第五章-傅立叶变换

l
l
例 矩形波
f
(
x)
1
1
f (x)
(2m , (2m 1) ) ((2m 1) ,2m )
1
2
0
1
周期 2 奇函数
x
f
(x)
bk
k 1
sin
kx
l
,
bk
2
l f ( )sin k
l
l
d
2
k
[ cosk
]
0
2
k
[(1)k
]
0 4
k
f (x)
4 sin(2n 1)x.
n0 (2n 1)
三角函数族：1, cosx , cos 2x ,, cos kx ,
l
l
l
sin x ,sin 2x ,,sin kx ,
l
l
l
a. 2l 周期性
cos k (x 2l) cos(kx 2lk ) cos(kx 2k ) cos kx
l
ll
l
l
同样
b. 按三角函数族展开
sin kx
l
f
kl
l
l [a0
{ak
k 1
cos
k x
l
bk
sin
k x}] cos
l
k
l
d
1
kl
a0
l l
cos k d
l
1
lk k 1
l
l ak
cos
k x
l
cos
n
l
d
1
lk k 1
l
l bk
sin
k x
l
cos
n
l
d
1
kl
l
l ak
cos2
k x
l
d
1
kl
l
l ak
1 [1 cos 2
0 2
4
6
频
率
2.奇函数和偶函数的傅里叶展开
sin kx
l
是奇函数，c
os
kx
l
是偶函数。
故 奇函数 f(z) 有
f
(x)
bk
k 1
sin
kx
l
,
其中
bk
1 l
l l
f ( )sin
k
l
d .
偶函数 f(z) 有
f
(x)
a0
k 1
ak
cos
kx ,
l
其中
ak
1
kl
l f ( ) cos k d.
2E0
2E0
2E0
3
15
35
0 2
4
6
频率
通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的性质， 叫在时域中的表示的性质。而频谱表示这种性质在 频域中的表示。
因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。
-10
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-5
5
10
E0
幅 度E0
2
2E0
2E0
2E0
3 15
35
第五章 傅里叶变换
5.1 傅里叶级数 利用三角级数的周期性来展开周期函数
• 周期函数的傅里叶展开； • 奇函数和偶函数的傅里叶展开； • 有限区间中的函数的的傅里叶展开； • 复数形式的的傅里叶展开；。
复变项级数
k (z) 1( z) 2 (z) k (z) ,
k 1
幂级数
ak (z z0 )k a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 ak (z z0 )k
(x)
a0
{ak
k 1
cos
kx
l
bk
sin
kx}.
l
此为傅里叶级数展开
(5.1.3)
不同的函数形式由不同的组的 ak 和 bk 表示。
三角函数组具有正交性
因此
l 1 cos kx dx 0
l
l
(k 0),
l 1 sin kx dx 0,
l
l
l
kx
nx
cos cos dx 0
l
l
l
(k n),
2 k x ]d
l
1
kl
ak
1 2
l d
l
1
kl
ak
2l 2
ak
k
其中
k
2 1
(k 0) 此为傅里叶系数 (k 0)
此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足 够展开任何周期函数。
狄里希利定理
函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就 有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下 完全一致
k 0
f (z) ln(z 1) ln(z 2) f (z) ln(z 1) ln(z2 2)
ln(z k) k 1
ln(zk k) k 1
1. 周期函数的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(x) 满足 f (x 2l) f (x)
的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是 固定的。要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改 变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角 函数来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。
l sin kx sin nx dx 0
l
l
l
(k n),
l cos kx sin nx dx 0.
l
l
l
akbk11lk l
l l l
f
l
f ( ) c os k d
l
( ) sin k d .
l
,
(5.1.4) (5.1.5)
ak
1
kl
l f ( ) cos k d
l
l
1
频域中的图示由你们给出
k 2n, k 2n 1.
3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开
f(x) 定义于 (0, l).
可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的 部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。
例 f (x) x,
叶级数。
解 周期为 2
0
E(t)
E0 sin t
[ ,0] [0, ]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-10
-5
5
10
E(t ) a0 {ak cos kt bk sin kt}. k 1
1 0
a0
2
[
0dt
/
0
/
E0
sin tdt]
2
0
/
E0
sin tdt
E0
2
若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周 期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只 有有限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且
(5.1.3)
f (x), 1{f (x 2
0)
f
(x 0)}.
(在连续点x) (在间断点x)
例 交流电压 E(t) E0 sin t 经过半波整流后的傅立
)t
]
0
/
E0 2
(1)1k [
1 k
1 1 k
(1)1k 1 k
1 ] 1 k
0
2E0
[1 (2n)2]
k 2n 1 k 2n.
b 0 b1
E0 2
,
和
k
E(t) E0 E0 sin t 2E0
1 cos 2nt.
2
n1 1 (2n)2
频谱
幅度
E0
各个频率分量的幅度
E0 2
,
1
ak
0
/
E0
sin t
cosktdt
E0 2
/
[sin(1 k)t sin(1 k)tdt
0
a1
E0 2
/
sin 2tdt
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E0
4
cos2t
/ 0
0,
ak
E0 2
/
[sin(1 k)t sin(1 k)tdt
0
E0 2
[
cos(1 k)t 1 k
c
os(1 k 1 k
(0,1)
f (x),g(x)
f (x), g(x)
x
x
偶延拓
奇延拓
4. 复数形式的的傅里叶
,
i
e
kx
l
,,
e
i
x
l
,1,
i
e
x
l
,,
i
e
kx
l
,
i kx
i kx