数学建模2010A题

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：大学

参赛队员(打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期： 2016 年 7 月 7 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

摘 要

本文主要研究当卧式储油罐发生位变时罐油位高度和储油量的变化情况。储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。所以需要用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定。

针对问题一，要求研究罐体变位后对罐容表的影响问题，首先建立椭圆柱体在无变位时体积与高度的计算模型，并通过解析几何知识和微积分原理求解出液面高度与体积的关系模型为：

2**h a V l b -=⎰ 利用Matlab 最终求解出椭圆柱体储油罐无变位时储油量与罐油位高度的对应关系表达式。然后再利用二重积分的方法建立了变位后的储油罐液面高度与体积之间的关系：

20.5

4z

V --=⎰⎰

同样利用Matlab 求解出椭圆柱储油罐在发生变位以后的储油罐液面高度与体积和倾角之间的关系表达式（见正文第5页公式（1.2.2））。通过V=f(h,)α可以得出罐体变位后油位高度间隔位1cm 的罐容表标定值。通过无变位和变位的罐容表的数值比较，最终解释了罐体变位后对罐容表的影响（见正文第5页表1）。并通过Excel 表格的图像对比形象的表现出来(见正文第7页表2)。

针对问题二，要求建立变位后罐储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系。首先对图二储油罐发生纵向倾斜变位后的示意图根据图形的几何特点将储油罐分为圆柱形罐身和两个球缺封口，并分别建立模型求解了三部分图形体积与高度及纵向偏角之间的函数关系.通过图三横向偏转倾斜后正截面图建立了实际的液面高度与测量的液面高度之间的关系表达式：

'()cos d d H R R H β=--。

通过变位过程中油位探针的连接关系最终求解出了罐储油量与油位高度与变位参数之间的函数关系（见正文第13页公式（2.3.2）），由附件二中的实际检测数据求解出 2.4, 4.1αβ==，并给出罐体变位后油位高度间隔10cm 的罐容表标定值（见正文13页表4）；最后通过spss 软件对数据进行误差分析（见正文14、15页图10和图11），从而验证了模型的正确行与方法的可靠性。

关键词：倾斜卧式储油罐标定、误差分析、变位识别、曲线拟合.

一、问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照

有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情

况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm

的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、模型的基本假设

结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设：

1.不考虑浮子在地下储油罐的体积；

2.油量计测出的体积与实际无变位时的体积无误差，气测得的油量是准确的；

3.储油罐的密闭性是绝对的，不存在储油罐中的有以任何形式减少；

4.储油罐的体积就是它的容积，忽略它的厚度，并且其壁是绝对光滑平整，储油罐是理想的标准几何体；

5.在进油口和出油口是绝对光滑，不存在摩擦，并在进油口和出油口均没有残留物附着其上的情况下测得油量值；

6.发生变位时，倾斜角α和β的围在0到10之间；

三、符号说明

1.为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明

H:显示油位高度

L:小椭圆型储油罐的长度

a:椭圆的长半轴 :