矢量标积

2
所以
1 2 J = mR 2
例4：右图所示刚体对 O′ 经过棒端且与棒垂直 的轴的转动惯量如何 计算？ 棒长为L 计算？(棒长为L、圆 O 半径为R） 半径为R 1 解： 棒对OO′轴J L1 = mL L2 3 1 2 球对过其质心的轴Jo = m0 R 2 2
球对OO′轴J L2 = J0 + m0d
例1、求质量为 、半径为 的均匀圆环的转动惯 、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯 轴与圆环平面垂直并通过圆心。 量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解：
J = ∫ R dm
2
= R ∫ dm = mR
2
2
O
R dm
J是可加的，所以若为薄圆 是可加的，
筒（不计厚度）结果相同。 不计厚度）结果相同。
一 角动量
1 质点的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv 大小 L = rmvsin θ
方向：右手法则 方向：右手法则. 质点以角速度 ω 作半径为 的圆周运动， 的圆周运动，相对圆心的角动量
v L
z
v v
v r
θ m y
x
o
v L
r
v p
L = rmv = rmrω = mω r
§2 角动量 角动量守恒定律
*矢量的标积（点积、内积）
A⋅ B = ABcosθ
θ 为A与B的夹角
θ Acosθ
A
B
A• A = A
2
*矢量的矢积（叉积、外积)
A× B = C
方向：
是一个轴矢量
大小：平行四边形面积
C = A × B = AB sin θ (0 < θ < π )
右手螺旋前进
A× A = 0
的均匀圆盘， 例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
r
圆环质量
dm = σ 2π rdr
2 3
R R
O
r dr
圆环对轴的转动惯量
dJ = r dm = 2π σ r dr R σ 3 4 J = ∫ 2π σ r dr = π R 0
2
而
σ =m π R
v v dL M= dt
v v dp = F, dt
v dL =? dt
*质点的角动量定理 质点的角动量定理 作用于质点的 合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该 的角动量随时间的变化率. 点 O 的角动量随时间的变化率
对作圆周运动的质点
v v v v v v v v L = r × p = r × (mv ) = r × (mω × r ) v v v v v v = mω (r ⋅ r ) − mr (r ⋅ ω ) v 2 v o o = mω ⋅ r cos 0 − mr rω cos 90 2 v = mr ω v = Jω
整个刚体对OO′轴 1 1 2 J = mL L + mo R2 + mo (L + R)2 3 2
二 力矩
v F 对转轴vZ 的力矩v v
v M
zv
M
O
M = r×F 大小M = Fr sin θ = Fd
d
: 力臂
v r
v F
*
方向：右手定则
d
P
θ
v −F
v F
v v ∑ Fi = 0 , ∑ M i = 0
mvr = c
1 v∝ r
惯性离心力
v2 1 m ∝ 3 r r
离心力与引力达到平衡 r就一定了 就一定了 z 轴方向无限制，最终 轴方向无限制， 压缩成铁饼状。 压缩成铁饼状。 涡旋星系
预习题： 预习题： 1.什么是保守力？保守力做功有何特点？ 什么是保守力？保守力做功有何特点？ 什么是保守力 2.动能定理与功能原理的区别与联系？它们在 动能定理与功能原理的区别与联系？ 动能定理与功能原理的区别与联系 本质上是相同的吗？ 本质上是相同的吗？ 3.刚体的转动动能与哪些因素有关？ 刚体的转动动能与哪些因素有关？ 刚体的转动动能与哪些因素有关 作业： P62 2-6、2-8、2-26、 作业： 、 、 、 2-10、2-22 、
转动： 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
Fra Baidu bibliotek
(2) 刚体角动量 质点： 质点： 质点系： 质点系：
v v v v v L = r × p = r × mv
v v v v L = ∑Li = ∑ri × (vi ∆m)
v v ∑ Fi = 0 , ∑ Mi ≠ 0
v −F
v F
v F
v v ∑ Fi ≠ 0 , ∑ M i = 0
讨论
矩为零， 矩为零，故 F 对转轴的 力矩为
v 1）若力 F 不在转动平面内 ） r 其中 Fz r 对转轴的力
v v v F = Fz + F⊥
z
v k
O
v v ˆ M z k = r × F⊥
角动量守恒定律
刚体 L = Jω = 常量
的合力矩为零时， 系统所受对参考点 O 的合力矩为零时，则系统对 的角动量为一恒矢量. 该参考点 O 的角动量为一恒矢量 注意 这里的系统可以是质点、质点系、刚体。 这里的系统可以是质点、质点系、刚体。只 要它们所受的合外力矩为0， 要它们所受的合外力矩为 ，就可以用角动量守 恒定律解题。 恒定律解题。
∑M
i =1
n
i ,l
+ ∑ M i ,e
i =1 n
n
d = dt
i ,l
v ∑ Li
n i =1
内力成对出现且等值反向
∑M
i =1
=0
v v dL M= dt
3 刚体的角动量定理 刚体所受合 刚体对一点 外力矩 的角动量 v
v dL M= dt
绕定轴转动的刚体，只考虑 与 沿转轴 沿转轴（ ） 绕定轴转动的刚体，只考虑M与L沿转轴（Z）的分量
J＝ ∆mi ri 若质量连续分布 J = r dm ∑
2 i
∫
2
的单位： 在（SI）中，J 的单位：kg.m2 ） dm为质量元，简称质元。计算方法： 为质量元，简称质元。计算方法： 为质量元 质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
dm = λ dl
dm = σ ds
dm = ρ dV
λ、σ、ρ分别为质量的线密度、面密度和体密度。 分别为质量的线密度、面密度和体密度。
2
整个刚体对O点的角 整个刚体对 点的角 动量沿 轴的分量 动量沿OZ轴的分量
Lz = ∑(∆mi ri )ωi
2 i
Lz = ∑(∆mi ri )ω = Jω
2
方向： 轴方向 轴方向（ 方向：Z轴方向（
的方向） ω的方向）
v
∑∆mi ri
i
i
2
反映刚体对特定转轴的固有特性， 反映刚体对特定转轴的固有特性， 标量 称为刚体对特定转轴的转动惯量 称为刚体对特定转轴的转动惯量 J
四
冲量矩定理
t2
v v dL M = dt
∫
t1
v v v M d t = L2 − L1
冲量矩
冲量矩定理： 冲量矩定理：对同一参考点 O ，系统所受的冲量矩 等于质点角动量的增量. 等于质点角动量的增量
＊力矩对时间的累积效应改变系统的角动量
五
v v dL 根据角动量定理 M = dt v v 当M = 0, L = 恒矢量
v v dL 总的来说， 总的来说， M = 是角动量定理的一般表达式， 是角动量定理的一般表达式， dt v v dP 与牛顿第二定律 F = 同样重要 dt
v v v v dL d ( r × P ) v v 质点 M = = = r ×F dt dt
v v dLZ d(Jω) = Jβ = 刚体 MZ = dt dt
v Li指某一质点的角动量
i i
v v v ∆Li = Ri × (∆mivi )
v z ω ∆Li
v ∆Liz
∆mi
∆Li = ∆mi Rivi θ = 900
∆Liz = ∆Li cosθ = ∆mi Rivi cosθ
v Li
θ
O
v θ ri
v Ri
= ∆mi rivi= ∆mi ri ωi
注意 质点的角动量是相对于某一点来说的， 质点的角动量是相对于某一点来说的，刚体 的角动量则是对某一固定转轴而言的。 的角动量则是对某一固定转轴而言的。 (3) 转动惯量的计算
J = ∑∆mi ri
i
2
与转动惯量有关的因素： 与转动惯量有关的因素： 刚体的质量、转轴的位置、 刚体的质量、转轴的位置、刚体的质量分布
例2、求长为 、质量为 的均匀细棒对图中不 、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不 同轴的转动惯量。 同轴的转动惯量。
O L/2 A L B L X X L/2 X
同一刚体对不同位置的转轴，其转动惯量不同。 同一刚体对不同位置的转轴，其转动惯量不同。
*平行轴定理 上例中J 表示相对通过质心的轴的转动惯量， 上例中 O表示相对通过质心的轴的转动惯量， JB表示对转轴平行于过质心的轴的转动惯 表示对转轴 转轴平行于过质心的轴的转动惯 两轴平行，相距h。 量。两轴平行，相距 。 J B＝JO＋mh2
质点的角动量定理 的另一种描述
v v v v dL d ( Jω ) = Jβ M= = dt dt
2 质点系的角动量定理
v dLi 对第i个质点 对第 个质点 M i ,l + M i ,e = dt n v n dLi 所有质点 ∑ ( M i ,l + M i ,e ) = ∑ dt i =1 i =1
L 2 1 1 2 1 2 2 J A＝JO＋m( ) = mL + mL = mL 2 12 4 3
若有任一轴与过质心的轴平行， 若有任一轴与过质心的轴平行，相 则刚体对此轴的 此轴的转动惯量 距为h，则刚体对此轴的转动惯量 JC＋ 为J＝JC＋mh2。
解 设圆盘面密度为 σ ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
讨论 守 恒条件
M =0
不变， 不变； 不变. 若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L = Jω 不变 ω ω 也变， 内力矩不改变系统的角动量. 内力矩不改变系统的角动量 在冲击等问题中 冲击等问题中
Q M >> M ∴ L ≈ 常量
in ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律
注意
2
o
r
m v
质点的角动量必是相对于某一点而言
2 刚体的角动量 (1)刚体的运动 刚体的运动 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的 刚体：在外力作用下， 任意两质点间距离保持不变的特殊质点组） 物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组） 刚体的运动形式：平动、 刚体的运动形式：平动、转动 . 平动：若刚体中所有点 平动： 的运动轨迹都保持完全相同， 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 . 刚体平动 质点运动
有许多现象都可以 用角动量守恒来说明. 用角动量守恒来说明 花样滑冰 跳水运动员跳水 自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
角动量守恒定律在技术中的应用
惯性导航仪（陀螺） 惯性导航仪（陀螺）
被中香炉
引力使星团 压缩， 压缩，
v v dLZ d(Jω) = Jβ MZ = = dt dt
＊刚体绕定轴转动的角动量定理
( Lz = Jω )
绕定轴转动的 刚体所受的合外力矩在OZ轴的分量 轴的分量M 刚体所受的合外力矩在 轴的分量 Z等于刚体对 该轴的转动惯量J与角加速度 的乘积。 与角加速度β的乘积 该轴的转动惯量 与角加速度 的乘积。
v Fz
v F
θ
v F⊥
M z = rF⊥ sin θ
2）合力矩等于各分力矩的矢量和 ） 力矩等于各分力矩的矢量和
v r
v v v v M = M1 + M 2 + M3 + L
三 角动量定理
1 质点的角动量定理
v v v L=r×p
v v v dL d v v v dp dr v = (r × p) = r × + × p dt dt dt dt v v v v = r × F + v × mv v v = r ×F