高考数学中涂色问题的常见解法及策略
数学选修2-3-涂色问题
涂色问题解题通法定理1(直线型结构）：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的直线型结构图涂色，则总的不同涂法有()11n mn L m m -=-种.证明：由分步计数原理按序号逐个涂色即可。
定理2（星型结构):用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(2)n n ≥个区域组成的星型结构图涂色，则总的不同涂法有()11n mn S m m -=-种.证明:由分步计数原理按序号逐个涂色即可。
定理3（环形结构）：用(2)m m ≥种颜色给如图所示的由(3)n n ≥个区域组成的环形结构图涂色，则总的不同涂法有()()()111nnm n R m m =-+--种。
证明：1m m m n n n R R L -+=(m n L 中头尾不同的涂法数为mn R ，头尾相同时，头尾看作一个区域，涂法数为1m n R -),即()111n m mn n R R m m --+=-，∴()()1111n n mmn n R m R m --⎡⎤--=---⎣⎦，求通项即可 或()()1221mmmn n n R m R m R --=-+-定理4(全连通型结构)：用()m m n ≥种颜色给由n 个区域组成的全连通型结构图(任何两个区域都连通，如图）涂色，则总的不同涂法有m nn m T A =种.证明：任何两个区域都连通，所以颜色各不相同。
方法应用例1。
将三种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植一种作物，不同的种植方法有 种。
(以数字作答)答:结构抽象如右图，涂法数为：()()515132255333122148642L L C ---=⨯--⨯⨯-=-=例2.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)。
现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。
（以数字作答）答：结构抽象如右图，涂法数为:()()()55354431311120R ⎡⎤⨯=⨯-+--=⎣⎦(先涂中间）例3。
妙解排列组合里的涂色问题
㊀㊀㊀妙解排列组合里的涂色问题◉江苏省江安高级中学㊀肖雄伟摘要:排列组合的问题在考查学生能力方面有显著的作用,因此在高考题中能经常见到,尤其涂色类型的问题．因为涂色类型的题目对学生的思维有一定的要求,很多同学不能顺利地解答这种类型的问题．基于此,对排列组合里面的涂色问题进行一个深入的分析,总结阐述一些答题方法,希望对学习排列组合知识有困难的同学提供一些思考的方向和解题的思路．关键词:排列组合;涂色;解题技巧１一分步,二分类对于某些不复杂的涂色问题,使用分步计数原理处理会更加简便．如果题目所给的条件比较多的时候,此时就应该以题目的已知条件为依据,把分步计数原理和分类计数原理结合起来进行求解．在实际情况中,要牢记优先处理有特殊要求的色块．解题步骤为首先处理特殊的色块,再依据实际情况,如果附加要求多,那就先使用分步计数原理,再使用分类计数原理解答;如果是不难的涂色问题,就可以直接运用分步计数原理解题．图１例题１㊀假设中国的某一个省由５个市区组成,这个省的市区分布如图１所示,现给地图上色,要求相邻区域使用的颜色不能相同,现有４种颜色可供选择,那么不同的上色方法一共有㊀㊀㊀㊀种．分析:这个题目与很多题目都有相似的地方,但是图形是有变化的,因此就需要学生有较强的观察能力和分析能力．分析发现,市区１与其他市区不一样,它跟另外的四个市区都是相邻的,被其他四个市区包围着．因此在解答题目的时候,需要优先考虑分步计数的方法,即首先将市区１涂上颜色,那么市区１就有４种选择方法,再利用分类计数的方法,当市区２和市区４的颜色一样的时候,就有３种上色方法,那么总的上色方法就有４ˑ３ˑ２ˑ２＝４８种;当市区２和市区４的颜色不一样的时候,优先给市区２上色的方法有３种,此时市区４就有两种上色方法,那么市区３和市区５就只有一种上色方法,因此此时上色的总方法数为:４ˑ３ˑ２ˑ１ˑ１＝２４种．所以,一共有２４＋４８＝７２种上色方法．图２推广１㊀如图２,用４种不同颜色给图中A ,B ,C ,D ,E ,F 六个点涂色,要求每个点都要涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法有㊀㊀㊀㊀种．分析:分析已知条件要求,要求每个点都要涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色,看似问题较为复杂,无从下手．结合图形解读问题要求,可以发现需要涂色的６个点可以分为上下两部分,即A ,D ,E 为一组,剩下的点B ,C ,F 为另一组．解答该问题可先使用分步法,后使用分类法．首先第一步涂色A ,D ,E ,即A ３４种方法;第二步分别涂色B ,C ,F ,即２ˑ４＋１ˑ３种方法．此时涂色方法总数为A ３４(２ˑ４＋１ˑ３)＝２６４种,所以一共有２６４种涂色方法．２一分类,二分步对于某些较为复杂繁琐的涂色问题,就需要首先以使用颜色的种类为依据进行分类,特别是不同的题目对于要求使用颜色的种类也不一样．当题目中出现要求三种颜色时就需要进行分类计数,如果没有出现最多使用三种颜色的要求,那么问题就更复杂了,还需要做深入的思考和处理,分类计数原理是处理此类复杂问题的首要方法．即解题步骤为首先分析题目要求的用色的种类,要求有最多使用三种颜色的就可以进行分类,如果没有最多三种颜色这个条件的要求,那么需要再思索．一般来说,中学阶段出现后面这种情况的题型很少．㊀图３例题２㊀幼儿园老师让班上的小朋友给图３中的四个格子涂色,其中要求:有６种不同的颜色可以使用,每一个格子一次只能涂一种颜色,一次使用的颜色最多只有三种且每两个相邻的格子颜色不能一样．那么不一样的涂色方式有㊀㊀㊀㊀种．分析:分析题目信息可以知道,此题与例题１有共同的特点,就是结合使用分步和分类的方法来解题,但它明显比例题１复杂得多．因此对于此题应该首先以使用颜色的种类为依据来进行分类,这样就会简便许多,出错的几率也会相应减小．分类方式有两种:３８２０２２年５月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀第一种就是使用２种颜色涂,就有C １３A ２２＝３０种;第二种就是使用三种颜色上色,选颜色的方法就有C ３６＝２０种,选出３种颜色以后就在格子上上色的方法有C １３(２＋２＋２)＝１８种．根据分步计数原理就有:１８ˑC ３６＝３６０种．因此,一共有３０＋３６０＝３９０种上色方法．图４推广２㊀在一个正六边形的六个区域内栽种观赏植物,如图４,要求同一块区域内栽种同一种植物,相邻的两块区域种植不同的植物,现有４种不同的植物可供选择,则有㊀㊀㊀㊀种种植方案．分析:对问题所给条件分析,不难发现解答该问题需要使用分类计数原理和分步计数原理．以种植植物的种类个数为依据计算,进而求解具体种植方案仍具有一定难度．应考虑局部分类法,即以不相邻区域的种植植物种类个数为分类依据,进一步计算种植方案．则该问题可以分为三类情况:①区域A ,C ,E 种植同一种植物,剩下区域B ,D ,F 分别各有３种选择,即C １４ˑ３ˑ３ˑ３＝１０８种方案;②区域A ,C ,E 一共种植２种植物,剩下区域B ,D ,F 有３ˑ２ˑ２种选择,即C ２４C １３C １２ˑ３ˑ２ˑ２＝４３２种方案;③区域A ,C ,E 一共种植３种植物,剩下区域B ,D ,F 有２ˑ２ˑ２种选择,即A ３４ˑ２ˑ２ˑ２＝１９２种方案．所以,一共有种植方案１０８＋４３２＋１９２＝７３２种．３一平面,二空间对于一些很难掌握的点线面需要涂色的立体图形,由于相邻的地方比较多,因此就需要先把立体问题转化成为平面上的问题,然后再以使用颜色的种类为依据进行分类解答．即解题步骤为首先将立体图形转化成为平面图形,再根据题目情况分类,具体的分类情况由实际题目的要求决定,分类依据还是以使用的颜色种类为依据,分别进行讨论求解,最后所有情况相加就是需要求的总的情况数．例题３㊀已知有一个四棱锥P ＧA B C D ,如图５所示,使用４种不同的颜色在四棱锥的每个面上上色,要求相邻的区域颜色不同,一共有多少种涂法?图５㊀㊀图６分析:分析可知,此题需要将立体图形转化成平面图形,在平面区域中涂色．如图６所示,区域１,２,３,４等价于四棱锥的侧面,区域５等价于底面．下面就以使用的颜色的种类来分类:(１)使用３种颜色时:也就是区域１和３颜色一样㊁区域２和４颜色一样,那么就有A ３４种;(２)使用４种颜色时,那么根据要求区域１和３㊁区域２和４这两组里面只会有一组颜色一样,那么就有C １２A ４４种．因此,满足题目要求的上色方法一共有A ３４＋C １２A ４４＝７２种．推广３㊀用６种不同颜色给三棱柱A B C ＧD E F 的面涂色,如图７所示,要求有公共棱的平面涂色不相同,则有多少种涂色方法?图７㊀㊀图８分析:根据例题３可知,几何体有关于平面的涂色问题,解答时通常转化为平面图形进行求解．则该问题的求解思路与之类似,即将图７的三棱柱A B C ＧD E F 转变为图８的平面图形,以涂色颜色的种类为依据分类进行求解,其中图７中三棱柱的底面D E F 也需要涂色．由已知条件可知,至少需要上４种颜色,具体的解题过程为:使用４种颜色,即上下底面同一个颜色,则有A ３６C １３＝３６０种方法;使用５种颜色,即上下底面不同颜色,则有A ３６A ２３＝７２０种方法．因此,满足题目要求的上色方法一共有A ３６C １３＋A ３６A ２３＝１０８０种方法．涂色方法计数问题是目前排列组合问题的重难点,要学会正确的解答思路．解决此类问题的策略,首先要分析题目,然后再根据题目选择合适的解题方法,正确使用分类和分步计数原理．对于排列组合的基础知识也需要掌握牢固,避免出现基础性的错误．参考文献:[１]杨瑞强． 涂色型 排列组合问题的求解策略[J ]．初中数学教与学,２００８(４):１９Ｇ２０．[２]王东侠．例谈高考数学中 涂色 问题的处理技巧[J ]．河北理科教学研究,２０１２(３):４４Ｇ４５．[３]周建学．巧用捆绑法解 涂色 题[J ]．中学生数学(高中版),２００４(２３):１．Z４８复习备考解法探究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年５月上半月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
2021高考数学必考点解题方式秘籍 涂色问题 理(1)
2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：涂色问题与涂色问题有关的试题新颖有趣,最近几年已经在高考题中显现，其中包括着丰硕的数学思想。
解决涂色问题方式技术性强且灵活多变，因此这种问题有利于培育学生的创新思维能力、分析问题与观看问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方式 一.区域涂色问题依照分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处置染色问题的大体方式。
用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部份涂色，每部份只涂一种颜色，相邻部份涂不同颜色，那么不同的涂色方式有多少种？3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有45434240⨯⨯⨯=依照共用了多少种颜色讨论，别离计算出各类出各类情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方式种数。
例二、四种不同的颜色涂在如下图的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，那么有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，那么有44A ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，那么有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，那么有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，那么有44A ； 因此依照加法原理得涂色方式总数为544A =120①②③④ ⑤⑥例3、如下图，一个地域分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得利用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，那么不同的着方式共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色 当先用三种颜色时，区域2与4必需同色，区域3与5必需同色，故有34A 种；当用四种颜色时，假设区域2与4同色，那么区域3与5不同色，有44A 种；假设区域3与5同色，那么区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知知足题意的着色方式共有34A +244A =24+2 24=72依照某两个不相邻区域是不是同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，别离计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方式总数。
高中数学中涂色问题的解法
高中数学中涂色问题的解法涂色问题是高中数学中的一类比较复杂而且重要的问题，高考中多次涉及。
这种题目根据条件可分为颜色必须用完和不必用完两种。
根据需要涂色的图形可分为条状结构和环状结构两种。
解决问题的方法也有依次去涂和按所用颜色种数分类讨论两种。
作题时只要弄清条件和图形的结构，再把每种结构下解决问题的方法弄清楚，就可以了。
下面我们就用历年高考题中的涂色问题作为例子。
一、条状结构例1：将3种作物种植在5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，共有多少种种植方法？分析：从数学角度上来看，这是一个条状结构且颜色必须用完的问题。
我们先用依次来涂的方法，再用所用颜色种数来讨论的方法。
解1：只管从左到右依次来种。
若三种作物可种完可不种完共有3·2·2·2·2=48 种方法，其中只种两种作物共有C23·2=6种方法，所以共有48-6=42 种方法。
解2：三种作物必须种完，那就不必讨论颜色种数。
（1）把这五块地分为3，1，1三组。
①③⑤必为一组，所以地块分组只有一种方法，再种上三种作物共有A33=6 种方法。
（2）把这五块地分为2，2，1 三组。
①③同组时，②④也可和⑤同组，有两种方法，同理①④同组时也有两种方法，①⑤同组时有1 种方法，①自己一组时有1 种方法，所以地块分组共有6 种方法，再种有6A33种方法。
由（1），（2）知共有42种方法。
可见：条状结构若不按颜色分类，只管依次去涂即可，非常简单，只要考虑清楚颜色必须用完还是可不用完即可。
若按颜色分类，颜色有几种就把图形中的区域分为几组，再往每组涂色即可，结果即是分组的办法数与Amn的积。
其中n 为全部可用颜色种数，m 为实际使用颜色种数。
变式：用5种不同的颜色给图中A，B，C，D 四个区域涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？分析：因为D 区域和其他三区域都相邻，A 和C 又不相邻，所以把D 涂完后，就是条状结构的问题。
数学彩色涂色问题
数学彩色涂色问题数学彩色涂色问题是一类涉及图论和组合数学的问题，涉及到给定一个图，如何用不同的颜色对其进行涂色，使得相邻的节点颜色不同。
这个问题在许多领域都有应用，如地图着色、调度问题等。
本文将介绍数学彩色涂色问题的背景、解决方法以及一些相关应用。
背景介绍数学彩色涂色问题源于图论，图由节点和边组成。
在彩色涂色问题中，我们希望为图的每个节点选择一种颜色，使得任意相邻节点的颜色都不相同。
这里的相邻节点是指通过边连接的节点。
解决方法解决数学彩色涂色问题的方法有很多种，以下是一些常见的方法：1. 贪心算法：贪心算法是一种贪心思想的算法，它根据一定的规则进行选择。
在数学彩色涂色问题中，我们可以使用贪心算法来选择每个节点的颜色。
具体做法是从一个节点开始，依次向其相邻节点涂色，并保证相邻节点颜色不同。
2. 回溯算法：回溯算法是一种通过逐个尝试所有可能解的算法。
在数学彩色涂色问题中，我们可以使用回溯算法来逐个尝试给每个节点涂色，直到找到符合要求的解或者试探所有可能的情况。
3. 图染色算法：图染色算法是一种基于图的染色理论的算法。
在数学彩色涂色问题中，我们可以将图转化为一个染色图，然后使用染色图算法来对节点进行涂色。
应用领域数学彩色涂色问题在许多领域都有应用，如地图着色、调度问题等。
在地图着色问题中，我们希望给定一张地图，使得相邻的地区颜色不同。
数学彩色涂色问题可以帮助我们确定如何给地图上的每个地区选择颜色，以满足相邻地区颜色不同的要求。
在调度问题中，我们希望在给定一组任务和资源的情况下，找到一种合理的分配方案。
数学彩色涂色问题可以帮助我们确定如何将任务分配给资源，以使得任意相邻任务被分配给不同的资源。
结论数学彩色涂色问题是一个有趣且具有实际应用价值的问题。
通过合适的算法和技巧，我们可以有效地解决这类问题，并在实际应用中获得良好的效果。
希望本文对读者理解和解决数学彩色涂色问题提供一些帮助。
涂色问题
1解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？2、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？3、 根据相间区使用颜色的种类分类例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可① ②③ ④ ⑤ ⑥2 二、点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？三、线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：1) 根据共用了多少颜色分类讨论2) 根据相对线段是否同色分类讨论。
涂色问题的常见解法及策略
涂色问题的常见解法及策略涂色问题是数学中一个常见的问题，涉及到给定一定数量的区域，并使用有限数量的颜色对这些区域进行染色。
在这篇文章中，我将介绍一些常见的解法和策略，以及我对涂色问题的观点和理解。
在解决涂色问题时，最基本的策略之一是使用“回溯法”。
回溯法是一种通过不断尝试不同的选择，并撤销不合适的选择的方法。
在涂色问题中，我们可以从一个区域开始，选择一个颜色将其染色，然后递归地对相邻的区域进行染色。
如果在染色过程中发现无法继续染色，则回溯到上一个选择，并选择另一种颜色。
另一种常见的解法是使用“图论”的方法。
将涂色问题抽象成图论中的图模型，其中图的每个节点代表一个区域，边表示两个相邻区域之间的连接。
然后，我们可以使用图染色算法，如“图的着色问题算法”来解决涂色问题。
这些算法使用一系列的规则和策略来确定每个节点应该染哪种颜色，以确保相邻节点不具有相同的颜色。
除了这些基本的解法之外，还有许多高级的策略可供选择。
例如，“最小割算法”可以将复杂的涂色问题转化为图的最小割问题，并使用最小割算法来解决。
此外，还可以使用“启发式搜索”技术，通过估计每个选择的优先级来指导搜索过程。
这些策略通常需要更多的计算资源和算法知识，但在处理复杂的问题时可能会获得更好的结果。
从简单到复杂，由浅入深的方式来探讨涂色问题，可以帮助我们建立对问题的深刻理解。
我们可以从最基本的回溯法开始，逐渐引入图论的概念和算法。
了解不同解法的优缺点，并能够根据问题的具体情况选择合适的解法，这对于解决涂色问题至关重要。
总结起来，涂色问题是一个常见的数学问题，涉及到给定一定数量的区域，并使用有限数量的颜色对这些区域进行染色。
常见的解法和策略包括回溯法、图论算法、最小割算法和启发式搜索技术。
通过从简单到复杂的方式来探讨涂色问题，我们可以建立对问题的深刻理解，并能够灵活选择适合的解法。
高中数学涂色问题常用技巧
高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。
例1、 用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：按题意，颜色要用完，1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；涂1，2，3只用了三种颜色，4必须涂第四种颜色，有1种涂法，共有44A =24种涂法。
例2、给如下区域涂色，有四种颜色供选择，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：颜色可供选择，可理解为颜色可用完和不用完两种，分类处理，至少要用三色涂空，才能满足要求。
法1：1） 恰用三色：212334⨯⨯⨯⨯C =48种涂法；2） 恰用四色：同例1，有24种涂法。
共有24+48=72种涂法。
法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。
评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。
一、 区域涂色问题（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。
例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？ 一、 间空涂色法； 法1、用空分类 选择1，31）1，3同色，则1，3有14C 种方法，2有13C可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有72)222(34=⨯+⨯种方法。
2）1，3不同色，则1，3有24A 种方法，2有12C 种方法，4与1同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有)322(212+⨯⨯⨯=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。
法2：公式法共有35+3⨯（-1）5=240种方法。
例谈涂色问题的常见方法及应对策略
例谈涂色问题的常见方法及应对策略作者：张海军来源：《中学数学杂志(高中版)》2013年第04期“涂色型”的排列组合问题，立意新颖、构思精巧、解法灵活，能较好地考查学生分析问题和解决问题的能力解决涂色问题的方法技巧性强且灵活多变，这类问题更有利于培养学生的创新思维及分析与解决问题的能力，是近几年高考及竞赛试题改革的一个新亮点解决此类问题的关键是找准突破口，进行恰当的分类讨论本文以近几年的高考及竞赛题为例总结涂色问题的常见方法及应对策略例1（21年天津卷）如图1，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色则不同的涂色方法共有种.解法1按B、、E、D为主分类、分步进行涂色图1（1）B用四种颜色，则有A必与颜色相同、C与E颜色相同，故有A44×1×1=24种方法.（2）B、、E、D用三种颜色，则有B、E同色，或D、同色，或B、D同色有且仅有其一成立若B、E同色，则A有两种色可选，而C只有一种色可选，若D、同色，则A有一种色可选，而C有两种色可选，即2×A4×2×1；若B、D同色，则A、C都有两种色可选故有2×A4×2×1+A4×2×2=192种.（）B、、E、D用二种颜色，只能B、E同色，D、同色，A、C有异于B、D两种色可选，则有A24×2×2=48故共有不同的涂色方法有24+192+48=264种.解法2按A、B、C、D为主分类、分步进行涂色.（1）用四种颜色涂ABCD四个点，则E有异于A、D两种颜色，有异于B、C两种颜色，即A44×2×2（2）用三种颜色涂ABCD四个点，则必有A、C或B、D同色，当A、C同色时，E、有三种涂色方法，即2×A4×（）用两种颜色涂ABCD四个点，则A、C同色，B、D同色，E、有两种涂色方法，即A24×A22故共有A44×2×2+2×A4×+A24×A22=264.解法按总共选用颜色为主分类、分步进行涂色第一类，三色涂完必然两两同色，即AC，BE，D或A，BD，CE，有2A4=48种；第二类，四色涂完A、D、E肯定不同色，有A4种涂法，再从B、、C中选一位置涂第四色有C1种若所选的是B，则与D同色时C有2中涂法，与D不同色时C有1中涂法，从而有A4·C1·=216种故共有48+216=264种涂法解法4间接法1（先不考虑A，E，D和B，，C是否有同色点）A，E，D的涂色一定不同，B，，C的涂色一定不同，先涂A，E，D有A4种方法，再涂B，，C也有A4种方法，所以至多有A4·A4种方法还要去掉A，B同色，E，同色，D，C同色的情况若只有1对同色，不妨A，B同色，若，D同色，C有2种涂法，若，D不同色，C 有1种涂法若只有2对同色，不妨A，B同色，E，同色，则C有1种涂法，若，D不同色，C 有1种涂法若对同色，只有一种情况故共有A4·A4-A4（C1·+C2·1+1=264种方法解法间接法2（先不考虑E和是否同色）先用4种颜色（可以不全用）涂ABCD若A，C同色，则B，D均有种涂法，若A，C异色，则B，D均有2种涂法故共有C14·C1·C1+A24·C12·C12=84若不考虑E，是否异色，共有（C14·C1·C1+A24·C12·C12·（C12·C12=6还要去掉E，同色的情况，此时E，占一种颜色，同时要用种颜色（可以不全用）涂ABCD若A，C同色，则B，D均有2种涂法，若A，C异色，则B，D均有1种涂法所以E，同色共有C14（C1·C12·C12+A2=72故共有6-72=264种方法定理1用m种不同颜色给n边形A1A2…An的n个顶点染色（其中m≥，n≥，且m为常数），每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜色，不同的染色方法有多少种？设不同的染色方法有an种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系：图例（2年全国卷）如图所示，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？解法1依题意至少要用种颜色（1当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域与必须同色，故有A4种；（2）当用四种颜色时，若区域2与4同色，例（1996年全国数学联赛）从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色则不同的染色方案共有种（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）解本题情况较为复杂，我们对用了多少种颜色进行分类讨论（1）若只用三种颜色，从六种不同颜色中选用种颜色有C6种选法由于每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则正方体的相对面均为同色，由正方体的对称性知这样的染色方案只有一种因此共有C6=2种不同的染色方案（2）若只用四种颜色，从六种不同颜色中选用4种颜色有C46种选法则仅有一个相对面不同色，共有C24种不同的涂法因此共有C46×C24=9种不同的染色方案（）若只用五种颜色，从六种不同颜色中选用种颜色有C6种选法则仅有一个相对面同色，不妨定为上、下底面，其有C1种涂法再涂侧面，有种涂法因此共有C6×C1×=9种不同的染色方案（4）用六种不同颜色来涂色则六个面的颜色均不相同，假想颜色已经涂好，我们可以通过适当的翻转，使上底面均为同一种颜色（例如红色），再考虑下底面，则一定有种不同的颜色对下底面是同一种颜色的（例如蓝色），再用余下的四种颜色来涂侧面，有4！=！种涂法因此共有×！=种不同的染色方案故一共有2+9+9+=2种不同的染色方案以涂色为平台的排列组合问题，主要考查分类、分步计数原理解决此类问题的主要方法是抓住特定位置或抓住颜色总类进行突破，分步着色，解决问题的关键是依据题意，找到一个确定的标准，合理对问题进行分类或分步，但必须注意分类讨论要全面，要做到不重不漏当直接分类或分步比较复杂时也可间接入手，或寻求对立事件或寻求递推关系，灵活应对作者简介张海军，研究生学历，理学硕士学位，中学一级教师，教学成绩突出，深受学生欢迎，山东省优秀硕士学位论文获得者，济宁市高中优质课比赛一等奖，参与山东省自然科学基金研究课题一项，山东省暑期教师培训优秀学员，在国内外核心期刊发表论文1篇，有篇被CI收录。
高中数学概率中的涂色问题
二、高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法1、 一.区域涂色问题根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ； （5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120 例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
涂色问题解决策略学生版
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
1、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为__________(用数字作答).例2 （2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：①②③④⑤⑥【即时练习】1.（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？2. 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？2、 根据相间区使用颜色的种类分类如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可用。
【总结归纳】如：如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？解：设分成n 个扇形时染色方法为n a 种（1） 当n=2时1A 、2A 有24A =12种，即2a =12 （2） 当分成n 个扇形，如图，1A 与2A 不同色，2A 与3A 不同色，，1n A - 与n A 不同色，共有143n -⨯种染色方法， 但由于n A 与1A 邻，所以应排除n A 与1A 同色的情形；n A 与1A 同色时，可把n A 、 1A 看成一个扇形，与前2n -个扇形加在一起为1n -个扇形，此时有1n a -种染色法，故有如下递推关系：1143n n n a a --=⨯-1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+⨯=--+⨯+⨯21321234343434343n n n n n n n a a -------=-⨯+⨯=-+⨯-⨯+⨯124[33(1)3](1)33n n n n n --==⨯-++-⨯=-⨯+2、 点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
高考中的涂色问题教师版OK
高考中的涂色问题1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ； （5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
5) 由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、四棱锥P A B C D -，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？⇒① ②③ ④⑤ ⑥BC解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有34A 种；（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有1424C A ；故满足题意总的涂色方法总方法交总数为31442472A C A +=(2010年高考天津卷理科第10题)如图1，用四种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。
涂色问题的解题策略
涂色问题解题指南文/夏振雄一、区域涂色问题解答区域涂色问题，常采用以下三种方法：一是根据分步计数原理，对各个区域分步涂色；二是根据共用了多少种颜色分类讨论；三是根据相间区域使用颜色的种数分类.以上三种方法有时也会结合起来使用.例1 如图1，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种.(用数字作答)解析 (解法一)根据相间区域使用颜色的种数分类.(1)当区域1与3同色时，区域1、3有种，区域2、4各有种，共有种；(2)当区域1与3不同色时，区域1、3有种，区域2有种，区域4与区域1相同或区域2相同，于是共有种.综上可知，不同的涂色方法共有150+240=390种.(解法二)根据共用了多少种颜色分类讨论.(1)当用2种颜色时，有种方法.(2)当用3种颜色时，先选颜色，有种；四个区域必有两个同色，区域1与区域3同色，或区域1与区域4同色，或区域2与区域4同色，每一类都有种方法，故用3种颜色时共有种方法.由加法原理可知，不同的涂色方法共有+种.例2 如图2，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为A.96B.84C.60D.48解析根据相间区域使用颜色的种数分类.当A、C同花时，有种；当A、C不同花时，有种.故不同的种法共有36+48=84种.选B.例3 如图3所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？解析据题意可知至少要用3种颜色，根据共用了多少种颜色分类讨论.(1)当先用3种颜色时，区域2与区域4必须同色，区域3与区域5必须同色，故有种方法.(2)当用4种颜色时，若区域2与区域4同色，则区域3与区域5不同色，有种方法；若区域3与区域5同色，则区域2与区域4不同色，有种方法，故用4种颜色时共有2种方法.由加法原理可知，满足题意的着色方法共有+2=24+224=72种.二、点的涂色问题解答点的涂色问题的常用方法有：(1)根据共用了多少种颜色分类讨论；(2)根据相对顶点是否同色分类讨论；(3)空间问题平面化，将点的涂色问题转化为区域涂色问题求解.例4 如图4，在正五边形ABCDE中，若把顶点染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不同，则不同的染色方法共有种.解析 (1)当A与C同色或A与D同色时，有种；(2)当A与C、D都不同色时，有种.故不同的染色方法共有24+6=30种.三、线段涂色问题解答线段涂色问题的主要方法有：(1)根据共用了多少种颜色分类讨论；(2)根据相对线段是否同色分类讨论.例5 用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解析 (1)使用四种颜色涂色，共有种方法；(2)使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，共有种方法；(3)使用两种颜色涂色时，则两组对边必须分别同色，共有种方法.故不同的涂色方法共有种.四、面的涂色问题例6 如图5所示，已知四棱锥，从给定的4种不同颜色中选用若干种颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？解析这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题来求解.如图6所示，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面，根据共用多少种颜色进行分类：(1)若只用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，则有种方法；(2)若用4种颜色，则1与3、2与4两组中只能有一组同色，此时有种方法.故满足题意的涂色方法数为.【高考预测题】1.如图7，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.(用数字作答)2.在如图8所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，有四种颜色可选，则共有种不同的涂色方法.3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图9所示.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有种.(用数字作答)参考答案 1.72 2.84 3.120????????。
高考数学中涂色问题的解题策略
高考数学中涂色问题的解题策略作者：吴婕来源：《中学教学参考·理科版》2012年第02期涂色问题包含着丰富的数学思想.解决涂色问题的方法技巧性强且灵活，主要利用排列、组合中的两个基本原理解决涂色问题.（一）线形区域涂色问题——分步计数原理；（二）环形区域涂色问题——分类计数原理.主要分类方法：（1）根据涂色所用颜色种数进行分类；（2）根据可同色区域（不相邻区域）是否涂相同颜色进行分类.【例1】用四种不同颜色给图1中的4个区域涂色，如果每一个区域涂一种颜色，相邻两区域不能涂同一种颜色，共有种不同的涂色方法.分析：方法一：从A区域开始按A、B、 C、 D顺序涂色，A区域有4种方法；B区域因与A区域相邻，只要与A区域不同色，有3种方法；C区域只要与前面的B区域不同色，有3种方法；D区域只要与前面的C区域不同色，有3种方法.所以根据分步计数原理即乘法原理，得涂色方法总数为4×3×3×3=108.方法二：可同色区域为A与C，A与D，B与D.依题意只能选用4种颜色，至少用2种颜色，要分三类：（1）用4色：A与C、A与D、B与D均不同色，则有；（2）用3色：有且只有两个区域同色，即A与C同色，或A与D同色，或B与D同色，共3种情况，则有；（3）用2色：A与C同色、B与D同色，则有；根据涂色种数进行分类，由加法原理得涂色方法总数为通过比较得知方法一较简单，所以线性区域的涂色问题，利用分步计数原理依次对各区域进行涂色会比较容易.适当变形例1，将线形涂色问题自然过渡到环形涂色问题.【例2】用四种不同颜色给图2中的4个区域涂色，如果每一个区域涂一种颜色，相邻两区域不能涂同一种颜色，共有种不同的涂色方法.图2分析：四个区域首尾相连的简单环形区域的涂色问题，是涂色问题另一常见问题.可同色区域为A与C，B与D.依题意只能选用4种颜色，至少用2种颜色，要分三类：（1）用4色：A与C不同色、B与D不同色，则有；（2）用3色：有且只有两个区域同色，即A与C同色，或B与D同色，则有；（3）用2色：A与C同色、B与D同色，则有所以根据加法原理得涂色方法总数为【例3】如图3，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有多少种？分析：可同色区域1与3，2与4.依题意只能选用4种颜色，至少用3种颜色，要分两类：图3（1）用4色：有且只有两个区域同色，即1与3同色，或2与4同色，则有；（2）用3色：1与3同色、2与4同色，则有所以根据加法原理得涂色方法总数为变式：四棱锥P-ABCD，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？把立体图形的涂色问题转化为环形区域涂色，问题就迎刃而解.将例3的第5区域分成两部分，就得到2003年高考江苏卷的涂色问题.【例4】（2003，江苏）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分6个部分（如图4）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种.分析：依题意只能选用4种颜色，至少用4色，具体4色的用法要分五类：（1）2与5同色、3与6同色，则有；（2）2与5同色、4与6同色，则有；（3）3与5同色、2与4同色，则有；（4）3与5同色、4与6同色，则有；（5）3与6同色、2与4同色，则有所以根据加法原理得涂色方法总数为涂色问题是一个开放性的问题，它能充分拓宽学生的思路，让学生根据所学的知识应用于实际问题中，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.(责任编辑金铃）。
高考数学中涂色问题的解题策略
方 法二 ： 可同色区域为 Ａ与 Ｃ， 与Ｄ， Ａ Ｂ与 Ｄ． 依题 意只能选 用 ４ 种颜 色 ， 至少用 ２ 种颜色 ， 要分三类 ： （） ４ ： １用 色 Ａ与 Ｃ、 Ａ与 Ｄ、 Ｂ与 Ｄ 均不 同色 ， 有 则 Ａ ；２用 ３ ： （） 色 有且只有两个 区域 同色 ， Ａ与 Ｃ 同色 ， 即 或 Ａ 与 Ｄ 同色 ， Ｂ与 Ｄ 同色 ， ３ 或 共 种情 况 ， 则有 ３ ； Ａｉ （） ２ ： ３用 色 Ａ与 Ｃ 同色 、 Ｂ与 Ｄ 同色 ， 则有 Ａ； ； 根据涂 色种数进行分类 ， 由加法原 理得涂 色方法 总 数 为 Ａ： Ａｉ １８ ＋３ ＋Ａ 一 ０ ． 通过 比较得 知方法 一较 简单 ， 以线性 区域 的涂色 所
两类 ：
方法 ； Ｃ区域 只要与前 面的 Ｂ 区域不 同色 ， ３ 有 种方 法 ； Ｄ区域 只要 与前 面的 Ｃ 区域不 同色 ， ３种方 法． 以 有 所 根 据分步计数原理 即乘法原理 ， 得涂 色方法 总数 为 ４ ×３
× ３× ３ ＝１ ８ ＝ ０ ． ＝
（） ４ ： １ 用 色 有且 只有两个 区域 同色 ， １与 ３同色 ， ２与 ４同 即 或
的花 ， 每部分栽种一种且相邻部分不 能栽种 同样颜 色的 花 ， 同的栽种方法有 不 种．
分 析 ： 题 意 只 能 选 用 ４种 依
【 ２ 用 四种 不 同颜 色 给 图 ２中的 ４个 区域 涂 例 】
色， 如果每 一个 区域涂 一种 颜色 ， 相邻两 区域 不能涂 同 种颜色 ， 共有 种不同的涂色方法．
所 以根据加法原理得涂 色方法总数 为 ＋
Ａ ８ ． ＝ ４
＋
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有 ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 ；
所以根据加法原理得涂色方法总数为5 =120
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
分析：依题意至少要用3种颜色
1) Байду номын сангаас 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，
2) 区域3与5必须同色，故有 种；
�
1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、 区域涂色问题
2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 ；
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 ；
高考数学中涂色问题常见解法及策略
高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法 一.区域涂色问题 1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=72② ① ③④ 243 1 5①②③ ④⑤⑥3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
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高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法 一.区域涂色问题 1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=72② ① ③④ 243 1 5①②③ ④⑤⑥3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？分析：可把问题分为三类：（1）4（2） （3）即只有一组对角小方格涂相 同的颜色，涂法种数为 12542C A ；5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A ，因此，所求的涂法种数为212255452260A C A A ++=4、 根据相间区使用颜色的种类分类例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可1A 解（1）当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法， 此时，B 、D 、F 各有3种着色方法故有4333108⨯⨯⨯=种方法。
（2）当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F 有322⨯⨯种着色方法，故共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种着色方法。
（3）当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法。
此时共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？解：设分成n 个扇形时染色方法为n a 种（1） 当n=2时1A 、2A 有24A =12种，即2a =12（2）当分成n 个扇形，如图，1A 与2A 不同色，2A 与3A 不同 色，L ，1n A -与n A 不同色，共有143n -⨯种染色方法， 但由于n A 与1A⑤邻，所以应排除n A 与1A 同色的情形；n A 与1A 同色时，可把n A 、 1A 看成一个扇形，与前2n -个扇形加在一起为1n -个扇形，此时有1n a -种染色法，故有如下递推关系：1143n n n a a --=⨯-1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+⨯=--+⨯+⨯21321234343434343n n n n n n n a a -------=-⨯+⨯=-+⨯-⨯+⨯124[33(1)3](1)33n n n nn--==⨯-++-⨯=-⨯+L L二.点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D 四点，此时只能A 与C 、B 与D分别同色，故有125460C A =种方法。
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有24A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C ，而D 与C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C =种方法。
（3）若恰用五种颜色染色，有55120A =种染色法 综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二：设想染色按S —A —B —C —D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有54360⨯⨯=种染色方法。
由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 应与A （C ）、S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 也有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有13227⨯+⨯=种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是607420⨯=解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图， 对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？二.线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：6) 根据共用了多少颜色分类讨论7) 根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD 的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解法一：（1）使用四颜色共有44A 种;（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有112423C C A 种，（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有24A 种因此，所求的染色方法数为411224423484A C C A A ++=种解法二：涂色按AB －BC －CD －DA 的顺序进行，对AB 、BC 涂色有4312⨯=种涂色方法。
由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分类讨论： 当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜色可供选择CD 与AB 不同色时，CD 有两种可供选择的颜色，DA 也有两种可供选择的颜色，从而对CD 、DA 涂色有13227⨯+⨯=种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为12784⨯=种例8、用六种颜色给正四面体A BCD -的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？ 解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有36A 种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有3466C A 种方法。
（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有1536C A 种方法。
（4）若恰用六种颜色涂色，则有66A 种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为4080665613462336=+++A A C A C A 种。
三.面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理30!351=⨯=n（2）共用五种颜色，选定五种颜色有656=C 种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）9035562=⨯⨯=C n ；(3)共用四种颜色,仿上分析可得9024463==C C n ；(4)共用三种颜色,20364==C n例10、四棱锥P ABCD -，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？⇒解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有34A 种； （2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有1424C A ；故满足题意总的涂色方法总方法交总数为31442472A C A +=用三种不同的颜色填涂如右图33⨯方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法种数共有（ D ）A 、48、B 、24C 、12D 、6BC。