2007年新课标高二数学竞赛选手选拔试卷

2007年新课标高二数学竞赛选手选拔试卷

2007年新课标高二数学竞赛选手选拔试卷

一 选择题

1.已知集合A ={x|x 2

−x −2<0,x ∈R }， B ={x| x 2

−1≥0,x ∈R }，则A ∩B ＝

（ ）

A. {x|-1

B. {x|x ≤−1, or 1≤x <2}

C. {x|1

D. {x|1≤x <2} 2. 当)4

,0(π∈x 时，下面四个函数中最大的是（ ）。 A. sin(cos x) B. sin(sin x) C. cos(sin x) D. cos(cos x) 3. 已知椭圆

14

22

=+y x 上一点Ａ到左焦点的距离为

3

，则点Ａ到直线334=x 的距离为（ ）

A. 2

B.3

)332(2- C.3

)334

(2- D.3

334

-

4.设非常值函数f (x) (x ∈R)是一个偶函数，它的函数图像y= f(x)关于直线

2

2=

x 对称，则该函数是 （ ）

A. 非周期函数

B.周期为2

2

的周期

函数

C. 周期为22 的周期函数

D. 周期为2 的周期函数

5. 如果64

log 9log 2log 1)(32x x x

x f -+-=，则使f(x)<0的x 的取

值范围为（ ）

A.0

B.381<

C.+∞<

D.+∞<

6. 设f (x )=min {2x +4,x 2

+1,5−3x }，则max f (x ) = （ ）

A. １

B. ２ Ｃ. ３ D. ４ 二、填空题

7. 已知平面上不共线的四点O,A,B,C 。若

23=+-OC OB OA =______.

8. 已知数列1

},{1

=a

a n

，前ｎ项部分和S n

满足

1

112---=-n n n n n n S S S S S S ，则a n

=_______。

9.方程x x x x 116cos sin 16+=ππ的解集合为_________ 。 10.今天是星期天，再过2007天后是星期______ 。 11. 从１至169 的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有____ 种。 12. 整数x >y >z ，且625

.4222=++z y x

，则x ,y ,z 分别为

__________ 。 三. 解答题

13. 从半径为1的圆铁片中去掉一个半径为1、圆心角为x 的扇形，将余下的部分卷成无盖圆锥。 （1）用x 表示圆锥的体积V ； （2）求V 的最大值。

15.用水清洗一堆水果上残存的农药，假定用1个单位的水可清洗掉水果上残存农药量的50%。用水越多，清洗越干净，但总还有极少量农药残存在水果上。设用x 个单位的水清洗一次水果后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比记为函数)(x f 。 （1）请规定)0(f 的值，并说明其实际意义。 （2）写出)(x f 满足的条件和具有的性质。 （3）设2

11)(x x f +=，现有)0(>m m 个单位的水，可以

清洗一次，也可以把水等分成2份后清洗两次，说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少。

选择题 D C C C B B 填空题 2,

1

1)1(81

>=⎩⎨

⎧-=n n n a n ,

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-41,41

星期五, 91, 2,-1,-3

解答题13（1）设卷成的无盖圆锥体的底面半径为r ，高为h ， 则有 r x ππ22=-，h r V 2

3

1π=，1

22

=+h r

其中 π

20<

所以 21,21),1(2r h x

r r x -=-

=-=π

π

所以 2

22

13

1

31r r h r

V -=⋅=ππ )4(24)2()21(1)21(312

222x x x x x --=--⋅-=ππ

ππππ

所以

)

4(24)2(2

2

x x x V --=

πππ，（π20<

（2）由（1）知，

)10(13

12

2

<<-=r r r V π

ππππ27

3

2)32(2131)322(21312

)

22(3133222222=⋅=-++⋅≤-⋅⋅=r r r r r r

其中：当2

2

22r r -=，即3

22

=

r

时，

也即

)3

61(2-

=πx 时，V 取得最大值，

所以 V 的最大值为π2732

14. （1）因为 点A 的坐标为（4+a ，0），抛物线

)

0(42>=a ax y 的焦点为F （a ，0），准线为a x l -=:，

所以 4

||=FA

所以 以A 为圆心，|FA| 为半径的圆在x 轴的上方的方程为