(完整版)平面向量基本概念练习题

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平面向量习题及答案

平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】>典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；其中正确的个数为( )a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1313.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝， 331所以＝ad＋＝b＋ 31115＝b(a－b)＝a， 3266111＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.所以? (＋)＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.又因为它们有公共点b，所以a，b，d三点共线.(2)因为ka＋b和a＋kb共线，因为a与b是不共线的两个非零向量，【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△oac的面积与△oab的面积之比是（3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ）【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 32由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 31s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 21an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b). 332所以＝＋＝a＋b). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.?2x?1??(2?x),?? 3????(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.＋|a141＋b|2的最大值为.值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).113所以s△abc＝absin c3. 222【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )a.10－3c.10－23b.10＋53d.10＋231【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题：1。

人教A版(2019)必修第二册《平面向量的概念》同步练习

人教A 版（2019）必修第二册《6.1 平面向量的概念》同步练习一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知平面向量a →=(−2,1)，b →=(1,2)，则|a →−2b →|的值是( )A. 1B. 5C. √3D. √52.（5分）已知向量a →=(2,4),b →=(−2,m)，且|a →+b →|=|a →−b →|，则m =()A. √3B. 1C.2√33D. 23.（5分）已知四边形ABCD 满足AD →=14BC →，点M 满足DM →=MC →，若BM →=xAB →+yAD →，则x +y =()A. 3B. 52C. 2D. −124.（5分）已知四棱锥P −ABCD 底面为平行四边形，点M 为BC 中点，设AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则下列向量中与PM →相等的向量是( )A. 12a →+b →−c →B. a →+12b →−c →C. −a →−12b →+c →D. a →+12b →+c →5.（5分）已知直线上OA →，OB →的坐标分别为−1，2，则下列结论不正确的是( )A. OA →<OB →B. |OA →|<|OB →| C. |AB →|=3D. AB 的中点坐标为126.（5分）在△ABC 中，已知BC →=3BD →，则AD →=()A. 13(AC →+2AB →) B. 13(AB →+2AC →) C. 14(AC →+3AB →)D. 14(AC →+2AB →)7.（5分）下列说法中错误的是()A. 零向量与任一向量平行B. 方向相反的两个非零向量不一定共线C. 单位向量的长度为1D. 相等向量一定是共线向量8.（5分）下列说法正确的是( )A. 单位向量均相等B. 单位向量e →=1 C. 零向量与任意向量平行D. 若向量a →,b →满足|a →|=|b →|，则a →=±b →9.（5分）若平面单位向量a →，b →，c →不共线且两两所成角相等，则|a →+b →+c →|=( )A. √3B. 3C. 0D. 110.（5分）已知不共线的向量a →,b →,|a →|=2,|b →|=3,a →.(b →−a →)=1，则|a →−b →|=( )A. √3B. 2√2C. √7D. √2311.（5分）有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；①若向量AB →与CD →是共线的向量，则A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；①若|a |=|b |，则a =b 或a =-b ；①若a ①b =0，则a =0或b =0；其中正确结论的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 112.（5分）已知a →,b →为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )A. 如果a →与b →平行，那么a →与b →相等 B. a →与b →相等C. 如果a →与b →平行，那么a →=b →或a →=−b →D. a →与b →共线二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）与向量a →=(1,2,−2)方向相同的单位向量是 ______.14.（5分）若向量AB →=−3CD →，则向量AB →与向量CD →共线.______ (判断对错) 15.（5分）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a →|=|b →|，则a →=b →；③若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →=DC →； ⑤若m →=n →，n →=p →，则m →=p →； ⑥若向a →//b →，b →//c →，则a →//c →．其中错误的命题有______.(填序号)16.（5分）已知平面内三点A （2，-3），B （4，3），C （5，a ）共线，则a=____ 17.（5分）已知向量a →=(m,1),b →=(4−n,2),m >;0,n >;0，若a →//b →，则1m+8n的最小值为__________;三、多选题（本大题共4小题，共20分） 18.（5分）下列命题中正确的是( )A. 单位向量的模都相等B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C. 若⇀ a 与b →满足|a |>|b |，且⇀ a 与b →同向，则a →>b →D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 19.（5分）下列说法中，正确的个数是( )A. 时间、摩擦力、压强、重力、身高、温度、加速度都是向量；B. 向量的模是一个正实数；C. 相等向量一定是平行向量；D. 向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量． 20.（5分）下列关于平面向量的说法中，正确的是()A. 若a →=b →，b →=c →，则a →=c →B. 若a →//b →，b →//c →，则a →//c →C. 若xa →+yb →=0→，x ，y ∈R ，a →，b →不共线，则x =y =0 D. 若|a →+b →|=|a →−b →|，则|a →|2+|b →|2=|a →+b →|221.（5分）已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →+2PB →+3PC →=0→，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是()A. 向量PA →与PC →可能平行 B. 向量PA →与PC →可能垂直 C. 点P 在线段EF 上D. PE ：PF =1：2四、解答题（本大题共4小题，共48分）22.（12分）已知四点A(x,0)，B(2x ,1)，C(2,x)，D(6,2x ). (1)求实数x ，使向量AB →与CD →共线；(2)当向量AB →与CD →共线时，A ，B ，C ，D 四点是否存在同一直线上？23.（12分）如图，半圆的直径AB =6，C 是半圆上的一点，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD =1，BE =4，DE =3.[{"ℎ":"57.0","w":"837.0","x":"63.0","y":"509.0"}](1)求证：AC →//DE →;(2)求|AC →|.24.（12分）已知D,E,F 分别是ΔABC 各边AB ,BC ,CA 的中点，分别写出图中与DE →，EF →，FD →相等的向量．25.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知向量m→=(a,√3b)，n→=(cosA,sinB)，且m→//n→.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅰ)若c=5，cosB=√21，求a的值.7答案和解析1.【答案】B;【解析】解：a →−2b →=(−4,−3)． ∴|a →−2b →|=√(−4)2+(−3)2=5．故选：B ．利用数量积运算性质即可得出．此题主要考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B;【解析】解：由题意可得|a →+b →|2=|a →−b →|2，即a →2+2a →·b →+b →2=a →2−2a →·b →+b →2，可得a →·b →=0，又a →=(2,4)，b →=(−2,m)，即有2×(−2)+4m =0，解得m =1，故选：B.由已知条件结合向量模的求法可得a →·b →=0，再代入坐标运算即可求解．此题主要考查了向量模的求法，向量数量积的坐标运算，属于基础题．3.【答案】C;【解析】解：∵四边形ABCD 满足AD →=14BC →，点M 满足DM →=MC →，∴BC →=4AD →，故点M 为线段DC 的中点， ∴BM →=BD →+BC →2=BA →+AD →+4AD→2=−12AB →+52AD →.又∵BM →=xAB →+yAD →，∴x =−12，y =52，故 x +y =2，故选：C.由题意先求得BC →=4AD →，故点M 为线段DC 的中点，再利用平面向量的线性运算，借助平面向量的基本定理即可求解．本题考查的知识点是平面向量的基本定理，平面向量的线性运算，属于中档题．4.【答案】B;【解析】解：∵四棱锥P −ABCD 底面为平行四边形，点M 为BC 中点，AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，∴PM →=PB →+12BC →=PA →+AB →+12BC →=−c →+a →+12b →，故选：B.直接根据向量的三角形法则进行求解即可．此题主要考查了向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：向量不能比较大小，故A 不正确， ∵|OA →|=1，|OB →|=2，∴|OA →|<|OB →|，故选项B 正确， ∵AB →=OB →−OA →=2−(−1)=3，∴|AB →|=3，故选项C 正确， ∵A 的坐标为−1，B 的坐标为2，∴AB 的中点坐标为−1+22=12，故选项D 正确．故选：A.利用直线上的向量的坐标运算求解．此题主要考查了直线上的向量的坐标运算，考查了中点坐标公式，是基础题．6.【答案】A;【解析】解：根据向量的三角形法则得到AD →=AB →+BD →=AB →+13BC →=AB →+13(AC →−AB →)=23AB →+13AC →=13(2AB →+AC →)；故选：A.利用平面向量的三角形法则，将AD →用AB →,AC →表示，找出正确答案．此题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题．7.【答案】B;【解析】解：零向量与任一向量平行，故A 正确；方向相反的两个非零向量一定共线，故B 错误；单位向量的长度为1，故C 正确；相等向量的模相等，方向相同，一定是共线向量，故D 正确．故选：B.由零向量的概念判断A ；由相反向量的概念判断B ；由单位向量的概念判断C ；由相等向量的概念判断D.此题主要考查向量的基本概念，是基础题．8.【答案】C; 【解析】此题主要考查了向量的概念，属于基础题. 根据向量的概念逐一判定即可.解：单位向量的模相等且为1，但单位向量的方向不确定，故A 、B 错误；零向量与任意向量平行，故C 正确；若向量a →,b →满足|a →|=|b →|，只能得出向量a →,b →的模相等，但向量a →,b →的方向不确定，故D 错误；故选C.9.【答案】C;【解析】解：∵平面单位向量a →，b →，c →不共线且两两所成角相等； ∴a →，b →，c →两两夹角为120°，且|a →|=|b →|=|c →|=1；∴|a →+b →+c →|=√(a →+b →+c →)2=√(a →)2+(b →)2+(c →)2+2a →.b →+2a →.c →+2b →.c →=√3+6cos120° =0 故选：C ．根据三个向量不共线且两两所成的角相等可知，它们两两夹角为120°；再根据平面向量模的计算公式即可得出答案．该题考查了平面向量模的运算，属基础题．10.【答案】A;【解析】解：∵|a →|=2，|b →|=3，a →⋅(b →−a →)=1， ∴a →⋅b→−a 2→=a →⋅b →−4=1，∴a →⋅b →=5，∴|a →−b →|2=a 2→−2a →⋅b →+b 2→=4−2×5+9=3，∴|a →−b →|=√3，故选：A ．由已知结合数量积的运算可得a →⋅b →=5，代入运算可得|a →−b →|2的值，求其算术平方根即得．此题主要考查平面向量数量积的运算，涉及向量的模长的求解，属中档题．11.【答案】D;【解析】此题主要考查平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：对于①，互为相反向量的两个向量模相等，命题正确；对于①，向量AB 与CD 是共线的向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上，如平行四边形的对边表示的向量，原命题错误；对于①，当|a |=|b |时，a =b 或a =-b 不一定成立，如单位向量模长为1，但不一定共线，原命题错误；对于①，当a ①b =0时，a =0或b =0或a ①b ，原命题错误；综上，正确的命题是①，共1个．故选D.12.【答案】C;【解析】解：∵a →,b →为两个单位向量，∴如果a →与b →平行，那么a →=b →或a →=−b →，故A 不正确，C 正确；因为两向量相等的充要条件是模相等且方向相同，所以B 不正确； ∵a →,b →为两个单位向量，∴a →,b →为两个向量不一定平行，故D 不正确．故选：C ．a →,b →为两个单位向量，它们的模是单位长度1，方向是任意的，根据两个单位向量的这两条性质，可以判断四个选项的真假．该题考查了命题的真假判断与应用，解答该题的关键是单位向量的定义及两向量相等的条件，同时考查了两向量的应用．13.【答案】（13，23，-23）;【解析】解：向量a →=(1,2,−2)，可得|a →|=√1+4+4=3，所以与向量a →=(1,2,−2)方向相同的单位向量是：(13,23,−23). 故答案为：(13,23,−23).求出向量的模，然后求解单位向量即可．此题主要考查单位向量的求法，向量的模的计算，是基础题．14.【答案】对;【解析】解：向量AB →=−3CD →，根据平面向量的共线定理知，向量AB →与向量CD →共线．故答案为：对．根据平面向量的共线定理，判断即可．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．15.【答案】①②③⑥;【解析】解：在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同，故①错误；在②中，若|a →|=|b →|，则a →与b →大小相等，方向不一定相同，故②错误；在③中，若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点不一定构成平行四边形，故③错误；在④中，在平行四边形ABCD 中，由向量相等的定义得一定有AB →=DC →，故④正确；在⑤中，若m →=n →，n →=p →，则向量相等的定义得m →=p →，故⑤正确；在⑥中，若向a →//b →，b →//c →，当b →=0→时，a →与c →不一定平行，故⑥不正确．故答案为：①①①①．在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同；在②中，a →与b →大小相等，方向不一定相同；在③中，若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点不一定构成平行四边形；在④中，由向量相等的定义得一定有AB →=DC →；在⑤中，由向量相等的定义得m →=p →；在⑥中，当b →=0→时，a →与c →不一定平行．该题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量相等、向量平行的合理运用．16.【答案】6;【解析】解：AB=(2，6) ，AC=(3，a+3) 由已知知AB ∥AC 所以2（a+3）=6×3 解得a=6 故答案为：617.【答案】92; 【解析】此题主要考查利用基本不等式求最值及平面向量共线的充要条件，属于中档题. 由a →//b →，可得：n +2m =4，则1m+8n=14(n +2m )(1m+8n)，化简利用基本不等式求解即可．解：∵a →//b →，∴4−n −2m =0，即n +2m =4， ∵m >;0，n >;0， ∴1m +8n=14(n +2m )(1m +8n ) =14(10+n m+16m n)⩾14(10+2√n m·16mn)=92，当且仅当n =4m =83时取等号， ∴1m +8n 的最小值是92. 故答案为92.18.【答案】AD; 【解析】此题主要考查向量的有关概念，属于基础题．利用向量的有关概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.解：对于选项A ：单位向量的模均为1，故A 正确，对于选项B ：长度不等且方向相反的两个向量一定是共线向量，故B 错误，对于选项C ：向量不能比较大小，故C 错误，对于选项D ：根据相等向量的概念知，故D 正确. 故选AD .19.【答案】CD; 【解析】此题主要考查了向量的基本概念，熟练掌握向量，零向量，平行向量，向量的模的概念是解答该题的关键，属于基础题.直接由向量、零向量、向量相等，向量的模和向量共线的概念逐一核对四个命题得答案．解：对于A ，时间没有方向，不是向量，故A 错误；对于B ，零向量的模为0，故B 错误；对于C ，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量，故C 正确；对于D ，根据零向量与任意向量共线，得到向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量，故D 正确．故选CD .20.【答案】ACD;【解析】解：若a →=b →,b →=c →，则一定a →=c →，∴A 正确；若a →与c →不平行，b →=0→，满足a →//b →,b →//c →，则得不出a →//c →，即B 错误；若xa →+yb →=0→,x,y ∈R,a →,b →不共线，则一定得出x =y =0，若x ，y 中有一个不为0，则可得出a →，b →共线，与已知不共线矛盾，∴C 正确；若|a →+b →|=|a →−b →|，则(a →+b →)2=(a →−b →)2，则a →·b →=0，从而得出|a →+b →|2=|a →|2+|b →|2，即D 正确．故选：ACD.A 显然正确；b →=0→时，可说明B 错误；根据平面向量基本定理即可说明C 正确；进行向量数量积的运算即可说明D 正确．此题主要考查了平面向量和共线向量基本定理，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．21.【答案】BC;【解析】解：∵PA →+2PB →+3PC →=0→，∴PA →+PC →+2(PB →+PC →)=0→，∵E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，∴2PE →+2×2PF →=0→，∴PE →=−2PF →，∴P 为FE 的三等分点(靠近点F)，即PE ：PF =2：1，故C 正确，D 错误，∴向量PA →与PC →不可能平行，故A 错误；当|AC →|=2|EP →|=43|EF →|=23|AB →|时，向量PA →与PC →垂直，B 正确．故选：BC.由题意并根据平面向量线性运算可知PE →=12(PA →+PC →)，PF →=12(PB →+PC →)，代入等式可得PE →=−2PF →，即可判断C 和D ；根据平面中的位置关系，可判断A 和B.本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算及平面向量平行和垂直的判断，属中档题．22.【答案】解：（1）AB →=（x ，1），CD →=（4，x ），∵AB →与CD →共线，∴x 2-4=0，解得x=±2．∴当x=±2时，向量AB →与CD →共线．（2）取x=2时，A （2，0），B （4，1），C （2，2），D （6，4），直线AC ⊥x 轴，而点B ，D 不在直线AC 上，因此四点不共线．取x=-2时，A （-2，0），B （-4，1），C （2，-2），D （6，-4），直线AB 的方程为y-0=1−0−4−(−2)（x+2），化为：x+2y+2=0．点B ，D 满足直线AB 的方程，因此四点共线．;【解析】(1)AB →=(x,1)，CD →=(4,x)，利用向量共线定理解出x.(2)取x =2时，A(2,0)，B(4,1)，C(2,2)，D(6,4)，直线AC ⊥x 轴，而点B ，D 不在直线AC 上，即可判断出四点共线．取x =−2时，A(−2,0)，B(−4,1)，C(2,−2)，D(6,−4)，直线AB 的方程为：x +2y +2=0.验证点B ，D 是否满足直线AB 的方程，即可判断出结论．此题主要考查了向量共线定理、向量共线与直线平行的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】(1)证明：由题意知，在△DEB 中，BD =5，DE =3，BE =4，∴DE 2+BE 2=BD 2，∴△DEB 是直角三角形，∠DEB =90∘.又∵点C 为半圆上一点，∴∠ACB =90∘.∴AC//DE ，故AC →//DE →.(2)解：由AC//DE 知△ABC ∽△DBE.∴AC DE =AB BD ，即AC 3=65.∴AC =185，即|AC →|=185.;【解析】本题考查向量的概念及几何表示、平行向量的概念以及向量的模，属于基础题.(1)根据勾股定理可得DE ⊥BE ，因为AC ⊥BC ，故可得AC →//DE →；(2)由三角形相似得相似比，从而可求出答案.24.【答案】略;【解析】DE →=AF →=FC →；EF →=BD →=DA →；FD →=CE →=EB →.25.【答案】解：（Ⅰ）∵m →∥n →，∴asinB −√3bcosA =0，∴根据正弦定理得，sinAsinB −√3sinBcosA =0，且sinB ＞0，∴sinA =√3cosA ，tanA =√3，且A ∈（0，π），∴A =π3；（Ⅱ）∵cosB =√217，∴sinB =2√77，且C =2π3−B ， ∴sinC =sin(2π3−B)=√32×√217+12×2√77=5√714，且c=5， ∴根据正弦定理得，c sinC =b sinB ，即5√714=2√77，解得b=4，∴根据余弦定理得，a 2=b 2+c 2-2bccosA=16+25-2×4×5×12=21，∴a =√21．;【解析】(Ⅰ)根据m →//n →即可得出asinB −√3bcosA =0，然后根据正弦定理即可得出sinA =√3cosA ，然后即可求出A =π3；(Ⅰ)可先求出sinB =2√77，sinC =5√714，然后根据正弦定理可求出b 的值，进而根据余弦定理可求出a 的值．本题考查了平行向量的坐标关系，正余弦定理，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．。

专题01 平面向量的概念(原卷版)

专题01 平面向量的概念一、单选题1．下列说法正确的是A ．单位向量都相等B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若a b ＝，则//a bD ．若a b ≠，则a b ≠2．给出下列四个说法：①若||0a =，则0a =；②若||||a b =，则a b =或a b =-；③若//a b ，则||||a b =；④若//a b ，//b c ，则//a c ．其中错误的说法有A ．1B ．2C ．3D ．43．下列关于向量的命题正确的是A ．若||||a b =，则a b =B ．若||||a b =，则//a bC ．若a b =，b c =，则a c =D ．若//a b ，//b c ，则//a c 4．下列命题正确的是A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b = 5．下列说法中，正确的个数是①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量A ．1B ．2C ．3D ．4 6．下列说法中正确的是A ．平行向量就是向量所在的直线平行的向量B ．长度相等的向量叫相等向量C ．零向量的长度为零D ．共线向量是在一条直线上的向量7．下列命题正确的是A ．若,a b 都是单位向量，则a b =B ．两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同C ．向量AB 与BA 是两个平行向量D ．若AB DC =，则,,,A B C D 四点是平行四边形的四个顶点8．下列说法错误的是A ．向量OA 的长度与向量AO 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等9．有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若m n =，n k =，则m k =；④零向量都相等．其中假命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．410．下列说法中正确的是A ．零向量没有方向B ．平行向量不一定是共线向量C ．若向量a 与b 同向且a b =，则a b =D ．若向量a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >11．以下说法正确的是 A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C ．共线向量又叫平行向量D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =12．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若,a b 都是单位向量，则a b =；③向量AB 与BA 相等．则所有正确命题的序号是A ．①B ．③C ．①③D ．①②13．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3 14．下列命题中，正确命题的个数是①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是||a a ． A ．0B ．1C ．2D ．3 15．有下列命题：①若a b →→=，则a b →→=；②若AB DC →→=，则四边形ABCD 是平行四边形；③若m n →→=，n k →→=，则m k →→=；④若//a b →→，//b c →→，则//a c →→．其中，假命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 16．下列说法不正确的是A ．平行向量也叫共线向量B ．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C ．若a 为非零向量，则a a是一个与a 同向的单位向量D ．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同17．下列四个命题正确的是A ．两个单位向量一定相等B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同18．有下列说法：①若两个向量不相等，则它们一定不共线；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若//a b ，//b c ，则//a c ；④若AB CD =，则AB CD 且//AB CD ．其中正确说法的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 19．下列说法正确的是A ．单位向量都相等B ．若//a b ，则a b =C ．若a b =，则a b =D ．若λa b ，（0b ≠），则a 与b 是平行向量 20．如图所示，在正ABC 中，D ，E ，F 均为所在边的中点，则以下向量中与ED 相等的是A ．EFB ．BEC ．FBD ．FC21．已知a 、b 是平面向量，下列命题正确的是A ．若||||1a b ==，则a b =B ．若||||a b <，则a b <C ．若0a b +=，则//a bD ．零向量与任何非零向量都不共线 22．下列命题中正确的是A ．若||a b |=|，则a b =B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若||a b |=|，则a 与b 可能共线D ．若a b ≠，则a 一定不与b 共线 23．下列关于向量的概念叙述正确的是A ．方向相同或相反的向量是共线向量B ．若//a b ，//b c ，则//a cC ．若a 和b 都是单位向量，则a b =D ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合24．已知向量a 与b 共线，下列说法正确的是A ．a b =或a b =-B ．a 与b 平行C ．a 与b 方向相同或相反D ．存在实数λ，使得λa b25．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a b ≠，则||||a b ≠；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．326．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反；③若//a b 且//b c ，则//a c ；④若a b =，则2a b >．其中正确的命题个数为A ．0B ．1C ．2D ．327．设,a b 是非零向量，则“2a b =”是“a a b b=” 成立的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件28．若四边形ABCD 是矩形，则下列说法不正确的是A ．AB →与CD →共线 B ．AC →与BD →共线C ．AD →与CB →模相等，方向相反 D ．AB →与CD →模相等29．设,a b →→是两个平面向量，则“a b →→=”是“||||a b →→=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件30．下列关于向量的结论：（1）若||||a b =，则a b =或a b =-；（2）向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >．其中正确的序号为A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（4）D ．（3）二、多选题1．下面的命题正确的有．A ．方向相反的两个非零向量一定共线B ．单位向量都相等C ．若a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 2．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中正确的是A ．,AD CB 共线B ．,AC BD 相等 C ．,AD CB 模相等，方向相反D ．,AC BD 模相等 3．在下列结论中，正确的有A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等 4．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量5．设0a 为单位向量，下列命题是假命题的为A ．若a 为平面内的某个向量，则0=a a aB ．若a 与0a 平行，则0=a a aC ．若a 与0a 平行且1=a ，则0=a aD ．若a 为单位向量，则0=a a三、填空题1．如图，设O 是边长为1的正六边形ABCDER 的中心，写出图中与向量AB 相等的向量__________．（写出两个即可）2．下列命题中正确的有__________．(填序号)①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若 =a b ，则a b =； ③若AB DC =，则,,,A B C D 四点构成平行四边形； ④在▱ABCD 中，一定有AB DC =；⑤若a b =，b c =，则a c =；⑥若//a b ，//b c ，则//a c ；3．给出以下结论：①平面任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；③平面向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．请将正确的说法题号填在横线上：__________．4．下列说法中正确的是__________．（填序号）①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③若||||a b >，则a b >；④长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量．5．给出下列几种说法：①若非零向量a 与b 共线，则a b =；②若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；③若两向量有相同的基线，则两向量相等；④若//a b ，//b c ，则//a c 其中错误说法的序号是__________．6．给出下列命题：①若//,//a b b c ，则//a c ；②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是__________．四、解答题1．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC相等的向量；（2）与OB长度相等的向量；（3）与DA共线的向量．2．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c．（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a共线的向量有哪些？（3）请一一列出与a，b，c．相等的向量．3．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与AB→相等的向量共有几个；（2）与AB→方向相同且模为.。

(完整版)平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习1.已知a =(x,2)，b =(1,x)，若a //b ，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 22.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-= ()B (2,3),(3,2)a b ==()C (1,2),(7,14)a b =-= ()D (3,2),(6,4)a b =-=-3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且CB CN CA CM ⋅=⋅=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为三.知识归纳1. 平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+成立。

其中12,e e 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________；2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j作基底，则对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a +=、就把_________叫做向量a的坐标，记作____________。

3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量OA 的坐标为OA＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标．4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有：OM =________________，M 点的坐标为_____________．5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//⇔≠b b a ；坐标形式： _____________)0(//⇔≠b b a ．6. a=（x,y ）, 则a =___________.与a 共线的单位向量是：aa e = 四．例题分析：例1.(1)、已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P点的坐标为（）A （－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4） (2)、已知两点A(4,1), B(7,-3), 则与向量AB 同向的单位向量是（）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 (D)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54(3)、若a =（2，3），b =（－4，7），则a 在b 方向上的投影为____________。

平面向量的基本概念及线性运算练习题(基础、经典、好用)

平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．(2013·湛江质检)若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB→＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB→＋PC →＝0 3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |；②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB→＋BC →－AC →＝0； ④在四边形ABCD 中，(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0. A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．②③4．已知A 、B 、C 三点共线，点O 在该直线外，若OB →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·佛山调研)已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0二、填空题6．如图4－1－2所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．图4－1－27．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA→＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________．8．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0；③xa ＋yb ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB→与CD →共线．三、解答题图4－1－39．(2013·清远调研)如图4－1－3所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值． 10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA→＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 11．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB→|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．解析及答案一、选择题1．【解析】若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－(a ＋c )，∴b ∥(a ＋c )；若b ∥(a ＋c )，则b ＝λ(a ＋c )，当λ≠－1时，a ＋b ＋c ≠0，因此“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的充分不必要条件．【答案】 A2．【解析】由BC→＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点，则PC →＋P A →＝0.【答案】 B3．【解析】 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴该命题不成立．②真命题，这是因为(a －b )＋(b －a )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB→＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0. ④假命题．∵AB→＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0， ∴该命题不成立．【答案】 D4．【解析】因为A 、B 、C 三点共线，所以AB→＝kAC →， ∴OB→－OA →＝k (OC →－OA →)，所以OB →＝OA →＋kOC →－kOA →， ∴OB→＝(1－k )OA →＋kOC →，又因为OB →＝λOA →＋μOC →，所以λ＝1－k ，μ＝k ，所以λ＋μ＝1. 【答案】 B5．【解析】若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1，∴a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b ，若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则e 1＋λe 2＝μ·2e 1，∴λ＝0，1－2μ＝0.【答案】 D二、填空题6．【解析】由图知，a －b ＝BA →＝e 1＋(－3e 2)＝e 1－3e 2. 【答案】 e 1－3e 27．【解析】由OA→＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.【答案】 60°8．【解析】由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB→与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线，故④不对．【答案】 ①②三、解答题9．【解】如题图所示，AP→＝AB →＋BP →， ∵P 为BN 上一点，则BP→＝kBN →， ∴AP→＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)，又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →，因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811.则m ＝1－k ＝311.10．【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，AC→＝OC →－OA →＝－a －2b . 所以AC→＝－AB →，又因为A 为公共点，所以A 、B 、C 三点共线．(2)AC→＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ，因为A 、C 、D 三点共线，所以AC→与CD →共线．从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －kb )，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.11．【解】如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量， ∴|AM→|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．。

(完整版)高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题 11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

高中数学同步练习题,平面向量的基本概念

平面向量的基本概念知识点梳理：1．向量：既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4)相反向量：__________且__________的向量叫做相反向量．(5)平行向量(共线向量)：向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作________．②规定：零向量与__________平行．同步练习题一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件中能得到a＝b的是()A．|a|＝|b| B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝03．下列说法正确的有()①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个B．3个C．4个D．5个4．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”()A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立5．下列各命题中，正确的命题为()A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一向量平行C．向量就是有向线段D．|a|＝|b|⇒a＝b6．下列说法正确的是()A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．零向量长度等于0D ．共线向量是在一条直线上的向量二、填空题7．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)8．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E 、F 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．三、解答题11. 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？12. 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．13. 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．参考答案知识梳理1．大小方向 2.AB →3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等方向相同 (4)相同或相反非零 ①a ∥b ②任一向量同步练习题1．D2．D3．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]4．C [当b ＝0时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．]5．B [由于模为0的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选B.]6．C [向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线平行于CD →所在的直线和AB →所在的直线与CD →所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A 、B 、D 均错．]7．①③④解析相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．8．菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC∴四边形ABCD 是平行四边形，∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．9．单位圆相距为2的两个点一条直线10.FE →，BC →，CB →解析 ∵E 、F 分别为△ABC 对应边的中点，∴EF ∥BC ，∴符合条件的向量为FE →，BC →，CB →.11．解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．12．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.13．证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→，∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.14．解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.。

高中数学必修二 6 1 平面向量的概念(精练)(含答案)

6.1 平面向量的概念(精练)【题组一向量与数量的区别】1．(2021·江苏·泰兴市第三高级中学高一月考)给出下列量：①角度；①温度；①海拔；①弹力；①风速；①加速度．其中是向量的有( )A．2个B．2个C．4个D．5个【答案】B【解析】根据题意，在①角度、①温度、①海拔、①弹力、①风速、①加速度中，是向量的有①弹力、①风速、①加速度，有3个，故选：B．2．(2021·浙江·高一课时练习)下列各量中是向量的是( )A．时间B．速度C．面积D．长度【答案】B【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：B．3．(2021·全国·高一课时练习)给出下列物理量:①密度；①路程；①速度；①质量；①功；①位移.下列说法正确的是A．①①①是数量，①①①是向量B．①①①是数量，①①①是向量C．①①是数量，①①①①是向量D．①①①①是数量，①①是向量【答案】D【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D4．(2021·上海·高一课时练习)下列各量中，哪些是向量(即矢量)，哪些是数量(即标量)？(1)密度(2)体积(3)电阻(4)推进力(5)长度(6)加速度向量：__________；数量：____________.(填写相应编号).【答案】(4)(6) (1)(2)(3)(5)【解析】密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量，是数量；推进力、加速度是既有大小又有方向的量，是向量.故答案为：(4)(6)；(1)(2)(3)(5).【题组二向量的几何表示】1．(2021·全国·高一课时练习)一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.(1)按1①100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？【答案】见解析.【解析】(1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零．按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180α︒-的正多边形，由多边形的内角和定理可得(180)(2)180n n α︒-=-⋅︒，解得360nα︒=，且3,*n n N ≥∈．故α应满足的条件为360nα︒=，且3,*n n N≥∈．2．(2021·全国·高一课时练习)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且5AC=.(1)画出所有的向量AC；(2)求BC的最大值与最小值．【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)画出所有的向量AC，如图所示：(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC|①当点C位于点C5或C6时，|BC|所以|BC|3(2021·全国·高一课时练习)在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a．(1)试以B为起点画一个向量b，使=b a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．4．(2021·江苏·高一课时练习)在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为起点画一个向量b，使b a=；c=，并说出向量c的终点的轨迹是什么？(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使5【答案】(1)作图见解析；(2)向量c的终点的轨迹是以A.【解析】(1)由题意，B为起点画一个向量b，使b a=，如图所示.c=，则向量c的终点表示以A(2)因为5【题组三向量相关概念的辨析】1．(2021·湖南·武广实验高级中学高一期末)下列四个命题正确的是( )A．两个单位向量一定相等B．若a与b不共线，则a与b都是非零向量C．共线的单位向量必相等D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【答案】B【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a与b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选：B．2．(2021·全国·高一课时练习)下列关于向量的描述正确的是A ．若向量a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a ，b 都是单位向量，则1a b ⋅=C ．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D ．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【解析】对于选项A ：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为1，方向不定，故向量a 和b 不一定相同，故选项A 错误；对于选项B ：因为cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=，由[]cos 1,1θ∈-知，1a b ⋅=不一定成立，故选项B 错误；对于选项C ：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C 错误；对于选项D ：因为所有单位向量的模为1，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选项D 正确；故选：D.3．(2021·广西·田东中学)下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；①模相等的两个平行向量是相等向量；①若a →，b →满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→>； ①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；①若a →①,b b →→①c →，则b →①c →．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；对于①，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故①错误；对于①，向量是有方向的量，不能比较大小，故①错误；对于①，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故①错误；对于①，0b →→=时，若a b b c →→→→∥，∥，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A．4．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的个数是( )①时间、摩擦力、重力都是向量；①向量的模是一个正实数；①相等向量一定是平行向量；①向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；①零向量的模为零，故①错；①相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故①正确；①零向量与任意向量都共线，因此若向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量，即①正确.故选：B.5．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段①零向量是没有方向的向量①零向量的方向是任意的①任何向量的模都是正实数A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，其方向是任意的，故①错，①正确；零向量的模等于0，故①错.故选：B.6．(2021·江苏·高一)下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;①向量的大小与方向有关;①任意两个零向量方向相同;①模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;①向量不能比较大小,故①错误;①由零向量方向的任意性知①错误;①向量相等是向量模相等,且方向相同,故①错误.故选：A.7．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；①零向量的方向都是相同的；①单位向量都是同方向；①任意向量与零向量都共线．A．①①B．①①C．①①D．①①【答案】D【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确；①零向量的方向任意，故错误；①单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；①任意向量与零向量都共线，正确；故选：D8．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数有( )①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；①单位向量都相等；①任一向量与它的相反向量不相等；①共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．A．0B．1C．2D．3【答案】AAB CD，或A,B，C，D在同条直线上，故①错误；【解析】对于①，若向向量AB与CD是共线向量，则//对于①，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故①错误；对于①，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故①错误；对于①，比如共线的向量AC与BC(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故①错误.故选：A．【题组四相等向量与平行向量】1．(2021·全国·高一课时练习)下图中与向量a相等的向量是( )A．b，c，e，f B．c，f C．f D．c【答案】D【解析】由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件，故选：D2．(2021·全国·高一课时练习)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与CA共线的向量有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由图可知，根据正六边形的性质，与CA共线的有AC，DF，FD，共3个，故选：C.3．(2021·全国·高一课时练习)如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:①AE AB AD CD CB DE，，，，，都是单位向量;①AB①DE DE，①DC①与AB相等的向量有3个;①与AE共线的向量有3个;①与向量DC大小相等、方向相反的向量为DE CD BA，，.其中正确的是____.(填序号)【答案】①①①①【解析】①由两菱形的边长都为1，故①正确;①正确;①与AB 相等的向量是ED DC ，，故①错误;①与AE 共线的向量是EA BD DB ，，，故①正确;①正确.故答案为：①①①①4．(2021·上海·高一课时练习)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有______个；(2)______；(3)与AB 相等的向量有______；(4)1AA 的相反向量有______．【答案】8 1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB 11A B 、DC 、11DC 1A A 、1B B 、1C C 、1D D【解析】(1)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以单位向量有428⨯=个；(2)由图可知，1111A D AD BC BC ====1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；(3)由图可知，1111AB DC A B D C ===，所以与AB 相等的向量有：11A B 、DC 、11DC ；(4)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以1AA 的相反向量有：1A A 、1B B 、1C C 、1D D ；故答案为：8；1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；11A B 、DC 、11DC ；1A A 、1B B 、1C C 、1D D .5．(2021·全国·高一课时练习)O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO ，BO 相等的向量；(2)找出与AO 共线的向量；(3)找出与AO 模相等的向量；(4)向量AO 与CO 是否相等？【答案】(1)AO BF =，BO AE =；(2)BF ，CO ，DE ；(3)CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)不相等．【解析】因为O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，所以OA AE OD DE OC CF BF BO =======，AB CD BC AD ===；(1)由题中图形可得：AO BF =，BO AE =；(2)由图形可得，与AO 共线的向量有：BF ，CO ，DE ；(3)与AO 模相等的向量有：CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)向量AO 与CO 不相等，因为它们的方向不相同．6．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c .相等的向量．【答案】(1)OD ，BC ，AO ，FE .(2)EF ，BC ，OD ，FE ，CB ，DO ，AO ，DA ，AD .(3)与a 相等的向量有EF ，DO ，CB ；与b 相等的向量有DC ，EO ，FA ；与c 相等的向量有FO ，ED ，AB .【解析】(1)因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD，BC，AO，FE.(2)由共线向量定理得：EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a共线.(3)由相等向量的定义得：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.。

平面向量练习题及答案

平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。

答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。

答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。

答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。

答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。

答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。

答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。

答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。

答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。

答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。

计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。

(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。

平面向量专题复习练习(含解析)【最新】

A． B． C．3D．5
14．已知与垂直，则实数的值为（）
A．1B． C．2D．
15．已知平面向量，满足，，且，则（）
A．3B． C． D．5
16．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（）
A． B． C． D．
17．已知，， =1，则向量在方向上的投影是（）
A． B． C． D．1
2．下列命题正确的是（）
A．单位向量都相等B．若与共线，与共线，则与共线
C．若，则 D．若与都是单位向量，则
3．在中，点O满足，则与的面积比为（）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（）
A． B． C． D．
5．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
6、如图，，，，，若m= ，那么n=（）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ，故C为线段AB的中点，
故 = =2 ，∴ = ，
由，，
∴ ，，
∴ = ，
∵M，P，N三点共线，故 =1，当m= 时，n= ，故选：C
7、若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c等于()
平面向量专题复习
一、基本概念与定理
1、定义：既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或称模)
2、单位向量：长度等于1个单位的向量（与同方向的单位向量为）
3、零向量：长度为零的向量；其方向是任意的
4、平行、共线向量：同向或反向
5、相等向量：长度相等且方向相同的向量
6、相反向量：长度相等且方向相反的向量

平面向量习题及答案

平面向量习题及答案平面向量习题及答案引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域中都有广泛的应用。

通过解决平面向量习题，我们可以加深对平面向量的理解，提高解题能力。

本文将介绍几个常见的平面向量习题，并给出详细的解答过程。

一、向量的加法和减法1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求a+b和a-b。

解答：a+b=(2+4)i+(3-5)j=6i-2ja-b=(2-4)i+(3+5)j=-2i+8j2. 已知向量a=3i+2j，b=-i+4j，求2a-3b。

解答：2a-3b=2(3i+2j)-3(-i+4j)=6i+4j+3i-12j=9i-8j二、向量的数量积和向量积1. 已知向量a=2i+3j，b=-i+4j，求a·b和|a×b|。

解答：a·b=(2)(-1)+(3)(4)=-2+12=10|a×b|=|(2)(4)-(3)(-1)|=|8+3|=112. 已知向量a=3i+2j，b=4i-5j，求a×b的模长和方向角。

解答：a×b=(3)(-5)-(2)(4)=-15-8=-23|a×b|=|-23|=23设a×b与x轴正向的夹角为θ，则cosθ=(4)/√(4^2+(-23)^2)=4/√545θ≈84.3°三、向量的共线与垂直1. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否共线。

解答：若a和b共线，则存在实数k，使得a=kb。

2i+3j=k(-4i-6j)2i+3j=-4ki-6kj2=-4k，3=-6k解得k=-1/2所以，a和b共线。

2. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否垂直。

解答：若a和b垂直，则a·b=0。

a·b=(2)(-4)+(3)(-6)=-8-18=-26-26≠0所以，a和b不垂直。

结论：通过解答上述平面向量习题，我们可以巩固向量的加法、减法、数量积、向量积等基本概念和运算规则。

(word完整版)平面向量题型及方法

平面向量方法、题型、及应试技巧总结一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么?（向量可以平移)。

如：已知A （1，2），B （4，2），则把向量AB 按向量a ＝（－1，3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））2．零向量：长度为0的向量叫零向量,记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)； 4．相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;5．平行向量（也叫共线向量）:方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行. 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!（因为有0）； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

如下列命题:(1）若a b =，则a b =.（2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =,则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ,注意起点在前,终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底,则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

新课标数学必修4第2章平面向量同步练习(含答案)

第1课时平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模且方向的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6．已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7．已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8．已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10．化简++++.第7课时平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ，求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ，若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=，求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ，求D 点坐标第9课时平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量的坐标.第11课时平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值..第12课时平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。

(完整版)平面向量基础题

平面向量基础题一、高考真题体验1．（2015新课标卷I ）已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4) 2．（2015新课标卷II ）已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．23．（2014新课标卷I ）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A.AD B.D. BC 二、知识清单训练【平面向量概念】1、定义：大小、方向2、几何表示：有向线段AB ,a 、3、基本概念：单位向量、相等向量、相反向量、共线（平行）向量4．下列判断正确的是 ( )A.若向量AB 与CD 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线；B.单位向量都相等；C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；D.模为0的向量的方向是不确定的。

5．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若||||a b a b +=-，则0a b ⋅=D ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=6．已知非零向量b a 与反向，下列等式中成立的是（）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+【线性运算】1、加法：首尾相连，起点到终点ACBC AB =+2、减法：同起点、连终点、指向被减 CB AC AB =-3、数乘：⎪⎩⎪⎨⎧=<>=a a a a a a a λλλλλλλ方向相反方向与方向相同；方向与,0,07．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则等于 ( ）A ．B ．C ．D ．8．设四边形ABCD 中，有DC =21AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形B.等腰梯形C. 矩形D.菱形9．设D ，E ，F 分别为∆ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC += A ．BC B ．AD C ．12BC D ．12AD 10．设P 是△ABC 所在平面内的一点，+=2，则（）A ．+=B ．+=C ．+= D ．++=11．如图.点M 是ABC ∆的重心,则MC MB MA -+为（）A ．0B ．4MEC ．4MD D ．4MF【平面向量基本定理】b a c μλ+=，基底12．如图所示，已知2AB BC =，OA a =，OB b =，OC c =，则下列等式中成立的是( )(A)31c b a =- (B)2c b a =- (C)2c a b =- (D)31c a b =- 13．在空间四边形ABCD 中，AB a =，AC b =，AD c =，M ，N 分别为AB 、CD 的中点，则MN 可表示为（）()a b c +- ()a b c -+ )a b c -++ ()a b c ++ 14．在ABC ∆中，已知D 是AB边上一点，若12,3AD DB CD CA CB λ==+，则λ=( )A B 【共线定理】1221//y x y x a b b a -==⇒λ15．已知1232a e e =+，则与a 共线的向量为(A) 1223e e -- (B) 1264e e - (C) 1264e e + (D) 1232e e -+ 16．平面向量(1,2)=-a ，(2,)n =-b ，若a // b ，则n 等于A ．4B ．4-C ．1-D ．2【坐标运算】1、已知()()2211,,,y x B y x A ==，则()1212,y y x x AB --=2、已知()()2211,,,y x b y x a == 则()2121,y y x x b a ++=+，()2121,y y x x b a --=-，),(11y x a λλλ=，2121y y x x b a +=•17．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则+=a bA ．()1,5-B ．()1,5C ．()1,3--D ．()1,318．若向量(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BC =（） A ．(1,1) B ．(1,1)-- C ．(3,7) D ．(3,7)-- 19．已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则2a b -=A ．（5,7）B ．（5,9）C ．（3,7）D ．（3,9）【数量积】 1、2、3、模：2121y x a +==4、5、垂直：02121=+⇒=⋅⇒⊥y y x x b a b a20．已知||6a =，||3b =，12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的投影是（） A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 213a =，23b =，3a b =-，则a 与b 的夹角是 A. 30︒ B. 60︒ C. 120︒ D. 150︒22．设(1,2)a =，(2,)b k =，若(2)a b a +⊥，则实数k 的值为（） A ．2- B ．4- C ．6- D ．8- 23．已知,a b是平面向量，若(2)a ab ⊥-，(2)b b a ⊥-，则a 与b 的夹角是 A24．空间四边形OABC 中，OB OC =，，则cos <,OA BC >的值是（）D.025．设向量,a b 满足||1,||3,()0a a b a a b =-=⋅-=，则|2|a b +＝( )A ．2B ．4 D26．已知等边ABC ∆的边长为1，则=⋅BC ABA27．在Rt ABC ∆中，D 为BC 的中点，且AB 6AC 8==，，则AD BC ⋅的值为 A 、28- B 、28 C 、14- D 、1428．若同一平面内向量a ，b ，c 两两所成的角相等，1a =，1b =，3c =，a b c ++等于（） A ．2 B ．5 C ．2或5 D【课后练习】29．已知和点满足.若存在实数使得成立，则=（）A ．2B ．3C ．4D ． 30．设向量12,ee是夹角为的单位向量，若13a e =，12b e e =-，则向量b 在a 方向的投影为（） A 2．131．已知平面向量a ，b 满足3a=，2b =，3a b ⋅=-，则2a b +=（） A ．1 B 321,2,()a b a a b ==⊥-且，则向量a 与向量b 的夹角为（）.（A ）30 （B ）45 （C ） 90 （D ）135 33．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（） A ．AB DC = B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．AD CD BD +=34．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（） A ．（2,4） B ．（3,5） C ．（1，1） D ．（－1，－1）ABC M 0=++MC MB MA m AM m AC AB =+m3235．如下图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ＝x OA ＋y OB ，且BP ＝3PA ，则（）．A 、x ＝23，y ＝13 B 、x ＝13，y ＝23 C 、x ＝14，y ＝34 D 、x ＝34，y ＝1436．已知向量(1,2),(4,)a b m ==-，若2a b +与a 垂直，则m =（） A ．-3 B ．3 C ．-8 D ．8 37．已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1ab ，则向量a 与b 的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π38．已知向量(2,1),(5,3)a b →→==-，则a b →→⋅的值为 A ．-1 B ．7 C ．13 D ．1139．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则实数m 的值为（） A ．1 B ．4 C ．1- D ．4-40．已知平面向量AB ()1,2=，AC ()3,4=，则向量CB =（） A ．(4,6)-- B ．(4,6) C ．(2,2)-- D ．(2,2)41．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于（） A ．()2,1-- B ．()2,1 C ．()3,1- D ．()3,1-42．已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与向量AB 同向的单位向量是（） A ．(53，-54) B ．(-53，54) C ．(-54，53) D ．(54，-53) 43．若向量，满足条件，则x=（）A ．6B ．5C ．4D ．344．设R y x ∈,，向量()()(),4,2,,1,1,-===c y b x a 且c b c a //,⊥，则=+b a ( ) A.5 B.10 C ．25 D ．10 45．已知向量(1,2),(2,1)a b ==-，下列结论中不正确．．．的是（） A ．//a bB ．a b ⊥C ．||||a b =D ．||||a b a b +=-平面向量基础题参考答案1．A 【解析】试题分析：∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(-7,-4)，故选A. 考点：向量运算 2．C 【解析】试题分析：由题意可得2112=+=a ,123,⋅=--=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算. 3．A 【解析】试题分析：根据平面向量基本量的加减运算可得：在BEF ∆中，12EB EF FB EF AB =+=+，12FC FE EC FE AC =+=+，则11111()()()()22222EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD+=+++=+=+=．考点：向量的运算 4．D【解析】解：因为A.若向量AB 与CD 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线；可能构成四边形。

高一数学平面向量的概念及几何运算试题

高一数学平面向量的概念及几何运算试题1.下列说法正确的是（）.A．方向相同或相反的向量是平行向量B．零向量是C．长度相等的向量叫做相等向量D．共线向量是在一条直线上的向量【答案】B【解析】选项A:方向相同或相反的非零向量是平行向量；选项C：方向相同且长度相等的向量叫相等向量；选项D：共线向量所在直线可能重合，也可能平行；故选B.【考点】平面向量的有关概念.2.若向量、满足，，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设与的夹角为。

因为，所以。

故C正确。

【考点】1两向量夹角的范围；2向量的数量积公式。

3.已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，，且，则点O，N，P依次是△ABC的( )A．重心外心垂心B．重心外心内心C．外心重心垂心D．外心重心内心【答案】C【解析】∵||＝||＝||，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，∵，∴，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到P是三角形的垂心，故选 C．.【考点】向量在几何中的应用．4.已知|a|=6，|b|=3， =，则向量a在向量b方向上的投影是（）A．B．4C．D．2【答案】A【解析】根据投影的定义可知，|a|=6，|b|=3， =，则向量a在向量b方向上的投影是，故可知答案为-4，选A.【考点】投影的定义点评：此题考查了向量的模，两向量的夹角公式，向量b在向量a的方向上的投影的定义．5.设、、是非零向量，则下列说法中正确是A．B．C．若，则D．若，则【答案】D【解析】数量积不满足结合律，A错；当与异向时，，B错；由得，，因而，不一定是零向量，C错；显然，D正确，这体现了向量的传递性。

故选D。

【考点】向量的性质点评：做这类题目，常采用排除法。

排除选项时，又常取反例。

6.已知,,若,则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由题意可知，因为，所以解得的值为或.【考点】本小题主要考查向量垂直的坐标运算，考查学生的运算求解能力.点评：向量垂直和平行的坐标运算比较简单，仔细运算即可.7.（10分）设两个非零向量e1、e2不共线.如果=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2)⑴求证: A、B、D三点共线. ⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1)证明三点共线，利用向量证明就是证与共线即可.(2)利用向量共线的条件是来建立关于k的方程，解出k值.8.已知平面向量，则向量（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题考查向量的坐标运算.若则.故选D9.已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括），则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，其中，则。

平面向量复习(含练习+答案)

向量知识清单一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:⑴字母表示法:如,,,a b c r r rL 等.⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB uuu r ,CD uuu r等.⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA u u u r的起点O 为在坐标原点,终点A 坐标为(),x y ,则(),x y 称为OA u u u r 的坐标,记为OA u u u r=(),x y .注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量ar与b r相等,记为a b =r r .注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0r与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。

研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法 OA --→+OB --→=OC --→ OB --→OA --→-=AB --→记OA --→=(x 1,y 1),OB --→=(x 1,y 2) 则OA OB +uu u r uuu r =(x 1+x 2,y 1+y 2)OB OA -uuu r uu u r=（x 2-x 1,y 2-y 1）OA --→+AB --→=OB --→实数与向量的乘积 AB --→=λa → λ∈R 记a →=(x ,y ) 则λa →=(λx ,λy )两个向量的数量积 cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r记1122(,),(,)a x y b x y ==r r 则a →·b →=x 1x 2+y 1y 2 加法：①a b b a +=+r r r r (交换律); ②()()a b c a b c ++=++r r r r r r(结合律)实数与向量的乘积：①()a b a b λλλ+=+r r r r ; ②()a a a λμλμ+=+r r r;③()()a a λμλμ=r r两个向量的数量积: ①a →·b →=b →·a →; ②(λa →)·b →=a →·(λb →)=λ(a →·b →);③(a →+b →)·c →=a →·c →+b →·c →注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(a →±b →)2=222a a b b →→→→±⋅+ (三)运算性质及重要结论⑴平面向量基本定理:如果12,e e u r u u r是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a r ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+r u r u u r ，称1122e e λλ+u r u u r 为12,e e u r u u r的线性组合。

平面向量综合练习7讲(等和线,极化恒等式,奔驰定理,矩形大法一应俱全)

目录第1讲平面向量基本概念和基本定理..............................................................................................1第2讲平面向量基本定理及三点共线定理....................................................................................21第3讲平面向量中的范围、最值问题..........................................................................................30第4讲极化恒等式............................................................................................................................44第5讲矩形大法................................................................................................................................50第6讲五心问题（奔驰定理）........................................................................................................55第7讲等和线 (67)第1讲平面向量基本概念和基本定理题型1平面向量的线性运算1．如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC的夹角为30︒，且||||1,||3OA OB OC === ，若OC OA OB λμ=+，则(λμ+=)A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解： OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC的夹角为30︒，且||||1,||3OA OB OC === ；∴对OC OA OB λμ=+两边平方得：223λλμμ=-+①；对OC OA OB λμ=+ 两边同乘OA 得：322μλ=-，两边平方得：22944μλλμ=-+②；①-②得：23344μ=；根据图象知，0μ>，1μ∴=，代入322μλ=-得，2λ=；3λμ∴+=．故选：C ．2．已知向量,OA OB 满足||||1,,(,)OA OB OA OB OC OA OB R λμλμ==⊥=+∈，若M 为AB 的中点，并且||1MC =，则λμ+的最大值是()A ．1-B ．1+C ．D ．1【解析】解：如图所示，向量,OA OB 满足||||1OA OB == ，OA OB ⊥，不妨取(1,0)A ，(0,1)B ．M 为AB 的中点，11(,)22M ∴．(1OC OA OB λμλ=+=，0)(0μ+，1)(λ=，)μ． ||1MC =，∴2211(()122λμ-+-=，设1cos 2λθ=+，1sin 2μθ=+，[0θ∈，2)π．则1sin cos 1)14πλμθθθ+=++=++ sin(14πθ+=时取等号．λμ∴+的最大值是1+故选：B ．3．在ABC ∆中，AB c = ，AC b =．若点D 满足2,(BD DC AD == 则)A ．2133b c+ B ．5233c b-C ．2133b c-D ．1233b c+【解析】解：由题意可得AD AB BD=+22()33AB BC AB AC AB =+=+- 12213333AB AC b c =+=+故选：A ．4．已知OA ，OB 是两个单位向量，且0OA OB =．若点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则(m n=)A ．13B ．3C ．D 【解析】解：因为OA ，OB 是两个单位向量，且0OA OB = ．所以OA OB ⊥，故可建立直角坐标系如图所示．则(1,0)OA = ，(0,1)OB = ，故(1OC mOA nOB m =+=，0)(0n +，1)(m =，)n ，又点C 在AOB ∠内，所以点C 的坐标为(,)m n ，在直角三角形中，由正切函数的定义可知，tan 30n m ︒==mn=故选：D ．5．在ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为()A ．12B ．13C ．14D ．1【解析】解：设BM tBC=则1111()2222AN AM AB BM AB BM==+=+ 111()2222t AB tBC AB AC AB =+⨯=+-1()222t t AB AC =-+∴122t λ=-，2tμ=∴12λμ+=故选：A ．6．点M 是ABC ∆的边BC 上任意一点，N 在线段AM 上，且AN xAB y AC =+ ，若13x y +=，则NBC ∆的面积与ABC ∆的面积的比值是()A ．12B ．13C ．23D ．14【解析】解：如图，设BM BC λ= ，AM AN μ=，∴111()()AN AM AB BM AB BC λμμμ==+=+11()AB AC AB AB AC λλλλμμμ-=+-=+， AN xAB y AC =+ ，且13x y +=，∴1113λλμμμ-+==，则3μ=．∴3AM AN = ，则2AM NM = ，又NBC ∆ 与ABC ∆的底边BC 相等，NBC ∴∆的面积与ABC ∆的面积的比值是||23||AM NM =．故选：C ．7．ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为线段AM 上一点，且3AM AN =，又AN AB AC λμ=+ ，则λμ+的值为()A ．12B ．13C ．14D ．1【解析】解：设BM tBC = ，3AM AN =，∴11()33AN AM AB BM ==+ 1133AB BM =+1133AB tBC =+11()33AB t AC AB =+-1(333t t AB AC =-+，又AN AB AC λμ=+ ，所以11(3333t t λμ+=-+=故选：B ．8．在ABC ∆中，点D 满足3,(,)AD DC BD BA CB R λμλμ==-∈，则λμ= 316．【解析】解：点D 满足3AD DC =，∴34AD AC = ，又AC BC BA =- ，∴3()4AD BC BA =- ，∴313()444BD BA AD BA BC BA BA CB =+=+-=- ．又BD BA CB λμ=- ，∴14λ=，34μ=．∴1334416λμ=⨯=．故答案为：316．9．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为12．【解析】解：以A 为原点，以AB 所在的为x 轴，建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则1(2E ，0)，(1,1)C ，(0,1)D ，(0,0)A ，(1,0)B ．设(cos ,sin )P θθ，∴(1,1)AC =．再由向量1(2AC DE AP λμλ=+= ，1)(cos μθ-+，sin )(θ=cos 2λμθ+，sin λμθ-+)(1=，1)，∴cos 12sin 1λμθλμθ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，∴2sin 2cos 2cos sin 32cos sin θθλθθμθθ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，32sin 2cos (2cos sin )3sin 33sin 312cos sin 2cos sin 2cos sin θθθθθθλμθθθθθθ+---+++∴+===-++++．由题意得02πθ ，0cos 1θ∴，0sin 1θ ．求得223cos (2cos sin )(33)(2sin cos )66sin 3cos ()0(2cos sin )(2cos sin )sn θθθθθθθθλμθθθθ+-+-++-+'=>++，故λμ+在[0，2π上是增函数，故当0θ=时，即cos 1θ=，这时λμ+取最小值为3021202+-=+，故答案为：12．10．如图，在ABC ∆中，M 为BC 上不同于B ，C 的任意一点，点N 满足2AN NM =．若AN xAB y AC =+ ，则229x y +的最小值为25．【解析】解：不妨设BM BC λ=，01λ<<，∴222222222()()33333333AN AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλ-==+=+=+-=+ ，AN xAB y AC =+，223x λ-∴=，23y λ=，222222(22)4084401294()99999105x y λλλλλ-∴+=+=-+=-+，当110λ=时，229x y +有最小值，最小值为25，故答案为：25．题型2平行问题1．已知(1,1),(1,0),(1,2)a b c =-==- ，若a与b mc - 平行，则(m =)A ．1-B ．1C ．2D ．3【解析】解：(1,1),(1,0),(1,2)a b c =-==-，(1,2)b mc m m -=-，当a与b mc - 平行时，1(1)(1)20m m ⨯---⨯=，解得1m =-．故选：A ．2．已知向量()()1,2,,1,2,2,//a b x u a b v a b u v ===-=+若，则实数x 为()A ．112-B ．72或2-C ．1D ．12【解析】解：由题意可得：22(1u a b =-=，2)(x -，1)(2x =-，3)，2(1v a b =+=，2)2(x +，1)(12x =+，4)//u v，(2)43(12)0x x ∴-⨯-⨯+=，解得12x =故选：D ．3．已知向量(3,)m k = ，(2,4)n = ，若//m n ，则m n =30．【解析】解：向量(3,)m k = ，(2,4)n = ，且//m n，212k ∴=，即6k =．则(3m n =，6)(2 ，4)326430=⨯+⨯=．故答案为：30．4．已知向量(,2)a x x =+ ，(3,4)b = ，若//a b ，则向量a的模为10．【解析】解：向量(,2)a x x =+，(3,4)b = ，若//a b，则43(2)0x x -+=，解得6x =，∴(6,8)a =，∴向量a的模为||10a == ．故答案为：10．5．已知||10a =，(3,4)b = ，//a b ，则向量a =(6,8)或(6,8)--．【解析】解；设：(,)a x y =， //b a ，||10a =，∴22430100x y x y +=⎧⎨+=⎩解得；68x y =⎧⎨=⎩或68x y =-⎧⎨=-⎩∴a等于(6,8)或(6,8)--故答案为(6,8)或(6,8)--．题型3模长问题1．设向量a，b满足||a b +=||a b -= ，则(a b = )A ．1B ．2C ．3D ．5【解析】解：||a b +=||a b -=，∴分别平方得22210a a b b ++= ，2226a a b b -+= ，两式相减得41064a b =-=，即1a b =，故选：A ．2．若向量a，b 满足||1a = ，(2)a b a +⊥ ，(2)a b b +⊥ ，则||(b = )A ．2B ．22C ．1D【解析】解：向量a，b 满足||1a = ，(2)a b a +⊥ ，(2)a b b +⊥ ，∴222cos ,02cos ,0a ab a b a b a b b ⎧+<>=⎪⎨<>+=⎪⎩ ，∴22b a =，||||1b a ∴== ．故选：C ．3．已知向量a，b 的夹角为45︒，且||1a =，|2|a b -= ||(b = )AB．C．D．【解析】解：因为向量a，b 的夹角为45︒，且||1a =，|2|a b -= 所以224410a a b b -+=，即2|||60b b --= ，解得||b = 或||b =)．故选：C ．4．已知向量a与b 的夹角为45︒，且||1a = ，||b = ||a b -=1．【解析】解：根据题意得，222()21221451a b a a b b -=-⋅+=+-⨯⨯︒=∴1a b-= 故答案为1．5．已知向量a，b 夹角为45︒，且||1a = ，||b = ，则|2|a b - 【解析】解：根据题意，得；|2|a b -====6．已知向量(2,1),10,||a a b a b =⋅=+=，则||b = 5．【解析】解：向量(2,1),10a a b =⋅=，又 ||a b +=∴2()50a b +=即22||||250a b a b ++⋅=即25||2050b ++=即2||25b =∴||5b = 故答案为：57．已知向量,a b满足||2a = ，||b = ，a 与b 的夹角为4π，则||a b +【解析】解：向量,a b满足||2a =，||b = a 与b 的夹角为4π，则||a b +===．题型4夹角问题1．已知向量a = ，(3,)b m = ，若向量a，b 的夹角为6π，则实数(m =)A．BC ．0D．【解析】解：由题意可得cos 62||||a b a b π== ，解得m =，故选：B ．2．已知非零向量a ，b 满足||4||b a = ，且(2)a a b ⊥+ ，则a与b 的夹角为()A ．3πB ．2πC ．23πD ．56π【解析】解：由已知非零向量a，b 满足||4||b a = ，且(2)a a b ⊥+ ，可得2(2)20a a b a a b +=+= ，设a与b 的夹角为θ，则有22||||4||cos 0a a a θ+= ，即1cos 2θ=-，又因为[0θ∈，]π，所以23πθ=，故选：C ．3．已知非零向量,a b满足：||2||a b a b ==- ，则a与b 的夹角为()A ．23πB ．2πC ．3πD ．6π【解析】解：由||2||a b a b ==-，所以22222874(2)a b a a b b ==-+ ，解得||2||b a = ，且2||a b a =- ；所以2||1cos ||2||2||||a b a a a a b θ-===-⨯⨯ ；又[0θ∈，]π，所以23πθ=，即a与b 的夹角为23π．故选：A ．4．已知非零向量,a b满足||||a b a b +=- ，则a 与b 的夹角为()A ．3πB ．2πC ．4πD ．23π【解析】解：由于非零向量,a b满足||||a b a b +=- ，等号两边同时平方化简得：0a b =，则夹角为2π，故选：B ．5．已知向量(1,2)a =- ，(1,)b λ= ，若a b ⊥ ，则2a b + 与a的夹角为()A ．23πB ．34πC ．3πD．4π【解析】解：根据题意，设2a b + 与a的夹角为θ，向量(1,2)a =-，(1,)b λ= ，若a b ⊥，则有(1)120a b λ=-⨯+= ，解可得12λ=，则1(1,2b = ，则2(1,3)a b +=，则有|2|a b +=，||a =(2)(1)1235a b a +=-⨯+⨯= ，则有(2)cos 2|2|||a b a a b a θ+===+，则4πθ=；故选：D ．6．在ABC ∆中，22AB AC ==，120BAC ∠=︒，点D 为BC 边上一点，且2BD DC =，则AB AD =23．【解析】解：由题意可知D 为BC 的靠近C 的三等分点，∴2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，∴21212122()412cos1203333333AB AD AB AB AC AB AB AC =+=+=⨯+⨯⨯⨯︒= ．故答案为：23．题型5平面向量的坐标运算1．已知(2,1)a =，(1,2)b =- ，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈ ，则m n -的值为()A ．2B ．2-C ．3D ．3-【解析】解：(2,1)a =，(1,2)b =- ，(2,2)ma nb m n m n +=+- ，(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈，可得：2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，可得2m =，5n =．3m n -=-故选：D ．2．向量a，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈ ，则(λμ=)A ．2B ．4C ．12D ．12-【解析】解：以向量a，b 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得(1,1)a =- ，(6,2)b = ，(1,3)c =--(,)c a b R λμλμ=+∈，∴1632λμλμ-=-+⎧⎨-=+⎩，解之得2λ=-且12μ=-，因此，则4λμ=故选：B ．3．已知向量(1,1)a =-，(1,2)b =- ，则(2)(a b b += )A ．1-B ．0C ．1D ．2【解析】解： (1,1)a =-，(1,2)b =- ，222(2)22(12)(1)2651a b b a b b ∴+=+=--+-+=-+=- 故选：A ．4．在ABC ∆中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若(4,3)PA = ，(1,5)PQ = ，则(BC = )A ．(2,7)-B ．(6,21)-C ．(2,7)-D ．(6,21)-【解析】解：(3,2)AQ PQ PA =-=-点Q 是AC 的中点∴2(6,4)AC AQ ==-(2,7)PC PA AC =+=-2BP PC = 3(6,21)BC PC ==-故选：B ．5．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则(AE BD =)A ．2-B ．6C ．2D ．6-【解析】解：根据题意，如图：以B 为坐标原点建立坐标系，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴建立坐标系，则(2C ，0)(0A ，2)，(2,2)D ，则(2,1)E ，则(2,1)AE =- ，(2,2)BD =，则22(1)22AE BD =⨯+-⨯=，故选：C ．6．已知向量(2,1)a =，(1,2)b =- ，若(9ma nb += ，8)(m -，)n R ∈，则m n -的值为3-．【解析】解：向量(2,1)a =，(1,2)b =- ，若(9,8)ma nb +=- 可得2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得2m =，5n =，3m n ∴-=-．故答案为：3-．7．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC的值为18．【解析】解：以BC 所在的直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，ABC ∆ 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，1(2B ∴-，0)，1(2C ，0)，(0,0)E ，2A ，1(4D ∴-，∴(1,0)BC = ，1(4DE = ，34-，设(,)F x y ，∴(,)EF x y =，2DE EF = ，∴2DE EF = ，1(4∴，2(x =，)y ，解得18x =，38y =，∴(AF = 18，8-，∴(AF BC = 18，(1 ，10)8=，故答案为：18．题型6投影问题1．已知点(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，则向量AB 在CD方向上的投影为()A ．3152-B ．3152C ．322-D ．322【解析】解：(2,1),(5,5)AB CD ==；∴向量AB 在CD 方向上的投影为：32||cos ,2||AB CD AB AB CD CD <>==．故选：D ．2．已知ABC ∆外接圆圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+ ，且||||OA AB = ，则向量AB 在向量BC方向的投影为()A ．12B ．2C ．2D ．12-【解析】解：由2AO AB AC =+知，O 为BC 的中点，如图所示；又O 为ABC ∆外接圆的圆心，半径为1，BC ∴为直径，且2BC =，1OA AB ==，3ABC π∠=；∴向量AB 在向量BC 方向的投影为1||cos()32AB ππ-=- ．故选：D ．3．已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++= ，则向量CA 在向量CB方向上的投影为()A ．3B C ．3-D ．【解析】解：ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++= ，∴OB CA =，OBAC ∴为平行四边形．ABC ∆ 的外接圆的圆心为O ，半径为2，得||||||OA AB OB ==，∴四边形OBAC 是边长为2的菱形，且60ABO ACO ∠=∠=︒，因此，1302ACB ACO ∠=∠=︒，∴向量CA 在CB方向上的投影为：||cos 2cos30AC ACB ∠=︒= 故选：B ．4．已知向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a = ，|2|a b -= ，则向量b 在a方向上的投影等于()A ．2B ．32C ．12D ．1【解析】解： ,60a b <>=︒，||2a = ，|2|a b -= ，∴244||4||28b b +-= ，解得||3b =或2-（舍去），∴b 在a方向上的投影等于3||cos 602b ︒= ．故选：B ．5．已知向量(1,2)a = ，(,1)b m = ，且向量b 满足()3b a b ⋅+= ，则向量a在b 方向上的投影为()A B ．22C ．2D ．2或22【解析】解：向量(1,2)a =，(,1)b m = ，()3b a b ⋅+= ，可得：20m m +=，解得0m =，1m =-，当0m =时，(0,1)b =，向量a在b 方向上的投影为2||a b b ⋅= ，当1m =-时，(1,1)b =-，向量a在b 方向上的投影为2||a b b ⋅== ，故选：D ．6．向量a ，b 满足a = ，||1b = ，||a b += b 在a方向上的投影为()A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解析】解：向量a，b 满足a = ，||1b = ，||a b += 可得2223a a b b ++= ，所以1a b =-，则b 在a方向上的投影为：1||2a b a =- ．故选：B ．7．已知向量b =，向量a在b 方向上的投影为4-，若()a b b λ+⊥ ，则实数λ的值为()A ．3B ．12C ．13D ．23【解析】解： ||2b = ，a在b 方向上的投影为4-，∴42a b =- ，8a b =-，又()a b b λ+⊥，∴2()840a b b a b b λλλ+=+=-+= ，解得12λ=．故选：B ．8．若b 为单位向量，||||a b a += ，则向量a在向量b 方向上的投影为()A ．1-B ．1C ．12D ．12-【解析】解： ||1,||||b a b a =+=，∴2212a a b a ++= ，∴12a b =-，∴a在b 方向上的投影为：12||a b b =- ．故选：D ．9．已知非零向量a ，b 满足||2a = ，|2|4a b -= ，a在b 方向上的投影为1，则(2)b a b ⋅+= 36．【解析】解：设a ，b 的夹角为θ，则a在b 方向上的投影为||cos 1||a b a b θ⋅== ，∴||a b b ⋅=，|2|4a b -= ，∴224||4||16a a b b -⋅+=，2164||||16b b ∴-+= ，解得：||4b = ，∴4a b ⋅=，∴2(2)2||43236b a b a b b ⋅+=⋅+=+=．故答案为：36．10ABC ∆中，则向量AB在向量CA方向上的投影为32．【解析】解：根据题意，||,120AB AB CA =<>=︒，∴AB 在CA 方向上的投影为：1||cos120()22AB ︒=-=-．故答案为：11．已知向量||3b = ，且6a b ⋅= ，则向量a在向量b 的方向上的投影为2．【解析】解： ||3,6b a b =⋅=，∴a在b 的方向上的投影为2||a b b ⋅= ．故答案为：2．12．若两单位向量a ，b 的夹角为3π，则向量2a b - 在a方向上的投影为32．【解析】解： ||||1,,3a b a b π==<>=，∴12a b = ，213(2)2222a b a a a b -=-=-=，∴2a b - 在a方向上的投影为：(2)3||2a b a a -= ．故答案为：32．13．已知向量a ，b 满足|||2|a b a b +=- ，其中b 是单位向量，则a在b 方向上的投影为．【解析】解： ||1b = ，|||2|a b a b +=-，∴221244a a b a a b ++=+- ，∴12a b = ，∴a在b 方向上的投影是12||a b b = ．故答案为：12．题型7垂直问题1．已知向量(1,2)a =，(,1)b m =- ，且()a a b ⊥+ ，则(m =)A ．5-B ．5C ．6D ．7【解析】解：(1,3)a b m +=- ，(1,2)a =，且()a a b ⊥+ ，∴()160a a b m +=-+=，解得7m =．故选：D ．2．已知向量(1,2)a = ，(,4)b x = ，(2,)c y = ，若//a b ，a c ⊥，则()(b ac -= )A ．14B ．14-C ．10D ．6【解析】解：向量(1,2)a = ，(,4)b x = ，(2,)c y =，//a b，可得142x ⨯= ，解得2x =，(2,4)b = ，a c ⊥，可得1220y ⨯+=，解得1y =-，(1,3)a c -=-，则()21210b a c -=-+=．故选：C ．3．已知向量(1,2)a =，向量(,4)b x = ，且a b ⊥ ，则(x =)A ．6B ．2C ．6-D ．8-【解析】解：向量(1,2)a = ，向量(,4)b x = ，且a b ⊥，∴80a b x =+=，则8x =-，故选：D ．4．已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ．若向量a b + 与a垂直，则(m =)A ．6B ．3C ．7D ．14-【解析】解：已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ，若向量a b + 与a垂直，则2()5(2)0a b a a a b m +=+=+-+=，求得7m =，故选：C ．5．设x ，y R ∈，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ==-=- 且a c ⊥，//b c ，则||(a b += )A B C ．D ．10【解析】解： a c ⊥；∴240a c x =-=；2x ∴=； //b c ；420y ∴-=；2y ∴=；∴(2,1),(1,2)a b ==-；∴(1,3)a b +=；∴||10a b +=．故选：B ．6．已知两个单位向量a，b 的夹角为60︒，(1)c t a tb =-+ ，若0b c = ，则t =1-．【解析】解：两个单位向量a，b 的夹角为60︒，∴111cos 602a b =⨯⨯︒=．(1)c t a tb =-+ ，0b c =，∴20(1)b c t a b tb ==-+ ，10(1)2t t ∴=-+，解得1t =-，故答案为：1-．第2讲平面向量基本定理及三点共线定理一．选择题（共4小题）1．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC =，则x y +的最小值为()A ．2B ．13C ．43D ．34【解析】解：根据条件：1AC AN y= ，1AB AM x =；又1133AG AB AC =+ ；∴1133AG AM AN x y=+；又M ，G ，N 三点共线；∴11133y x+=；0x > ，0y >；111124()()23333333333x y x y x y x y x y y x y x ∴+=++=++++= ；x y +的最小值为43．当且仅当23x y ==．故选：C ．2．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC =，则2x y +的最小值为()A ．2B ．13C ．3223+D ．34【解析】解：M ，N ，G 三点共线，∴MG GN λ= ，∴()AG AM AN AG λ-=- ，点G 是ABC ∆的重心，∴1()3AG AB AC =+ ，∴11()(())33AB AC x AB y AC AB AC λ+-=-+，∴11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得，(31)(31)1x y --=；结合图象可知112x ，112y ；令31x m -=，31y n -=，1(22m ，12)2n ；故1mn =，13m x +=，13ny +=；故112233m n x y +++=+⨯211221333m n =+++ ，（当且仅当233m n=，即2m =，22n =时，等号成立），故2x y +的最小值为132222133++= ；故选：C ．3．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点（点N 与点C 不重合），设AB xAM = ，AC y AN = ，则111x y +-的最小值为()A ．2B ．12+C ．32D ．22+【解析】解：G 为ABC ∆的重心，∴21()32AG AB AC =⨯+ 1()3xAM y AN =+又G 在线段MN 上，∴11133x y +=3x y ∴+=(1)2x y ∴+-=∴11111[(1)]()121x y x y x y +=+-+--11(11)21x y y x-=+++-1(22)22+= 故选：A ．4．已知G 是三角形ABC 的重心，过G 的直线分别交直线AB ，AC 于M ，N 两点，AB mAM = ，AC nAN =，(m ，n 都是正数），12m n+的最小值是()A ．2B ．3C ．1D ．2213+【解析】解：如图所示，设D 是BC 的中点．M ，N ，G 三点共线，∴存在实数λ使得(1)AG AM AN λλ=+-， AB mAM = ，AC nAN =，(m ，n 都是正数），∴1AG AB AC m n λλ-=+，G 是三角形ABC 的重心，∴22111()33233AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+．∴13113m nλλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，化为3m n +=．又m ，n 为正数，∴1211212122()()(3)(313333n m m n m n m n m n +=++=+++=+，当且仅当1)n ==时取等号．∴12m n +的最小值是2213+．故选：D ．二．填空题（共5小题）5．如图，在ABC ∆中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ= ，(0,0)AN AC μλμ=>>，则3λμ+的最小值是3．【解析】解：若AM AB λ= ，(0,0)AN AC μλμ=>>，∴(1)MB MD DB AB λ=+=- ，M ，D ，N 三点共线，∴存在实数k ，使()MD kMN k AN AM k AB k AC λμ==-=-+． 111444DB CB AB AC ==- ，11()((1)44k AB k AC AB λμλ∴-+-=-，∴114k λλ-=-，104k μ-=，43λμλ∴=-，3343λλμλλ+=+-．设3()43f λλλλ=+-，0λ>，则29()1(43)f λλ-'=+-，令()0f λ'=得，0λ=，或32λ=．在3(0,)2上，()0f λ'<；在(32，)+∞时，()0f λ'>；32λ∴=时，()f λ取极小值，也是最小值；()f λ∴的最小值为3，即3λμ+的最小值是3，故答案为：3．6．在ABC ∆中，M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM MB = ，3BN NC =，AN 交CM 于点P ，若BP xPA yBC =+ ，则x =18，y =．【解析】解：如图：过点M 作//MD BC 交AN 于D ； 2AM MB = ，3BN NC = ，2AD DN ∴=；2DP PN =；18NP AP ∴=∴3148BP BN NP BC PA =+=+ ；BP xPA yBC =+ ，18x ∴=，34y =．故答案为：18，34．7．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC == ，则xyx y+的值为13．【解析】解：根据题意G 为三角形的重心，∴1()3AG AB AC =+ ，111()()333MG AG AM AB AC x AB x AB AC =-=+-=-+ ，111()()333GN AN AG y AC AG y AC AB AC y AC AB =-=-=-+=-- ，由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ= ，即1111()[(]3333x AB AC y AC AB λ-+=--，∴113311()33x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去λ得30x y xy +-=，3x y xy ∴+=，即13xy x y =+．8．已知点G 为ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且,AM xAB AN y AC ==，x ，y R +∈，则x y +的最小值为43．【解析】解：M ，G ，N 三点共线，∴存在m ，使(1)(1)AG mAM m AN mxAB m y AC =+-=+-，又G 是ABC ∆的重心，∴1()(1)3AG AB AC mx AB m y AC =+=+- ，13mx ∴=，1(1)3m y -=，∴11133x y +=，即113x y+=．111114()()(2)(23333y x x y x y x y x y ∴+=++=+++= ，当且仅当23x y ==时取等号．故答案为：43．9．点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM xAB = ，AN y AC =．若12x =，则y =1，若23AMN ABC S S ∆∆=，则x y +=．【解析】解：根据条件：1AC AN y = ，1AB AM x=；又1133AG AB AC =+ ；∴1133AG AM AN x y=+；又M ，G ，N 三点共线；∴11133x y+=；12x =，1y ∴=； 23AMN ABC S S ∆∆=，∴1sin 2213sin 2AM AN MANAM AN xy AB AC AB AC BAC ∠===∠ ，又113x y +=，即3x y xy+=，2x y ∴+=．故答案为：1，2．三．解答题（共3小题）10．已知点G 为ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC == ，求11x y+的值．【解析】解：根据题意G 为三角形的重心，1()3AG AB AC =+ ，111()()333MG AG AM AB AC x AB x AB AC =-=+-=-+ ，GN AN AG y AC AG=-=-1()3y AC AB AC =-+ 11(33y AC AB =--，由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ= ，即1111()[()]3333x AB AC y AC AB λ-+=--，即113311(33x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴11331133xy -=--即30x y xy +-=两边同除以xy 整理得113x y+=．11．若点M 是ABC ∆所在平面内一点，且满足：3144AM AB AC =+．（1）求ABM ∆与ABC ∆的面积之比．（2）若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO xBM yBN =+，求x ，y 的值．【解析】解（1）由3144AM AB AC =+，根据三点共线的性质，31144+=，且AB 与AC 不共线，可知M 、B 、C 三点共线．如图令1()(1)4BM BC AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλλλ=⇒=+=+=+-=-+⇒= ，∴14ABM ABC S S ∆∆=，即面积之比为1:4．（2）由2y BO xBM yBN BO xBM BA =+⇒=+，4x BO BC yBN =+ ，由O 、M 、A 三点共线及O 、N 、C 三点共线41726147y x x x y y ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩12．在ABC ∆中，3144AM AB AC=+（Ⅰ）求ABM ∆与ABC ∆的面积之比（Ⅱ）若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点P 且(,)AP xAB y AC x y R =+∈，求x y +的值．【解析】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3144AM AB AC =+⇒4303()AM AB AC AM AB AC AM--=⇒-=- 3BM MC ⇒=，即点M 在线段BC 上的靠近B 的四等分点，ABM ∴∆与ABC ∆的面积之比为14．（Ⅱ） 3144AM AB AC =+ ，(,)AP xAB y AC x y R =+∈，//AP AM ，∴设334424AP AM AB AC AN AC λλλλλ==+=+ ；三点N 、P 、C 共线，∴341,247λλλ+==解得，3311,4747x y λλ====，47x y +=．第3讲平面向量中的范围、最值问题一．选择题（共17小题）1．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，3OD =，点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于()A ．14B ．43C ．13D ．1【解析】解：以O 为原点，以OD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设点(,)P x y ， OP OC OD αβ=+，则(x ，)(0y α=，1)(3β+，0)(3β=，)α．所以，3x y βα=⎧⎨=⎩13x y αβ+=+．由于点P 在BCD ∆内（包含边界），目标函数为13x y αβ+=+，如图所示，当点P 为点(1,1)B 时，13x y αβ+=+取得最大值，其最大值为14133+=，故选：B ．2．已知1,||,||AB AC AB AC t t ⊥== ，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅ 的最大值等于()A ．13B ．15C ．19D ．21【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得(0,0)A ，1(B t，0)，(0,)C t ，4||||AB ACAP AB AC =+，(1,4)P ∴，∴1(1PB t=- ，4)-，(1,4)PC t =-- ，∴11(1)4(4)17(4PB PC t t t t ⋅=----=-+ ，由基本不等式可得144t t += ，117(4)17413t t ∴-+-= ，当且仅当14t t =即12t =时取等号，∴PB PC ⋅的最大值为13，故选：A ．3．已知AB AC ⊥ ，1||AB t = ，||AC t = ，1[4t ∈，4]；若P 是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB AC AP AB AC =+，则PB PC的取值范围是()A ．[13，17]B ．[12，13]C ．3[4，12]D ．3[4，13]【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得(0,0)A ，1(B t，0)，(0,)C t ，4(1||||AB ACAP AB AC =+=，0)(0+，4)(1=，4)，(1,4)P ∴，∴1(1PB t =- ，4)-，(1,4)PC t =-- ，∴11(1)4(4)17(4)1713PB PC t t t t =----=-+-= ，当且仅当14t t =，即11[24t =∈，4]，时，取等号，由4t =可得1317(1644-+=，由14t =可得17(14)12-+=，∴PB PC 的最大值为13，最小值为34．则PB PC 的范围是3[4，13]．故选：D ．4．已知a，b 是平面内互不相等的两个非零向量，且||1a = ，a b - 与b 的夹角为150︒，则||b 的取值范围是()A ．(0B ．[1C ．(0，2]D ．2]【解析】解：如图所示，设OA a = ，OB b = ，则BA OA OB a b =-=-．由于||1a =，a b - 与b 的夹角为150︒，可得OAB ∆中，1OA =，30OBA ∠=︒．由正弦定理可得：OAB ∆的外接圆的半径1r =．则点B 为圆上的动点．由图可令(1cos ,sin )b OB θθ==+，则||b ==．∴||(0,2]b ∈．故选：C ．5．设向量α，β 的夹角θ定义：||||sin αβαβθ⨯= 若平面内互不相等的两个非零向量a ，b满足：||1a = ，()a b - 与b 的夹角为150︒，a b ⨯的最大值为()A ．2BC ．D 【解析】解：设a OA =，b OB = ，则BA a b =- ，||1a = ，a b - 与b的夹角为150︒，OAB ∴∆中，1OA =，30OBA ∠=︒，由正弦定理可得：OAB ∆的半径为1，则B 点为圆上与OA 不重合的动点，设(0150)AOB θθ∠=︒<<︒，由正弦定理可得，2sin AB θ=，2sin(150)OB θ=︒-，则sin 2sin30OAB a b OA OB S AB OB θ∆⨯===︒2sin sin(150)[cos150cos(2150)]θθθ=︒-=-︒--︒cos(2150)2θ=+-︒，当75θ=︒时，a b ⨯取得最大值，且为1+故选：C ．6．已知平面内互不相等的非零向量a，b 满足||1a = ，a b - 与b 的夹角为150︒，则a b 的最大值为()A ．2BC ．32D ．32【解析】解：如图所示，设OA a = ，OB b =．则BA OA OB a b =-=- ．||1a =，a b - 与b 的夹角为150︒，OAB ∴∆中，1OA =，18015030OBA ∠=︒-︒=︒．由正弦定理可得：OAB ∆的外接圆的半径1r =．则点B 为圆上与A 点重合的动点．由图可令：1(,2a OA ==，(1cos ,sin )b OB θθ==+ ．∴11313cos sin()222622a b πθθθ=+-=--+ ，当sin(16πθ-=-时取等号．∴a b 的最大值为32．故选：C ．7．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，||2OA = ，||1OB = ，OP tOA = ，(1)OQ t OB =-，||PQ 在0t 时取最小值，当0104t <<时，cos θ的取值范围为()A ．1(2-，0)B ．1(2-，14-C ．1(4，1)D ．1(2-，1)4【解析】解：由题意得：21cos 2cos OA OB θθ=⨯⨯=，(1)PQ OQ OP t OB tOA =-=-- ，∴22222(1)2(1)PQ t OB t OA t t OA OB=-+-- 222(1)44(1)cos (54cos )(24cos )1t t t t t t θθθ=-+--=++--+，由二次函数知，当上式取最小值时，012cos 54cos t θθ+=+，0104t <<，12cos 1054cos 4θθ+∴<<+，解得11cos 24θ-<<．cos θ∴的取值范围为11(,)24-．故选：D ．8．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，||2OA = ，||1OB = ，OP tOA = ，(1)OQ t OB =-，||PQ 在0t 时取得最小值．当0105t <<时，夹角θ的取值范围为()A ．(0,)3πB ．(3π，)2πC ．(2π，2)3πD ．2(0,3π【解析】解：由题意可得21cos 2cos OA OB θθ=⨯⨯=，(1)PQ OQ OP t OB tOA =-==-- ，∴2222222(1)2(1)(1)44(1)cos PQ t OB t OA t t OA OB t t t t θ=-+--=-+-- 2(54cos )(24cos )1t t θθ=++--+，由二次函数知，当上式取最小值时，012cos 54cos t θθ+=+，由题意可得12cos 1054cos 5θθ+<<+，求得1cos 02θ-<<，∴223ππθ<<，故选：C ．9．设向量1e 、2e 满足：12||2,||1e e == ，1e ，2e 的夹角是90︒，若1227te e + 与12e te +的夹角为钝角，则t 的取值范围是()A ．(,0)-∞B ．1414(,(22-∞-C ．(,)2-∞-D ．(2-【解析】解：向量1e 、2e 满足：12||2,||1e e == ，1e ，2e 的夹角是90︒，∴120e e =．若1227te e + 与12e te +的夹角为钝角，则1212(27)()0te e e te ++< ，且12(27)te e + 与12()e te +不共线，即22122070te te ++< ，且271t t≠，即870t t +<，且t ≠．求得0t <，142t ≠±，即(t ∈-∞，1414)(22--⋃，0)，故选：B ．10．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,2,3)OA = ，(2,1,2)OB = ，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB取得最小值时，点Q 的坐标为()A ．131(,,)243B ．133(,,)224C ．448(,,)333D ．447(,,333【解析】解：点Q 在直线OP 上运动，∴存在实数λ使得(OQ OP λλ==，λ，2)λ，∴(1,2,32)QA λλλ=--- ，(2,1,22)QB λλλ=---．∴(1)(2)(2)(1)(32)(22)QA QB λλλλλλ=--+--+--22498616106()33λλλ=-+=--，当且仅当43λ=时，上式取得最小值，448(,,333Q ∴．故选：C ．11．已知Rt AOB ∆的面积为1，O 为直角顶点，设向量||OA a OA ==，||OB b OB =，2OP a b =+ ，则PA PB 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设(,0)A m ，(0,)B n ，则(1,0)a =，(0,1)b = ，2(1,2)OP a b =+=，(1,2)PA m =-- ，(1,2)PB n =-- ，Rt AOB ∆的面积为1，即有2mn =，则12(2)PA PB m n =---5(2)55221m n =-+-=-⨯= ．当且仅当22m n ==时，取得最大值1．故选：A ．12．已知向量a ，b 均为单位问量，且12a b = ．向量a c - 与向量b c - 的夹角为6π，则||a c - 的最大值为()A ．32B ．1C ．233D ．2【解析】解：由12a b = ，向量a ，b 为单位向量，可得a ，b的夹角为60︒．设OA a = ，OB b = ，OC c = ．由向量12a b = ，向量a ，b 均为单位问量11cos a ∴⨯⨯<，12b >= ，∴a <，3b π>= ．设OA a = ，OB b = ，OC c = ．向量c 满足a c -与b c - 的夹角为6π，6ACB π∴∠=．由等边三角形OAB ，点C 在AB 外且ACB ∠为定值，可得C 的轨迹是两段圆弧，ACB ∠是AB 所对的圆周角．可知：当AC 时是弧 AB 所在圆（上述圆弧）的直径时，||a c -取得最大值||AC ，在ABC ∆中，由正弦定理可得：2sin 30ABAC ==︒．|∴，||a c -取得最大值||AC 取得最大值是2．故选：D ．13．已知平面向量(1,2)a = ，(2,1)b = ，(,)c x y =，满足0x ，0y ．若1a c ⋅ ，1b c ⋅ ，()z a b c=-+⋅ 则()A ．z 有最大值2-B ．z 有最小值2-C ．z 有最大值3-D ．z 有最小值3-【解析】解： 21a c x y ⋅=+21b c x y ⋅=+332x y ∴+ ()(33)3()2Z a b c x y x y =-+⋅=-+=-+-Z ∴的最大值为2-故选：A ．14．已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0c a c b --= ，则||c 的最大值是()A ．1B ．2C ．D【解析】解：由题意可得0a b =，可得||a b +== 2()()()c a c b c a b c a b --=+-+ 2||||||cos (c c a b a b =-+<+ ，0c >=，即为||c a b =<+ ，c > ，当cos a b <+ ，1c >= 即a b + ，c同向时，||c故选：C ．15．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量b = 1)-则|2|a b - 的最大值，最小值分别是()A ．0B ．4，C ．16，0D ．4，0【解析】解：2(2cos a b θ-=-，2sin 1)θ+，|2|a b -===4，最小值为0．故选：D ．16．已知,a b是单位向量，0a b = ，若向量c 满足||1c a b -+= ，则|||c b - 的取值范围是()A ．1]-B ．1]+C ．[0，2]D ．1]-+【解析】解：由,a b是单位向量，且0a b = ，则可设(1,0)a = ，(0,1)b = ，(,)c x y = ；向量c满足||1c a b -+= ，|(1,1)|1x y ∴-+=，∴1=，即22(1)(1)1x y -++=，它表示圆心为(1,1)C -，半径为1r =的圆；又|||(c b x -=，1)|y -=C 上的点到点(0,1)B 的距离，如图所示：且||BC =，∴1||1PB - ；即||c b -的取值范围是1-1]+．故选：D．17．设1e ，2e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+ ，x ，y R ∈，若1e ，2e 的夹角为6π，则||||b x的最小值为()A ．14B ．12C ．1D ．4【解析】解： 1e ，2e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+ ，x ，y R ∈，若1e ，2e 的夹角为6π，∴12123||||cos 62e e e e π==，则22221212||()2b xe ye x y xye e =+=++=，则||1||2b x ==== ，当且仅当y x =故选：B ．二．填空题（共7小题）18．在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则EB ED的取值范围为23[16，3]．【解析】解：由题意可得AE 和AB 的夹角为60︒，设||AE x =，[0x ∈，2]，22()()212cos60cos60EB ED AB AE AD AE AB AD AB AE AD AE AE x x x=--=--+=⨯-︒-︒+ 2233232()2416x x x =-+=-+，故当34x =时，EB ED 取得最小值为2316，当2x =时，EB ED 取得最大值为3，故EB ED 的取值范围为23[,3]16，19．已知向量,,a b c满足||6,||a b == ，a 与b 的夹角为4π，()()4c a c b --=- ，则||c a - 的最小值为1-．【解析】解：由向量||6a = ，||b = ，a与b 的夹角为4π，可设(6,0)OA a == ，4OB b π== ，(24π=，2)，(,)OC c x y == ，由()()4c a c b --=-，得(6)(2)(2)4x x y y --+-=-；化为22(4)(1)1x y -+-=，所以点C 在以(4,1)M 为圆心，以1为半径的圆的上；且||c a -=表示圆上的点到点(6,0)A 的距离，。

(完整版)平面向量基础试题(一)(可编辑修改word版)

下列四式不能化简为AD 的是（）11. 平面向量基础试题（一）已知向量二 Y 满足 a =lr 1>= (2, 1),且a ・l>=0,则 a-'l>i=(已知向量和（i, 2） , b=（2, 3）,若3 线，则实数01=（一・选择题（共12 小题）A. 2. A. 3. A. 已知向量驴（1- (1, 5)B. 2) , b= (•I, 4) 若向量:a ，b 满足丄Idld 90" B. 60"C. 45°D. 30°已知a 与b 均为单位向量, V T B . VT O C- VT SD . 4(-1,C ・ b= (0, 3) D- (2, 1) （•2, 1） , a*b=5r 则詁亍的夹角为（它们的夹角为60。

，那么I a + 3b F （4. A. B. V5 C. 2 D. Vs5. A.已知A （3, 0） , B （2, 1）,则向量曲的单位向量的坐标是（（1,-1） B. （-1, 1） C.（爭，警）D. 您，爭）6. 已知点P （3 5） , Q （2, 1）,向量匸（■入，1）,若PQ//ir,则实数入等于() 4.4 5 B ・-5 A. S 知向量竽 U i D.号（1, 2） , b= （2» X）.若Mb 与平行，则实数X 的值是（A. 4B. -1C ・A 8. A. 已知平面向量a= (1, 2), b=C-2, ID )，且a“b，则| b |为(2^56. V B C- 3A /5D. 19. 已知向量鼻（3, 1） . b=（X, -1）,若7 也诀线，则X 的值等于（A. •3B. 1 C ・ 2 D. 1 或 2ID.A. —•需D.磊A. HB+AD-BKB. (AD+MB)+(BC+CH)C ・(AB+CD)+BCD- OC-OA+CD0A= a* OB^ b* 0C= c ，则下列等式中成立的是二・选择题（共10小题）12•如图所示，已知AC 二3BC ， ■* 3_ I T * 2 213. 已知向量驴（2, 6）, b= (-1, X),14. 已知向量竽（2 3）, b= (3, m),15. 已知向量于（-1, 2）. b= (tTb 1) r 若向量a+b 与直，则 m=16-已知 1=(2, 1), b 二(3, ID ）,若a 丄（3・b ）,则I 自+b I 等于17.设 mER,向量护(m 十2. 1) , b= <lr -2m),且 a 丄 b,贝!)la+b =18・若向量ir=（2, 1） , n= （3, 2A.） T 且<2ir-n ）〃 <ir+3n ），则实数入二 19. 设向量a ，b 不平行，向量屮mb 与C2-m ） a+b 平行，则实数m 二20. 平面内有三点A (O 3) , B (3, 3) , C(X, 1),且A£〃 AG 则x 为21•向量匸（入+1, 1）,；二（入+3, 2），若mPm 则入二22.设 B (2, 5) , C (4, .3) , AD= Cl ，4),若BCJAD ，则入的值为三•选择题（共8小题）23.在△ABC 中，A84, BC=6, ZACB=120\ 若赢.2丽，则 AC*^=24.已知a EFJ 夹角为120\且|a =4r b=2.求:c-2a~bD-(1) ( a2b)• ( a+b)；(2) 3各4b・25.已知平面向量a，b满足la =1» I b'=2.（1）若：与亍的夹角e=120\求寫+W的值;（2）若（扁+亍）丄（kab），求实数k的值.26-已知向量芋(3, 4) , b= (4, 2) •<1）求向量亏与亍夹角的余弦值;（2）若向量aAb与a+2b平行r求入的值•27-已知向量驴(2, 2) , b= (3 4)・（1）求与三亍的夹角:（2）若:满足7丄（壬亍），（舌环〃瓦求坐标.28・平面内给定三个向量驴(1, 3) , b= (-1, 2) , c= (2, 1).<1）求满足a=mb+n<：的实数m, n；（2）若（a+kc）〃（2l>n）,求实数k・29.已知△ABC的顶点分别为A (2r 1) , B (3, 2) , C (3, -1) , D在直线BC 上・（I）若BO2BD,求点D的坐标;（D）若AD丄BC,求点D的坐标•30.已知a=(l, t)，b=(-5, 2 )Ma*b=b 求当k 为何值时,(1)ka+b*^a-3bS直;(2) 1＜8+1＞与3-31＞平行・平面向量基础试题（一）参考羞案与试题解析-•选择题（共12小题）1- （2017*天津学业考试）已知向量鼻（1. 2） r b= （.1, 1）.则2a+b 的坐标(•1, 4) C - (0, 3) D ・(2, 1)(1, 2) , b= (4, 1),C-lr 1) = <1,5）-故选：A.2- （2017*天津学业考试）若向量亏，亍满足I al=VTo ，b= （2 1） , a*b=5. 则？与亍的夹角为（A. 90"B. 60°C. 45°D. 30°【解答】解:(.2, 1) , ••• lb |=A /(-2)^+1 2=75X ! a ； =VT6T a*b=5»两向量的夹角6的取值范圉是，06 [0, n],与b 的夹角为 45°.故选：C.3. （2017•甘肃一模）已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60。

平面向量练习题大全及答案

平面向量练习题大全及答案平面向量练习题大全及答案平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理等领域。

通过练习平面向量的题目，可以帮助我们巩固和深化对平面向量的理解。

本文将为大家提供一些平面向量的练习题，并给出详细的答案解析。

一、基础练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的和。

解析：向量的和等于对应分量相加，所以a + b = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的差。

解析：向量的差等于对应分量相减，所以a - b = (3 - 5, -2 - 1) = (-2, -3)。

3. 已知向量a = (4, 5)，求向量a的模长。

解析：向量的模长等于各分量平方和的平方根，所以|a| = √(4^2 + 5^2) =√(16 + 25) = √41。

4. 已知向量a = (3, -2)，求向量a的单位向量。

解析：向量的单位向量等于将向量除以其模长，所以a的单位向量为a/|a| = (3/√41, -2/√41)。

二、综合练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。

解析：向量的数量积等于对应分量相乘再相加，所以a·b = 2*(-1) + 3*4 = -2 + 12 = 10。

2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的向量积。

解析：向量的向量积等于两个向量的模长乘以它们夹角的正弦值，所以a×b =|a|*|b|*sinθ，其中θ为a和b的夹角。

首先计算|a|和|b|：|a| = √(3^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13，|b| = √(5^2 +1^2) = √(25 + 1) = √26。

然后计算夹角θ的正弦值：sinθ = |a×b|/(|a|*|b|)，其中|a×b|为向量a×b的模长。

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第二章平面向量
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
班级___________姓名____________学号____________得分____________
一、选择题
1．下列物理量中，不能称为向量的是（）
A ．质量
B ．速度
C ．位移
D ．力
2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO OB CO OD 、、、是（）
A ．平行向量
B ．有相同终点的向量
C ．相等向量
D ．模相等的向量
3．下列命题中，正确的是（）
A ．|a | = |b |⇒a = b
B ．|a |> |b |⇒a > b
C ．a = b ⇒a 与b 共线
D ．|a | = 0⇒a = 0
4．在下列说法中，正确的是（）
A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;
B ．模为0的向量与任一非零向量平行;
C ．向量就是有向线段;
D ．若|a |=|b |，则a =b
5．下列各说法中，其中错误的个数为（）
（1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等;（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 *6．△ABC 中，D 、
E 、
F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF 共线的向量有（）
A ．2个
B ．3个
C ．6个
D ．7个
二、填空题
7．在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是_______________________．
8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中，（1）与AO 相等的向量有_________________________；
（2）与AO 共线的向量有_________________________；（3）与AO 模相等的向量有_______________________；
（4）向量AO 与CO 是否相等？答：_______________．
9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO =a ，OB =b ，AB =c ，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有；
（2）与b 相等的向量有；（3）与c 相等的向量有．
*10．下列说法中正确是_______________（写序号）（1）若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反；
（2）若AB 与CD 共线，则点A 、B 、C 、D 共线；
（3）四边形ABCD 为平行四边形，则AB =CD ；
（4）若a = b ，b = c ，则a = c ；
（5）四边形ABCD 中，AB DC =且||||AB AD =，则四边形ABCD 为正方形；
（6）a 与b 方向相同且|a | = |b |与a = b 是一致的；
三、解答题
11．如图，以1×3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？
O A B C D E F
12．在如图所示的向量a 、b 、c 、d 、e 中（小正方形边长为1）是否存在共线向量？相等向
量？模相等的向量？若存在，请一一举出．
13．某人从A 点出发向西走了200m 达到B 点，然后改变方向向西偏北600走了450m 到达
C 点，最后又改变方向向东走了200m 到达
D 点
（1）作出向量AB 、BC 、CD （1cm 表示200m ）；
（2）求DA 的模．
*14．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时它位于A 点，这只“马”第一步
有几种可能的走法？试在图中画出来；若它位于图中的P 点，则这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否走若干步从A 点走到与它相邻的B 点处？。