零点存在定理

1.学会由函数解析式讨论零点的个数， 证明零点的个数。 2.思想方法：函数方程思想，数形结合 思想，分类讨论思想
课后作业： 课后作业：
课本P86练习2.
如图所示，我们要画一条连接A、B的连续 曲线，使这条曲线能成为函数的图象。显然这 样的曲线可以画无数条，我们来观察这些曲线 有什么共同的特呢？
我们来观察下面表格中的函数： 我们来观察下面表格中的函数：
函数 闭区间 闭区间端点函 数值的乘积 零点
y = 2x −1
2
[0,1]
f (0) f (1) =−1<0
想一想:求下列方程的根或函数的零点: 1.x + 1 = 0; 方程f ( x) = 0有实数根 2 2.x − 2 x + 1 = 0; ⇔函数y = f ( x)图象与x轴有交点 x ⇔函数y = f ( x) 有零点 3. f ( x ) = 2 − 8;
如果函数相应的方程的根不容 易求出且图象也不容易画出， 易求出且图象也不容易画出，例如 函数 f ( x ) = ln ( x ) + 2 x − 6, 我们怎么 讨论它的零点呢？ 讨论它的零点呢？
-1.309
3
1.089
4
5
6
7
8
9
14.1972
f(x) -4
3.3863 5.6094 7.7918
9.9459 12.0794
区间 ( 2,3)内有零点. f ( x ) 在其他的区间是否存在零点 ? 我们先 来看这个函数的图象 :
由表可知f ( 2 ) < 0, f ( 3) > 0, 则f ( 2 ) f ( 3) < 0, 说明f ( x ) 在
y =log2(2x−3)
观察以上四个函数，我们能得出什么样 的结论呢？ 提示： 1.以上的函数在给定的区间内图象是连续的 还是不连续的？ 2.闭区间两个端点函数值的乘积都满足什么 样的条件？ 3.函数的零点有什么样的特点？ 4.我们能得出什么样结论？
函数零点存在性定理： 续不断的一条曲线，并且有f ( a ) f ( b ) < 0, 如果函数y = f ( x ) 在 [ a, b ] 上的图象是连
∴ f ( x ) = lg x + x − 8在 ( 0,+∞ )
y = x − 8在( 0,+∞) 是增函数,
∴ f ( x) = lg x + x − 8有且只 有一个零点.
是增函数,
思考:以上两个问题中方程的根所在区间的范围
能否进一步缩小?
知能训练: 知能训练: 课堂小结：
1 2.证明f ( x ) = x + − 3在 ( 0， ∞ ) 上有两个零点. + x
f (1) f (3) < 0和
1 x1 = 2
x1 = 2, x2 = 4
，和 ， y = x −6x+8 [13] [35] f (3) f (5) < 0来自y = 2 −2x
[0, 2]
7 7 [ , ] 4 2
f (0) f (2) < 0
7 7 f( ) f( )<0 4 2
x1 = 1
x1 = 2
即存在c ∈ ( a, b )，使得f ( c ) = 0，这个c也是 方程f ( x ) = 0的根.
那么，函数y = f ( x )，在区间( a, b )内有零点，
解：利用计算器，作出 x, f ( x )的对应值表：
例1.求函数f ( x) = ln x + 2 x − 6的零点的个数.
x 1 2
从这个图象我们看到, 从这个图象我们看到 这个函数在定义域内是单 调增函数,那么我们怎样证 调增函数 那么我们怎样证 明呢? 明呢
练习 证明f ( x) = lg x + x − 8有且只有一个零点. 1.
证明:Q f (1) = −7, f (10 ) = 3,∴ f (1) f (10 ) < 0, ∴函数f ( x ) = lg x + x − 8在 (1,3)内有零点, Q y = lg x在( 0,+∞) 是增函数,