矩阵A经正交变换后仍然是对称矩阵。
m n 阶矩阵叫做A的转置矩阵。AT 或 A'
• 共轭矩阵;矩阵A的复数元素全部用各自的共轭复数来替换，则两个矩 阵互为共轭矩阵。
1.1 基本概念和定义
• 逆阵：设方阵A，若存在另一个方阵B满足AB=BA=I，则两个矩阵互为
逆阵。记为： A1 B 。
• 奇异矩阵：方阵对应的行列式为0。 • 非奇异矩阵：方阵对应的行列式不为0。 • 矩阵的秩：矩阵A中线性独立的列或行向量（列向量和行向量线性无关
⑧ rank P 1AP rankA
1.4 矩阵的相似变换
3. 化标准型（对角型、约当型）
① 化对角标准型
➢ n阶方阵A可对角化的充要条件：A有n 个线性无关的特征向量。
➢ 若A有n 个不同的特征值，则A一定与如下对角阵相似：
1


2




n

➢ 实对称方阵一定可对角化，因其有n个线性无关的特征向量。
的矩阵所对应的行列式。
• 伴随矩阵：矩阵B，其第 i 和 j 列元素等于 Aji 时，称B为A的伴随
矩阵。B = adjA
• 正交矩阵：若n阶方阵A和它的转置矩阵 AT 满足AT A I 则称矩
阵A为正交矩阵。
1.2 基本运算
1. 矩阵的加减法：相应行列的元素进行加减。 2. 矩阵的乘法：A*B

X
2


1
-1 1 -1 X3 1
1
同理，可求出：3


0

-1
0 1 1
故 P 1
2
3 1
0
0

1 0 -1
1
2 0
0
1.5 二次型概念
• 定义：一个系数在实数域的 X1, X 2,L , X n 的二次齐次多项式
f
X1, X2,L , Xn
a11X12 2a12 X1X2 L
ann
X
2 n
称为实数域上的一个n元二次型。若上式无交叉项，称为二次标准型。
二次型都可以唯一的同一个n阶实对称矩阵：
a11 a12 L a1n
x1
A a12 a22 M
O
a2
n


对应
f
x1, x2,L
P-1

1 3
2 1
1
1

对角阵：
1.4 矩阵的相似变换
B

P1
AP

1 3
2 1
1 2
1

2
1 1 3 1
1 2

1
4
1.4 矩阵的相似变换
②化约当标准型（矩阵特征向量数小于矩阵的阶次，可化为约当标准型）
约当块
0 1 L 0
J0


0 M
0
O
O O
M 1

0
0L
0

ss
1.4 矩阵的相似变换
约当标准型：
1 1


1 O


O1


1


J1

J

J2 O




2 1 2 O O1


J
k



2

O

iI A1 0 iI A i 0 如果为多重根： i I A 2 =-1
M
i I An =-n1
1.4 矩阵的相似变换
变换矩阵： 即：
P 1,2,L ,n
P-1AP J
1.4 矩阵的相似变换
2 0 0
设 A 1 1 1 ，求使 P1AP J 的P。
• 对角矩阵：n阶方阵A除了朱对角线元素外，其余元素都是0。当对 角矩阵，主对角线上的元素全为1时，则称为：单位阵（幺阵），
记为：I 。
1.1 基本概念和定义
• 零阵：所有元素全等于零的矩阵。 • 矩阵相等：
①行数和列数分别相等； ②对应的元素都相等。
• 对称矩阵：方阵A满足aij a ji
• 转置矩阵： n m阶矩阵A的行列互换而得到
1 -1 3
解：第一步，将A化为约当标准型
2 0 0

I

A


1
1
1

1 1 3
初等变换

I

A

1 0
0 2
0

0
0
0


-2
2

初等因子：-2，-22
2
则约当标准型： J 0
0
1.4 矩阵的相似变换
1. 矩阵相似的概念：
设有两个 n 阶方阵A、B，如果存在一个n阶可逆方阵P，使得 P P1AP
则称 B 与 A 是相似的，记做: A ～B
2. 相似的运算性质：
① P 1 A1 A2 P P 1 A1P P 1 A2 P ② P 1kAP kP 1AP
③ P 1 A1 A2 P P 1 A1PP 1 A2 P
④若 f A 为一特征多项式，则有P 1 f AP f P 1AP
⑤ P1AP A
⑥ tr P 1AP tr AP 1P trA
⑦ I A I P1AP
1.4 矩阵的相似变换
• 化约当标准型的方法
初等因子法
a) 列出矩阵A的特征矩阵I A ，得 矩阵，进行初等变换，使之称为对角阵，并求其
初等因子； b) 相应于每个初等因子，做对应的约当块； c) 把全部约当块直合成约当标准型。
求变换矩阵的方法
a) 利用获取的特征值求出对应的特征向量；
1.4 矩阵的相似变换
设矩阵
A
2 2
1 3
，试将其对角化。
解：第一步，列些特征方程并求特征值。
-2 I -A
-1 1 4 0
-2 -3
1=1，2 =4
第二步，求特征向量。对于 1=1 有
-1 -2
-1
1


X1 X2

为正定二次型。 注：判断二次型正定的方法->判断对应的实对称矩阵A的特征值全大于零或阵 A的
所有顺序主子式全大于零判断。
b. 半正定二次型：f c1,c2,L ,cn 0 c. 半负定二次型：f c1,c2,L ,cn 0 d. 负定二次型： f c1,c2,L ,cn 0
7. 求特征值和特征向量步骤
a. 写出矩阵A的特征矩阵； b. 写出特征方程，并求出解（特征值）； c. 求特征向量。
1.3 矩阵的特征方程、特征值和特征向量
几点特性：
①若 是属于特征值 的一个特征向量，那么 k 也是属于 0 的特征向量。
Ak 0 k
②矩阵A的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的。 ③矩阵A的同一个特征值所对应的特征值也是线性无关的。 ④矩阵A的重根特征值所对应的特征向量个数不一定与重根个数相等 且特征向量的个数不大于重根次数。 ⑤实对称矩阵的特征值一定是实数。
22 X 2
a
2n
X
n

b2
a n1X1 a n2X2 a nnXn bn
用矩阵表示：AX=B
1.1 基本概念和定义
• 方阵：行数和列数相同的。（行列式） • 列矩阵：只有一列的矩阵，又名列向量。 • 行矩阵：只有一行的矩阵，又名行向量。
思考：一个 m n 的矩阵能不能看成多个行向量或列向量表示？
1 2 0
0 0 2
或
J

2 0 0
0 2 0
0
1

2
1.4 矩阵的相似变换
第二步，求变换矩阵P。
令 P 1 2 3
通过等式 AP=PJ 得：
2I A1 0 2I A2 1 2I A3 0
对 2I A1 0，得
即： A i i i
i 为 i 的特征向量
2 2
n n
1.4 矩阵的相似变换
化对角标准型的步骤： 1. 写特征方程并求特征值； 2. 求特征向量； 3. 利用特征向量 1, 2 做满秩矩阵P； 4. 化对角阵 B P1AP 注：当线性无关的特征向量的个数小于矩阵的阶次时无法进行对角化。