运用洛必达法则解高考数学问题

运用洛必达法则解高考

数学问题

文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

运用洛必达法则解高考数学问题

【摘要】高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成了热点，洛必达法则是利用导数来计算具有不定型的极限的方法.

【关键词】中学数学；高等数学；法则

近年来的高考数学试题逐步做到科学化，规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成了热点。

许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型。这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路――分类讨论和假设反证的方法。虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难。研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则

洛必达法则是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。这法则是由瑞士数学家约翰?伯努利所发现的，因此也被叫作伯努利法则。是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

洛必达法则（定理）：设函数f（x）和g（x）满足：

（1） = =0；

（2）在点a的某去心邻域内f（x）与都可导，且的导数不等于0；

（3）若 =A，则 =A

下面通过几道高考试题来进一步验证。

例1（2010年海南.文）已知函数f（x）= x（ -1）-a ，当x 0时，f（x）0，求a的取值范围。

解：由已知得，当x=0时，f（x） 0成立，此时a

当x 0时，f（x） 0即x（ -1）-a 0，等价于a

令g（x）= ，则

令h（x）=（x-1） +1，则 x ，所以h（x）在（0，+ ）上单调递增

即h（x） h（0） =0，从而x 0时， = 所以g（x）在（0，+ ）上单调递增.即 g（x） g（0），而g（0）无意义，到这儿解题思路受阻。

所以由洛必达法则，有 = =1 综上所述，得a 1

例2（2010年全国新课程1卷.理）设函数f（x）= -1-x-a ，当x 0时，f （x） 0，求a的取值范围。

解：由已知得，当x=0时，f（x） 0成立，此时a

当x 0时，f（x） 0即 -1-x-a 0等?r于a

令g（x）= ，则

令h（x）= ，则， x

所以，在（0，+ ）上单调递增，即 =0

从而，h（x）在（0，+ ）上单调递增，即h（x） h（0）=0

因此，当x 0时从而，g（x）在（0，+ ）上单调递增，即g（x） g（0）而g（0）无意义，到这儿解题思路受阻。所以由洛必达法则，有 = 综上所述，得a

例3（2006年全国卷2.理）设函数f（x）=（x+1），若对所有的x≥0，都

有f（x） ax成立，求实数a的取值范围。

解：由已知得，当x=0时，f（x） ax成立，此时a

当x 0时，f（x） ax等价于a≤

令g（x）= ，则 =

令h（x）= ，则

从而，h（x）在（0，+ ）上单调递增，即h（x） h（0）=0

因此，当x 0时从而，g（x）在（0，+ ）上单调递增，即g（x） g（0）而g（0）无意义，到这儿解题思路受阻。所以由洛必达法则，有

= =1 综上所述，得a 1

从上述3道例题可以看出，从2006年到现在近十年，这类试题一直受高考出题者的青睐，洛必达法则是数学分析的一个重要定理，是利用导数来计算具有不定型的极限的方法，近年来，不少压轴题以导数命题，往往可以用洛必达法则求解，固然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求解，但方法往往计算量较大。这时，用洛必达法则较容易解决，这就充分体现了高等数学的优越性。

参考文献：

[1]赵文博.洛必达法则巧解高考压轴题[J].中学生数理化（高二数学），2018（02）.