2016-2017学年高中数学人教版-21 回归分析的基本思想及其初步应用

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上

【解析】 结合线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 可知，解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上，故选B.

【答案】 B 2．(2016·

泰

安

高

二

检

测)在回归分析中，相关指数R 2的值越大，说明残差平方和( )

A ．越大

B ．越小

C ．可能大也可能小

D ．以上均错

【解析】 ∵R 2＝1－错误!，∴当R 2越大时， ∑i ＝1n

(y i －y ^i )2越小，即残差平方和越小，故选B. 【答案】 B

3．(2016·西安高二检测)已知x 和y 之间的一组数据

则y 与x 的线性回归方程y ^

＝b x ＋a ^必过点( ) A ．(2,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 C ．(1,2)

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，4

【解析】 ∵x ＝14(0＋1＋2＋3)＝32，y ＝1

4(1＋3＋5＋7)＝4，

∴回归方程y ^

＝b ^x ＋a ^必过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4.

【答案】 D

4．已知人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的回归方程为y ^＝0.577x －0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )

【导学号：19220003】

A ．一定是20.3%

B ．在20.3%附近的可能性比较大

C ．无任何参考数据

D ．以上解释都无道理

【解析】 将x ＝36代入回归方程得y ^＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.

【答案】 B

5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程

y

^

＝

b x ＋

a ^中的

b

^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )

A ．63.6万元

B ．65.5万元

C ．67.7万元

D ．72.0万元

【解析】 样本点的中心是(3.5,42)，则a ^

＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5.

【答案】 B 二、填空题

6．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝

1

2

x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．

【解析】 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.

【答案】 1

7．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．

【解析】 由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^

＝1.23x ＋0.08.

【答案】 y ^＝1.23x ＋0.08

7．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：

由最小二乘法求得回归方程为

y

^

＝0.67x ＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为________．

【解析】 由题意可得x ＝1

5

(10＋20＋30＋40＋50)＝30，

设要求的数据为t ，则有y ＝15(62＋t ＋75＋81＋89)＝307＋t

5，因为回归直

线y ^＝0.67x ＋54.9过样本点的中心(x ，y )，所以307＋t

5

＝0.67×30＋54.9，

解得t ＝68. 【答案】 68

8．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：

y

^

＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

【解析】 以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^＝0.254x ＋0.321相

减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．

【答案】 0.254 三、解答题 9

．

(2016·

包

头

高

二

检

测)关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下的统计资料：

(1)线性回归方程：错误!

(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 【解】 (1)x ＝

2＋3＋4＋5＋6

5

＝4，

y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0

5

＝5，

∑i ＝1

5x2

i ＝90，∑i ＝1

5x i y i ＝112.3， b ^＝

∑i ＝15

xiyi －5x －y －∑i ＝1

5

x2i －5x 2＝

112.3－5×4×5

90－5×42

＝1.23.

于是a ^

＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08. 所以线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.

(2)当x

＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元． 10．关于x 与y 有如下数据：