{高中试卷}北京市人大附中高三数学基础练习题二[仅供参考]

合集下载

人大附中2021届高三数学试卷及答案

人大附中2021届高三数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（）A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（）A. (2)(2)(0)f f f <-<B.(0)(2)(2)f f f <<-C. (2)(0)(2)f f f -<<D.(2)(0)(2)f f f <<-9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（） A. 每场比赛的第一名得分a 为4 B.甲至少有一场比赛获得第二名 C.乙在四场比赛中没有获得过第二名 D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为． 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为．13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+=14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形； ②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P . 则椭圆的离心率的取值范围是．15.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论：① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有．三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分）已知2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．人大附中2021届高三数学试卷答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（ D ）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ A ）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ D ）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（ C ）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（ C ） A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ D ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ A ）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ B ） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（C ）A. 每场比赛的第一名得分a 为4B.甲至少有一场比赛获得第二名C.乙在四场比赛中没有获得过第二名D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为．-112．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为．（答案：21-5）13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+= 63 1.n-；14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形；②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P .则椭圆的离心率的取值范围是___________.1(,2-1)315.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3； ③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．②④三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=- x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x . …………………………………………2分由 ππππk x k 223222+≤≤+, 得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈), 所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）. ……………………4分（II ）11()sin 0,sin 222A fA A =-=∴= 由题意A 是锐角，所以 cos 2A =, …………………………………………6分由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+= 2212b c bc=+≥可得32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立. (9)分2sin 4bc A +∴≤,ABC ∆∴面积最大值为432+.………………………11分 17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 1分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 2分当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以(h 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增.………… 4分所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 5分（Ⅰ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 6分对函数()g x 求导，得223()exx x g x -++'=. ……………… 7分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 8分当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以g 在(2,1)--，上单调递减，在(1,3)-上单调递增. ………… 10分又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-，所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点.…… 12分 18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.18.解：（Ⅰ）因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点(1,2P ，(Q ，所以22111,2a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……………………………4分（Ⅰ）由题易知直线l 的斜率不为0，设l ：1x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122221,22t y y y y t t --+==++.……5分又12AB y =-===………………………7分以FP为直径的圆的圆心坐标为(1,4，半径为4r =，故圆心到直线l的距离为d ==所以EF ===分所以AB EF ⋅=== 因为211≥t +，所以221(1)21≥t t +++，即221114(1)21≤t t ++++．所以1≤AB FE ⋅=．…………………………………11分当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE ⋅=，所以AB FE ⋅的最大值为1．………………………………12分四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．（Ⅰ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………….2分因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．…….……………………….4分（Ⅱ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．因为()()20e 1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），所以0n y y ≥． (6)分由（I ）知当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（I ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥⎪⎝⎭， ………………………………….8分故()()()()()022********s e e e e e in cos sin cos n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤-=--≤<．所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．…………………………………………….10分。

2019-2020学年北京市人大附中高三(下)统练数学试卷(二)(3月份)(含答案解析)

2019-2020学年北京市人大附中高三（下）统练数学试卷（二）（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知，则A. B. C. D.3.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D.4.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A. B. C. 3 D. 25.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为A. B. C. D.6.记为等差数列的前n项和．已知，，则A. B. C. D.7.如图，点N为正方形ABCD的中心，为正三角形，平面平面ABCD，M是线段ED的中点，则A. ，且直线BM，EN是相交直线B. ，且直线BM，EN是相交直线C. ，且直线BM，EN是异面直线D. ，且直线BM，EN是异面直线8.关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.9.已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于A，B两点若，，则C的方程为A. B. C. D.10.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.i是虚数单位，则的值为______．12.的展开式中的常数项为______．13.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为14.已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，所得图象对应的函数为若的最小正周期为，且，则______．15.对于某种类型的口服药，口服t小时后，由消化系统进入血液中药物浓度单位与时间t小时的关系为，其中，为常数，对于某一种药物，，．口服药物后______小时血液中药物浓度最高．这种药物服药小时后血液中药物浓度如表n12345678一个病人．上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在个单位以上，第三次服药时间是______时间以整点为准．三、解答题（本大题共3小题，共35.0分）16.在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且．求角A的大小；若为锐角，，，求b，c的值．17.已知函数Ⅰ若，求函数的极值和单调区间；Ⅱ若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数a的取值范围．18.已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．求C的方程；设直线l不经过点且与C相交于A、B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．【解答】解：，，．故选C．2.答案：B解析：【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用，属基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得，，，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：，，，，，故选B．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，则该重卦恰有3个阳爻的概率．故选A．4.答案：B解析：【分析】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力，属于中档题．判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：．故选B．5.答案：B解析：【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．由，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．【解答】解：，，，，，故选B．6.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．根据题意，设等差数列的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．【解答】解：设等差数列的公差为d，由，，得，，，，故选：A．7.答案：B解析：【分析】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．推导出BM是中DE边上的中线，EN是中BD边上的中线，从而直线BM，EN是相交直线，设，通过计算得到．【解答】解：连接BD，点N为正方形ABCD的中心，则N为BD中点，又M是线段ED的中点，平面BDE，平面BDE，是中DE边上的中线，EN是中BD边上的中线，直线BM，EN是相交直线，取CD中点F，连接EF，BF，FN，则，平面平面ABCD，平面平面，EF在平面ECD内，平面ABCD，又BF、FN在平面ABCD内，，，设，则，，，，则，，，，，故选B．8.答案：C解析：【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据绝对值的应用，结合三角函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：，且的定义域为R，则函数是偶函数，故正确；当时，，，则为减函数，故错误；当时，，由，得，即或，由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在有3个零点，故错误；当，时，取得最大值2，故正确，故正确是，故选C．9.答案：B解析：【分析】本题考查了椭圆的定义以及方程、余弦定理，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得，，可得椭圆的方程．【解答】解：，，又，，又，，，，则，所以A为椭圆短轴端点，在中，，在中，由余弦定理可得，根据，可得，解得，，．所以椭圆C的方程为：，故选B．10.答案：D解析：【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，是中档题．设，，，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求外接球O的体积．【解答】解：设，，，因为E，F分别是PA，AB的中点，所以，，在中，，在中，，整理得，因为是边长为2的正三角形，所以，又，则，，由得，所以，所以，即，同理可得，，则PA、PB、PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为，所以球O的体积为．故选D．11.答案：解析：【分析】本题主要考查复数的模及复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．利用复数四则运算先化简，再求模长．【解答】解：由题意，可知：，．故答案为．12.答案：28解析：【分析】本题主要考查二项式的展开式，通过通项中x的指数为0可算出常数项．本题属基础题．根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x的指数为0即可得到r的值，代入r的值即可算出常数项．【解答】解：由题意可知：此二项式的展开式的通项为：．当，即时，为常数项．此时．故答案为28．13.答案：2解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质，是中档题．由题意画出图形，结合已知可得，可得一条渐近线方程的倾斜角为，从而可得，进而求出离心率．【解答】解：如图，，且，，，则，则，所以一条渐近线的斜率为，所以，故答案为：2．14.答案：解析：解：函数是奇函数，所以，由于，所以．将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，所得图象对应的函数为．由于的最小正周期为，所以．故，由于，所以．则，则．故答案为：直接利用正弦型函数的性质和图象的平移变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.答案：ln2 15：00解析：解：当，，时，，则令，得，且当时，y单调递增；当时，，y单调递减，故当时，y最大即当服药后ln2小时血液中药物浓度最高；由表格可知，若第一次服药时间在上午8：00，则第二次服药时间在11：00，且第一次服药7小时候残留为，第二次服药后4小时残留为，则故第三次服药时间应为15：00，故答案为：ln2；15：00．根据条件得到，利用导数可求得其最值；根据表格中数据可得到第二次应在11：00服药，且第一次服药后7小时的残留与第二次服药后4小时的残留之后大于0，5，故可得第三次服药时间在第二次服药时间4小时之后本题考查函数模型的求解，待定系数法的应用，考查利用导数求函数最值，属于中档题．16.答案：解：，由正弦定理可得，且，，或；为锐角，可得，，可得：，又，，，联立，解得，或．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题．由正弦定理化简已知等式可得，进而可求sin A，可得A的值．由及已知可求，利用余弦定理可求得，利用三角形面积公式可求得，进而联立解得b，c的值．17.答案：解：因为，分当，，令，得，分又的定义域为，，随x的变化情况如下表：x1极小值所以时，的极小值为分的单调递增区间为，单调递减区间为；分因为，且，令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．分当时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即分当时，若，则对成立，所以在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立分若，即时，则有x极小值所以在区间上的最小值为，由，得，解得，即舍去；当，即，即有在递增，可得取得最小值，且为1，，不成立．综上，由可知符合题意．分解析：Ⅰ求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数的导数和驻点，然后列表讨论，求函数的单调区间和极值；若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区间上的最小值，先求出导函数，然后讨论研究函数在上的单调性，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的计算能力．18.答案：解：根据椭圆的对称性，得到，，三点在椭圆C上．把，代入椭圆C，得，得出，，由此椭圆C的方程为．证明：当斜率不存在时，设l：，，，直线与直线的斜率的和为，解得，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．当斜率存在时，设l：，，，，联立，整理，得，直线与直线的斜率的和为，代入得：又，，此时，存在k，使得成立，直线l的方程为，当时，，过定点．解析：根据椭圆的对称性，得到，，三点在椭圆C上．把，代入椭圆C，求出，，由此能求出椭圆C的方程．当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：，，与椭圆方程联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点．本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．。

北京市人大附中高三数学中档题练习二

北京市人大附中高三数学中档题练习二 1．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下发芽成功的概率为21于是该学习团队分两个小组进行验证性实验. （Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；
（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次。

求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和数学期望.
2．在三棱锥M —ABC 中，CM ⊥平面ABC ，MA=MB ，NA=NB=NC.
（Ⅰ）求证：AM ⊥BC ；
（Ⅱ）若∠AMB=30°，求二面角M —AB —C 的余弦值.
3．已知向量]2
,2[),1,1(),2sin ,2(cos ),23sin ,23
(cos ππ−∈−=−==x c x x b x x a 其中（Ⅰ）求证：)()(b a b a −⊥+；
（Ⅱ）设函数3|)(|3|(|)(22−+−+=c b c a x f )，求)(x f 的最大值和最小值。

4．已知)(323
2)(23R a x ax x x f ∈−−=. （Ⅰ）若)(x f 在区间（－1，1）上为减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）试讨论y=)(x f 在（－1，1）内的极值点的个数.。

北京市人大附中2019届高考数学信息卷(二)文(含解析)

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京市人大附中2019届高考信息卷(二)文科数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知复数满足，则复数在复平面内表示的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化为的形式，由此确定所在象限.【详解】依题意，对应点在第一象限，故选A. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在的象限，属于基础题.2.已知，则在，，，中最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可以比较四个数的大小，进而得到在，，，的最大值．【详解】∵，∴y＝和y＝均为减函数，∴＞，＜，又∵y＝在（0，+∞）为增函数，∴＞，即在，，，中最大值是，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性和幂函数的单调性的应用，属于基础题．3.已知函数的最小正周期为，其图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则的单调递增区间为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】利用函数的周期为可求得，再求出函数图象平移后的解析式，由其图象关于轴对称可求得，结合三角函数性质即可求得的增区间，问题得解。

【详解】由的最小正周期为，所以，的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为，因其图象关于轴对称，所以，，因为，则，所以，由，，得，.即的单调递增区间为，.故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的图象及其性质等基础知识，考查三角函数图像平移知识及运算求解能力，属于中档题。

4.《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈。

现有一刍甍，其三视图如下图所示，设网格纸上每个小正方形的边长为丈，那么该刍甍的体积为( )A. 立方丈B. 立方丈C. 立方丈D. 立方丈【答案】C【解析】【分析】利用三视图还原为几何体，对几何体切割求解.【详解】根据三视图还原为几何体，如图，把几何体切割，如图，由图可知几何体是由一个三棱柱和两个四棱锥组成的，结合三视图中的数据可得,,所以该刍甍的体积为立方丈.故选C.【点睛】本题主要考查三视图及传统文化，利用三视图求解几何体的体积，一般是先还原成几何体，结合几何体的特点，选用合适的公式求解.5.执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为，则过定点的直线与圆，截得的最短弦长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据程序框图求出，结合点与圆的位置关系，确定最短弦的位置，结合勾股定理求解. 【详解】根据程序框图，第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；第四次运算：；此时结束循环输出，即.易知点在圆内部，且与圆心的距离为2，由圆的性质可得，当直线与过点的直径垂直时，所得弦长最小.此时弦长为.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和圆的弦长求解，过圆内一点的直线被圆所截得的最长弦是圆的直径，最短弦是与该直径垂直的弦.6.已知数列和的前项和分别为和，且，,，若对任意的 ,恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据和项与通项关系得数列递推关系式，根据等差数列定义以及通项公式得再根据裂项相消法求，最后根据最值得结果.【详解】因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.【点睛】本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.7.已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A. (0，－1) B. C. D. (－1,1)【答案】D【解析】【分析】利用联想到正弦定理，结合椭圆定义找到的关系式，从而求得离心率的范围.【详解】由正弦定理可得：,结合题意可得，所以，根据椭圆的定义可得，所以，，易知.因为椭圆上一点，所以，即，整理得，所以，解得.故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解，求解离心率的值时，一般是构建的等式；求解离心率的范围时，一般是构建的不等关系.8.已知实数满足若恒成立，那么的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据的图象是过点，斜率为的直线，结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数满足，即，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数的图象是过点，斜率为的直线，要使得不等式恒成立，即恒成立，结合图象可知，当直线过点时，斜率取得最小值，所以实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市人大附中2022届高三3月数学统练(二)试题(2)

一、单选题二、多选题三、填空题1.对于函数，若存在常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不增函数”.若函数是“同比不增函数"，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2. 在曲线的所有切线中，与直线平行的共有（）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3. 已知集合，则 ( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,2}4. 已知下列抽取样本的方式：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．其中，不是简单随机抽样的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45. （）A．B．C．D．6. 已知单位向量和向量、满足，，则的最大值为（）A．B．C ．2D．7. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（）A．B．是的图象的一条对称轴C ．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为D ．在内恰有3个零点8. 已知函数，则下列说法正确的有（）A ．在单调递增B．为的一个极小值点C．无最大值D．有唯一零点9.设向量，且，则___________.10.已知抛物线是上的两动点，且，则弦的中点的横坐标的最小值为__________.11. 已知，在第四象限，则______.北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题(2)北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题(2)四、解答题12.______.13. 如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.（1）求椭圆的离心率；（2）求与的值；（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.14.如图，在正方体中，为棱的中点.求证：（1）平面；（2）求直线与平面所成角的大小.15.已知点.（1）若直线过点，且原点到直线的距离为，求直线的方程；（2）是否存在直线，使得直线过点且原点到直线的距离为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.16. 圆：内有一点，过的直线交圆于，两点.(1)当为弦中点时，求直线的方程；(2)若圆与圆：相交于，两点，求的长度.。

北京海淀区中国人民大学附属中学2024学年高三数学试题下学期第二次质量检测试题

北京海淀区中国人民大学附属中学2024学年高三数学试题下学期第二次质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（） A ．-2B ．-3C ．2D ．32．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（）A ．1i -B ．1i +C ．2222i - D ．2222i + 3．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（）种. A ．360B ．240C ．150D ．1204．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（） A ．131+ B ．132+ C ．151+ D ．152+5．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．126．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ>C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ< D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -8．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -9．函数()256f x x x =-+的定义域为（）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤-10．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．12πB ．32π C ．2π D ．3π11．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届北京市人大附中高三高考信息卷(二)文科数学试卷(PDF版)

【分析】
（1）对需求量 n 进行分类，时，进货有剩余，利润
；
时，进货能全部出清，
利润
.
（2）根据不同的需求量，求出各自的利润，再求平均数.由利润不少于
元，求得需求量的范围，结合
频数可求概率.
【详解】（1）当日需求量
时，利润
；
当日需求量
时，利润
.
所以当天的利润关于当天需求量的函数解析式为
（2）①假设水果店在这天内每天购进斤草莓，则：日需求量为斤时，利润；日需求量为斤时，利润；日需求量为斤时，利润；日需求量不小于时，利润 . 故这天日利润（单位：元）的平均数为：
，解得
（元）.
②利润不低于元时，当日需求量当且仅当不少于斤.以频率预估概率，
得当天的利润不少于元的概率为
.
【点睛】本题主要考查概率统计的应用，分段函数的融入，丰富了考查的内容，仔细审题，就能轻松解决.
5页
18.已知椭圆
的离心率为，M 是椭圆 C 的上顶点，，F2 是椭圆 C 的焦点，
的周长是 6．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）过动点 P（1，t）作直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|PA|=|PB|，过 P 作直线 l，使 l 与直线 AB 垂直，证明：直线 l 恒过定点，并求此定点的坐标．
7页
设零点为 x0，则
，且
．
当 x∈（0，x0）时，h（x）＜0；当 x∈（x0，+∞），h（x）＞0．所以，函数 h（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
，由
，得 lnx0=-x0，
所以
，由于
，h（x0）＞2．
从而 h（x）＞2，即 ex-lnx＞2，也就是 et-lnt＞2，|et-lnt|＞2，

2019届北京市人大附中高三下学期高考信息模拟卷(二)文科数学试卷及解析

2019届北京市人大附中高三下学期高考信息模拟卷（二）文科数学试卷★祝考试顺利★第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知复数满足，则复数在复平面内表示的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化为的形式，由此确定所在象限.【详解】依题意，对应点在第一象限，故选A.2.已知，则在，，，中最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可以比较四个数的大小，进而得到在，，，的最大值．【详解】∵，∴y＝和y＝均为减函数，∴＞，＜，又∵y＝在（0，+∞）为增函数，∴＞，即在，，，中最大值是，故选：C．3.已知函数的最小正周期为，其图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则的单调递增区间为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】利用函数的周期为可求得，再求出函数图象平移后的解析式，由其图象关于轴对称可求得，结合三角函数性质即可求得的增区间，问题得解。

【详解】由的最小正周期为，所以，的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为，因其图象关于轴对称，所以，，因为，则，所以，由，，得，.即的单调递增区间为，.故选：B4.《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈。

现有一刍甍，其三视图如下图所示，设网格纸上每个小正方形的边长为丈，那么该刍甍的体积为( )。

北京市人大附中近年届高考数学信息卷(二)文(含解析)(最新整理)

4。《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈,袤四丈，上袤二丈，无广,高一丈。意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体,下底面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长 2 丈,高 1 丈. 现有一刍甍,其三视图如下图所示，设网格纸上每个小正方形的边长为丈，那么该刍甍的体积为（）
A。立方丈
B. 立方丈
【详解】根据程序框图，第一次运算：
；第二次运算:
；第三次运算:
；
第四次运算：
;此时结束循环输出，即。
易知点在圆
内部，且与圆心的距离为 2，由圆的性质可得,当直线与过点
的直径垂直时,所得弦长最小.此时弦长为
。
【点睛】本题主要考查程序框图的识别和圆的弦长求解，过圆内一点的直线被圆所截得的最长
5
北京市人大附中 2019 届高考数学信息卷（二）文（含解析）
弦是圆的直径,最短弦是与该直径垂直的弦。
6.已知数列和的前项和分别为和，且，
，
，若对任意的
, 恒成立，则的最小值为( ）
A。
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据和项与通项关系得数列递推关系式，根据等差数列定义以及通项公式得再根据裂
项相消法求，最后根据最值得结果.
【详解】因为
C. 立方丈
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三视图还原为几何体,对几何体切割求解。
【详解】根据三视图还原为几何体，如图，
D。立方丈
把几何体切割，如图，
4
北京市人大附中 2019 届高考数学信息卷（二）文（含解析）
由图可知几何体是由一个三棱柱和两个四棱锥组成的，结合三视图中的数据可得

北京市人大附中2022届高三3月数学统练(二)试题(1)

一、单选题二、多选题1.设集合，则满足条件的集合的个数是A ．1B ．3C ．4D ．82.下列函数中，在上单调递减的是（）．A．B．C．D．3. 已知复数，则的虚部是（）A．B．C ．1D ．4.已知等差数列中，，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是（）A．B．C．D．5.一数字电子表显示的时间是四位数，如，那么在一天（24小时制）内，所显的四个数字和是23的概率是（）A．B．C．D．6. 若，则（）A ．3B．C ．2D ．47. 已知的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）A ．80B ．160C ．240D ．3208.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移得到函数，则函数的解析式为（）A．B．C．D．9. 对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（）A ．若且，则B．若且，则C ．若且，则D ．存在，使得10. 已知在棱长为1的正方体中，为正方体内及表面上一点，且，其中，，则下列说法正确的是（）A．当时，对任意，恒成立B．当时，与平面所成的最大角的正弦值为C ．当时，线段上的点与线段上的点的距离最小值为D．当时，存在唯一的点，使得平面平面11. 已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（）北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题(1)北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题(1)三、填空题四、解答题A．B ．是偶函数C ．关于中心对称D．12.如图，在长方体中，，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则以下结论正确的为（）A ．平面B ．不存在点，使得平面C．点和点到平面的距离相等D ．直线与平面所成角的最大值为13. 已知关于的方程在上有两个不相等的实很，则实数的取值范围是________.14. 一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92，则h ＝________．15. 已知正顶等比数列{}中，，记数列{}的前n 项和为T n ，则T 20=__________．16. 某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题：(1)抽取的学生人数共有______人，体重不低于58千克的学生有______人；(2)这部分学生体重的中位数落在第______组；(3)在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随机抽取2人，求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率．17. 某学校食堂中午和晩上都会提供两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上还选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；在中午选择类套餐的前提下，晩上选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为.(1)若同学甲晩上选择类套餐，求同学甲中午也选择类套餐的概率；(2)记某宿舍的4名同学在晩上选择类套餐的人数为，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求的分布列及数学期望.18. 已知函数（1）当时，求的单调区间，并证明此时成立；（2）若在上恒成立，求的取值范围.19. 已知数列的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列，数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.20. 已知函数（为常数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围.21. 某高校筹办大学生运动会，设计两种赛事方案：方案一､方案二､为了了解运动员对活动方案是否支持，对全体运动员进行简单随机抽样，抽取了名运动员，获得数据如表：方案一方案二支持不支持支持不支持男运人人人人动员女运人人人人动员假设所有运动员对活动方案是否支持相互独立.（1）根据所给数据，判断是否有的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关？（2）在抽出的名运动员中，按是否支持方案二分层抽样抽出了人，从这人中随机抽取人，求抽取的人都支持方案二的概率.附：，.。

北京市人大附中高三2月内部特供卷文科数学(二)Word版含答案

2]号场考号证考准密不订装只名姓级班卷此北京市人大附中高三2月内部特供卷文科数学（二）Word 版含答案2018届高三2月份内部特供卷高三文科数学（二）注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.如图为几何体的三视图，则其体积为（2. 3. 4. B . 2432已知i 是虚数单位，复数 ---1 iB . i若|a | 1 ,|b| 2，且(a b)6.函数f (x)在(0, 的x 的取值范围是（2,2]）单调递增，且f （x 2）关于x 2 对称，若 f ( 2) 1，则 f(x 2[2,)C . 7.,0] [4,)2为双曲线：22yb 2 1(a为平行四边形，且四边形 D • [0,4]0,b 0）右焦点，M N 为双曲线上的点, 四边形OOFMN 的面积为be ,则双曲线的离心率为（B . 2 2 x 2y8.已知变量x,y 满足x < 2x y 2> 01 3 [4,2]A • [1,3]2 C . 2D .4>0，则y 1的取值范围是（x 2C . 1 [41]D .1 (,4]C.的虚部为（ C .a ，则a 与b 的夹角为（C . 23△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b ,C . 1 或 3已知5. 设集合A {2,4}{2 ,4,6,8} , BB . {4,6} {x|2 x w 7}，则 AIC . {6,8} 或332 a 46, c 3, cos A 一3D .无解D • {2,8}9.世界数学名题“ 3x 1问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以 2,它是奇数，我们就把它乘 3再加上1,在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结1,现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的N 3，则输出iA . 5B . 7C . 8D . 9x 2 110 .函数f(x) x x 1的图象大致为()e三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知｛a n｝是首项为1的等比数列，数列｛b n｝满足b 2 , b2 5，且a n b n 1 a n b n a n 1.(1) 求数列｛a n｝的通项公式；(2) 求数列｛b n｝的前n项和.18. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，得到如图的频率分布直方图(图1).的体积为12，球心o恰好在棱DA上，则这个球的表面积为( ) 325A . B. 4 C. 8 D . 164第U卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.H it J0.10<1025001()0 005k 3.S41 5 02411•将函数f(x) 2sin(2x 6)的图象向左平移!2个单位'再向下平移1个单位'得到g(x)的图象，若g(xJg(X2)9，且为压［2 ,2 ］，则2x i X2的最大值为( )55 12 B. 5312C.2517412.已知点A , B , C , D在同一个球的球面上，AB BC 2 , AC2，若四面体ABCD田11 -50951 *1000 4132 9r in 图2(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1〜50名和951〜1000名的学生进行了调查，得到图2中数据，根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩13 .已知tan( -)3，则tan ____________ .41 -- 14 .从圆x2 y24内任意一点P，则P到直线x y 1的距离小于一2的概率2为_________ .1 x2 1 15. 已知函数f (x) (x R)满足f (1) 1且f (x)的导数f (x)，则不等式f(x2)2 2 2的解集为__________ .16. 已知抛物线C:y2 2px(p 0)的焦点为F ,点M(X o,2.2)(x。

北京市人大附中2023届高三下学期2月开学考数学试题(含答案解析)

北京市人大附中2023届高三下学期2月开学考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A ．“22,4x x ∀≤≥”B ．“2002,4x x ∃<<”C ．“22,4x x ∀≥<”D ．“20024x x ∃≥<,”2．若复数z 满足i 2i z =-+，则z 的虚部为（）A ．2iB ．2C ．1D ．i3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若11a =，35a =，64n S =，则n =（）A ．6B ．7C ．8D ．94．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若123l l =，则12SS =（）A ．5B ．6C ．7D ．85．现有四个函数：21()f x x =；213()log f x x =；3()e e x x f x -=-；45()log f x x =（其中e 是自然对数的底数，e 2.71828= ），它们的部分图像如下图所示，则对应关系正确的是（）A ．①1()f x ，②3()f x ，③2()f x ，④4()f xB ．①1()f x ，②3()f x ，③4()f x ，④2()f xC ．①3()f x ，②2()f x ，③4()f x ，④1()f xD ．①3()f x ，②1()f x ，③4()f x ，④2()f x 6．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．为了得到函数2cos 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移3π10个单位长度B ．向右平移3π10个单位长度C ．向左平移π10个单位长度D ．向右平移π10个单位长度8．已知双曲线221:18x C y -=的左焦点与抛物线22:C y ax =的焦点F 重合，Q 为抛物线2C 上一动点，定点()5,2A -，则QA QF +的最小值为（）A ．5B ．3C ．4D ．89．冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q 呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式0.00250e t Q Q -=，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，e 2.71828= .试估计（）年以后将会有一半的臭氧消失.()ln20.693≈A ．267B ．277C ．287D ．29710．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为1BB ，CD 的中点.则下列选项中错误的是（）A ．直线//MN 平面11CB D B ．三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影图的面积为4C ．在棱BC 上存在一点E ，使得平面1AEB ⊥平面MNB D ．若F 为棱AB 的中点，三棱锥M NFB -的外接球表面积为6π二、填空题11．已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则43a b -=__________.12．已知()()565432643210511x x a x a x a x a x a x a x a +-=++++++，则5a 的值为______．13．若过点()2,1-的直线l 和圆222220x y x y +++-=交于,A B 两点，若弦长AB =则直线l 的方程为______.14．已知数列{}n a 为等差数列，其公差0d ≠，若数列{}n a 中的部分项组成的数列1k a ，2k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中11k =，25k =，317k =，则12n k k k +++= ______.三、双空题15．设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在1x 、2x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的“保2区间”.（1）给出下面3个命题：①(),-∞+∞是函数31x y =+的“保2区间”；②ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数sin y x =的“保2区间”；③1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数 1.5log y x =的“保2区间”.其中正确命题的序号为______.（2）若[]π,2π是函数()()cos 0f x x ωω=>的“保2区间”，则ω的取值范围为______.四、解答题16．设ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且3b =，1c =，2A B =．(1)求a 的值；(2)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，E 为1BB 的中点，122AB CC BC ===.(1)证明：1AC C E ⊥；(2)求二面角1A EC B --的余弦值；(3)求点B 到平面1AEC 的距离.18．根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为i a ，1i =，2，⋯⋯，19，20其中110~a a 是男生，1120~a a 是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：学生科目1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a 16a 17a 18a 19a 20a 政治111111111历1111111111史地理1111111111物理1111111111111化学111111111生物111111111(1)从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；(2)从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记X 为“偏文”女生的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)记随机变量0,1,ξ""⎧=⎨""⎩选择科目偏理选择科目偏文，样本中男生的期望为1()E ξ，方差为1()D ξ；女生的期望为2()E ξ，方差为2()D ξ，试比较1()E ξ与2()E ξ；1()D ξ与2()D ξ的大小（只需写出结论）．19．设函数()()2ln f x x ax x a =+-∈R .(1)若1a =，求函数()y f x =的单调区间；(2)若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围；(3)过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)，点()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ，直线PM 、PN 分别交x 轴于A 、B 两点，记PAT 、PBT 的面积分别为1S 、2 S ，求12 S S +的取值范围．21．定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.参考答案：1．D【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知:22,4x x ∀≥≥的否定为20024x x ∃≥<,故选：D 2．B【分析】根据复数的除法运算求得z ，即得答案.【详解】复数z 满足i 2i z =-+,故22i (2i)i12i i i z -+-+===+，故z 的虚部为2，故选：B 3．C【分析】根据11a =，35a =，求得公差d ，再代入等差数列的前n 项和公式,计算即可.【详解】∵11a =，35a =，∴31512312a a d --===-，∵1(1)(1)26422n n n n n S a n d n ⋅-⋅-=⋅+⋅=+⋅=，解得：8n =.故选：C .4．D【分析】由条件可得3OA OB=，然后根据扇形的面积公式可得答案.【详解】设BOC α∠=，则123OA l l OB αα⋅==⋅，所以3OA OB =，所以2222221222211922812OA OB OA OB OB OB S S OB OB OB ααα⋅-⋅--====⋅，故选：D 5．D【分析】根据函数恒过定点及其函数的单调性与奇偶性逐一进行判断即可【详解】已知()21f x x =，其为偶函数，所以关于y 轴对称，所以满足条件的为②图像；()213log f x x=过点()1,0，且在定义域内单调递减，所以满足条件的为④图像；已知()3e e x x f x -=-，由于()()33e e x x f x f x --=-=-，所以()3f x 为奇函数，故其关于原点对称，因为e x y =是R 上的增函数，e x y -=是R 上的减函数，所以()3f x 是R 上的增函数，所以满足条件的为①图像；()45log f x x =过点()1,0，且在定义域内单调递增，所以满足条件的为③图像；综上所述①()3f x ，②()1f x ，③()4f x ，④()2f x .故选：D 6．A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.7．C【分析】通过诱导公式得ππ2sin 3105y x ⎡⎤⎛⎫=++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据平移规律即可得结果.【详解】因为ππ3πππ2cos32sin 32sin 32sin 32510105y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移π10个单位长度即可得到函数2cos 3y x =的图象，故选：C.8．D【分析】求出点F 的坐标，可得出抛物线2C 的方程，写出抛物线2C 的准线l 的方程，过点Q 作QB l ⊥，垂足为点B ，由抛物线的定义可得QF QB =，可得出QA QF QA QB +=+，利用图形可知当AB l ⊥时，QA QF +取最小值.【详解】对于双曲线1C ，a =1b =，则3c ==，故点()3,0F -，所以，抛物线2C 的方程为212y x =-，抛物线2C 的准线为:3l x =，如下图所示：过点Q 作QB l ⊥，垂足为点B ，由抛物线的定义可得QF QB =，所以，QA QF QA QB +=+，当且仅当AB l ⊥时，QA QB +取最小值为358+=.故选：D.9．B【分析】由0.0025001e 2tQ Q -=可得，0.00251e 2t -=，求解整理可得ln 20.0025t =，代入数值，即可解出.【详解】令012Q Q =可得，0.0025001e2tQ Q -=，即0.00251e 2t -=，则有10.0025lnln 22t -==-，解得ln 20.693277.20.00250.0025t =≈=.所以，估计277年以后将会有一半的臭氧消失.故选：B.10．B【分析】连接1DC ，交1D C 于点O ，连接1B O 、ON ，即可证明四边形1ONMB 为平行四边形，所以1//OB MN ，即可证明A ；连接BN ，则四边形ABND 为三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影，求出四边形ABND 的面积，即可判断B ；取BC 中点E ，连接AE ，1EB ，1AB ，可证⊥AE 平面MNB ，可判断C ；若F 为棱AB 的中点，MN 为三棱锥M NFB -的外接球的直径，求出表面积，可判断D ．【详解】解：对于A ：连接1DC ，交1D C 于点O ，连接1B O 、ON ，显然O 为1DC 的中点，又M ，N 分别为1BB ，CD 的中点所以1//ON CC 且11=2ON CC ，11//B M CC 且1112B M CC =，所以1//ON B M 且1ON B M =，所以四边形1ONMB 为平行四边形，所以1//OB MN ，又MN ⊄平面11CB D ，1OB ⊂平面11CB D ，所以//MN 平面11CB D ，故A 正确；对于B ：如图，连接BN ，则四边形ABND 为三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影，因为()112232ABND S =+⨯=，故B 错误；对于C ：取BC 中点E ，连接AE ，1EB ，1AB ，显然ABE BCN ≌，所以AEB BNC ∠=∠，又90NBC BNC ∠+∠=︒，所以90NBC AEB ∠+∠=︒所以AE BN ⊥，由正方体1111ABCD A B C D -，可得1BB ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，1BB AE ∴⊥，又1BB ，BN ⊂平面MNB ，1BB BN B = ，AE ∴⊥平面MNB ，又AE ⊂平面1AEB ，∴平面1AEB ⊥平面MNB ，故C 正确；对于D ：若F 为棱AB 的中点，MN ==2FN =，FM ==222MN FN FM =+，即90MFN ∠=︒即FMN ，MNB 均为直角三角形，且MN 是公共斜边，由直角三角形的性质，可知MN 为三棱锥M NFB -的外接球的直径，故外接球的半径为1122R MN ==⨯所以三棱锥M NFB -的外接球表面积24π6πS R ==，故D 正确.故选：B 11【分析】由图知||1,||,45a b a b ==<>=︒，应用向量数量积的运算律求得24310a b -= ，即可得结果.【详解】由图知：||1,||,45a b a b ==<>=︒ ，则1cos 451a b ⋅=︒=，又222431624916241810a b b b a a ⋅-=-=-++= ，则43a b -= .12．4-【分析】利用二项式展开式的通项进行求解即可.【详解】()51x -的展开式通项为515C (1)r rr r T x-+=-，所以11005551C (1)1C (1)514a =⨯⨯-+⨯⨯-=-+=-，故答案为：4-13．3420x y ++=或2x =-【分析】根据题意结合垂径定理求得1d =，再利用点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线的斜率是否存在.【详解】由题意可知：圆222220x y x y +++-=的圆心()1,1C --，半径2r =，设圆心()1,1C --到直线l 的距离为d ，若弦长AB =AB ===1d =，当直线l 的斜率不存在时，即直线l 为2x =-，故圆心()1,1C --到直线l 的距离为1d =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 为()12y k x -=+，即120kx y k -++=，故圆心()1,1C --到直线l 的距离为1d ==，解得34k =-此时直线l 为3420x y ++=；综上所述：直线l 为3420x y ++=或2x =-.故答案为：3420x y ++=或2x =-.14．31n n --【分析】根据等比中项的性质化简可得12a d =，进而求得12,...n k k k a a a 的公比，再根据等差数列与等比数列的通项公式列等式化简求解即可得出n k 表达式，然后根据分组求和即可得出结果.【详解】由题意有2132k k k a a a =，即25117a a a =，所以2111(4)(16)a d a a d +=+，由0d ≠化简可得12a d =，所以5146a a d d =+=，所以等比数列的公比2151632k k a a dq a a d====，由于n k a 是等差数列{}n a 的第n k 项，且是等比数列的第n 项，故()111111n n n k n k a a k d a q a q--=+-==，所以111(1)1231n n n a q k d---=+=⋅-．所以1121112231231231n n k k k ---+++=⋅-+⋅-++⋅- ()()11113213323113nn nn n n -⨯-=⨯+++-=⨯-=--- .故答案为：31n n --.15．③{}[)23,⋃+∞【分析】（1）利用“保2区间”的定义判断①②③，可得出结果；（2）根据定义和余弦函数的性质可知存在1k 、2k ∈Z 使得11222π2πx k x k ωω=⎧⎨=⎩，分4ω≥、04ω<<两种情况讨论，可得出关于ω的不等式（组），综合可得出正实数ω的取值范围.【详解】（1）对于①，对任意的x ∈R ，310x y =+>，对任意的1x 、2x ∈R ，则121231312x xy y +=+++>，①错；对于②，当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]sin 1,1y x =∈-，不妨设1x 、2ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x <，即12ππ22x x -≤<≤，所以，121sin sin 1x x -≤<≤，则1212sin sin 2y y x x +=+<，②错；对于③，假设存在1x 、21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且12x x ≠，使得()12 1.51 1.52 1.512log log log 2y y x x x x +=+==，可得1294x x =，可取198x =，22x =满足条件，③对；（2）当π2πx ≤≤且0ω>，则π2πx ωωω≤≤，若存在1x 、[]2π,2πx ∈且12x x ≠使得()()122f x f x +=，则12cos cos 1x x ωω==，所以，存在1k 、2k ∈Z 使得11222π2πx k x k ωω=⎧⎨=⎩，不妨设12x x <，即12π2πx x ≤<≤，因为0ω>，所以，12π2πx x ωωωω≤<≤，所以，12222k k ωω≤<≤，即在区间[],2ωω上存在两个不同的整数.①当24ωω-≥时，即当4ω≥时，区间[],2ωω上必存在两个相邻的整数，合乎题意；②当04ω<<时，028ω<<，而12k 、22k 为偶数，则12k 、{}222,4,6k ∈，当122224k k =⎧⎨=⎩时，则022404ωωω<≤⎧⎪≥⎨⎪<<⎩，解得2ω=，当122426k k =⎧⎨=⎩时，则042604ωωω<≤⎧⎪≥⎨⎪<<⎩，解得34ω≤<.综上所述，实数ω的取值范围是{}[)23,⋃+∞.故答案为：（1）③；（2）{}[)23,⋃+∞.【点睛】关键点点睛：本题第（2）问根据新定义求ω的取值范围，在讨论04ω<<时，要确定12k 、22k 的取值，进而可得出关于ω的不等式组，进而求解.16．(1)a =(2)818+-【分析】(1)根据已知条件2A B =，转化为sin sin 22sin cos A B B B ==，再结合正弦定理与余弦定理求边a.(2)用第一问计算得结果，求得sin 2,cos 2A A ，正弦的和角公式展开代入即可.【详解】（1）由2A B =，得sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得2cos a b B =，又222219cos 22a c b a B ac a +-+-==，则21926a aa +-=，解得212a =，即a =.（2）(222222311cos 22313b c a A bc +-+-===-⨯⨯，由()0,A π∈，则sin 3==A ，则sin 22sin cos 9A A A ==-，27cos 22cos 19A A =-=-，78sin 22cos 2)4229918A A A π⎛⎫+⎛⎫+=+=--=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．17．(1)证明见解析【分析】（1）根据面面垂直的性质可得AC ⊥平面11BCC B ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点C 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）利用向量法求解即可.【详解】（1）因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，又平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，AC ⊂平面11ACC A ，所以AC ⊥平面11BCC B ，又1C E ⊂平面11BCC B ，所以1AC C E ⊥；（2）因为AC ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AC BC ⊥，如图，以点C 为原点建立空间直角坐标系，因为122AB CC BC ===，所以AC =则)()()()()1,0,1,0,0,0,0,0,0,2,0,1,1AB C C E ，因为AC ⊥平面11BCC B ，所以)CA = 即为平面11BCC B的一个法向量，)()112,0,1,1C A C E =-=-，设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，则有11200n C A z n C E y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令2x =，则z y ==所以(n =，则cos ,n CA =由图可知二面角1A EC B --为锐二面角，所以二面角1A EC B --（3）()AB =，则1cos ,2n AB n AB n AB ⋅==，所以点B 到平面1AEC的距离为cos ,n AB AB AB AB n AB⋅⋅=⋅.18．(1)3376(2)分布列见解析，3()5E X =(3)12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<【分析】（1）根据表格计算出20人中偏理的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可．（2）由表格可知取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为310，X 的所有可能取值为0，1，2，结合二项分布的概率公式求出相应的概率，得到X 的分布列，进而求出()E X 即可．（3）由男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，可知12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<．【详解】（1）由表格可知，男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，则偏理共有11人，偏文共有9人，设恰有2名同学选择科目是“偏理”为事件A ，则P （A ）21119320C C 55933C 2019376⨯===⨯⨯．（2）由表格可知，抽取的20人中，偏文女生有6人，所以抽取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为632010=，则X 0=，1，2，2349(0)(1)10100P X ==-=，()123342211C 1101010050P X ⎛⎫==⨯⨯-== ⎪⎝⎭，239(2)()10100P X ===，所以X 的分布列为：X012P4910021509100492193()012100501005E X ∴=⨯+⨯+⨯=．（3）男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，则12()=30.3=0.9()=60.6=3.6E E ξξ⨯⨯，，12()=30.30.7=0.63()=60.60.4=1.44D D ξξ⨯⨯⨯⨯，，故12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<．19．(1)单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)1a ≤-(3)证明见解析，切点的横坐标为1【分析】（1）求出()f x '，由()0f x '<可得函数的减区间，由()0f x ¢>可得函数的增区间；（2）转化成()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立求解，即12a x x≤-对任意(]0,1x ∈恒成立，求出12x x-的最小值即可；（3）设出切点，结合导数的几何意义求出过切点的切线方程，利用切线过原点可求得切点坐标，即可得出结论．【详解】（1）1a =时，()2ln (0)f x x x x x =+->，∴()()()211121(0)x x f x x x x x-++-'==>，∵当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 为单调减函数．当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x ¢>，()f x 为单调增函数．∴()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）∵()12f x x a x'=+-，()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，即120x a x+-≤对任意(]0,1x ∈恒成立，令()12g x x x=-，则()min a g x ≤，因为函数1,2y y x x==-在(]0,1上都是减函数，所以函数()g x 在(]0,1上单调递减，∴()()min 11g x g ==-，∴1a ≤-；（3）设切点为()()(),0M t f t t >，由题意得()12f x x a x'=+-，∴()12f t t a t'=+-,∴曲线在点切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，即()()21ln 2y t at t t a x t t ⎛⎫-+-=+-- ⎪⎝⎭．又切线过原点，∴()210ln 20t at t t a t t ⎛⎫--+=+-- ⎪⎝⎭，整理得2ln 10t t +-=，设()()2ln 10t t t t ϕ=+->，则()()1200t t t tϕ'=+>>恒成立，()t ϕ在()0,∞+上单调递增，又()10ϕ=，∴()t ϕ在()0,∞+上只有一个零点，即1t =，∴切点的横坐标为1，∴切线有且仅有一条，且切点的横坐标为1.【点睛】方法点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点P 处的切线”和“曲线过点P 的切线”两种说法的区别.（1）“曲线在点P 处的切线”表示点P 为切点，且点P 在曲线上，过点P 的切线只有一条；（2）“曲线过点P 的切线”表示点P 不一定在曲线上，即使点P 在曲线上时也不一定为切点，此时过点P 的切线不一定只有一条．20．（1）22163x y +=；（2）()1,3.【分析】（1）利用点在椭圆上，右焦点为)，得关于,a b 的方程，解出,a b 即可；（2）联立方程组，0∆>得1t >，将面积之和表示为关于t 的式子，表示出直线PM 、PN ，求出点A 、B 的坐标，得到112311A x TA x y -=-=+-，222311B x TB x y -=-=+-，即可表示出PAT 、PBT 的面积，再求面积中12122211x x y y --+--的范围，结合韦达定理()224(1)24441655t t t t t +-=->+++，利用反比例函数得出范围.【详解】（1）由题意知：223b a +=.将点P 代入得：22411a b+=.22223411b a ab ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，得2263a b ⎧=∴⎨=⎩故椭圆的方程为：22163x y +=；（2）如图所示：由题意知直线TM 的斜率大于0，所以可设直线方程为3x ty =+，设()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立：22326x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()222630t y ty +++=0∆>，即()22361220t t -+>，21t >，由于斜率大于0，1t ∴>12262t y y t -+=+，12232y y t =+直线PM 的斜率：1112y x --，PM 的方程：()111122y y x x --=--，令0y =，则11221A x x y -=+-直线PN 的斜率：2212y x --，PN 的方程：()221122y y x x --=--，令0y =，则22221B x x y -=+-112311A x TA x y -=-=+-，222311B x TB x y -=-=+-，()12112S S TA TB +=⨯⨯+12121222211x x y y ⎫⎛--=++⎪--⎝⎭现求12122211x x y y --+--的取值范围：12122211x x y y --+--122112(2)(1)(2)(1)(1)(1)x y x y y y --+--=--将x 用y 表示代入：原式()()()121212122121ty y t y y y y y y +-+-=-++由韦达定理得：原式()2244165t t t t -=>++原式()224(1)24441655t t t t t +=-=->+++，所以12123(1)5S S t t +=->+，函数为递增，()121,3S S +∈.【点睛】表示出面积以后，将式子转化为关于t 的形式，利用1t >以及反比例函数的知识求范围.依题意逐步求解，特别注意计算准确性.21．（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{}|21,x x n n N *=-∈【分析】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，即可得出P 是“减0集”，同理可得P 不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，分当2x y xy +=-和2x y xy +≠-时，对x ，y 分类讨论即可举出反例，进而证明命题．（3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，答案第15页，共15页141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得所有的A ．【详解】（1）*P N ⊆ ，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集”同理，*P N ⊆ ，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，当2x y xy +≠-时，则1x y xy +=-或()2x y xy m m +=->，若1x y xy +=-，M 为除1以外的最小元素，则1x M =-，1y =时，23xy M -=-小于M ，若要符合题意则4M =，此时取2,2x y ==时，22xy -=不属于A ，故不符合题意；m>2时，(1)(1)1x y m --=+，同样得出矛盾，综上所述，故不存在“减2集”.（3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈，所以满足条件A 的集合：{1，3}，{1，3，5}，{}|21,x x n n N *=-∈【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题。

北京市人大附中高三数学2月特供卷(二)理

北京市人大附中2018届高三数学2月特供卷（二）理注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A ．14π-B ．12π- C ．22π-D ．4π 2．已知复数12z =-，则||z z +=（） A．12-B．12-C．12+ D．12- 3．若1cos()43απ+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（） A ．624- B ．624+ C ．187 D ．32 4．集合2{|10}A x x =->，{|3,}xB y y x ==∈R ，则=B A （）A ．)1,(--∞B ．]1,(--∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 6．世界数学名题“13+x 问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的5=N ，则输出=i （）A ．3B ．5C ．6D ．77．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,0,||)A ωφ>><π的部分图象如图所示，则函数)cos()(ϕω+=x A x g 图象的一个对称中心可能为（）A ．)0,2(-B ．)0,1(C ．)0,10(D ．)0,14(8．函数sin e()xy x =-ππ≤≤的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．9．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（） A ．254πB ．4πC ．8πD ．16π10．F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右焦点，M ，N 为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（） A ．2B ．22C ．2D ．311．已知不等式组036060x y k x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩≥≤≥表示的平面区域恰好被圆222)3()3(:r y x C =-+-所覆盖，则实数k 的值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．612．已知0x 是方程222e ln 0xx x +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（）A ．0ln 2x ≥B ．01ex <C ．0ln 200=+x xD ．002e ln 0xx +=第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．5(1)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为．（用数字表示）14．已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则a 在b 方向上的投影为． 15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B c A b B b tan 2tan tan -=+，且8=a ，ABC △的面积为34，则c b +的值为．16．如图所示，点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A ，B 分别在抛物线x y 82=及圆16)2(22=+-y x 的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB △的周长的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，且11=a ，)1()2(1+++=+n n S n na n n ，*n ∈N ．（1）证明：数列}1{+nS n为等比数列；（2）求n n S S S T +++= 21．18．如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，a AB 2=，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，BF DE //，DE BD ⊥，a BF DE 222==，平面⊥BDEF 底面ABCD ．（1）证明：平面⊥AEF 平面AFC ；（2）求二面角F AC E --的余弦值．19．为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与，志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物，每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：（1）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及其数学期望．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆940)2(:22=+-y x M 的公共弦长为3104．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点)2,0(P 作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--．（1）当0a ≤时，试求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在)1,0(内有极值，试求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ：θρsin 12-=，直线⎩⎨⎧==ααsin cos :t y t x l （t 为参数，0α<π≤）．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点（A 在第一象限），当30OA OB +=时，求a 的值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||12|)(++-=x x x f ．（1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数)(x f y =的最小值记为m ，设a ，b ∈R ，且有m b a =+22，试证明：221418117a b +++≥．答案一、选择题 1．【答案】A【解析】几何概型 2．【答案】C【解析】12z =-+，1z =，12z z ∴+=+．故选C ．3．【答案】A【解析】0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 4απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭sin sin 44αα⎡ππ⎤⎛⎫∴=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选A ． 4．【答案】C【解析】{}11A x x x =><-或，{}0B y y =>，{}1A B x x ∴=>，选C ．．5．【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的14组成的，故选C ． 6．【答案】C 7．【答案】C【解析】由题知A =，()2262ωπ=+，8ωπ=，再把点(2,-代入可得34ϕπ=-， ()384g x x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，故选C ．8．【答案】D 【解析】由函数()sin exy x =-ππ≤≤不是偶函数，排除A 、C ，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，sin y x =为单调递增函数，而外层函数e x y =也是增函数，所以()sin e xy x =-ππ≤≤在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上为增函数．故选D ．9．【答案】D【解析】根据条件可知球心O 在侧棱DA 中点，从而有AC 垂直CD ，4AD =，所以球的半径为2，故球的表面积为16π． 10．【答案】B【解析】设()00 M x y ，，∵四边形OFMN 为平行四边形，∴02cx =，∵四边形OFMN 的面积为bc ，∴0y c bc =，即0y b =，∴ 2c M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入双曲线方程得2114e -=，∵1e >，∴e =B ．11．【答案】D【解析】由于圆心(3,3)在直线360x y --=上，又由于直线0x y k -+=与直线60x y ++=互相垂直其交点为6262k x k y +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，直线360x y --=与60x y ++=的交点为(0,6)-．由于可行域恰好被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为r ==，解得6k =或6k =-（舍去）．故选D ．12．【答案】C【解析】方程即为022002eln x x x =-，即()002ln 002e e ln x x x x -=-，令()e x f x x =，()()002ln f x f x ∴=-，则()()e 10x f x x '=+>，函数()f x 在定义域内单调递增，结合函数的单调性有：002ln x x =-，故选C ．二、填空题13．【答案】0【解析】5(1)x -展开式中含3x 项的系数为3510C =，含2x 项的系数为3510C -=-，所以()5(1)1x x +-展开式中含3x 项的系数为10-10=0．14．【答案】【解析】由题知1λ=． 15．【答案】【解析】tan tan 2tan b B b A c B +=-，∴由正弦定理1cos 2A =-，23A π=， 8a =，由余弦定理可得：()22264b c bc b c bc =++=+-，又因为ABC △面积1sin 2bc A=12=，16bc =，b c +=． 16．【答案】8,12（）【解析】易知圆()22216x y -+=的圆心为（2，0），正好是抛物线x y 82=的焦点，圆()22216x y -+=与抛物线x y 82=在第一象限交于点4(2)C ，，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为点D ，则AF AD =，则AF AB AD AB BD +=+=，当点B 位于圆()22216x y -+=与x 轴的交点（6，0）时，BD 取最大值8，由于点B 在实线上运动，因此当点B 与点C 重合时，BD 取最小值4，此时A 与B 重合，由于F 、A 、B 构成三角形，因此48BD <<，所以812BF BD <+<．三、解答题17．【答案】（1）因为11n n n a S S ++=-，所以1()(2)(1)n n n n S S n S n n +-=+++，即12(1)(1)n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++，所以112(1)1n n S S n n ++=++，又1121S+=，故数列{1}n Sn+是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知111(1)221n n n S Sn -+=+⋅=，所以2n n S n n =⋅-，故2(12222)(12)n n T n n =⨯+⨯++⋅-+++．设212222n M n =⨯+⨯++⋅，则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅，所以212222n n M n +-=+++-⋅=11222n n n ++--⋅，所以1(1)22n M n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n n T n ++=-⋅+-． 18．【答案】（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥．又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =，2DE BF ==，120ABC ∠=︒，可知AF ==，2BD a =，EF ==，AE ==，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥．又AFAC A =，所以EF ⊥平面AFC ．又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC ．（2）取EF 中点G ，由题可知OG DE ∥，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图所示），则(0,0,0)O，,0,0)A，(,0,0)C，(0,,)E a -，(0,)F a ，所以(0,,),0,0)AE a a a =--=(,,)a -，(,0,0),0,0)AC =-=(,0,0)-，(0,)(0,,)EF a a =--(0,2,)a =．由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC的法向量可取为(0,2,)EF a =．设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，即,0,y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令z =，得4y =，所以(0,n =．从而cos ,n EF <>=||||63n EF n EF⋅==⋅ 故所求的二面角E AC F --． 19．【答案】（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是515010=，所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有120210⋅=人，参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有130310⋅=人，故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是23257110C P C =-=．（2）女生志愿者人数0,1,2X =，则21222033(0)95C P X C ===，1112822048(1)95C C P X C ===，2822014(2)95C P X C ===． ∴X 的分布列为∴X 的数学期望为()01295959595E X =⋅+⋅+⋅=． 20．【答案】（1）由题意可得26a =，所以3a =．由椭圆C 与圆M ：2240(2)9x y -+=，恰为圆M 的直径，可得椭圆C 经过点(2,，所以2440199b+=，解得28b =．所以椭圆C 的方程为22198x y +=．（2）直线l 的解析式为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ．假设存在点(,0)D m ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx ++-=，故1223698k x x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+．因为DE AB ⊥，所以1DEk k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k--==++．当0k >时，89k k+=≥，所以0m <．综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为0m <． 21．【答案】（1）2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=--2e (1)(1)x x ax x x ---=2(e )(1)x ax x x --=．当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0xax ->恒成立，所以()0f x '>，1x >；()0f x '<，01x <<．所以单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)．（2）若()f x 在(0,1)内有极值，则()f x '在(0,1)x ∈内有解．令()2(e )(1)0x ax x f x x --'==，e 0xax -=，e x a x =．设e ()xg x x=(0,1)x ∈，所以()e (1)x x g x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减．又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞，即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞，所以当e a >时，()2(e )(1)0x ax x f x x --'==有解．设()e x H x ax =-，则()e 0xH x a '=-<(0,1)x ∈，所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减．因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<，所以()e xH x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x ．所以当当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不成立．综上，a 的取值范围为(e,)+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程【答案】（1）由21sin ρθ=-，得sin 2ρρθ=+，所以曲线C 的直角坐标方程为244x y =+；（2）设1(,)A ρα，则2(,)B ραπ+，0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12303OA OB ρρ+=⇔=，2231sin 1sin αα⎛⎫⇔= ⎪-+⎝⎭1sin 2α⇔=，∴6απ=． 23．选修4-5：不等式选讲．【答案】（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-⎨⎪⎪>⎪⎩≤≤从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-．（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =．所以2232a b +=，从而227112a b +++=，从而221411a b +=++2222214[(1)(1)]()711a b a b ++++=++2222214(1)[5()]711b a a b ++++++≥218[577+=．当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立，即216a =，243b =时，有最小值，所以221418117a b +++≥得证．。

人大附中高三数学总复习基本练习02

一．选择题：1. 已知集合2{|2(2)}A x x x =-=-,{2}B x x ==-,:,:p x A q x B ∈∈，则p 是q 的 ( )A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件 2. 设实数a ∈]3,1[ -, 函数2()(3)2f x x a x a =-++, 当()1f x >时，实数x 的取值范围是 ( )A . ]3,1[ -B . ),5(∞+-C . ),5()1,(∞+--∞D . ),5()1,(∞+-∞ 3. 不等式113x-≥的解集是 ( ) A . ]2,( -∞ B . ),3(∞+ C . )3,2[ D . ]3,2[4. 已知二项式132()n x x-的展开式中含13x 的项是第8项，则二项式系数最大的项是 ( )A . 第15、16两项B . 第14、15两项C . 第15项D . 第16项 5. 已知函数32()5f x kx x x =-+-在R 上单调递增, 则实数k 的最值范围是 ( )A .),31(∞+B . ]31,0(C . )31,0(D . ),31[∞+ 6. 一个棱锥被平行于底面的截面截成一个小棱锥和一个棱台 (用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面和截面之间的部分叫棱台), 若小棱锥的体积为y , 棱台的体积为x , 则y 关于x 的函数图象大致形状为 ( )7. 椭圆的焦点为F 1、 F 2，过点F 1作直线与椭圆相交, 被椭圆截得的最短的线段MN 长为532，2MF N ∆的周长为20, 则椭圆的离心率为 ( )A .522 B . 53 C . 54 D .5178. 如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中, O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点. 那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于 ( )A .515B . 510C . 54D . 329. 若每名学生测试达标的概率都是32(相互独立),测试后r 个人达标, 经计算:5人中恰有r 人同时达标的概率是24380, 求r 的值 ( )A . 3或4B . 4或5C . 3D . 410. 若直线220(ax by a -+=＞b ＞0) 始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长, 则11a b+的最小值是 ( ) A . 41 B . 2 C . 4 D . 2111. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品, 产品数量之比依次为2 : 3 : 5 , 现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本, 样本中A 种型号产品有16件, 那么此样本的容量n 是( )A . 24B . 16C . 40D . 80 12. 已知函数f ( x )定义域为R, 则下列命题:① y ＝f ( x )为偶函数, 则y ＝f ( x ＋2 )的图象关于 y 轴对称. ② y ＝f ( x ＋2 )为偶函数, 则y ＝f ( x )关于直线x ＝2对称. ③ 若函数f (2x ＋1)是偶函数, 则f (2x )的图象关于直线12x =对称. ④ 若f ( x －2 )＝f (2－x ), 则y ＝f ( x )关于直线x ＝2对称. ⑤ y ＝f ( x －2 ) 和y ＝f (2－x )的图象关于x ＝2对称. 其中正确的命题序号是 ( ) A . ①②④ B . ①③④ C . ②③⑤ D . ②③④ 二．填空题13．某校高中三个年级共有学生2400人，高一和高二年级各有900人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为96的样本，则高一、高二、高三抽取的人数分别为、、 .14．如果三位正整数321a a a 满足1a +3a =2a ，则称其为和谐数，三位和谐数共有个（用数字作答）.15．正四棱锥P —ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，若正四棱锥的底边长为4，侧棱长62，则此球的表面积为 .16．在等式“1=19( )( )+ ”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是 .17．定义运算a b *为:()(),⎩⎨⎧>≤=*b a b b a a b a 例如，121=*,则函数f(x)=x x cos sin *的值域为。

北京市人大附中2022届高三3月数学统练(二)试题(含答案解析)

北京市人大附中2022届高三3月数学统练（二）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}|13A x N x =∈-≤<，2,1,0,1,2U ，则UA 为（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2,1,0--D ．{}2,1--2．在复平面内，复数21iz i=- 对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．二项式62x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．15-B ．15C ．60-D ．604．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题： ①l m αβ⇒⊥∥；①l m αβ⊥⇒∥；①l m αβ⇒⊥∥.则真命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．35．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称．而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是 A ．e -B ．1e-C ．eD ．1e6．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，用基底{},a b 表示c ，则（）A ．23c a b =-B ．23c a b =--C ．32c a b =-+D ．32c a b =-7．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A 、人工餐厅B ，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.7；如果第一天去B 餐厅，那么第二天去A 餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A 餐厅用餐的概率为（） A ．0.75B ．0.7C ．0.56D ．0.388．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则“函数()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“02ω<<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要件9．已知点P 在抛物线2:4C y x =上，若以点P 为圆心的圆与C 的准线相切，且与x 轴相交的弦长为6，则以OP 为直径的圆与准线l 的位置关系为（） A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定10．《九章算术》是我国古代内容极为丰高的数学名著.书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（） A ．22斛 B ．36斛 C ．42斛 D ．88斛二、填空题11．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则10a =___________. 12．已知椭圆221259x y +=与双曲线2217x y a -=焦点重合，则该双曲线的离心率为___________.13．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：①这8个数列有可能均为等差数列； ①这8个数列中最多有3个等比数列；①若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5； ①若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列. 其中所有正确结论的序号是________. 三、双空题14．一组数据：7，6，3，2，8，3，5，6，9，7的中位数是___________；85%分位数是___________.15．在ABC 中，6BC =，3A π=，sin 2sinBC =，则AB =___________；ABC 的面积为___________. 四、解答题16．已知数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个：条件①：()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；条件①：()f x 的图象关于直线12x π=对称.(1)请写出你选择的条件，并求()f x 的解析式；(2)当,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若（1）中所求函数()f x 的值域为[]1,2-，求出m 的一个合适数值.17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱1AA 上的点，E ，F ，G 分别为AC ，11A C ，1BB 的中点，12AC AA ==.(1)求证：FG AC ；(2)若FG ∥平面BCD ，试确定D 点的位置，并求二面角1B CD C 的余弦值. 18．自“新型冠状肺炎”疫情爆发以来，科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”.在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权.研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验：(1)实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现：除2号､3号､7号和10号四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染.现从这10只白兔中随机抽取3只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作X ，求X 的分布列和数学期望.(2)实验二：疫苗可以再次注射第二针､加强针，但两次疫苗注射时间间隔需大于三个月.科研人员对白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响.试问：若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗后的有效率能否保证达到90%？如若可以，请说明理由；若不可以，请你参考上述实验给出注射疫苗后有效率在90%以上的建议.19．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(2,0)，且经过点(0,2)．（1）求椭圆的方程以及离心率；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 相切于点P ，与直线4x =-相交于点Q ．在x 轴是否存在定点M ，使MP MQ ⊥？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 20．设函数()()()ln 10f x a x x a =+-≠. (1)求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)若函数()f x 有最大值并记为()M a ，求()M a 的最小值； (3)当12a =时，求()f x 零点的个数. 21．已知实数数列{}n a 满足：()21n n n a a a n N *++=-∈.(1)若10a =，42a =，求3a ，5a 的值；(2)试判断：{}n a 的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；(3)若数列{}n a 中的各项均不为0，记{}n a 前2022项中值为负数的项个数为m ，求m 所有可能的取值.参考答案：1．D 【解析】【分析】先化简出集合A ，再根据补集运算直接求解即可. 【详解】由集合{}|13A x N x =∈-≤<，即{}0,1,2A =，2,1,0,1,2U所以{}2,1UA =--故选：D 2．B 【解析】【详解】 ()()()21222i 1i 1112i i i z i i i +-+====-+--+， ①复数21iz i=- 对应的点位于第二象限故选B点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 3．D 【解析】【分析】利用二项式的通项公式求解. 【详解】解：二项式62x ⎫⎪⎭的通项公式为()636216622rrrr rr r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令6302r-=，解得2r = 所以展开式中常数项为()2236260T C =-=，故选：D4．C 【解析】【详解】若直线l ⊥平面α，//αβ，则直线l ⊥平面β，又因为直线m ⊂平面β，所以l m ⊥，故①正确；若直线l ⊥平面α，αβ⊥，则//l β或直线l ⊂平面β，则l m ，可能平行、相交或异面，故①错误；若直线l ⊥平面α，l m ，则直线m ⊥平面α，又因为直线m ⊂平面β，所以αβ⊥，故①正确；故选C. 5．B 【解析】【详解】①函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称，①函数()y g x =与x y e =互为反函数，则()ln g x x =，又由()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，①()()ln f x x =-，又①()1f m =-，①()ln 1m -=-，1m e=-，故选B.6．D 【解析】【分析】建立直角坐标系，用坐标表示出a 、b 和c ，并设c ma nb =+，联立方程组求出m 和n 即可. 【详解】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则()()()()1,0,2,1,0,4,7,1A B C D所以()1,1a =，()2,3b =-，()7,3c =-，设向量c ma nb =+，则()()2,37,3c ma nb m n m n =+=-+=-则273332m n m m n n -==⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩，所以32c a b =-. 故选：D7．A 【解析】【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A 餐厅”和“第1天去B 餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 【详解】设1A =“第1天去A 餐厅用餐”，1B =“第1天去B 餐厅用餐”， 2A =“第2天去A 餐厅用餐”，则11A B Ω=⋃，且1A 与1B 互斥，根据题意得：()()110.5P A P B ==，()210.7P A A =，()210.8P A B =，则()()()()()21211210.50.70.50.80.75P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=. 故选：A. 8．A 【解析】【分析】由263x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得出6x πω-的取值范围，由正弦型函数的单调性列出不等式组可得ω范围，即可判断出关系. 【详解】①263x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，①626366x ππππωπωω---≤≤，由于函数f （x ）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，①2662223620k k πππωππππωπω⎧-≥-+⎪⎪⎪-≤+⎨⎪>⎪⎪⎩（k Z ∈）解得212130k k ωωω≥-+⎧⎪≤+⎨⎪>⎩，（k Z ∈）故k 只能取0，即01ω<≤，①“函数f （x ）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“02ω<<”的充分不必要条件.故选：A. 9．C 【解析】【分析】根据抛物线方程，求出焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义可知圆P 过点()1,0F ，再根据圆与x 轴相交的弦长，即可得到P x ，从而得到P 点坐标，最后求出OP 及OP 的中点，即可判断；【详解】解：依题意抛物线的焦点为()1,0F ，准线为1x =-，根据抛物线的定义可知PF 即为圆P 的半径，即圆P 过点()1,0F ，因为圆与x 轴相交的弦长为6，所以134P x =+=，又点P 在抛物线上，所以4P y =±，即()4,4P 或()4,4P -，所以OP =，OP 的中点为()2,2或()2,2-，点()2,2或()2,2-到准线的距离()213d =--=>OP 为直径的圆与准线l 相离；故选：C 10．A 【解析】【分析】由地面弧长求出圆锥底面半径，再利用体积公式求总体积，再代换为斛即可. 【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，则82r π⨯=，又取圆周率约为3解得16r π=，故米堆的体积222111311436320543V r h ππππ=⨯⨯==⨯⨯（立方尺）．因为1斛米的体积约为1.6立方尺，故总体积为200221.632033ππ=≈（斛）故选：A 11．10 【解析】【分析】根据等差数列及1a ，3a ，4a 成等比数列建立等式，求得18a =-即可求解. 【详解】由题意可得，314113446a a a a a a a =+=+，．，，成等比数列， 21111(4)(6)8a a a a ∴+=+∴=-，，1019210a a ∴=+⨯=.故答案为：1012．43【解析】【分析】由椭圆的性质得出半焦距，再由双曲线离心率公式求解即可. 【详解】设椭圆的半焦距为c，则4==c ，又716,9a a +==，故该双曲线的离心率为43=. 故答案为：4313．①①① 【解析】【分析】①. 由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中可判断；①. 由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9，从而可判断；①由2519283746⨯=+=+=+=+，可判断；①举反例即可判断. 【详解】①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，故①正确.①. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9. 由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上. 所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故①正确①. 若三个数,,a b c 成等差数列，则2b a c =+.根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数b 相同. 则只能是5b = 由2519283746⨯=+=+=+=+则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为1,5,92,5,83,5,74,5,6；；；时满足条件;中心数为其他数时，不满足条件.故①正确.①. 若第一行为1,2,4；第一列为1,3,9，满足第一行、第一列均为等比数列.第二行为3,5,7，第二列为258，，，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故①不正确故答案为：①①① 14． 6 8【解析】【分析】首先将数据从小到大排列，即可求出中位数与85%分位数；【详解】解：将数据从小到大排列为：2、3、3、5、6、6、7、7、8、9，故中位数为6，又1085%8.5⨯=，故这一组数据的85%为第9个数为8；故答案为：6；8；15．【解析】【分析】由正弦定理得出2b c =，再由余弦定理和三角形面积公式计算即可. 【详解】设,,A B C 对应的边为,,a b c ，sin 2sin ,2B C b c =∴=，由余弦定理可得22262cos60b c bc ︒=+-，即c =，11sin 222ABC S bc A ==⨯⨯=△故答案为：16．(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)3π（答案不唯一）【解析】【分析】先由函数的周期求出ω的值，（1）若选①，则由03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出ϕ，若选①，则212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，从而可求出ϕ，（2）由,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22633x m πππ-≤+≤+，再由()f x 的值域为[]1,2-，可得72236m πππ≤+≤，从而可求出m 的范围 (1)因为()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的最小正周期为π，所以2ππω=，得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，若选①，因为()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()22sin 03f x πϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以2,3k k Z ϕππ+=∈，得2,3k k Z πϕπ=-∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若选①，因为()f x 的图象关于直线12x π=对称，所以212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即2sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,62k k Z ππϕπ+=+∈，得,3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)因为,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22633x m πππ-≤+≤+，因为当,4x m π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的值域为[]1,2-，所以72236m πππ≤+≤，得5266m ππ≤≤，所以51212m ππ≤≤，所以m 的一个值可以为3π（答案不唯一） 17．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由已知可得//EF BG ，所以E 、F 、B 、G 四点共面，再证明AC ⊥平面EFGB 即可证明；（2）建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()B ，()1,0,0C -，()11,0,2C -，()0,0,2F ，()G ，设()1,0,D a ，()02a ≤≤，由FG ∥平面BCD ，则0FG n ⋅=，可得2a =，利用向量法即可求解. (1)证明：在正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，因为E ，F ，G 分别为AC ，11A C ，1BB 的中点，所以1//EF CC ，又1//BG CC ，所以//EF BG ，EF ⊥平面ABC ，所以E 、F 、B 、G 四点共面，EF AC ⊥，又因为BE AC ⊥，且EF BE E =，所以AC ⊥平面EFGB ，所以FG AC ；(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()B ，()1,0,0C -，()11,0,2C -，()0,0,2F ，()G ，设()1,0,D a ，()02a ≤≤，()1FG =-，()1,BC =-，()1,BD a =，设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =，则00BC n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0x x az ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，取6z =，可得()3,,6n a =-，因为FG ∥平面BCD ，所以0FG n ⋅=，解得2a =，所以()6,2n =-，易知平面1CDC 的法向量()0,1,0m =，所以23cos ,221m n m n m n⋅<>===，由图可知二面角1B CD C 为钝二面角，所以二面角1B CD C 的余弦值为 18．(1)分布列见解析；数学期望()65E X =； (2)无法保证；建议：需要将注射一次疫苗的有效率提高到90%以上. 【解析】【分析】（1）首先确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望的公式可计算得到数学期望；（2）根据注射一次疫苗的有效率为0.6，结合独立事件和对立事件概率公式可求得注射两次疫苗的有效率为84%；设每支疫苗有效率至少达到x 才能满足要求，则可构造方程求得x 的取值范围，由此可给出建议.(1)由题意得：X 所有可能的取值为0，1，2，3，()3631020101206C P X C ∴====；216431060111202C C P XC ； 1264310363212010C C P X C ；3431041312030C P XC ； X ∴的分布列为：∴数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； (2)由已知数据知：实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为0.6，则注射一次疫苗的有效率为0.6，∴一只白兔注射两次疫苗的有效率为：()2110.60.8484%90%--==<， ∴无法保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到90%；设每支疫苗有效率至少达到x 才能满足要求，()21190%x ∴--≥，解得：0.990%x ≥=，∴需要将注射一次疫苗的有效率提高到90%以上才能保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到90%.19．（1）22184x y +=，e =（2）存在定点M ，M 为(20)，- 【解析】（1）利用2c =，2b =，2228a b c =+=求解方程（2）设直线方程为y kx m =+，与椭圆联立利用判别式等于0得2284m k =+，并求得切点坐标84(,)k P m m-及(4,4)Q k m --+，假设存在点(),0M t ，利用0MP MQ ⋅=化简求值【详解】（1）由已知得，2c =，2b =，2228a b c =+=，椭圆的方程为22184x y +=，离心率为c e a ==；（2）在x 轴存在定点M ，M 为(20)，-使MP MQ ⊥，证明：设直线方程为y kx m =+ 代入22184x y +=得222()8x kx m ++=，化简得222()214280k x kmx m +++-=由222(4)4(21)(28)0km k m ∆=-+-=，得22840k m +-=，2284m k =+，设00(,)P x y ，则022821km k x k m --==+，2200884k m k y kx m k m m m m--=+=⋅+==，则84(,)k P m m-，设1(4,)Q y -，则14y k m =-+，则(4,4)Q k m --+ 假设存在点(),0M t001(,)(,)MP MQ x t y t y ⋅=-⋅-0012(2)x y y =-++()282(2)0kt t m=+++=解得2t =- 所以在x 轴存在定点()20，-M 使MP MQ ⊥．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用，利用判别式等于0得坐标是解决问题的关键,考查计算能力,是中档题20．(1)()1y a x =- (2)()M a 取得最小值0 (3)2个【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得切线方程；（2）首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性求函数的最大值()ln 1M a a a a =+-，再利用导数求函数的最小值；（3）首先利用导数求函数的单调性和最大值，再结合零点存在性定理，即可求解函数的零点个数. (1)()11af x x '=-+，()00f =，()01f a '=-，所以函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程是()1y a x =-； (2)()11af x x '=-+，()1x >-，当0a <时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,-+∞单调递减，函数没有最大值，故舍去；当0a >时，()()11011x a af x x x -+-'=-==++，得11x a =->-，当()1,a 1x ∈--时，()0f x '>，函数单调递增，当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '<，函数单调递减，所以当1x a =-时，函数取得最大值()()1ln 1f a M a a a a -==+-，()ln 0M a a '==，得1a =，当()0,1a ∈时，()0M a '<，函数()M a 单调递减，当()1,a ∈+∞时，()0M a '>，函数()M a 单调递增，所以当1a =时，函数()M a 取得最小值，()10M =. (3)当12a =时，()()1ln 12f x x x =+-， ()()()121102121x f x x x --'=-==++，得12x =-，当11,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，当1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，当12x =-时，函数取得最大值，()11111ln 1ln 2022222f ⎛⎫-=+=-> ⎪⎝⎭，当13x =-时，2222111111ln 10e 2e e e f ⎛⎫-=+-=-< ⎪⎝⎭，所以2111,2x e⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，必存在一个零点，当2e 1x =-时，()()22221e 1ln e e 12e 02f -=--=-<，所以21,e 12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，必存在一个零点，综上可知，函数()f x 零点个数是2个. 21．(1)31a =，51a =(2){}n a 的项不可能全是正数，也不可能全是负数； (3){}674,675 【解析】【分析】（1）根据递推公式计算可得；（2）假设数列{}n a 的项都是正数，则21n n n a a a ++=-，3210n n n n a a a a +++=-=-<，与假设矛盾；假设数列{}n a 的项都是负数，则21||0n n n a a a ++=->，与假设矛盾，由此能证明{}n a 的项不可能全是正数，也不可能全是负数；（3）存在最小的正整数k 满足0k a <，10k a +>（5k ≤），数列{}n a 是周期为9的数列，由此能求出结果。

北京市中国人民大学附属中学2020届高三下学期数学统练二试题 Word版含解析

高三下学期数学统练二一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x <<【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B【解析】分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. 516B. 1132C. 2132D. 1116【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．4.某圆柱高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）A. 17B. 5C. 3D. 2 【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，=故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.5.已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且b a b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为 A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r ，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．6.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A. 25na n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n =- D. 2122n S n n =- 【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．7.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（）A. BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B. BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C. BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D. BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线【答案】B。

北京市人大中高三数学基础练习题二

北京市人大附中高三数学基础练习题二一、选择题：1．已知集合22{|1},{(,)|1}M y y x N x y x y ==+=+=，则M ⋂N 中元素的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．多个2．已知复数212,1z a i z a i =+=+，若21z z 是实数，则实数a 的值等于（） A ．1 B ．一1 C ．一2 D ．23．函数()log x a f x a x =+在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为14-，最大值与最小值之积为38-，则a 等于（）A ．2B ． 2或12 C ．12 D ．23 4．若函数()sin x f x e x =，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为（）A ．2π B ．0 C ．钝角 D ．锐角 5．已知实数a 、b 满足等式23log log a b =，下列五个关系式：① 0<a <b <1； ② 0<b <a <1； ③ a = b ； ④ l<a <b ； ⑤ 1<b <a 。

其中不可能成立的关系式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．函数()f x 为奇函数且(31)f x +的周期为3，(1)1f =-，则(2006)f 等于（）A ．1B ．0C ．－1D ．27．函数2()log (672)x f x x x =-+的定义域是（）A ．12(,)(,)23-∞⋃+∞ B ．12(0,)(,1)(1,)23⋃⋃+∞ C ．12(,)23 D ．123(0,)(,1)(1,)232⋃⋃ 8．若211lim 31x ax bx x →++=--，则a 、b 的值为（） A ．a =－5，b = 4 B ．a =1．b =－2 C ．a = 4，b =－5 D ．a =－2 , b =19．已知函数()1log (0a f x x a =+>且1)a ≠，满足(9)3f =，则19(log 2)f -的值是（）A．31log -+ B ．C．1310．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(一1，1)的夹角θ>90o 的概率是（）A ．12B ．13C ．712D ．512二、填空题：11．在平面直角坐标系中，x 轴的正半辅上有4个点，y 轴的正半轴上有5个点，这9个点任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的最多有个。

2019届北京市人大附中高三高考信息卷(二)理科数学试卷(word版)

北京市人大附中2019届高考信息卷(二)理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.则下列结论中正确的是A. B.C. D.【答案】C2.,则是“的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A3.A. B.C. D.【答案】D4.12个,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,A. B. C. D.【答案】C5.”.已中的三个元素组成的所有数列中”的个数为A. B. C. D.【答案】B6.,则复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C7.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A. 8种B. 10种C. 12种D. 14种【答案】B8.，且函数A. B. C. D.【答案】A二、填空题、共6小题，每小题5分，共30分。

9.能够说明”______.【答案】010.______.11.甲乙两地相距汽车从甲地匀速行驶到乙地,已知汽车每．小时运输成本为,当汽车的行驶速度为______km/h时,全程运输成本最小.【答案】(1). (2). 10012.在平面直角坐标系中,角与角,,则13.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的底面和三个侧面中,直角三角形的个数是______.14.如图,.将三角形ADE,设在翻折过程中,有下列三个命题:③存在某个位置,所成的角为其中正确的命题是______.（写出所有．．正确命题的序号）【答案】①②三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.【答案】【解析】【分析】（Ⅱ）由余弦定理得，然后求解三角形的面积．【详解】，．（Ⅱ）由余弦定理【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的解法，考查计算能力．16.，写出（Ⅱ）证明：数列中存在值为的项；互质，则数列中必有无穷多项为【答案】；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I.（II）利.（III）首先利用反证.【详解】解：(I)由，以及，可知，，(II)，.(III)中没有“1”项，由(II)，于是，由，则或，因此的因数.“1”.1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；1，0”的无限循环，有无穷多项为1；必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．【点睛】本小题主要考查递推数列，考查合情推理，考查与数列有关的证明，考查分析问题与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.17.某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为，求的分布列；（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．【答案】(Ⅰ(Ⅱ) 见解析（Ⅲ）75【解析】【分析】(Ⅰ)直接利用公式求得结果即可；（Ⅲ）因为随机摸一次摸到红球的概率为100次，得到75次概率最大.【详解】解：(Ⅰ)设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”事件A．(Ⅱ)可能取0，1，2，3，4．所以的分布列为（Ⅲ）75．【点睛】本题考查了离散随机变量分布列，熟悉二项分布是解题的关键，属于中档题.18.为偶函数时，求函数【答案】【解析】【分析】再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，的取值范围．【详解】..当x.有极小值有极大值有且只有两个公共点”.求导，得，.当x.时，直线与曲线，.或时，函数上有两个零点.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.19.中，(Ⅱ)(Ⅲ)300?如果不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.【解析】【分析】(1)方法一：取为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为.(2).(3)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可得到结果.【详解】方法一：(1),,,方法二：令，得,于是 ,（2,，四边形,所以，所以方法二：令，得,（3或（舍）,所以点存在，即【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.【答案】（1（2）证明见解析；（3）答案见解析. 【解析】【分析】（1（2（3为定值【详解】（1（2）由题知，时直线方程为（3时，，，因为．所以，即【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。