平面几何之辅助线
初中数学-几何辅助线做法要点
线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有n (n ≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出12n (n －1)条. 规律2.平面上的n 条直线最多可把平面分成〔12n (n +1)+1〕个部分. 规律3.如果一条直线上有n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为12n (n －1)条. 规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点.求证：MN =12AC 证明：∵M 是AB 的中点，N 是BC 的中点∴AM = BM =12AB ,BN = CN = 12BC ∴MN = MB +BN = 12AB + 12BC = 12(AB + BC )∴MN =12AC练习：1.如图，点C 是线段AB 上的一点，M 是线段BC 的中点.求证：AM =12(AB + BC )2.如图，点B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点.求证：MN =12BC3.如图，点B 在线段AC 上，N 是AC 的中点，M 是BC 的中点. 求证：MN = 12AB规律5.有公共端点的n 条射线所构成的交点的个数一共有12n (n －1)个. 规律6.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n －1）个. 规律7. 如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成n （n －1）对对顶角.规律8.平面上若有n （n ≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出16n (n －1)(n －2）个. 规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o . 规律10.平面上有n 条直线相交，最多交点的个数为12n (n －1)个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.N M CB AM C BAN M CB AN MCB A规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律13.已知AB ∥DE ,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半. 例：已知，BE 、DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，若∠A = 45o ,∠C = 55o ,求∠E 的度数.解：∠A ＋∠ABE =∠E ＋∠ADE ①∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠CBE ②①＋②得 ∠A ＋∠ABE ＋∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠ADE ＋∠E ＋∠CBE ∵BE 平分∠ABC 、DE 平分∠ADC ， ∴∠ABE =∠CBE ，∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A ＋∠C∴∠E =12(∠A ＋∠C ) 1()∠ABC+∠BCD+∠CDE=360︒E D C BA +=∠CDE ∠ABC ∠BCD 2()E D C BA -=∠CDE ∠ABC ∠BCD 3()ED C BA -=∠CDE ∠ABC ∠BCD 4()ED CBA +=∠CDE ∠ABC ∠BCD 5()E DCB A+=∠CDE ∠ABC ∠BCD 6()E DCBANME DBCAH G FE D B C A H GFE D B C A H GFE D BC A∵∠A =45o,∠C =55o,∴∠E =50o三角形部分规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.证法（一）：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE①在△BDM中，MB＋MD＞BD②在△CEN中，CN＋NE＞CE③①＋②＋③得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有，①AB＋AF＞BD＋DG＋GF②GF＋FC＞GE＋CE③DG＋GE＞DE∴①＋②＋③有AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P为△ABC内任一点，求证：12(AB＋BC＋AC)＜P A＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它与BD 的延长线交于D.求证：∠A = 2∠D证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2∵∠A = ∠ACE－∠ABC∴∠A = 2∠1－2∠2又∵∠D =∠1－∠2∴∠A =2∠D规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，求证：∠BDC = 90o＋12∠A证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACBFGNMEDCBA21C EDBA∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A①∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2) ∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC②把②式代入①式得2(180o－∠BDC)= 180o－∠A 即：360o－2∠BDC =180o－∠A ∴2∠BDC = 180o＋∠A∴∠BDC = 90o＋12∠A规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB，求证：∠BDC = 90o－12∠A证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2∴2∠1 =∠A＋∠ACB①2∠2 =∠A＋∠ABC②①＋②得2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A∴（∠1＋∠2）= 90o＋12∠A∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴∠BDC = 180o－(90o＋12∠A)∴∠BDC = 90o－12∠A规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.求证：∠EAD = 12(∠C－∠B)证明：∵AE平分∠BAC∴∠BAE =∠CAE =12∠BAC∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C)∴∠EAC = 12〔180o－(∠B＋∠C)〕∵AD⊥BC∴∠DAC = 90o－∠C∵∠EAD = ∠EAC－∠DAC∴∠EAD = 12〔180o－(∠B＋∠C)〕－(90o－∠C)DCBA2121FEDCBAE D CBAAB CDEFFE D CBA= 90o －12(∠B ＋∠C )－90o ＋∠C = 12(∠C －∠B )如果把AD 平移可以得到如下两图，FD ⊥BC 其它条件不变，结论为∠EFD =12(∠C －∠B ).注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2ED = ED∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE 同理可证：CF = NF 在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF规律22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CDFABC DE D C B A4321NFE D C BAED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o △EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDFDF = DF ∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD 在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC∠1 = ∠2MABC D E F12345 12E DC B AP12N DCBA∴△APN ≌△APC ∴PC = PN∵△BPN 中有PB －PC ＜BN ∴PB －PC ＜AB －AC ⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD规律25.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
初中平面几何常见添加辅助线的方法
初中平面几何常见添加辅助线的方法平面几何是数学中的一个重要分支，通过在平面上描述和研究几何图形之间的关系和性质。
在解决平面几何问题中，添加辅助线是一种常见且有效的方法，可以帮助我们更好地理解和分析问题。
下面是初中平面几何常见的添加辅助线的方法：1.使用垂直辅助线：垂直辅助线是指与已知线段垂直的辅助线，可以用来分割和构造几何图形。
比如，在矩形中，可以通过连接矩形的对角线来构造一条垂直辅助线，从而将矩形分割为两个等腰直角三角形。
2.使用平行辅助线：平行辅助线是指与已知线段平行的辅助线，可以用来帮助构造平行线段和证明平行性质。
例如，在平行四边形中，可以通过连接相邻顶点和平行线段的端点来构造平行辅助线，从而证明平行四边形的对边相等。
3.使用角平分线：角平分线是指将一个角平分为两个等角的辅助线。
在解决涉及角的等分、相等或相似性质问题时，添加角平分线是非常有用的方法。
例如，在等腰三角形中，可以通过连结底边中点和顶角顶点的直线来构造角平分线，从而证明等腰三角形的顶角相等。
4.使用中线：中线是指连接一个几何图形的两边中点的辅助线。
在解决涉及几何图形的中点、平行四边形和三角形性质问题时，添加中线是一种常见的方法。
例如，在四边形中，可以通过连接相对边的中点来构造中线，从而证明中线互相平分。
5.使用高线：高线是指从多边形的一个顶点向对边所引的垂线。
在解决多边形的高、重心、垂心和外心问题时，添加高线是非常有用的方法。
例如，在三角形中，可以通过从一个顶点向对边引垂线来构造高线，从而证明高线汇聚于三角形的垂心。
6.使用辅助图形：有时，我们可以通过在平面上添加一些辅助图形来辅助解决几何问题。
例如，在求解平行四边形的面积时，可以通过添加一个垂直边和一个三角形来将平行四边形划分为两个高度相等的矩形，从而方便计算面积。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求来灵活地选择合适的辅助线方法。
添加辅助线不仅可以帮助我们更好地理解和分析问题，还可以提高解题效率和准确性。
平面几何中常见的辅助线添加方法.doc
平面几何中常见的辅助线添加方法李振基山东省平度市古幌镇古幌中学266742一、依据定义和性质添加辅助线1.证明线段与线段的相互垂直位置关系时，我们可以根据垂直的定义, 延长这两线段使其相交，然后证明它们所成的角为90度。
2.证明线段或角的和差倍半关系时，常采取延长较短的线段为原来的2 倍，然后证明这条线段等于另外一条线段。
证明角之间的倍数关系也是如此。
3.含有角的平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
角平分线具有两条性质：（1）对称性；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种：①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和己知条件。
4.证明圆的有关问题时，通常要根据圆的有关定义、性质添加辅助线。
（1）见弦作弦心距，从而达到运用垂径定理沟通题设和结论o （2）见直径出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦一一直径，作其所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一性质、直角三角形的有关特点解决具体问题。
（3）见切线作过切点的半径，利用“圆的切线垂直于过切点的半径”的切线性质构造直角三角形。
（4）两圆相交作公切线。
在两圆相切题目中，采取经过切点作两圆的公切线，从而构造直角三角形、矩形或者与圆有关的角，使两圆的关系更加密切、条件更为集中。
（5）两圆相交作公共弦，然后运用这条公共弦所对的圆周角或圆心角，在两圆之间架起角与角关系的桥梁。
二、基本图形（直线、三角形、平行四边形）辅助线的添加平面几何中的复杂图形都是由基本图形构成的，而这些图形在题设中却又常常是不完整的，这就需要通过添加辅助线构造基本图形。
102条作几何辅助线的规律，以后再也不怕了！
102条作几何辅助线的规律，以后再也不怕了！几何中，同学们最头疼的就是做辅助线了，所以，今天数姐整理了做辅助线的102条规律，从此，再也不怕了！规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条.规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分.规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条.规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个.规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个.规律7.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角.规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个.规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°.规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个.规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.规律17.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.规律18.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.规律19.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.规律23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：①a＞b②a±b = c③a±b = c±d规律25.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
平面几何辅助线之旋转专题
平面几何辅助线之旋转专题类型一：060造等边的边长，求内部一点是等边如图ABC ,5PB ,4PA ,3PC ,ABC P ,.1∆===∆的度数求若外一点是等边如图APB ,5PC ,4PB ,3PA ,ABC P ,,2∠===∆2220AC BC DC :,30BCD ,AD BD AB ,ABCD ,,3=+=∠==求证中四边形如图类型二:旋转090,造垂直的面积求四边形的长度为另一条对角线都是直角和其中和直角三角形分为等腰直角三角形被对角线四边形如图ABCD ,2AC ,C A ,CBD ABD BD ABCD ,,4∠∠的长求为一边作正方形以中如图PD ,ABCD AB ,4PB ,2PA ,45APB ,PAB ,,50===∠∆GHCG :)2(DFDE :)1(,H AB CG ,EF G ,F BC ,DE DF ,AC E ,AB D ,90ACB ,BC AC ,ABC ,,60==⊥=∠=∆证明证明于点交延长的中点为点于交直线任意一点上是直线若的中点为中如图CEAF BE :ABEFB ,AD F ,CD ABCD E ,,7==∠求证平分且上的点是边上任意一点的边是正方形如图的面积求四边形若为等腰直角三角形求证连接得到顺时针旋转绕点将中已知如图ACED ,2AC ,1BC )2(ACD :)1(CE,CD ,AED ,90A ABC ,135ACB ,ABC ,,800==∆∆∆=∠∆类型三:旋0180,造中心对称______,,86,O ,O ,ABCD ,,9则阴影部分的面积为时和长分别为当菱形的两条对角线的分成阴影和空白部分点的三条直线将菱形过是两条对角线的交点是菱形四边形如图的度数求边上的中线为中在如图BAC ,AC AD ,BC AD ,AC 2AB ,ABC ,,10∠⊥=∆的长度求出线段若不变则说明变化规律若变化的长度是否发生变化线段在移动过程中试问当动点于点作于点交连接且的延长线上在线段动点不重合与点点上在线段动点连接线段擦去折痕的条件下在如图的长求边的面积比为与若连接交于点已知折痕与边如图点处边上的落在使得顶点折叠将矩形的一条边已知矩形EF ,,,?EF ,N M,E,BP MF F,PB MN PM,BN ,AB N )A P,M (AP M BP,OP,AO,,(1),(2)CD 4,:1PDA OCP OA,OP,AP,,O BC ,)1(,P CD B ,ABCD ,8AD ABCD ,11⊥=∆∆=类型四:大角夹半角.______,AC AF 3AE :,AB 2AD ,)3(2FHAE :H,AD CH C 2AB,AD ,(2)ACAF AE ACF,BCE :AB,AD ,(1))F(E,AD AB,,C 60,ABCD 60,)120BAD (ABCD 120,,120000=+==⊥==+∆≅∆==∠t t 则的值为常数探究得若如图深入探究求证于点作过点若如图类比发现②①求证若如图初步尝试不包括线段的端点于点在的两直线分别交线段较短的直角边和斜边所重合角的顶点始终与点且所在平面内旋转在平行四边形的直角三角板如图放置将一块含进行探究的平行四边形为某学习小组对有一内角数学活动课上?AMN )2(NCBM MN :)1(,MN ,N AC ,M AB ,60D ,120BDC ,BDC ,3ABC ,,1300的周长为多少求证连接于点交于点使其两边分别交角为顶点作一个以且是等腰三角形的等边三角形是边长为如图∆+==∠∆∆类型五:旋转任意角它说明理由的差使它的面积等于形以已知点为顶点的多边请你在图中确定一个连接中如图,S S ,,CE ,AC AB ,AE AD ,DAE BAC ,ABC ,,14ADE ABC 0∆∆-===∠=∠∆a 的长求连接且面积之比为菱形使菱形为边作一个菱形以线段延长线上的任意一点对角线是菱形点如图DG ,DG ,5106AF 8,EC 5,:2ABCD,~AEFG ,AEFG AE ,CA ABCD E ,,15==的长求线段时②当①求证于点交延长如图时逆时针旋转绕点当正方形请说明理由若不成立请证明若成立成立吗如图时逆时旋转绕点当正方形成立此时边上分别在是正方形四边形是等腰直角三角形如图BG ,2AD ,4AB CFBD :,G CF BD ,,45A ADEF (2),:,?CF BD ,,)90(0A ADEF (1)CF BD CF,BD ,AC AB,F D,,ADEF ,ABC ,,16000==⊥=<<⊥=∆θθ的值求值时为最大当在旋转过程中逆时针方向旋转绕点将正方形若连接作正方形的中点是点是等腰直角三角形已知如图AF ,AE ,,D DEFG ,2DE BC ,AE ,DEFG ,BC D ,90BAC ,ABC ,,170===∠∆,?MN DN BM,,A MAN (2),?MN DN BM,,DN BM A MAN ,(1)MNDN BM ,DN BM A AMN ,N,M,)(DC ,CB ,A MAN ,45MAN ,ABCD ,,180请直接写出你的猜想系之间又有怎样的数量关和线段旋转到如图的位置时绕点当并加以证明写出猜想之间有怎样的数量关系和线段时旋转到绕点当如图易证时旋转到绕点当如图于点或它们的延长线它的两边分别交顺时针旋转绕点中正方形已知∠≠∠=+=∠∠=∠并证明关系请写出它们之间的数量若不成立请证明若成立中的结论是否仍然成立且上的点分别边中在四边形如图不用证明中的结论是否仍然成立上的点且分别是边中在四边形如图求证且上的点分别是边中在正方形拓展,,:,?)1(,BAD 21EAF ,CD BC,F E,,180ADC B ,AD AB ,ABCD ,)3(?)1(,BAD 21EAF CD BC,F E,,180D B ,AD AB ,ABCD ,)2(FD BE EF :,BAD 21EAF ,CD BC,F E,,90D B ,AD AB ,ABCD )1(,000∠=∠=∠+∠=∠=∠=∠+∠=+=∠=∠=∠=∠=类型一:旋造等边,60031225)23()3234(CD AD AC ,ACD R ,323CD PC PD 23PC 21CD ,30CPD DAP ,AP CD C 150PQB AQP AQB APC 90PQB 5PB ,3QB ,4PQ ,PQB 4AP PQ ,60AQP APQ 3PC QB ,4AP AQ ,60PAQ ,APC AQB ,PQ AQB,60A APC ,:,122222200000+=++=+=∆=-====∠⊥=∠+∠=∠=∠=∠===∆===∠∆=====∠∠=∠∆∆中在因此则的延长线于点交作过点故中在从而是等边三角形故则连接得到逆时针旋转绕点等如图【答案】解t 000000306090APB ,90BPM 3MP ,5BM ,4PB PACMAB ,PAC MAB AMP 60MAP ,MA PA ,MP ,MAB 60A PAC ,:,2=-=∠=∠∴===∴∆≅∆∠=∠∴∆∴=∠=∆∆为等边三角形由旋转可知连接得到逆时针旋转绕点将如图【答案】解222222000000AC BC DC ACDE ,BC CE DE CE DC ,DCE R 906030BCE BCD DCE 60BCE CEBE BC ,BCE ACDE ,60CBE ,BE BC CE ,DBF 60B ABC ,:,3=+===+∆∴=+=∠+∠=∠∴=∠∴==∆∴==∠=∴∆∆ 又中在即是等边三角形连接得到顺时针旋转绕点将如图【答案】证明t 类型二:旋造垂直,9002222S S 'ACC ACC'AC'AC C'D,C,180ABC ADC ADC ADC 'CDC :'C C ,D B ,90A ABC ,:,4'ACC ABCD 00=÷⨯==∴∆∴=∴=∠+∠=∠+∠=∠∆四边形的面积是等腰直角三角形又在同一条直线上则有点到重合与使点选择绕将三角形如图【答案】解 5242PB 'PP B 'P PD 2'PP ,2PA 90PB 'P ,45'APP ,90'PAP A'P PA ,B P'PD ,AB 'P PAD AB 'P 90A PAD ,ABCD ,:,522220000=+=+==∴===∠=∠=∠∴==≅∆∆∆ 可得得到旋转顺时针绕点可将为正方形因为四边形如图【答案】解GHCG GDGH HDGGHD 90GDC HDG ,90GCD GHD 90CDH ABCD CDGGCD DGCG FGEG DG EF G ,90EDF FGEG CG EF G ,90ACB DG,)2(DFDE CDFADE CDF ADE CD AD DCF A CDF ADE R CDFADE 90CDF EDC EDF DEDF 90CDF 45DAE DCF ,90EDC EDA ABCD BCAC BDAD CD BCAC ,AB D ,90ACB CD,)1(:,600000000=∴=∠∴∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠∴⊥∠=∠∴=∴==∴=∠==∴=∠=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠∆∆∠=∠∴=∠+∠=∠∴⊥==∠=∠=∠+∠∴⊥∴===∴==∠ 又的中点为的中点为连接如图中和在又的中点为连接如图【答案】证明t CEAF CE CG EG BE GEBG EBGFBC 5BC//AD EBGFBC 43423221CGAF ,31,G 5BCGABF BCG ,90B BAF ,:,70+=+==∴∠=∠∴∠=∠=∠∴∠=∠∠+∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠=∠=∠∠=∠∴∆≅∆∴∆∆ 即得到点逆时针旋转绕将如图【答案】证明221122212221DE CD 21AD AC 21S S S 1BC DE 90ADC ADE CDE 135ADE ,)1(22AD AC CD 2AD AC ,45ACD ADC ACD ,:)2(ACD ADAC ,90CAD AEDABC 90ABC AED ,:)1(,8CDE ACD ADEC 022000+=⨯⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅=+=∴===∠-∠=∠∴=∠=+=∴===∠=∠∴∆∆∴==∠∴∆≅∆∴∆≅∆∆∆四边形知由是等腰直角三角形如图解是等腰直角三角形得到的旋转如图证明【答案】 类型三:旋造中心对称,180012122421O 248621,86:12,9故答案为阴影部分的面积点是菱形两条对角线的交菱形的面积和分别为菱形的两条对角线的长解析【答案】=⨯=∴=⨯⨯=∴ 00001209030EAC ABAE BAC 30BAE BE AB 21,2BE AB ,2AC AB 90EAC E BEAC EDBADC DCDB ,EDB ADC ,DE DA EDB ADC DCDB ,BC AD 90EAC ,AC AD BE ,AD DE ,E AD ,:,10=+=∠+∠=∠∴=∠∴==∴==∠=∠∴=∴∆≅∆∴=∠=∠=∆∆=∴=∠∴⊥=即中和在平分连接使到点延长如图【答案】解52, EF ,N M,,)1(52PB 21EF 5448PB 90C 8,BC 4,PC :(1)PB 21QB 21PQ 21QF EQ EF QB 21QF )AAS (NFB MFQ NB MQ BNF QMF BFN QFM NFB MFQ BNFQMF AN //MQ PQ 21EQ PQME ,MQ MP QMBN ,PM BN MQMP MQPABP APB AN//MQ ,AB AP ,Q PB ,AN //MQ ,,EF )2(10CD 102OP AP AB 5:4)8(90C ,PCO R 8CO ,OP 4AD 21CP 2141DA CP PA OP 4:1PDA OCP PDA~OCP CD 32902190B APO 903190D C ABCD ,)1(:,112202220它的长度为的长度不变线段在移动过程中当点的条件下在中的结论可得由中和在于点交作如图的长度不发生变化线段的长为边解得由勾股定理得中在则设的面积比为与又由折叠可得是矩形四边形如图【答案】解∴==∴=+=∴=∠===+=+=∴=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠∆∆∠=∠∴=∴⊥==∴==∴∠=∠=∠∴=∴===∴=+-==∠∆-====∴===∴∆∆∆∆∴∠=∠∠=∠∴=∠+∠∴=∠=∠=∠+∠∴=∠=∠∴ x x x t x x类型四:大角交半角2FHAE CHACFH AE HCF~ACE ACECHF 60ECF 60ACH 30CAD 90ACD BAC 90ACD AD CD AC 32CH AH AC ADCH 3DH AD AH 42AB AD 3CH ,2CD ,DH ,:(2)ACAB BE AE AF AE AFBE ACF,BCE ACFBCE ACFBCE AC BC CAFB ACF BCE ACFBCE 60ACE ACF ACE BCE 60ECF ACBC ,60ACB ,60CAD B ACD ,ABC ABAD 60B D 120BAD ,ABCD ,:)1(,1202222200000=∴=∴∆∆∴∠=∠∴=∠=∠∴=∠∴=∠=∠∴=∠∴=+∴=+=∴⊥=-=∴==∴=====∴∴∆≅∆∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠∆∆∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠==∠=∠=∠∴∆∆∴==∠=∠∴=∠ xxx x 由题意得，设如图证明＋＝＋＝②中和在都是等边三角形是平行四边形四边形①如图证明【答案】7732123314AC AF 3AE 3414AM 3HN 3AH FN 33HN 3AHN AM EM )FN NH AH (3)AM EM (3AF AE 3212AH ,33AM a3,HC CM HM ,22CN HC 30CHN AHM 90M ,60MAH ,3EM ,3CM ,6FN ,NC 31EM FN CM CN 3CNCM AB AD CN AD CM AB EMFN CM CN CEM~CFN 90CNF M AECCFN 180CFN AFC 180AFC EAEC 180EAF ECF H AD CM ,M BA ,BABA CM ,N AD CN ,7)3(000故答案为则设＝３，＝交于点与延长线于交于作如图==+∴=-+=-++==-++-====∴==-===∴=∠=∠∴=∠=∠======∴=∴⋅⋅=∴∆∆∴=∠=∠∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠+∠⊥⊥a a a a a HN a a b a a6AC AB AN CN MB AM MN AN AM :AMN CNMB BF MB MF MN )SAS (DMF DMN DN DF NDM FDM DM DM DMF DMN 60CDN BDM 60MDN CNBF ,DN DF ,CDN BDF CDNBDF BDF120D CND ,90DCA DBA 60BCA BAC ABC 3ABC 30DBC BCD 120BDC ,BDC :)1(,13000=+=+++=++∆∴+=+==∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆=∠+∠∴=∠==∠=∠∴∆≅∆∴∆∆=∠=∠∴=∠=∠=∠∴∆=∠=∠∴=∠∆的周长是中和在得到逆时针旋转绕点将如图得等边三角形是边长为且是等腰三角形证明【答案】 类型五:旋转任意角ADEABC ADEABD ACE ABD ADEABD ABCE BCED ACEAVBD 0ADE ABC S S S S S S S S S S S S CAE,BAD AC AB CAE BAD AE AD CAE BAD CAEBAD DACDAE DAC BAC DAE BAC :S S BCED BD,:,14∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-=--+=--=∴=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆∠=∠∠-∠=∠-∠∴=∠=∠=四边形四边形中和则在即理由的差的面积等于则四边形连接如图【答案】解α26BE DG 2615OB OE BE EOB R 13)10(OA AB OB AOB R ,AC BD ABCD 10AB 2AE ,5:2AB :AE 5OA AE OE 268AC EC AE ,32AC OA 6AC 5106AF 5:2AG :AF 5:2ABCD,~AEFG BEDG BAE DAB A DAG ,ABCD ~AEFG ,O AC BD ,:,1522222222==∴=+=+=∆∴=-=-=∆⊥=∴===+=∴=-=-==÷=∴=∴==∴=∴∆∠∆∴中在中在中菱形又且又且面积之比为菱形菱形的度数可以得到顺时针旋转绕点将菱形于点交连接如图【答案】解t t CFBD )SAS (CAF BAD AFAD CAF BAD ACAB CAF BAD CAFBAD DACDAF CAF DACBAC BAD 90DAF BAC ,AF AD ,AC AB ,ADEF ,ABC ,:BCF )1(,160=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆∠=∠∴∠-∠=∠∠-∠=∠=∠=∠==∴∆中和在是正方形四边形是等腰直角三角形如图理由成立【答案】5108CG BC BG BGC R CG3843104CG CM BA BM CMG ~BMA 3104AM AB BM 38344AM AC CM 34AB 31AM 31CN FN FCN tan AB AM ABM tan ABM R 24AC AB BC ,3AN AC CN ,4AB AC ,ABC 1AE 21FN AN 2DE AD AE 2DE AD ,ADEF ,N AC FN ,:CFBD 90BAC BGC CMG~BMA CMGBMA GCMABM CAFBAD ,M AC BG ,:)2(222222220=-=∆∴=∴=∴∆∆=+==-=-=∴==∴====∠∆∴=+==-=∴==∆===∴=+=∴==⊥⊥∴=∠=∠∴∆∆∴∠=∠∠=∠∴∆≅∆中，在中在中在等腰直角中在正方形于点作过点如图②解于点交设如图①证明t t F 1323EF AE AF AEF R 90E ,DEFG 321DE AD AE ,1BC 21AD ,2BC ,BC D ,90BAC ,ABC ,AE ,AE D ,E D,A,,:,17222200=+=+=∆∴=∠=+=+===∴==∠∆中在中正方形此时的中点是点是等腰直角三角形的长最大上时在线段且点三点在一条直线上当如图【答案】解tFDBE EF BGBE EG EFEG AEFAEG AEAE EAFGAE BAD 21EAF EAD DAF EAD BAG AFAG ,DAF BAG ADFABG ADAB ADFB 180ADC ADF ,180ADC B AG,DF BG ,BG BE ,:FDBE EF ,FD BE EF )3(,FD BE EF )1)(2(FDBE EF BGBE EG EFEG AEFAEG AEAE EAFGAE BAD21EAF EAFBAD 323121,AF AG ADFABG ADAB ,90D ABC ABG AG,DF BG ,G EB ,)1(,MNBM DN ,AEN AMN ,ADE ABM ,AE ,MB DE DC ,)2(,,AEN AMN ,ADE ABM ,BM DE ,AE ,E ND ,,MN DN BM )1(:,18000-=∴-=∴=∴∆≅∆∴=∠=∠∴∠=∠=∠+∠=∠+∠∴=∠=∠∴∆≅∆∴=∠=∠∴=∠+∠=∠+∠=-=+=+=+=∴+==∴∆≅∆∴=∠=∠∴=∠=∠-∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠=∴∆≅∆∴==∠=∠=∠==-∆≅∆∆≅∆=∆≅∆∆≅∆==+ 连接使上截取在如图证明应当是不成立结论仍然成立中的结论又连接使到延长如图【答案】拓展可得到结论同理再证易证连接上截取在如图即可得出结论再证易证使连接到延长如图【答案】解类型一:旋造等边,60031225)23()3234(CD AD AC ,ACD R ,323CD PC PD 23PC 21CD ,30CPD DAP ,AP CD C 150PQB AQP AQB APC 90PQB 5PB ,3QB ,4PQ ,PQB 4AP PQ ,60AQP APQ 3PC QB ,4AP AQ ,60PAQ ,APC AQB ,PQ AQB,60A APC ,:,122222200000+=++=+=∆=-====∠⊥=∠+∠=∠=∠=∠===∆===∠∆=====∠∠=∠∆∆中在因此则的延长线于点交作过点故中在从而是等边三角形故则连接得到逆时针旋转绕点等如图【答案】解t 000000306090APB ,90BPM 3MP ,5BM ,4PB PACMAB ,PAC MAB AMP 60MAP ,MA PA ,MP ,MAB 60A PAC ,:,2=-=∠=∠∴===∴∆≅∆∠=∠∴∆∴=∠=∆∆为等边三角形由旋转可知连接得到逆时针旋转绕点将如图【答案】解222222000000AC BC DC ACDE ,BC CE DE CE DC ,DCE R 906030BCE BCD DCE 60BCE CEBE BC ,BCE ACDE ,60CBE ,BE BC CE ,DBF 60B ABC ,:,3=+===+∆∴=+=∠+∠=∠∴=∠∴==∆∴==∠=∴∆∆ 又中在即是等边三角形连接得到顺时针旋转绕点将如图【答案】证明t 类型二:旋造垂直,9002222S S 'ACC ACC'AC'AC C'D,C,180ABC ADC ADC ADC 'CDC :'C C ,D B ,90A ABC ,:,4'ACC ABCD 00=÷⨯==∴∆∴=∴=∠+∠=∠+∠=∠∆四边形的面积是等腰直角三角形又在同一条直线上则有点到重合与使点选择绕将三角形如图【答案】解 5242PB 'PP B 'P PD 2'PP ,2PA 90PB 'P ,45'APP ,90'PAP A'P PA ,B P'PD ,AB 'P PAD AB 'P 90A PAD ,ABCD ,:,522220000=+=+==∴===∠=∠=∠∴==≅∆∆∆ 可得得到旋转顺时针绕点可将为正方形因为四边形如图【答案】解GHCG GDGH HDGGHD 90GDC HDG ,90GCD GHD 90CDH ABCD CDGGCD DGCG FGEG DG EF G ,90EDF FGEG CG EF G ,90ACB DG,)2(DFDE CDFADE CDF ADE CD AD DCF A CDF ADE R CDFADE 90CDF EDC EDF DEDF 90CDF 45DAE DCF ,90EDC EDA ABCD BCAC BDAD CD BCAC ,AB D ,90ACB CD,)1(:,600000000=∴=∠∴∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠∴⊥∠=∠∴=∴==∴=∠==∴=∠=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠∆∆∠=∠∴=∠+∠=∠∴⊥==∠=∠=∠+∠∴⊥∴===∴==∠ 又的中点为的中点为连接如图中和在又的中点为连接如图【答案】证明t CEAF CE CG EG BE GEBG EBGFBC 5BC//AD EBGFBC 43423221CGAF ,31,G 5BCGABF BCG ,90B BAF ,:,70+=+==∴∠=∠∴∠=∠=∠∴∠=∠∠+∠=∠+∠∴∠=∠∴∠=∠=∠=∠∠=∠∴∆≅∆∴∆∆ 即得到点逆时针旋转绕将如图【答案】证明221122212221DE CD 21AD AC 21S S S 1BC DE 90ADC ADE CDE 135ADE ,)1(22AD AC CD 2AD AC ,45ACD ADC ACD ,:)2(ACD ADAC ,90CAD AEDABC 90ABC AED ,:)1(,8CDE ACD ADEC 022000+=⨯⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅=+=∴===∠-∠=∠∴=∠=+=∴===∠=∠∴∆∆∴==∠∴∆≅∆∴∆≅∆∆∆四边形知由是等腰直角三角形如图解是等腰直角三角形得到的旋转如图证明【答案】 类型三:旋造中心对称,180012122421O 248621,86:12,9故答案为阴影部分的面积点是菱形两条对角线的交菱形的面积和分别为菱形的两条对角线的长解析【答案】=⨯=∴=⨯⨯=∴ 00001209030EAC ABAE BAC 30BAE BE AB 21,2BE AB ,2AC AB 90EAC E BEAC EDBADC DCDB ,EDB ADC ,DE DA EDB ADC DCDB ,BC AD 90EAC ,AC AD BE ,AD DE ,E AD ,:,10=+=∠+∠=∠∴=∠∴==∴==∠=∠∴=∴∆≅∆∴=∠=∠=∆∆=∴=∠∴⊥=即中和在平分连接使到点延长如图【答案】解52, EF ,N M,,)1(52PB 21EF 5448PB 90C 8,BC 4,PC :(1)PB 21QB 21PQ 21QF EQ EF QB 21QF )AAS (NFB MFQ NB MQ BNF QMF BFN QFM NFB MFQ BNFQMF AN //MQ PQ 21EQ PQME ,MQ MP QMBN ,PM BN MQMP MQPABP APB AN//MQ ,AB AP ,Q PB ,AN //MQ ,,EF )2(10CD 102OP AP AB 5:4)8(90C ,PCO R 8CO ,OP 4AD 21CP 2141DA CP PA OP 4:1PDA OCP PDA~OCP CD 32902190B APO 903190D C ABCD ,)1(:,112202220它的长度为的长度不变线段在移动过程中当点的条件下在中的结论可得由中和在于点交作如图的长度不发生变化线段的长为边解得由勾股定理得中在则设的面积比为与又由折叠可得是矩形四边形如图【答案】解∴==∴=+=∴=∠===+=+=∴=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠∆∆∠=∠∴=∴⊥==∴==∴∠=∠=∠∴=∴===∴=+-==∠∆-====∴===∴∆∆∆∆∴∠=∠∠=∠∴=∠+∠∴=∠=∠=∠+∠∴=∠=∠∴ x x x t x x类型四:大角交半角2FHAE CHACFH AE HCF~ACE ACECHF 60ECF 60ACH 30CAD 90ACD BAC 90ACD AD CD AC 32CH AH AC ADCH 3DH AD AH 42AB AD 3CH ,2CD ,DH ,:(2)ACAB BE AE AF AE AFBE ACF,BCE ACFBCE ACFBCE AC BC CAFB ACF BCE ACFBCE 60ACE ACF ACE BCE 60ECF ACBC ,60ACB ,60CAD B ACD ,ABC ABAD 60B D 120BAD ,ABCD ,:)1(,1202222200000=∴=∴∆∆∴∠=∠∴=∠=∠∴=∠∴=∠=∠∴=∠∴=+∴=+=∴⊥=-=∴==∴=====∴∴∆≅∆∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠∆∆∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠==∠=∠=∠∴∆∆∴==∠=∠∴=∠ xxx x 由题意得，设如图证明＋＝＋＝②中和在都是等边三角形是平行四边形四边形①如图证明【答案】7732123314AC AF 3AE 3414AM 3HN 3AH FN 33HN 3AHN AM EM )FN NH AH (3)AM EM (3AF AE 3212AH ,33AM a3,HC CM HM ,22CN HC 30CHN AHM 90M ,60MAH ,3EM ,3CM ,6FN ,NC 31EM FN CM CN 3CNCM AB AD CN AD CM AB EMFN CM CN CEM~CFN 90CNF M AECCFN 180CFN AFC 180AFC EAEC 180EAF ECF H AD CM ,M BA ,BABA CM ,N AD CN ,7)3(000故答案为则设＝３，＝交于点与延长线于交于作如图==+∴=-+=-++==-++-====∴==-===∴=∠=∠∴=∠=∠======∴=∴⋅⋅=∴∆∆∴=∠=∠∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠+∠⊥⊥a a a a a HN a a b a a6AC AB AN CN MB AM MN AN AM :AMN CNMB BF MB MF MN )SAS (DMF DMN DN DF NDM FDM DM DM DMF DMN 60CDN BDM 60MDN CNBF ,DN DF ,CDN BDF CDNBDF BDF120D CND ,90DCA DBA 60BCA BAC ABC 3ABC 30DBC BCD 120BDC ,BDC :)1(,13000=+=+++=++∆∴+=+==∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆=∠+∠∴=∠==∠=∠∴∆≅∆∴∆∆=∠=∠∴=∠=∠=∠∴∆=∠=∠∴=∠∆的周长是中和在得到逆时针旋转绕点将如图得等边三角形是边长为且是等腰三角形证明【答案】 类型五:旋转任意角ADEABC ADEABD ACE ABD ADEABD ABCE BCED ACEAVBD 0ADE ABC S S S S S S S S S S S S CAE,BAD AC AB CAE BAD AE AD CAE BAD CAEBAD DACDAE DAC BAC DAE BAC :S S BCED BD,:,14∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-=--+=--=∴=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆∠=∠∠-∠=∠-∠∴=∠=∠=四边形四边形中和则在即理由的差的面积等于则四边形连接如图【答案】解α26BE DG 2615OB OE BE EOB R 13)10(OA AB OB AOB R ,AC BD ABCD 10AB 2AE ,5:2AB :AE 5OA AE OE 268AC EC AE ,32AC OA 6AC 5106AF 5:2AG :AF 5:2ABCD,~AEFG BEDG BAE DAB A DAG ,ABCD ~AEFG ,O AC BD ,:,1522222222==∴=+=+=∆∴=-=-=∆⊥=∴===+=∴=-=-==÷=∴=∴==∴=∴∆∠∆∴中在中在中菱形又且又且面积之比为菱形菱形的度数可以得到顺时针旋转绕点将菱形于点交连接如图【答案】解t t CFBD )SAS (CAF BAD AFAD CAF BAD ACAB CAF BAD CAFBAD DACDAF CAF DACBAC BAD 90DAF BAC ,AF AD ,AC AB ,ADEF ,ABC ,:BCF )1(,160=∴∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∆∆∠=∠∴∠-∠=∠∠-∠=∠=∠=∠==∴∆中和在是正方形四边形是等腰直角三角形如图理由成立【答案】5108CG BC BG BGC R CG3843104CG CM BA BM CMG ~BMA 3104AM AB BM 38344AM AC CM 34AB 31AM 31CN FN FCN tan AB AM ABM tan ABM R 24AC AB BC ,3AN AC CN ,4AB AC ,ABC 1AE 21FN AN 2DE AD AE 2DE AD ,ADEF ,N AC FN ,:CFBD 90BAC BGC CMG~BMA CMGBMA GCMABM CAFBAD ,M AC BG ,:)2(222222220=-=∆∴=∴=∴∆∆=+==-=-=∴==∴====∠∆∴=+==-=∴==∆===∴=+=∴==⊥⊥∴=∠=∠∴∆∆∴∠=∠∠=∠∴∆≅∆中，在中在中在等腰直角中在正方形于点作过点如图②解于点交设如图①证明t t F 1323EF AE AF AEF R 90E ,DEFG 321DE AD AE ,1BC 21AD ,2BC ,BC D ,90BAC ,ABC ,AE ,AE D ,E D,A,,:,17222200=+=+=∆∴=∠=+=+===∴==∠∆中在中正方形此时的中点是点是等腰直角三角形的长最大上时在线段且点三点在一条直线上当如图【答案】解tFD BE EF BGBE EG EFEG AEFAEG AEAE EAFGAE BAD 21EAF EAD DAF EAD BAG AFAG ,DAF BAG ADFABG ADAB ADFB 180ADC ADF ,180ADC B AG,DF BG ,BG BE ,:FDBE EF ,FD BE EF )3(,FD BE EF )1)(2(FDBE EF BGBE EG EFEG AEFAEG AEAE EAFGAE BAD21EAF EAFBAD 323121,AF AG ADFABG ADAB ,90D ABC ABG AG,DF BG ,G EB ,)1(,MNBM DN ,AEN AMN ,ADE ABM ,AE ,MB DE DC ,)2(,,AEN AMN ,ADE ABM ,BM DE ,AE ,E ND ,,MN DN BM )1(:,18000-=∴-=∴=∴∆≅∆∴=∠=∠∴∠=∠=∠+∠=∠+∠∴=∠=∠∴∆≅∆∴=∠=∠∴=∠+∠=∠+∠=-=+=+=+=∴+==∴∆≅∆∴=∠=∠∴=∠=∠-∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠=∴∆≅∆∴==∠=∠=∠==-∆≅∆∆≅∆=∆≅∆∆≅∆==+ 连接使上截取在如图证明应当是不成立结论仍然成立中的结论又连接使到延长如图【答案】拓展可得到结论同理再证易证连接上截取在如图即可得出结论再证易证使连接到延长如图【答案】解。
平面几何辅助线的方法
平面几何辅助线的方法平面几何中，辅助线是指在解题过程中为了方便分析，辅助求解而引入的辅助线段、辅助点等。
常见的平面几何辅助线的方法包括：1. 过某点引直线或线段：在解决直线或线段相交、平行、垂直等问题时，可以通过引入过某一点的辅助线或线段，利用垂直关系或等角关系来求解。
例如，已知平面上直线AB与CD相交于点P，要证明直线AB与CD平行，可以引入线段AC和BD，利用等角关系，证明直线AB与线段CD平行，最终推出直线AB 与直线CD平行。
2. 过某线段中点引直线：在解决线段平分、线段比例等问题时，可以通过引入过线段中点的辅助线段或线段延长线，利用垂直关系或等角关系来求解。
例如，已知线段AB上有一点C，且AC:BC=1:2，要证明线段AB被点C平分，可以引入过点C的辅助线段AD和CE，利用等角关系，证明线段AB被点C平分，最终推出线段AB被点C平分。
3. 过某角的两边引直线：在解决角平分、角相等、角垂直等问题时，可以通过引入过角的两边的辅助直线或线段，利用垂直关系或等角关系来求解。
例如，已知角ABC，要证明角ABC被一条直线垂直平分，可以引入辅助线段AD和CE，利用等角关系和垂直关系，证明角ABC被直线DE垂直平分，最终推出角ABC 被一条直线垂直平分。
4. 引入垂直关系：在解决垂直关系问题时，可以通过引入垂直线段或垂直直线的辅助线段或线段延长线，来帮助求解。
例如，求解过一个点作与一条给定直线垂直的直线，可以通过引入过该点的辅助线段，选择一个任意点和该点连线，然后通过求解垂直关系来确定垂直直线的位置。
5. 引入平行关系：在解决平行关系问题时，可以通过引入平行线段或平行直线的辅助线段或线段延长线，来帮助求解。
例如，要证明两条直线平行，可以通过引入两条直线的平行线段或平行直线，然后通过运用平行关系来证明最初要证明的两条直线平行。
在实际应用中，选择合适的辅助线方法可以大大简化解题步骤，提高解题效率。
平面几何添加辅助线的技巧
平面几何添加辅助线的技巧第一讲注意添加平行线证题在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的，也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时，若能依据证题的需要，添加恰当的平行线则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1 为了改变角的位置大家知道，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.利用这些性质，常可通过添加平行线，将某些角的位置改变，以满足求解的需要.例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP = CQ,A为BC外一动点（如图1）.当点A运动到使/ BAP=Z CAQ时，△ ABC是什么三角形？试证明你的结论.答：当点A运动到使/ BAP=Z CAQ时，△ ABC为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.在厶DBP = /AQC 中,显然/ DBP = /AQC, / DPB = /C. 由BP =CQ,可知△ DBPAQC.有DP = AC, / BDP = / QAC.C 于是,DA // BP, / BAP=Z BDP.则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB= DP. 所以AB= AC.这里,通过作平行线，将/ QAC “平推”到/ BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆，使证明很顺畅.例2如图2,四边形ABCD为平行四边形, / BAF =/ BCE.求证：/ EBA=Z ADE. 证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC 的平行线,得交点P,连PE.由AB £ CD,易知△ PBA^A ECD.有FA = ED, PB = EC.显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有/ BCE =Z BPE, / APE =/ ADE.由/ BAF = / BCE,可知 / BAF =/ BPE.有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是，/ EBA =Z APE. 所以，/ EBA =Z ADE.这里，通过添加平行线，使已知与未知中的四个角通过 P 、B 、A 、E 四点共圆，紧密 联系起来./ APE 成为/ EBA 与/ ADE 相等的媒介，证法很巧妙.2 为了改变线段的位置利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条，常可通过添 加平行线，将某些线段“送”到恰当位置，以证题.例3在厶ABC 中，BD 、CE 为角平分线，P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、 BC 的垂线，M 、N 、Q 为垂足.求证：PM + PN = PQ.证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于 K 、G,连 PG.由BD 平行/ ABC,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ = PN. 显然，旦=巨=C G ,可知PG// EC.PD FD GD由CE 平分/ BCA,知GP 平分/ FGA.有PK = PM.于是， PM + PN = PK + KQ = PQ.这里,通过添加平行线，将PQ “掐开”成两段，证得PM = PK,就有PM + PN = PQ. 证法非常简捷.3 为了线段比的转化C图3由于“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得对应线段成比例”，在一些问题中可以通过添加平行线，实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到/ FDA _Z EDA.证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分 别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于 Q 、P 、N 、M.DCAM 有 BD - AM _ DC - AN. 亠 AP AF AM 由—_ _ ,BD FB BC显然,BD _ KD_ AN KA ⑴BD •M有 AP_ BC例4 设M i 、M 2是厶ABC 的BC 边上的点且BM i = CM 2.任作一直线分别交 AB 、 AC 、AM i 、AM 2于 P 、Q 、N i 、N 2.试证:AB AC AM 1AM 2+ = + .AP AQAN iAN 2证明：如图4,若PQ // BC,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行,设PQ 交直线BC 于D.过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于 E.由 BM i = CM 2,可知 BE + CE = M i E + M 2E,易知AB _ BE AC _ CE AP _ DE ，AQ _ DE，AM i M i E AM 2 M 2E AN i _ DE ，AN 2 _ DE .则 AB + AC _ BE +CE _ M i ^M 2E _ AM i + AM 2 贝寸 + + AP AQ DE DE AN i AN 2AB , ACAM i , AM 2+ _ + -------------- AP AQ AN i AN 2这里,仅仅添加了一条平行线，将求证式中的四个线段比“通分”，使公分母为DE, 于是问题迎刃而解.例5 AD 是厶ABC 的高线，K 为AD 上一点，BK 交AC 于E, CK 交AB 于F.求证:图5,AQ AE ANi~n————由--- - ,DC EC BC（（有AQ =竺型BCAP = AQ.显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分/ PDQ.这里,原题并未涉及线段比，添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生，恰当地运用 这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.4 为了线段相等的传递 当题目给线段相等的关系传递开去例6在厶ABC 中,AD 是BC 边上的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，并且 1 2 2 (AB 2+ AC 2).4/ MDN = 90° .如果 BM 2+ CN 2 = DM 2 + DN 2,求证:证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E.连ME.由BD = DC,可知ED = DN.有△ BEDC显然，MD 为EN 的中垂线.有EM = MN. 由 BM 2+ BE 2= BM 2 + NC 2= MD 2+MN2_ EM 2,可知△ BEM 为直角三角z ABC +Z ACBABC +Z EBC = 90°.于是,z BAC = 90.所以，AD 2=扌212 2BC =一 （AB 2 + AC 2）.、这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN,使解题找到出路. 例7如图7, AB 为半圆直径，D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F,使EA = DA, FB = DB.过D 作AB 的垂线,交半圆于C.求证:CD 平分EF.证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线，G 、H 为垂足,连FA EB.易知C此式表明，DM _ ME 的充要条件是 BN _ NC.DB 2= FB 2= AB • HB, AD 2=AE 2= AG • AB.二式相减,得 DB 2— AD 2=AB • (HB — AG)或(DB — AD) • AB = AB • (HB — AG). 于是,DB — AD = HB — AG, 或 DB — HB = AD — AG.就是 DH = GD. 显然，EG // CD // FH. 故 CD 平分 EF.这里,为证明CD 平分EF,想到可先证CD 平分GH.为此添加CD 的两条平行线EG 、 FH,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等，在该直线的平行直线上截得的线段也相如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束，DE 是与BC 平行的直线.于是,有DM _ AM _ ME BN _ AN _ NC DMME 卡 DM BN_ 或 _—— BN NC ME NC 利用平行线的这一性质，解决某些线段相等的问题会很漂亮 例8如图9, ABCD 为四边形，两组对边延长 后得交点E 、F,对角线BD // EF, AC 的延长 线交EF 于G.求证：EG _GF.证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、 AF 于 M 、N.由 BD // EF,可知 MN // BD.易知BEF _ S ^DEF . 有 S\BEC _ S ^n KG — *5 n DFC .可得 MC _ CN. 所以,EG _ GF.例9 如图10, O O 是厶ABC 的边BC 外的旁 切圆，D 、E 、F 分别为O O 与BC 、CA 、AB 的切点.若OD 与EF 相交于K,求证：AK 平 分BC.证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别图7交直线AB 、AC 于Q 、P 两点，连OP 、OQ 、 OE 、OF.由OD 丄BC,可知OK 丄PQ.由OF 丄AB,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有 / FOQ =/ FKQ. 由OE 丄AC,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有/ EOP =Z EKP. 显然，/ FKQ = / EKP, 可知/ FOQ = / EOP.由 OF = OE,可知 Rt △ OFQ 也Rt A OEP.贝U OQ = OP. 于是，OK 为PQ 的中垂线，故QK = KP.所以,AK 平分BC.综上，我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用•同学们在实践中应注意适时添 加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用第二讲巧添辅助圆在某些数学问题中，巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系 ，通过圆的 有关性质找到解题途径•下面举例说明添置辅助圆的若干思路•1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”，此时若能把握问题提供的信息，恰当 补出辅助圆，并合理挖掘图形隐含的性质，就会使题设和结论的逻辑关系明朗化•1.1作出三角形的外接圆例1 如图1,在厶ABC 中，AB = AC, D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点且/ BED = 2 / CED = / A.求证：BD = 2CD.分析：关键是寻求/ BED = 2/CED 与结论的联系. 容易想到作/ BED 的平分线,但因BE M ED,故不能 直接证出BD = 2CD.若延长AD 交厶ABC 的外接圆 于F,则可得EB = EF,从而获取.证明：如图1,延长AD 与厶ABC 的外接圆相交于点F,连结CF 与BF,则/ BFA =Z BCA =Z ABC =Z AFC,即/ BFD = / CFD.故 BF:CF = BD: DC.又/ BEF = / BAC, / BFE =Z BCA,从而/ FBE =Z ABC =Z ACB =Z BFE. 故 EB = EF.AG'" F图1作/ BEF的平分线交BF于G,则BG = GF.又S ABCD = S k ABD + S A BCD = 3.32故曲AOB=害.因/ GEF =丄/ BEF=/ CEF, / GFE = / CFE,故厶FEG ◎△ FEC.从而GF= FC.2于是,BF = 2CF.故BD= 2CD.1.2利用四点共圆例 2 凸四边形ABCD 中，/ ABC = 60° , / BAD =/ BCD = 90° ,AB= 2, CD = 1,对角线AC、BD交于点O,如图2. 贝U sin/AOB= _______________ .分析：由/ BAD = / BCD = 90° 可知A、B、C、D四点共圆,欲求sin/ AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD即可.解：因/BAD = / BCD = 90° ,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则/ ADP=/ ABC= 60设AD = x,有AP= ,3x, DP = 2x.由割线定理得(2 + , 3x)、、3x= 2x(1 + 2x).解得AD=x= 2 . 3 —2, BC= 1 BP = 4— 3 .2由托勒密定理有BD • CA= (4 —.3)(2 3 —2) + 2X 1 = 10.3 —12.例 3 已知：如图3, AB= BC= CA= AD, AH 丄CD于H, CP丄BC, CP交AH于P.求证：73△ ABC 的面积s= —AP • BD.4分析：因S k ABC=3 BC2= 3 AC • BC,只4 4须证AC • BC= AP • BD,转化为证厶APC sk BCD.这由A、B、C、Q四点共圆易证（Q为BD与AH交点）.证明：记BD与AH交于点Q,则由AC = AD, AH丄CD得/ACQ=/ ADQ.又 AB = AD,故/ ADQ = / ABQ.从而，/ ABQ =Z ACQ.可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. vZ APC = 90°+/ PCH = / BCD, / CBQ =/ CAQ, •••△ APC sA BCD.二 AC • BC = AP • BD. 于是，S = 3 AC • BC =3AP • BD.442 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关，但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的 信息，此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆，将原问题转化为与圆有关的问题加 以解决•2.1联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中，AB // CD, AD = DC =DB = p, BC = q.求对角线AC 的长. 分析：由“ AD = DC = DB = p ”可知A 、B 、C 在 半径为p 的。
几何辅助线的常见做法
初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
12.17初中几何辅助线大全(潜心整理)(1)
初中几何协助线口诀三角形图中有角均分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称此后关系现。
角均分线平行线，等腰三角形来添。
角均分线加垂线，三线合一试一试看。
线段垂直均分线，常向两头把线连。
要证线段倍与半，延伸缩短可试验。
三角形中两中点，连结则成中位线。
三角形中有中线，延伸中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心均分点。
梯形里面作高线，平移一腰试一试看。
平行挪动对角线，补成三角形常有。
证相像，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比率换，找寻线段很重点。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上边作高线，比率中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上如有全部线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线认真辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角均分线梦圆假如碰到订交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点必定在上边。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
协助线，是虚线，绘图注意勿改变。
若是图形较分别，对称旋转去实验。
基本作图很重点，平常掌握要娴熟。
解题还要多心眼，常常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵巧应多变。
剖析综合方法选，困难再多也会减。
虚心好学加苦练，成绩上涨成直线作协助线的方法一、中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延伸中线或中位线作协助线，使延伸的某一段等于中线或中位线；另一种协助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二、垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的均分线，能够把图形按轴对称的方法，并借助其余条件，而旋转 180 度，获得全等形，，这时协助线的做法就会应运而生。
其对称轴常常是垂线或角的均分线。
三、边边若相等，旋转做实验。
辅助线在平面几何中的应用定稿
辅助线在平面几何中的应用摘要:利用辅助线解题是几何证明中常用方法,也是平面几何教学的重点和难点.通过分析辅助线添加在平面几何中的作用,以三角形,四边形,圆为例研究了添加辅助线的几种常用方法,并指出了如何在教学中提高学生正确添加辅助线的能力.关键词:辅助线;作用;方法;能力辅助线是几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.它是在解证明题过程中,为解证明题创造某个条件,构成某种图形而添加的.辅助线是条件和结论间的纽带,而且也是平面几何教学的重点和难点.本文通过引导学生在分析图形特点的同时,让学生掌握恰当的添加辅助线的方法及每一类辅助线的作用,从而培养学生直觉思维能力,类比、归纳探索规律的能力以及运用数学思维法则的能力等,以实现提高学生正确添加辅助线的能力.1.辅助线的作用1.1纽带作用几何题证明的关键在于寻找已知条件和求证结论的联系,而构作辅助线在解题中起着一条纽带的作用.通过引辅助线,连接已知条件和求证结论的关系或者从结论中的一个几何量或图形过渡到另一个几何量或图形,从而确定证明题方向.例1.已知O和O'外切于点A,经过点A作直线BC和DE,BC交O于点B,交O'于点C,DE交O于点D,交于O'点E.求证:BD∥CE.分析:要证BD∥CE,只要证B C∠=∠,这是一对内错角.BD、CE不在同一个圆中,可作公切线AT,利用弦切角与圆周角的关系,容易证明B C∠=∠.这里公切线AT犹如纽带一样连接两圆的关系.1.2 聚散作用当已知条件或求证结论中的某些几何量或图形聚集在一起时,通过引辅助线,把聚集在一起的已知条件或求证结论几何量或图形进行分解;反之,当已知条件或求证结论中的某些几何量或图形比较分散时,通过引辅助线,将分散零乱的已知条件或求证结论的几何量或图形集中于一个几何图形中,使之共同发挥作用,达到解题目的.如平移、对称、旋转都是聚散己知条件或求证结论几何量或图形的常用手段.例2.已知AD 是ABC ∆的中线,AB AC >,求证:BAD CAD ∠<∠.分析:要证BAD CAD ∠<∠,这是一个比较两个角的大小.因此,应设法适当集中.延长AD 到E ,使DE AD =,连结BE (图2),集中条件于ABE 中.事实上,EDB ADC ∆≅∆,所以,CAD E ∠=∠,AC EB =;又因为AB AC >,所以AB EB >,因此E B A ∠>∠,故BAD CAD ∠<∠,这里利用辅助线把分散的条件集中在ABE ∆中,以便证明.1.3 挖掘作用在几何题的解题中,有些题目往往条件和结论之间的关系不够明确.为了找到解题的方法,必须揭示条件和结论之间的关系.这时,添加辅助线是一种可行的办法.通过引辅助线,挖掘证明题所需要的几何量或已知图形的性质,发现并使用图形中的隐含条件,为证明题的关键一步——使用定理创造条件.例3.已知1O 和2O 交于A 、B 两点,CD 过点A 分别交1O 和2O 于C 、D 点,且CD ∥12O O ,求证:CD =122O O分析:要证CD =122O O ,连结BC 、BD 可联想到12O O 是CBD ∆的中位线,可证BC 过点1O 、BD 过点2O ,连结AB (图4).事实上12O O AB ⊥,CD ∥12O O AB CD ∴⊥于A ,BC ∴过点1O 、BD 过点2O ,又因为11CO O B =,22DO O B =,故CD =122O O .这里连结公共弦AB ,目的是挖掘两圆相交的性质,即12O O AB ⊥这个隐含条件.2.添加辅助线的常用方法图2图3辅助线在平面几何证明题中的运用极其重要,若能掌握辅助线的添加方法,那么,解决此类题型就易如反掌了.下面以常用的几种图形为例,介绍几种添加辅助线的常用方法.2.1 三角形中的常用方法(1)有关中点问题,即中点为对称中心,常用旋转法添加辅助线.引中位线、中线,延长法,造成全等三角形或相似三角形.(2)有关角平分线问题,由于角是轴对称图形,对称轴就是角平分线,常用对称法添加辅助线.(3)有关高或垂线问题,以高或垂线为轴,作出轴对称图形、直角三角形,引斜边上的高、中线,与勾股定理、射影定理、面积元素联系.下面就以有关角平分线问题为例给予说明.例4:已知:AB AC >,AD 是A ∠角平分线,求证:BD DC >.思考1:“直觉”告之,求证似乎显然,却难在如何把BD 、DC 放到一个三角形中去.如果AC 沿角平分线AD 折叠,AC 会叠合到AB 上,点C 会落到AB 内部点E 处.使得AED ∆和ACD ∆关于角平分线AD 对称,再由对称性得AED ∆≅ACD ∆,CD =ED ,从而只需证BD DE >(图4(a )).思考2:类似地,将AB 沿AD 折叠必然重合到AC 上,且点B 将落到的延长线AC 上点F 处,同样可将“求证”化难为易(图4(b )).思考3:同时考虑上述两种折叠法,即只需在AB 上取点E ,在AC 的延长线上取点F ,看似作了较多辅助线(图4(c )),可要求证起来,却非常的简便.2.2 四边形中常用方法连结对角线,化为三角形问题,再用平移法、中连法、割补法.(1)在平行四边形中引高线转化为直角三角形问题,连对角线转化为三角形问题,这就是常用的中连法、平移法.(2)在梯形中连对角线,作高线,延长两腰组成三角形,化为三角形问题,或用平移法将梯形的腰或对角线平移,造成平行四边形和三角形问题,这就是割补法.下面以梯形为例给予说明.例5.己知四边形ABCD 为梯形,AB ∥CD ,AC BD =.求证:AD BC =图4()c图4()a 图4()b分析:要证AD BC =,只需证明AD 、BC 为边的三角形ABD ∆和CAB ∆全等,因对角线AC 、BD 都在梯形内.因此,可分别过点D 、C 作DE AB ⊥、CF AB ⊥,垂足为点E 、F (图5(a )),容易证得AED BFC ∆≅∆.或过点C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于E (图5(b )).容易证得ABD CAB ∆≅∆.这里利用辅助线作高线或平移,将梯形转化为三角形问题,不难证得本题的结论.2.３ 圆中常用方法圆是轴对称图形,所以常用对称法来解决有关圆的数学问题.(1)有关弦的问题,常作弦心距,有时也作出相应的半径、直径,再用垂径定理解决.(2)有关直径问题,由于直径所在的直线是圆的对称轴,所以用对称法,构作有用的辅助线,也常作直径上的圆周角.(3)有关直线与圆相切问题,常连结过切点的半径,得垂直,引过切点的弦,得弦切角,用弦切角定理.(4)有关两圆相交问题,连心线是对称轴,常用对称法,引公共弦、连心线.用两圆相交定量揭示隐含条件.(5)有关两圆相切问题,引过切点的公切线、连心线过切点的弦,用垂直、弦切角定理可连通两圆关系.下面以有关直线和圆相切为例给予说明.例6.已知:BC 与O 相切于点B ,CE 垂直直径AF 于点E ,求证:CD CB =分析一:要证CD CB =,只要证DBC BDC ∠=∠.由己知AF 是直径.所以可连结FB (图6()a ),则90ABF ∠=.已知F ∠=90BDC ADE A ∠=∠=-∠故图5()a 图6()a 图6()b 图6()c 图6()d 图5()bBDC DBC ∠=∠;或利用E 、D 、B 、F 四点共圆证BDC DBC ∠=∠.分析二:要证CD CB =,只要证DBC BDC ∠=∠.由已知BC 与O 相切于点B ,所以可连结OB (图6(b )).则90DBC OBA ∠=-∠,由90BDC ADE A ∠=∠=-∠,又因为O A O B =,所以D B A A ∠=∠.因此D B C B D∠=∠. 分析三:要证CD CB =,只要证DBC BDC ∠=∠.由已知BC 与O 相切于点B ,所以可连结OB .AB 是弦,可过点O 作OG AB ⊥于点G (图6(c )),利用圆心角及垂径定理容易证得,F AOG ADE ∠=∠=∠,再由分析一即可证得.分析四:要证CD CB =,只要证DBC BDC ∠=∠.由已知AF 是直径且BC 是O 的切线,所以可过点A 作O 的切线AG (联系弦切角)得BAG DBC ∠=∠(图6(d )),AF AG ⊥,又因为AF CE ⊥.所以CE ∥AG ,因此BAG BDC ∠=∠,故BDC DBC ∠=∠.2.4 直线形比例线段中常用方法在直线形比例线段中,引过所证比的分点或终点作平行线,引过已知比的分点或终点作平行线,或常用中间比.例7:已知ABC ∆中点D 是AC 上任一点,延长CB 至点E ,使BE =AD ,连接ED 交AB 于点F ,求证:EF :FD =AC :BC .思考:欲得“求证”,关键是正确添加辅助线,直观构成能用平行截割定理或相似形性质.经类比、归纳,可由如下两方面的分析得:分析一:过D 作DM ,使DM ∥AB (图7()a ),则有:EF :FD =EB :BM EF :FD =AC :BC ⇐ EB :BM =AD :BM ⇐已知AD :BM =AC :BC分析二:过D 作DN , 使DN ∥BC (图7()b ), 有:EF :FD =EB :DN ⇐∆EFB ∆DFNEF :FD =AC :BC ⇐ EB :DN =AD :DN ⇐已知 AD :DN =AC :BC ⇐∆ADN∆ACB 图7()a 图7()b最后，需要强调的,常用的一些添加辅助线的方法,如线段的平移,中位线、公切线的应用等都是基本的,理当熟悉,而且应该首先考虑使用. 当基本方法难于作出起到“桥梁”作用的辅助线时,最主要还是应靠学生自己在学习中不断摸索，积累,以致形成经验.另外,应注意添加辅助线时,往往不是一下子可以作出来的，应根据分析逐步完成，举一反三.总之,学会了辅助线的添加,利用一题多解添加辅助线，能提高学生分析,解决问题的能力,开阔学生的视野,启发学生多方面,多层次地思考问题.参考文献[1]陈锡志.帮你学作辅助线[J].中学生数理化(初一版),2004,(12).[2]尹恩余.圆中常见的辅助线的作法[J].才智,2008,(12):96.[3]陈鼎岗,罗丹锋.谈谈在几何证题中怎样添加辅助线[J].郴州师范高等专科学校学报,1997,(02).[4]高秀芳.几何证明中添加辅助线的途径[J].甘肃教育,2001,(09).[5]高绍强.解梯形问题常用辅助线[J].科技信息(科学教研),2008,(08):301.[6]李安民.浅谈用几何变换的方法引辅助线[J].运城学院学报1992-12-30.致谢本论文的研究工作是在冯娟老师的悉心指导下完成的,在我的整个论文写作期间,冯娟老师始终给予了我悉心的指导和帮助,在论文的写作过程中冯老师一直给予我极大的关注,对论文的选题、写作和修改都提出了很多建设性的意见。
几何证明 辅助线 添加技巧(全面,有用)
初中数学几何证明辅助线添加技巧（全面，有用）文中所列举的方法确实是最常用的方法，值得保存辅助线对于同学们来说都不陌生，解几何题的时候经常用到。
当题目给出的条件不够时，我们通过添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。
一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。
所以我们要学会巧妙的添加辅助线。
一、添辅助线有二种情况：1.按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线（还可以利用等腰三角形顶角的外角是底角的两倍添加辅助线）。
2.按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线。
(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）。
(3)等腰三角形中的重要线段（即三线合一线，往往是加高用中点）是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
浅谈初中平面几何几种常见添加辅助线的方法-上海北初级中学
浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法当今社会，数学作为一门基础学科，发挥着越来越来越重要的作用，学好数学尤为重要。
作为新世纪的教师，教学要坚持“以人为本，以学生的发展为本”，要能真正展现学生是数学学习的主人，使学生积极地参与教学活动，探索知识的形成过程，学得并掌握获取知识的方法和途径，使思维的能力在探索过程不断升华和发展。
因此我在教学过程中，相应地采用各种教学方法去启发和促进他们的求知和探索欲，引导学生归纳知识点之间的内在联系，总结解题规律，使数学的学习更有时效性。
初中数学包括代数与平面几何两大部分。
代数部分的学习，一般都有公式可套，题型较为集中，学生学习起来比较轻松。
而平面几何是一门提高学生逻辑思维和分析能力的学科。
对于大部分学生来说学习起来比较困难。
往往学生最为头痛的就是如何在这些错综复杂的几何图形去添加合适的辅助线，其实添加辅助线也是有规律可循，教师在教学的过程中，不但要引导学生对知识进行系统的整理，同时也要引导学生对教材（包括例、习题）深入挖掘、提炼总结其思想实质，揭示归纳方法因素，以其更好地发挥思想方法的整体功效，从而提高解题技巧。
这里介绍几种常见的添加辅助线的方法。
一、过分点添平行线相似形是初中数学的重要内容，由于近年来各地的中考试题向重视学生能力方面快速倾斜，我们在学习相似形内容时，不仅需要掌握相似形的一些基本概念、性质和基本题形，还需要灵活运用所学相似形的基本知识进行补充、延伸、拓宽。
这里，笔者通过大量的习题研究证明一些线段成比例的题型中，发现了过分点添平行线的一种比较好的添线方法，现说明如下：在证明一些线段成比例的题型中，若图形中未出现相似三角形中的基本题型：A字型与X型，通常需要通过找一些分点添平行线去构造这些基本题型。
而且找分点还是有规律可循。
通常可把条件中出现的已知比例或分点的线段和结论中所要证明的线段所在的直线称为热线，把几条热线的交点称为热点。
那么过分点添平行线即可实际操作为过热点添热线的平行线。
初中数学辅助线的九种添加方法
初中数学辅助线的九种添加方法1添辅助线有二种情况1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
平行线常用辅助线知识点_概述说明以及解释
平行线常用辅助线知识点概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在几何学中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
对于平行线的研究，人们发现通过引入一些辅助线能够更好地理解和证明平行线的性质，从而简化许多几何问题的解决过程。
1.2 说明平行线的性质平行线具有一些重要的性质。
首先，它们具有共面性，即两条平行线存在于同一个平面上。
其次，在给定直线外，与该直线平行的直线只有唯一一条。
此外，在给定直线上，存在无数与该直线平行且互不相交的直线。
利用这些性质，我们可以快速判断两条直线是否平行，并进行相关推断和证明。
1.3 辅助线的重要性辅助线在几何推导和证明中起到了至关重要的作用。
通过合理选择和应用辅助线，我们可以将原本复杂的几何问题转化为更简单、直观且易于解决的形式。
辅助线还能够帮助我们揭示隐藏在复杂图形背后的规律和特点，并为后续分析提供有效途径。
总之，在本文中，我们将重点介绍平行线常用的辅助线知识点，并通过实例来解析其应用。
通过全面理解和熟练运用这些辅助线知识点，读者将能够更好地理解平行线的特性，并在几何学习和问题解决中获得更高的效率和成果。
2. 平行线的辅助线知识点：2.1 垂直平分线:垂直平分线是指一个线段的中垂线与另一个线段相交于垂直平分线上。
在平行线的几何证明中，使用垂直平分线可以帮助我们得到一些有用的性质和结论。
例如，如果两条平行线被一条垂直平分线所截断，则截断处所形成的各对应角相等。
2.2 角平分线:角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角划分为两个相等的角，并且其划分位置在这个角的内部。
在证明平行关系时，使用角平分线能够帮助我们找到具有特定性质的几何图形。
例如，在证明两条直线平行时，当一条辅助角平分线与已知直线及其延长线相交时，可以推导出其他相关性质。
2.3 对称线:对称线是指将一个图形折叠成两半时能完全重合的折痕所在的那根过对称中心点（通常为一条直线）。
在使用对称性进行几何证明时，对称辅助会被广泛应用。
数学添加辅助线口诀
平面几何添加辅助线口诀口决一遇中点，配中点，连点添边中位线口决二遇到一边有中线，只需将其一倍延，口决三遇到垂线、角分线，绕轴翻转来变换口决四遇到图中有等边，绕点旋转来变换口决一遇中点，配中点，连点添边中位线理论依据：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
使用方法：如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行且等于BC/2法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∥AD∴∠A=∠ACF∵AE=CE、∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE∴AD=CF∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CF∴BCFD是平行四边形∴DF∥BC且DF=BC∴DE=BC/2∴三角形的中位线定理成立.例题：经典例题1：在△ABC中，AB=2AC，AF= 四分之一AB，D、E分别为AB、BC的中点，EF与CA的延长线交于点G，求证：AF=AG．证明：取AC的中点M，连接EM，∵E，M，分别是BC，AC的中点，∴EM是△ABC的中位线，又∵EM=二分之一AB，AF=四分之一AB，∴AF=二分之一EM又∵EM∥AB，∴GA：GM=AF：EM=1:2即AG=AM=二分之一AC∵AC=二分之一AB∴AG=四分之一AB∵AF=四分之一AB∴AG=AF．经典例题2：已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，BD=2BO．由已知BD=2AD，∴BO=BC．又E是OC中点，∴BE⊥AC．（2）由（1）BE⊥AC，又G是AB中点，∴EG是Rt△ABE斜边上的中线．∴EG=二分之一AB又∵EF是△OCD的中位线，∴EF=二分之一CD又AB=CD，∴EG=EF．练习：1：已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．求：AE：AC的值2：如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．求证：GE：CE，GD：AD，的值是多少3：如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B 重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．（1）求证：BF=FD；（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG=四分之一DA ,并说明理由口决二遇到一边有中线，只需将其一倍延理论依据：全等三角形判定与性质或者平行四边形判定与性质使用方法：有中线时，一般作加倍中线构造全等三角形或者平行四边形，使分散的条件集中；例题：1.如图1,已知ΔABC中,D是BC的中点,DE⊥DF.求证:BE+CF>EF.方法一:如图2，延长ED到M,使DM=DE,连结MC和MF,易证ΔMCD≌ΔEBD,∴BE=CM.∵DE⊥DF, DM=DE,∴EF=MF.在ΔFCM中，∵CF+CM>MF.图1AB CME FD图2∴BE+CF>EF.说明：延长FD 到N,使DN=DF,连结BN 和NE 也可以.方法二:如图3，连结BF ，取BF 的中点M, 取EF 的中点H ，连结DM 、DH 、MH ，∴DM ，MH 为中位线. ∴DM=12CF ，MH=12BE.在Rt △EDF 中，H 为EF 的中点， ∴DH=12EF.在ΔDMH 中，MH+MD>DH, ∴BE+CF>EF.说明:连结CE ，取CE 的中点M, 取EF 的中点H ，连结DM 、MH 、DH也可以.2. 如图1，已知ΔABC 中，AB=5，AC=3，BC 上的中线AD=2。
初中数学常见辅助线的做法
初中数学常见辅助线的做法一、中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.(2)三角形中位线定理.2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一二4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点, 等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.二、角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型.已知。
是4MON平分线上一点，(1)若以_L 0M于点4 ,如图1,可以过户点作PB1ON于点&则与二以.可记为“图中有角平分线, 可向两边作垂线”.(2)若点4是射线0M上任意一点，如图2,可以在ON上截取(用=0/1 ,连接/7人构造△()*?三△ /%.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现二⑶若翼妆舔踹嚼鼠3耳以黠部交0N于点从周造A4 0H基尊健三角形/是底边4加勺中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看二(4)若过P点作PQ//0N交0M于点0,如图4,可以构造△P0Q是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现二三、轴对称模型的构造下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.(1 )线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的儿种题型及解题作图方法如下表所示.四、圆中辅助线构造在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对.提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
初中数学常用辅助线添加技巧
初中数学常用辅助线添加技巧初中数学常用辅助线添加技巧一.添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形; 当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
(6)全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
谈谈平面几何中的辅助线
谈谈平面几何中的辅助线解证几何问题，往往需要在图中另外添加一些线，通常称为辅助线．在图中一般画为虚线．常见的辅助线不外直线、线段、射线、圆或圆弧等等．(一)为什么要添线？解几何题是从题设条件出发，运用正确的逻辑推理，得到题断的结果．我们碰到的几何题有的并非一定要添线，有些则需要添线．为什么有的几何题一定要添线呢？我们还是从具体例题分析谈起．例1 △ABC中，AC＞AB，在AC上取一点D，使CD＝AB，E为AD 中点，F为BC中点．连FE交BA延长线于G．求证AE=AG．分析要证AE=AC．只须证∠1=∠2，问题的关键在于如何由AB ＝CD等题设来证得∠1＝∠2．由于AB、CD位置分散，它们与∠1、∠2的联系不易直接观察到．因此，必须设法添线使它们由分散状态相对集中，使它们之间的联系由隐蔽变为明显．为此，连结BD，取BD中点0．联OE、OF．这样就将∠1“搬”到了∠3、∠2“搬”到了∠4．AB、CD各以其一半的面目“搬”到了OE和OF．于是就把已知、求证中有关的元素相对地集中在一个△OEF中了．容易见到，只要证得∠3=∠4，问题即可迎刃而解．证明(略)．例2 在△ABC中，∠B=2∠C，求证b2=c2＋ac分析要证b2=c2＋ac，只须证b2＝c(a＋c)只须证b∶c＝(a+c)∶b即只须证b、c、(a+c)、b分别为一对相似三角形的对应边．这对三角形要满足①以b为公共边，②其中有一个三角形要有一边为a+c．为此延长AB至D，使BD=BC，这时AD=a+c．连结DC．要证b∶c＝(a＋c)∶b只须证△ABC～△ADC，由于∠A为这两个三角形的公用角，只须条件∠ACB=∠D．也即只须2∠ACB＝∠ABC．这正是题设所给出的我们通过添线沟通了题设与题断之间的逻辑通路．大家不难写出本题的证明．(略)上述诸例表明，解证几何问题，就是由已知出发，用形式逻辑的推理与量的计算，来探求新的、未知的结果．一句话，就是要创造条件实现从已知向结论的转化．实现这一转化，要求我们依据具体问题具体分析，而添设辅助线，正是我们创造的转化条件的一部分，是为了联系几何元素之间的关系而架设的桥梁．添设辅助线的总目的在于沟通解题思路．创设由已知条件向所求结论过渡的条件．其作用(1)使复杂的问题化为我们所熟悉或早已掌握、解决的问题，应有如梯形中位线定理证明中通过添线把问题转化为三角形中位线定理；(2)使图形中隐蔽的关系显现出来，(如例2，例3)(3)使不直接联系的元素发生联系．(如例1)添设辅助线既不是随心所欲的胡添乱画，也不可生硬地机械照搬．而是随着解题思路的展开，当碰到某些条件不能直接与结论发生联系时，为发掘、创设这些条件联系的途径，来设想和决定在图中添什么线与怎样去添线．这正是理解添设辅助线方法的精髓．练习一对下述各题分析解题思路，决定添线方法，从中体会添线的目的与作用．1．△ABC中，AB为高，D为垂足，∠B=2∠C，求证AB+BD=DC．2．△ABC中，∠A=60°，∠B的平分线BD与∠C的平分线CE相交于O，求证OD=OE．3．四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠ACB=50°，求∠BDC的度数．4．△ABC中，AC=BC，∠C=20°，作∠ABD=70°，且BD交AC 于D．求证CD=AB．(二)添线的原则原则一化繁为简添设辅助线有助于①把复杂的图形分解成简单的图形；②把复杂问题分割为若干个简单问题；③把不规则图形转化为规则图形．无论添线怎样复杂，仔细分析，都是为了把某方面的“繁”化为“简”，从而以“简”来驾驭“繁”．例4 如图4，已知凸六边形ABCDEF，对角线BF、AC、BD、CE、DF、EA的中点分别是A1，B1，C1，D1，E1，F1．若A1B1C1D1E1F1也是一个凸六边形，求证A1B1C1D1E1F1面积恰为ABCDEF分析 容易发现，小六边形的对角线，平行且等于大六边形相应的分为两个四边形，连A 1D 1把小六边形也分为两个四边形．四边形A 1D 1E 1F 1面积=A 1E 1×D 1F 1sin α1由于两对边对应平行的角α=α1，这样，立即可得出结论．本题连AD ，A 1D 1把六边形面积计算转化为两个四边形面积计算问题，这样达到化繁为简的目的．例5 在△ABC 中，E 是AC 中点，D 是BC 边一点．若BC=1，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝100°，∠CED=80°．求△ABC 的面积与二倍的△CDE 面积之和．分析 设K=S △ABC +2S △CDE ．由于∠BCA=20°，∠EDC ＝80°，∴ CE=CD ．直接计算两个三角形的面积很困难，要碰到求特殊角的三角函数值．但如果注意到∠ABC=60°这个条件，把△ABC 复原为一个边长为1的正三角形．为此，延长BA 到G ，使BG=BC=1．连CG ，在AG 上取F 点，使BA=GF ．连CF ，则易知△ABC ≌△FGC ，且AC=CF ，∠ACF=20°．于是△ACF ～△CDE ，但CA=2CE ，∴ S △ACF ＝4S △CDE ，S △BCG =2△ABC 面积+4△CDE 面积，此题添线后从表面看使图形变得复杂了，但实质上则使不规则图形转化为规则的正三角形，达到化繁为简的目的．同时也使我们捕捉到了解答本题的途径．原则二 相对集中添设辅助线常常要将已知和未知中的有关元素集中在同一个三角形中或集中到两个相关的(全等、两对边对应相等、相似)的三角形中．只有元素相对集中，才便于联系与比较，才能充分应用有关的几何定理例6 在△ABC中，经过BC中点M，有垂直相交于M的两条直线，它们与AB、AC分别交于D、E．求证BD＋CE＞DE．分析要证BD＋CE＞DE．需要设法把这三条线段集中到同一个三角形中，为此，由M是BC中点，DM⊥EM，使我们联想到不妨用轴对称“翻折”的方法．在DM的延长线上取D'，使MD'=MD，连ED'，CD'．易证ED'=DE，CD'=BD．最终把BD、DE、CE三条线段以CD'、ED'、CE的“身份”集中到了△ECD'中，而使问题获证．原则三作图构造已知条件、求证结论中出现线段、角的和差倍分，可在图形中把它们的关系具体构造出来．只要构造得当，往往有利于对问题的探索．例7 △ABC中，AD为∠A的平分线．若AB+BD=m，AC-CD=n．求AD=？分析条件中出现AB＋BD、AC-CD，不妨在图中具体作图构造出来．为此，延长AB至E，使BE＝BD．则AE=AB＋BD=m，在AC上取点F，使CF=CD，则AF=AC-CD=n．连ED、DF，由∠1=∠2，容易设想，可否通过△AED与△ADF相似来计算AD．为此尚需寻求另一对对应角相等．比如，我们不妨寻求∠E与∠ADF的关系．由以上分折，易由△AED～△ADF，得出AD2=nm．原则四显现特殊性通过联结辅助线，在图形中常常可造出特殊角、特殊线、特殊点或图形的某种特殊性质．例9 过正方形ABCD的顶点A作直线l//对角线BD，以B为中心BD为半径画弧交l于E(如图9)，连BE交AD于F．求证DE=DF．分析要证DE=DF．只须证∠1=∠2．但试图证明∠1=∠2往往会周旋不止而达不到目的．愿因在于隐藏在题中的条件还未仔细挖掘．其所以马上得出∠HEB=30°，∠EBD=30°，∠2=∠EBD+∠ADB=30°＋45＝75°，所以∠1=∠2，问题迎刃而解．练习二通过以下各题体会各种添线原则．1．四边形ABCD的面积为1，M为AD的中点，N为BC的中点，的面积．2．P为正方形ABCD内一点，且PA＝1，PB=5，PC=7．求证A、P、C三点共线．3．△ABC中，∠C＝2∠B，求证AB＜2AC．4．△ABC中，∠C=n∠B．(其中n为大于2的自然数)求证AB＜nAC．5．不等边△ABC中，最长的高线AD等于中线BE，求证∠B＜60°．6．矩阵ABCD中，AB=2AD．以A为中心AB为半径画弧交DC于E，连EB．求∠EBC的度数．7．直角梯形ABCD中，P为垂直于底的腰BC上一点．AP＝PD，∠APB=75°，∠DPC=45°，求证BC=AB．(三)添线的手段通过什么手段来实现上述原则？添设辅助线，从整体看，可以理解把图形的一部分变换到另外的位置，以此来实现条件和结论的联系．这些变换很多，常用的是平行、对称、旋转，线段等比及等积等等．其中，平移、对称、旋转是合同变换，它不改变线段的长度与角的大小；而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变；等积变形，只是图形在保持面积不变情况下的形变．此外圆中弦的一侧所张的圆周角均相等，可以看成一个角顶点沿圆弧滑动，角的两边通过弦的两个端点的运动，这些都是很有用的变化手段．下面举例说明这些变换在添线中的应用1．平移常常通过特殊点添平行线，或利用三角形中位线性质，造成平行线，使图中的某些线段保持平行，或使某些角平移到新的位置．例10 在四边形ABCD中，AB=DC，又E、F各是BC、AD的中点，延长BA、EF、CD，如图10(甲)交成∠1，∠2．求证∠1=∠2．图10(甲)中，利用平移使AB，CD，∠1，∠2集中在一个三角形中．图10(乙)中，利用中位线，使∠1，∠2集中，AB、CD以半长集中．(解略)例11 六边形ABCDEF中，AB//ED，BC//FE，CD//AF，对边之差BC-FE＝ED-AB＝AF-CD＞0．求证该六边形的各角均相等．提示过A作AQ//BC，过C作CR//DE，过E作EP//FA交成图中的△PQR．PQ=BC-EF，QR＝DE-AB．PR=AF-CD．故PQ＝QR＝PR．∴△PQR为正三角形．以下容易推证六边形各内角均为120°．本题是通过平移将元素相对集中．2．对称对称分轴对称与中心对称．等腰三角形的底边上的高线是对称轴．一个角的平分线是这个角的对称轴．而一条线段关于中点为中心对称．平行四边形为中心对称图形．一般地，一个图形要关于一条直线“翻折”过去，采用轴对称，一个图形绕一定点旋转180°，采用中心对称．例13 △ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分．BM是AC上的中线，AE、AF分BM为x、y、z三部分(x＞y＞z)，求x∶y∶z．解本题解法很多，我们利用中心对称求解．如图13，以M为中心作△ABC的中心对称图形，则E'C//AE，F'C//AF．由①，得x-y=z，③3．旋转在具有等边或特殊角的图形中，将图形一部分绕定点旋转一特殊角，往往使分散的条件相对集中，显示出若干新的联系．例14 △ABC中,AB=AC,D是形内一点，若∠ADB＞∠ADC．求证∠DBC＞∠DCB．分析将△ABC以A为中心逆时针旋转一角度∠BAC，到△ACE的位置．连DE，由∠ADB＞∠ADC，得∠AEC＞∠ADC．又∠ADE=∠AED，相减，得∠DEC＞∠EDC．∴CD＞CE．即CD＞BD，从而∠DBC＞∠DCB．例15 设M是等腰直角三角形ABC的腰AC的中点，AD⊥BM．交斜边BC于D．求证∠AMB=∠DMC．分析要证∠1=∠2，由于∠3与∠1互余，∠4与∠1互余，又AB=AC，设想把△ABM平移加旋转到△ACN．(∠4与∠3重合，M→N，A→C)问题变为要证∠2=∠5．这时，只要设法证△MDC≌△NDC即可．例16 若P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3．试证∠APB=135°．分析利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1，PB=2，PC=3．绕B点顺时针旋转90∴∠APE=90°．于是∠APB=135°．4．线段的等比移动．在一直线上二线段比的关系转移到另外直线上的二经段之比．例17 等腰梯形ABCD中，底角为67．5°，以它的一腰BC为直径作圆，交底AB于E，且恰与另一腰AD相切于M，求BE：AE的值．分析由OE=OB，得∠OEB＝∠OBE=∠A，因此OE//AD．设想把AE：EB等比移动．方法有二．方法1 延长AD、BC相交于P，如图18(甲)，∠P=45°，例18 O为△ABC内任一点，直线AO交BC于B，BO交AC于分析过A作BC的平行线，交CF延长线于C'，交BE的延长线于B'，形成二平行线被线束所截及三角形相似．所以至于等积变形，我们留在专题扩展讨论．有了以上一些基本原则与方法，我们不难对一些常见的辅助线分类研究，将某些类型题目的辅助线的经验系统化，这一工作留待大家去完成．练习三通过下列习题体会变换在添线中的作用．1．三角形ABC的边CB上有一点D，如果AC＝3，AB＝6，∠CAD=∠DAB＝60°，求AD的长．(答2)2．在等边三角形内有一点P．连接P与各项点的三条线段的长为3、3．P为正方形ABCD内一点，P到A、B、D的距离分别为1、4．如图，AB＝AC，∠APB，与∠APC为钝角且相等，求证BP=PC．5．等腰直角三角形ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE=CD．过C、D分别作AE的垂线交斜边AC于L、K．求证B L＝L K．提示利用平行截线把B L、L K等比移动到FC、CD，又相当于把△CAE旋转90°到△BFC、∠2=∠4=∠1，C L//BF//DK．由CD。
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初中数学辅助线的添加一．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。
若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
（8）特殊角直角三角形当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明（9）半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。
二．基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。
（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。
（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。
（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。
通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
4.圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
（1）见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
（2）见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。
（3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。
（4）两圆相切作公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
（5）两圆相交作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。
即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。
即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。
如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。
有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。
九：面积找底高，多边变三边。
如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。
三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：证明：（法一）将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ， 在△AMN 中，AM ＋AN ＞ MD ＋DE ＋NE;（1） 在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ； （2） 在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ； （3） 由（1）＋（2）＋（3）得：AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC（法二：）如图1-2， 延长BD 交 AC 于F ，延长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：AB ＋AF ＞ BD ＋DG ＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1） GF ＋FC ＞GE ＋CE （同上）………………………………（2） DG ＋GE ＞DE （同上）……………………………………（3） 由（1）＋（2）＋（3）得：AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC 。
二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：ABCDEN M 11-图ABCDEF G21-图可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC ＞∠DEC ，同理∠DEC ＞∠BAC ，∴∠BDC ＞∠BAC 证法二：连接AD ，并延长交BC 于F∵∠BDF 是△ABD 的外角∴∠BDF ＞∠BAD ，同理，∠CDF ＞∠CAD ∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD即：∠BDC ＞∠BAC 。