5 曲线拟合的最小二乘法

并逐步把 a P ( x) 累加到 F ( x)中去，最后就可得 到所求的拟合曲线
y F ( x) a P ( x) a P (x)
* 0 0 * 1 1
a P (x).
* n n
14 这里n可事先给定或在计算过程中根据误差确定。
用这种方法编程序不用解方程组，只用递 推公式；当逼近次数增加一次时，只要把程序 中循环数增加1，其余不用改变。此为目前用多 项式作曲线拟合最好的方法。
(2) (2) 及 由此可知 2 都比较小，所以用 y F (2) (t ) 作拟合曲线较好。
确定拟合曲线的数学模型需要选择比较。 10
用正交函数作最小二乘拟合 法方程组系数矩阵G是病态的，但如果 0 ( x),1 ( x), ,n ( x) 是关于点集 {xi}(i 0,1, , m ) ) 正交的函数族，即 带权 ( xi ) (i 0,1, , m
i 1 m
, xli ) j ( x1i , x2 i ,
, xli ).
求解法方程组就可得到 a0 , a1, , an ，从而得到， Sn ( x1 , x2 , , xl ) 称为函数 f ( x1, x2 , , xl ) 的最小二 16 乘拟合。
§6 近似最佳一致逼近多项式 由韦尔斯特拉斯定理知存在最佳一致逼近多项 n k 式（伯恩斯坦多项式）Bn ( f , x) f n Pk ( x) k 0 n • 一、截断切比雪夫级数 P ( x) P ( x) 1 x (1 x) k 利用切比雪夫多项式良好的逼近性质求近 似最佳一致逼近多项式。 如果 f ( x) C[1,1] ，按 {Tk ( x)} 展成广义富 利叶级数，由正交多项式展开公式（在 f ( x) 满 足一定条件下可一致收敛）
k 1 n
, xl ). n m 1
15
使得
F (a0 , a1 , , an ) i [ yi Sn ( x1i , x2i ,
i 1 m
, xli )]2
最小，这与前面讲的极值问题完全一样，系数 a0 , a1 , , an 同样满足法方程，只是这里
( k , j ) i k (x1i , x2 i ,
i 0 j 0
m
n
的极小点 (a , a , , a ) 问题。由求多元函数极值 的必要条件，有
m n I 2 ( xi )[ a j j ( xi ) f ( xi )]k ( xi ) 0 ak i 0 j 0
* 1
* n
(k 0, 1,
, n)
2
若记
m i 0
0, ( j , k ) ( xi ) j ( xi ) k ( x i) i 0 Ak 0,
m
j k; j k.
则方程的解为
( f , k ) * ak ( k , k )
( x ) f ( x ) ( x )
i 0 i i k i 2 ( x ) i k ( xi) i 0 m
k nk
n
k
k 0
k
f ( x) ~ ak g k ( x)
k 0

f ( x) ~ Ck Tk ( x)
k 0

17
可得
C * f ( x) ～ Ck Tk ( x). 2 k 1 * 0
i 0
其中 ( x) 0 是［a, b］上的权函数。
1
用最小二乘法求曲线拟合的问题，就是在 S ( x) 2 * 中求一函数 y S ( x) ，使 2 取的最小。它 转化为求多元函数
I (a0 , a1 ,
* 0
, an ) ( xi )[ a j j ( xi ) f ( xi )]2
m
( k 0,1,
, n )
且平方误差为

2 2
f
* 2 A ( a k k) . 2 2 k 0
n
11
根据给定节点 x0 , x1 , , xm 及权函数 ( x) 0 ， 造出带权 ( x) 正交的多项式 {Pn ( x)} 。注 意 n m ，用递推公式表示 Pk ( x) ，即
• 多元最小二乘拟合 已知多元函数 y f ( x1, x2 , , xl ) 的一组测量数 据 ( x1i , x2i , , xli , yi ) (i 1, 2, , m) ，以及一组权数 要求函数 i 0 (i 1, 2, , m).
Sn ( x1 , x2 , , xl ) akk ( x1 , x2 ,
i 0 i 0
5
4
(1 , 1 ) i xi2 74, (0 , f ) i fi 47,
i 0
4
4
4
i 0
(1 , f ) i xi fi 145.5
i 0
由方程组
8a0 22a1 47 a0 2.77 a1 1.13 22a0 74a1 145.5
P0 ( x) 1, (k 0,1, P 1 ( x ) ( x 1 ) P 0 ( x ), P ( x) ( x ) P ( x) P ( x) k 1 k k k 1 k 1
, n 1)
其中Pk(x)是首项系数为1的k次多项式，且
ˆ A bx. S1 ( x) y
用上例的方法计算出
A
A 4.48072, b 1.0567,
3
a e 11.3253 10 , 从而 最后求得 y 11.3253103 e1.0567/ t F (2) (t )
各点误差为
i(2) yi F (2) (ti ) (i 1, ,16).
解：将数据标在坐标纸上，可发现数据符合双曲 线函数或指数函数。 1)双曲线函数拟合 t 1 b 双曲线型： a , 即 y (at b) . 7
y t
为了确定 a, b, 令 由数据表t, y生成数据表 x, y. 于是可用 x 的 线性函数 S1 ( x) y a bx 拟合数据 ( xi , yi ) (i 1, ,16) 。方法与上例一样解方程组
3 6 3
4 8 1
5 8.5 1
解：根据所给数据知，可选择线性函数作拟合曲 线。 S1 ( x) a0 a1 x 令 这里
m 4, n 1, 0 ( x) 1, 1 ( x) x,
4
故
(0 , 0 ) i 8, (0 , 1 ) (1 , 0 ) i xi 22,
其各点误差为
i(1) yi F (1) (ti ) (i 1, ,16).
8
2）指数函数拟合 b b . t ln y ln a y ae . 拟合曲线形如 两边取对数 t 1 ˆ a , b , y ln y , A ln a , x , 为了确定 令 t ˆi )， 由(ti , yi )计算出( xi , y 拟合数据的曲线仍为
3
由于 0 , 1 , , n 线性无关，故 G 0 ，方 程组存在唯一解(Haar条件)
ak a
* k
(k 0,1,
, n),
从而得到函数 f ( x) 的最小二乘解为
* * S * ( x) a0 0 ( x) a1 1 ( x) * an n ( x)
16a 3.38073b 1.8372 103 ; 3 3.38073 a 1.58435 b 0.52886 10 ,
y 1 , x 1 , y t
1 b a , y t
得 从而有
a 80.6621, b 161.6822.
y t (80.6621t 161.6822) F (1) (t ),
证明：用归纳法（略Fra Baidu bibliotek。
13
用正交多项式 {Pk ( x)} 的线性组合作最小二 乘曲线拟合，只要根据公式逐步求 Pk ( x) 的同时， 相应计算出系数 m
( f , Pk ) * ak ( Pk , Pk )
* k k
( x ) f ( x )P (x )
i 0 i i k i 2 ( x ) P i k ( xi ) i 0 m
可证
* 2 2 ( x )[ S ( x ) f ( x )] ( x )[ S ( x ) f ( x )] i i i i i i i 0 i 0 m m
故
S * ( x)
是所求最小二乘解。
4
例 :已知一组实验数据,求它的拟合曲线。
xi
i
fi
1 4 2
2 4.5 1
( j , k ) ( xi ) j ( xi ) k ( xi )
i 0
m
( f , k ) ( xi ) f ( xi ) k ( xi ) d k
(k 0, 1,
, n)
则上式可改写为
( , )a
j 0 k j
n
j
dk (k 0, 1,
§5 曲线拟合的最小二乘法 一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘 法)的一般提法是: 对给定的一组数据 ( xi , yi ) (i 0,1, , m) ,要求在函数类 {0 , 1 , , n } 中找 * y S ( x) ,使误差平方和 一个函数

2 2
i2 [ S * ( xi ) yi ]2 min
i 0 i 0
m
m
S ( x )
2 [ S ( x ) y ] i i i 1
m
其中 S ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x) (n m) 带权的最小二乘法： 2 m 2

2
( xi )[ S ( xi ) f ( xi )]
12
m 2 ( x ) x P i i k ( xi ) ( xPk ( x), Pk ( x)) ( xPk , Pk ) i 0 ak 1 m ( Pk ( x), Pk ( x)) ( Pk , Pk ) 2 ( xi ) Pk ( xi ) i 0 ; m 2 ( xi ) Pk ( xi ) ( Pk , Pk ) i 0 k m ( Pk 1 , Pk 1 ) 2 ( xi ) Pk 1 ( xi ) i 0
9
3)两个模型的比较 本例经计算可得
max i(1) 0.568 103 , max i(2) 0.277 103 ,
i i
均方误差为
(1) 2 3 ( ) 1.19 10 , i i 1 m (2) 2 3 ( ) 0.34 10 . i i 1 m
, n)
这个方程称为法方程，矩阵形式 Ga d . 其中 a (a0 , a1, , an )T , d (d0 , d1, , dn )T
( 0 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( , ) ( , ) 1 0 1 1 G ( n , 0 ) ( n , 1 ) ( 0 , n ) (1 , n ) ( n , n )
所求拟合曲线为
S ( x) 2.77 1.13x
* 1
6
例： 在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓 度与时间关系如下表，求浓度y与时间t的拟合曲 线 y F (t ).
时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 t(分) 浓度 4. 6. 8. 8. 9. 9. 9. 9. 10. 10. 10. 10. 10. 10. 10. 10. ×10-3 00 40 00 80 22 50 70 86 00 20 32 42 50 55 58 60