2007年新课标高二数学竞赛选手选拔试卷

2007年新课标高二数学竞赛选手选拔试卷
2007年新课标高二数学竞赛选手选拔试卷
一 选择题
1.已知集合A ={x|x 2
−x −2<0,x ∈R }， B ={x| x 2
−1≥0,x ∈R }，则A ∩B ＝
（ ）
A. {x|-1<x <2}
B. {x|x ≤−1, or 1≤x <2}
C. {x|1<x <2}
D. {x|1≤x <2} 2. 当)4
,0(π∈x 时，下面四个函数中最大的是（ ）。

A. sin(cos x) B. sin(sin x) C. cos(sin x) D. cos(cos x) 3. 已知椭圆
14
22
=+y x 上一点Ａ到左焦点的距离为
3
，则点Ａ到直线334=x 的距离为（ ）
A. 2
B.3
)332(2- C.3
)334
(2- D.3
334
-
4.设非常值函数f (x) (x ∈R)是一个偶函数，它的函数图像y= f(x)关于直线
2
2=
x 对称，则该函数是 （ ）
A. 非周期函数
B.周期为2
2
的周期
函数
C. 周期为22 的周期函数
D. 周期为2 的周期函数
5. 如果64
log 9log 2log 1)(32x x x
x f -+-=，则使f(x)<0的x 的取
值范围为（ ）
A.0<x<1
B.381<<x
C.+∞<<x 1
D.+∞<<x 38
6. 设f (x )=min {2x +4,x 2
+1,5−3x }，则max f (x ) = （ ）
A. １
B. ２ Ｃ. ３ D. ４ 二、填空题
7. 已知平面上不共线的四点O,A,B,C 。

若
23=+-OC OB OA =______.
8. 已知数列1
},{1
=a
a n
，前ｎ项部分和S n
满足
1
112---=-n n n n n n S S S S S S ，则a n
=_______。

9.方程x x x x 116cos sin 16+=ππ的解集合为_________ 。

10.今天是星期天，再过2007天后是星期______ 。

11. 从１至169 的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有____ 种。

12. 整数x >y >z ，且625
.4222=++z y x
，则x ,y ,z 分别为
__________ 。

三. 解答题
13. 从半径为1的圆铁片中去掉一个半径为1、圆心角为x 的扇形，将余下的部分卷成无盖圆锥。

（1）用x 表示圆锥的体积V ； （2）求V 的最大值。

15.用水清洗一堆水果上残存的农药，假定用1个单位的水可清洗掉水果上残存农药量的50%。

用水越多，清洗越干净，但总还有极少量农药残存在水果上。

设用x 个单位的水清洗一次水果后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比记为函数)(x f 。

（1）请规定)0(f 的值，并说明其实际意义。

（2）写出)(x f 满足的条件和具有的性质。

（3）设2
11)(x x f +=，现有)0(>m m 个单位的水，可以
清洗一次，也可以把水等分成2份后清洗两次，说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少。

选择题 D C C C B B 填空题 2,
1
1)1(81
>=⎩⎨
⎧-=n n n a n ,
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-41,41
星期五, 91, 2,-1,-3
解答题13（1）设卷成的无盖圆锥体的底面半径为r ，高为h ， 则有 r x ππ22=-，h r V 2
3
1π=，1
22
=+h r
其中 π
20<<x ，10<<r ，10<<h
所以 21,21),1(2r h x
r r x -=-
=-=π
π
所以 2
22
13
1
31r r h r
V -=⋅=ππ )4(24)2()21(1)21(312
222x x x x x --=--⋅-=ππ
ππππ
所以
)
4(24)2(2
2
x x x V --=
πππ，（π20<<x ）
（2）由（1）知，
)10(13
12
2
<<-=r r r V π
ππππ27
3
2)32(2131)322(21312
)
22(3133222222=⋅=-++⋅≤-⋅⋅=r r r r r r
其中：当2
2
22r r -=，即3
22
=
r
时，
也即
)3
61(2-
=πx 时，V 取得最大值，
所以 V 的最大值为π2732
14. （1）因为 点A 的坐标为（4+a ，0），抛物线
)
0(42>=a ax y 的焦点为F （a ，0），准线为a x l -=:，
所以 4
||=FA
所以 以A 为圆心，|FA| 为半径的圆在x 轴的上方的方程为
16
)4(22=+--y a x ，（0,0>>y x ）
由
⎪⎩⎪⎨⎧>>=+--=)
0,0(,16)4(4222
y x y a x ax y
得
8)82(22=++-+a a x a x
设M （1
1
,y x ），N （2
2
,y x ）（其中：i
i
y x ,(2,1=i )均
为正数），则有
a
x
x a x x 8,282
12
1
=-=+
1
006464)
8(4)82(22<<>+-=+--=∆a a a a a x 所以
又 抛物线上的点到焦点与准线的距离相等 所以 |
|||||||21a x a x FN FM +++=+
8
2)()()(2121=++=+++=a
x x a x a x
8
||||||=+<FN FM MN
因为点F 、M 、N 均在⊙A 上， 所以4||||||===AF AN AM ， 8||||=+AN AM
因为8||||,8||||=+=+FN FM AN AM ，且8||<MN
所以点A 在以M 、N 为焦点且过F 的椭圆上 （2）假设存在满足条件的a ，则有
8
||||||2=+=FN FM FP ，即4||=FP
设点P 的坐标为（0
,y x ），则有
)
(2
42212
102
10x x a y y y a x x x +=+=-=+=
由4||=FP ，得 16
)()4(221
2
=+
+--x x a a a
化简，得)
4(2822--=+a a a a a
所以10==a a 或，与10<<a 矛盾
故不存在满足条件的a ，即不存在a 值，使得点P 为MN 的中点，且|FP|是|FM|与|FN|的等差中项。

15. （1）设1)0(=f ，表示未清洗时水果上残留的农药量。

（2）)(x f 满足： 1)0(=f ，2
1)1(=f ，1)(0≤<x f
)
(x f 具有的性质：
)(x f 在［０，∞+）上单调递减，且1)0(=f 0)(lim =+∞
→x f x
（3）方案1：用m 个单位的水，仅清洗一次 因为2
11)(x x f +=，所以2
11)(m m f +=
所以用m 个单位的水，仅清洗一次，则水果上残存的农药量为 2
2
11111m m +=+⋅
方案2：把m 个单位的水等分成2份来清洗 因为2
11)(x x f += 又)(x f 表示用x 个单位的水清洗一次后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比，所以用2
m
个单位的水清洗以后，水果上残存的农药为 2
)2(11)2(1m m f +=⋅；
再用2
m 个单位的水清洗后，水果上残存的农药量为
2
2
2])2(11[)2()2(11m m f m +=⋅+
两种方案中残存的农药量之差为
22222222)4)(1()8(])2(11[11m m m m m m ++-=+-+
于是可得下面的结论：
当22>m 时，把水分成2等份清洗，水果上残存的农药量较少；
当22=m 时，两种方案的清洗效果一样； 当22<m 时，仅清洗一次，水果上残存的农药量较少。