空间解析几何-第3章-常见的曲面2上课讲义

相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
§3.5.1 椭球面
x2 y2 z2 1 (a0,b0,c0)
a2 b2 c2
1.对称性：
•主平面:三坐标平面 •主轴:三坐标轴 •中心:坐标原点
2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c) 轴:2a,2b,2c ( ) 半轴:a,b,c 截距:±a, ±b, ±c
空间解析几何-第3章-常见的曲 面2
§3.5 五种典型的二次曲面
➢ 椭球面
➢ 双曲面
➢ 单叶双曲面 ➢ 双叶双曲面
➢ 抛物面
➢ 椭圆抛物面 ➢ 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点，
z
而与z轴的交点（0，0，±ci）
称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
o
y
代入得x,y轴上的截距为: xa，y b ； x 在z轴上没有截距.
3 图形的范围
x2 a2
by22
cz22
1
z
由方程
x2 a2
oy x
oy x
一、单叶双曲面
x2 a2
by22
cz22
1单叶双曲面
1 对称性（symmetric）
关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称； 关于坐标原点对称，
（0，0，0）为其对称中心.
2 顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept)
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0），

—yoz面 上的双曲 线
x2
a
2
z2 c2
1
y 0
—xoz面上 的双曲线
2020/6/27
有共同的虚 轴和虚轴长
5 平截线
用平行于坐标面的平面截割
z
(1)用z = h 截曲面
x2 Czh： a2
y2 b2
1＋h2 c2
,椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
3.范围： x a, y b, z c
4.主截线：
平行截割用法坐：标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察
其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面 的全貌。
截口是曲面与平面的交线
椭球面
x2 a2
by22
cz22
1与三个坐标面的交线
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1与三个坐标面的交线
y2 b2
1
知，即曲面存在于椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
之外，从而曲面与z轴无交点，
并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.
o
y
x
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
x2
a
2
y2 b2
1
z 0
—xoy面上的 椭圆叫做腰 椭圆
y2
b
2
z2 c2
1
x 0
用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：
x2
a
2
y2 b2
1
h2 c2
(5)
z h
h c ，(5)无图形；
h c
h c
，(5)表示两个点 (0,0,c)； (5)表示一个椭圆，两半轴长分别为
a 1 h2 c2
b
1
h2 c2
由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由 一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平 面与坐标面xoy平行.
z z1
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
三、椭球面的参数方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
xzy ca bsccio onssscions22,02
应用实例： 上海科技城椭球体玻璃幕墙
§3.5.2 双曲面
单叶双曲面 z
双叶双曲面 z
x2
xO
y面
:
a
2
y2 b2
1
z 0
x2
xO
z
面
:
a
2
z2 c2
1
y 0
y2
yOz面
:
b
2
z2 c2
1
x 0
椭球面的主截线（主椭圆）
z 椭球面
o
x
y
5.平截线：
z
x2 y2 z2
a2
b2
c2
1
用z = h截曲面
用y = m截曲面
用x = n截曲面
c
o a
by
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面 可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
①当 h b 时
截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
②当 h b 时
x
截线为双曲线
z
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b 时
截线为双曲线
O x
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
x2 C y h： a 2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝ b 时 截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝ b 时
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
x2 C y h： a 2
z2 c2
0，
y h.
注：在直角坐标系下，方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 a2
ay22
cz22
1
旋转椭球面
由椭圆
x a
2 2
z2 c2
1 绕 z轴旋转而成．
y 0
方程可写为
x2 y2 z2 a2 c2 1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 (|z1|c)的交线为圆.
截面上圆的方程
x2
y2
a2 c2
(c2
z12).
1
h2 b2
，
y h.
②当 h b 时 截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 ， b2
y h.
③当 h ＝ b 时
x2 C y h： a 2
z2 c2
0，
x
y h.
o
y
截线为直线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面