高考数学总复习 函数的定义域与解析式

高考数学总复习 函数的定义域与解析式

函数的定义域：使函数的解析式有意义的自变量x 的集合。

高考对定义域的考查一般有三个方面：

（1）给出函数的解析式，此时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值的集合。

（2）实际问题或几何问题，此时除要考虑函数解析式有意义外，还要考虑实际问题或几何问题有意义。

★（3）未给出具体函数的解析式，而由函数f(x)的定义域确定f[g(x)]定义域，此时g(x)相当于f(x)中的x.

由于高考对函数定义域常常是通过函数性质或函数应用来考查的，具有隐蔽性！所以在研究函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点。

2、常见的定义域

①当f(x)是整式时，定义域为R 。

②当f(x)是分式时，定义域为使分母不为零的x 的取值的集合。

③偶次根式的定义域是使被开方式非负的x 的取值的集合。

④零指数幂或负指数幂的定义域是使幂的底数不为0的x 的取值的集合。

⑤对数式的定义域是使真数大于0且底大于0不等于1的x 的取值的集合。

⑥正切函数y=tanx,

⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x x x ,2|ππ, 余切函数y=cotx, {}Z k k x x x ∈≠∈,|π

★⑦当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各式都有意义的x 的取值的集合，即求各式都有意义的范围的交集。

★⑧当f(x)表示实际问题中的函数关系时，应考虑实际问题对x 范围的制约。 ★⑨ 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]定义域，是指满足

b x g a ≤≤)(的x 的取值范围。 而已知f[g(x)]定义域是[a,b]，指的是],[b a x ∈。 特别注意：函数的定义域一定要写成集合或区间的形式。

函数的解析式常用的方法：

待定系数法，换元法，配凑法，消元法，,看图列式法等。

(1)待定系数法：已知函数类型，故先设函数解析式，由题中条件列方程，求待定系数的值。如：一次函数可设为y=ax+b(a ≠0);

二次函数有三种设法：①一般式y=ax2+bx+c(a ≠0)

②顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0) ③两根式y=a(x-x1)(x-x2)

反比例函数可设为y=)0(≠k x k 等。

（2）换元法：已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式。通常令g(x)=t,由此解出x= )(t ϕ,再将x= )(t ϕ代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t,便得f(x)的解析式。

如(1)已知f(x-2)=3x-5,求f(x).(2)已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x).

注：换元后注意新元t 的取值范围。

（3）配凑法：一些能用换元法的题目也能用配凑法，如：(1)已知f(x-2)=3x-5,求f(x)；（2）由).(2)1(x f x x x f 求+=+

（4）消元法：此方法的实质是解函数方程。如：设f(x)满足f(x)x x f =-)1(2,

求f(x)的解析式。

（5）赋值法：由题设条件的结构特点，由特殊到一般地寻找普遍规律。

如：已知f(0)=1,f(a －b)=f(a)－b(2a －b+1),求f(x)。

注意 1.求函数解析式，除了对应法则外，还要在对应法则后标注函数定义域。 2.求一个函数的反函数时，必须注明该反函数的定义域。