10-11第1学期开学初线性代数(工)补考试卷

北京工业大学2010-2011学年第1学期开学初
线性代数(工) 补考试卷
考试方式：闭卷 考试时间：2010年 08月 日 学号 姓名 成绩 注：本试卷共8大题，满分100分. 得分登记（由阅卷教师填写）
一. 填空题（每小题3分，共30 分）.
1. 行列式21
22
10
3
x
x x --的完全展开式中，3x 的系数是
2. 设n 阶方阵A 满足：2
0A A E -+=，E 是n 阶单位矩阵，则A E +可逆，且
1()A E -+=
3. 设A 是3阶实方阵。

,,2A A E A E --均不可逆。

则行列式2A A E -+=
4. 010101010011010011101-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪= ⎪⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
5. 如果三维列向量组123{,,}ααα和12{,}ββ满足112
2
23
12
223αββαβαββ=
-⎧⎪
=-⎨⎪=+⎩，则矩阵()12
3,,ααα的行列式()123,,ααα= （要求填具体数字）
6. 设矩阵13101
112202
A a -⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪-
⎪⎝⎭
，B 是3阶非零矩阵，且0AB =，则=a 7. 设A 为5阶方阵。

若秩()2r A =，则齐次线性方程组0AX =的基础解系中含有解向
量的个数为
8. 设121,1λλ=-=是实对称矩阵A 的特征值，(1,1,1),(,2,1)T T
t t αβ=-+=- 是分
别属于1,1-的特征向量，则t =
9. 若矩阵0cos sin sin a b c e
d θ
θθ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
是正交矩阵，且0b <，则1A -⎛⎫
⎪=
⎪ ⎪⎝⎭
10. 二次型112323131(,,)512120x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
的正、负惯性指数之和=
二. 单项选择题（每小题3分，共15分）。

将正确答案的字母填入括号内。

1. 矩阵 011101110--⎛⎫
⎪
-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 和
100020001⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
的关系是 【 】 （A ） 合同但不相似 （B ） 相似但不合同
（C ） 合同而且相似 （D ） 既不合同又不相似
2. 若0,1-是实对称矩阵A 的特征值，123,,ααα是A 的属于0的一个特征向量组， 12,ββ是A 的属于1-的一个特征向量组， 则 【 】 (A) 121,,ααβ一定是线性无关向量组 （B ） 12,αβ一定正交 （C ） 121,,ααβ一定是线性相关向量组 （D ） 前三个选项都不正确
3. 设n 阶实对称矩阵A 满足9
0A =（其中9n <），
那么，下列陈述中不正确的是 【 】
（A ） A 的特征值是零 （B ） 0A ≠
(C) A 可以相似对角化 （D ） A E +是可逆矩阵
4. 下列陈述中不正确的是 【 】 （A ）初等矩阵的行列式都是正数 （B ）若实方阵A 的行列式1A <-，则1
T A A -≠ （C ）有些初等矩阵的逆矩阵是其本身（D ）实方阵A 及其伴随矩阵*
A 满足*
AA A E =
5. 如果2
0000
1010010010a a ⎛⎫
⎪
⎪
⎪- ⎪
-⎝⎭
是实正定矩阵，则 【 】 （A ）1a >- （B ） 1a <- （C ）1a = （D ）a 可以是任何负实数
三.（10分）记行列式11011111120813027
D --=
--的第三列元素位置的代数余子式依次是
13233343,,,A A A A 。

求 1323334349?A A A A +++=（要求算出具体的数值）
四.（10分） 将矩阵001210100A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
分解成初等矩阵乘积的形式。

五.（10分）参数b 取何值时，线性方程组
1234123423421222x x x x x x x x x x x b
-++=-⎧⎪
+--=⎨⎪--=⎩
有解？有解时,求出此方程组的通解。

六.（10分）对矩阵
111
111
111
A
--
⎛⎫
⎪
=--
⎪
⎪
--
⎝⎭
，求可逆矩阵P，使得1
P AP
-是对角矩阵；并
写出这一对角矩阵。

七 （10分）给定列向量组
1234(1,1,0,1),(1,2,1,1),(1,5,2,1),(3,0,1,3)T T T T αααα=-=-=---=- 。

（1）求该向量组的一个极大线性无关组；
（2）把其余向量用（1）中的极大线性无关组线性表出。

八 证明题（5分） 利用实对称矩阵和秩的知识， 证明：实矩阵111111111A ε
ε
εε+⎛⎫ ⎪
=++ ⎪ ⎪+⎝⎭
的三个特征值中，一个是0，另两个不是0。

（其中，0ε≠）。