欧拉公式的推导
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a ≤ t ≤b
引Hale Waihona Puke 1对任意x > 0及任意正数n, 有 (1 + x) n < e nx
引理2 则
设s > 0，t为非负实数, 序列{ai }满足递推不等式 ai +1 ≤ (1 + s ) ai + t ai +1 ≤ e
( i +1) s
t t ( + a0 ) s s
定理2
若函数f (t , y )在凸区域D = {(t , y ) | a ≤ t ≤ b, f (t , y1 ) f (t , y2 ) ≤ L y1 y2
∞ < y < +∞}上关于变量t , y都满足李普希兹条件,即 则欧拉法的整体截断误差为 hM L (b a ) Ei +1 ≤ (e 1) 2L f ′′(t ) .
其中, M = max
a ≤t ≤b
作业 教材P198 习题1、2
§9-1 欧拉法
一、欧拉公式的推导
对一阶方程的初值问题
dy = f (t , y ) dt y ( a ) = y0 a≤t ≤b (1)
假设式(1)的唯一解y (t )在[a, b]上有二次连续导数, 则对i = 0,1, L, n 1, 作泰勒展开得 (ti +1 ti ) 2 y (ti +1 ) = y (ti ) + (ti +1 ti ) y′(ti ) + y′′(ξ i ) 2! 其中, ti < ξ i < ti +1 , i = 0,1, L, n 1 (2)
ti+1 ti
f (t , y (t ))dt
所以
ε i +1 = y (ti +1 ) yi +1
= y (ti ) yi + ∫
ti +1 ti
f (t , y (t ))dt hf (ti , yi )
由局部截断误差假设y (ti ) = yi , 得
ε i +1 = y (ti +1 ) yi +1
(3)
所谓欧拉法是指分别用yi +1 , yi作为y (ti +1 )与y (ti )的近似值 (i = 1,2,L, n), 并满足
y0 = α yi +1 = yi + hf (ti , yi )
称(4)式为欧拉法的差分格式
(4)
二、欧拉法算法 用欧拉法计算初值问题 目标
dy = f (t , y ) dt y (a) = α 的近似解. a≤t ≤b
因y (t )为(1)的解, 所以将y′(ti ) = f (ti , y (ti ))代入(2)式得
h2 y (ti +1 ) = y (ti ) + hf (ti , y (ti +1 )) + y′′(ξ i ) 2! 当h充分小时
y (ti +1 ) ≈ y (ti ) + hf (ti , y (ti +1 ))
=∫
ti +1 ti
f (t , y (t ))dt hf (ti , yi )
( 2)
定理1 若函数f (t , y )在凸区域D = {(t , y ) | a ≤ t ≤ b, ∞ < y < +∞}上关于变量t , y都满足李普希兹条件,即 f (t1 , y ) f (t 2 , y ) ≤ K t1 t 2 f (t , y1 ) f (t , y2 ) ≤ L y1 y2 则欧拉法的局部截断误差满足 h2 ε i +1 ≤ ( K + LM )(i = 1,2,L, n 1) 2 其中, M = max f (t , y (t )) .
输入 输出
区间端点a, b;区间等分个数n; 初值α . n + 1个节点ti处y的近似值yi . n 输出t和y.
ba 步骤 S1 令h = ; t = a; y = α ;
S2 对i = 1,2,L, n做S 21 ~ S 23.
S 21 y = y + hf (t , y ); S 22 t = a + ih; S 23 输出t和y.
S3 停机.
三、欧拉法的局部截断误差
假定第i步的准确值y (ti )和由差分格式求出的近似值yi 相等的前提下, 第 i + 1步的准确值y (ti +1 )与近似值yi +1的误差.即当y (ti ) = yi时, 局部截断误差
ε i +1 = y (ti +1 ) yi +1
因为 y (ti +1 ) y (ti ) = ∫
引Hale Waihona Puke 1对任意x > 0及任意正数n, 有 (1 + x) n < e nx
引理2 则
设s > 0，t为非负实数, 序列{ai }满足递推不等式 ai +1 ≤ (1 + s ) ai + t ai +1 ≤ e
( i +1) s
t t ( + a0 ) s s
定理2
若函数f (t , y )在凸区域D = {(t , y ) | a ≤ t ≤ b, f (t , y1 ) f (t , y2 ) ≤ L y1 y2
∞ < y < +∞}上关于变量t , y都满足李普希兹条件,即 则欧拉法的整体截断误差为 hM L (b a ) Ei +1 ≤ (e 1) 2L f ′′(t ) .
其中, M = max
a ≤t ≤b
作业 教材P198 习题1、2
§9-1 欧拉法
一、欧拉公式的推导
对一阶方程的初值问题
dy = f (t , y ) dt y ( a ) = y0 a≤t ≤b (1)
假设式(1)的唯一解y (t )在[a, b]上有二次连续导数, 则对i = 0,1, L, n 1, 作泰勒展开得 (ti +1 ti ) 2 y (ti +1 ) = y (ti ) + (ti +1 ti ) y′(ti ) + y′′(ξ i ) 2! 其中, ti < ξ i < ti +1 , i = 0,1, L, n 1 (2)
ti+1 ti
f (t , y (t ))dt
所以
ε i +1 = y (ti +1 ) yi +1
= y (ti ) yi + ∫
ti +1 ti
f (t , y (t ))dt hf (ti , yi )
由局部截断误差假设y (ti ) = yi , 得
ε i +1 = y (ti +1 ) yi +1
(3)
所谓欧拉法是指分别用yi +1 , yi作为y (ti +1 )与y (ti )的近似值 (i = 1,2,L, n), 并满足
y0 = α yi +1 = yi + hf (ti , yi )
称(4)式为欧拉法的差分格式
(4)
二、欧拉法算法 用欧拉法计算初值问题 目标
dy = f (t , y ) dt y (a) = α 的近似解. a≤t ≤b
因y (t )为(1)的解, 所以将y′(ti ) = f (ti , y (ti ))代入(2)式得
h2 y (ti +1 ) = y (ti ) + hf (ti , y (ti +1 )) + y′′(ξ i ) 2! 当h充分小时
y (ti +1 ) ≈ y (ti ) + hf (ti , y (ti +1 ))
=∫
ti +1 ti
f (t , y (t ))dt hf (ti , yi )
( 2)
定理1 若函数f (t , y )在凸区域D = {(t , y ) | a ≤ t ≤ b, ∞ < y < +∞}上关于变量t , y都满足李普希兹条件,即 f (t1 , y ) f (t 2 , y ) ≤ K t1 t 2 f (t , y1 ) f (t , y2 ) ≤ L y1 y2 则欧拉法的局部截断误差满足 h2 ε i +1 ≤ ( K + LM )(i = 1,2,L, n 1) 2 其中, M = max f (t , y (t )) .
输入 输出
区间端点a, b;区间等分个数n; 初值α . n + 1个节点ti处y的近似值yi . n 输出t和y.
ba 步骤 S1 令h = ; t = a; y = α ;
S2 对i = 1,2,L, n做S 21 ~ S 23.
S 21 y = y + hf (t , y ); S 22 t = a + ih; S 23 输出t和y.
S3 停机.
三、欧拉法的局部截断误差
假定第i步的准确值y (ti )和由差分格式求出的近似值yi 相等的前提下, 第 i + 1步的准确值y (ti +1 )与近似值yi +1的误差.即当y (ti ) = yi时, 局部截断误差
ε i +1 = y (ti +1 ) yi +1
因为 y (ti +1 ) y (ti ) = ∫