高等代数教案四章线性方程组

第四章 线性方程组

一 综述

线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的.

作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）.

线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论. 二 要求

掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论. 重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法.

4.1 消元法

一 教学思考

本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法. 二 内容要求

主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系. 三 教学过程

1．引例：解方程组⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧=++=++=++25342333513121

321321321x x x x x x x x x （1）

定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换. 2．消元法的理论依据

TH4.1.1初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组（即线性方程组的初等变换是同解变换.）

3．转引

在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因

此在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,此可转用另一种形式表述.为此引入：

4．矩阵及其初等变换 1）概念

定义 1 由t s ⨯个数ij c 排成的一个s 行t 列（数）表⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛st s s t t c c c

c c c c c c 21222

2111211叫做一个s 行t 列（或

t s ⨯）矩阵.ij c 叫做这个矩阵的元素；常用大写字母A 、B 等表示矩阵,有时为明确t s ⨯矩阵记为t s A ⨯或()t s ij c A ⨯=.

定义补 由线性方程组⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的系数作成的矩阵 ⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 2

12222111211

叫做线性方程组的系数矩阵,用A 表示；由它的系数和常数项作成的矩阵

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛m mn

m n

n b a a b a a b a a 1

22211111叫做线性方程组的增广矩阵,用A 表示. 2）矩阵的初等变换

定义2 矩阵的（列）初等变换指的是对一个矩阵作下列变换 （1）交换矩阵的两行（列）； （换法变换）

（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换） （3）用一个数乘某行（列）后加到另一行（列）.（消法变换） 3）线性方程组的同解变换与矩阵的初等变换的关系

显然,对一个线性方程组施行的同解变换即一个方程组的初等变换,相当于对它的增广矩阵施行对应的行初等变换；而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵.因此将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题,这样做不仅讨论起来方便,而且能够给予我们一种方法,就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次把未知量写出（我国古代数学书《九章算术》（三世纪）中就是用这种方法解线性方程组的,成为算筹.）下面的问题是,化简到什么形式、什么程度,理论上将给予解决.

4）矩阵经初等变换（行、列）化为阶梯形矩阵 TH4.1.2设A 是一个m 行n 列矩阵：

=A ⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 2

1

2222111211,则A 可经过一系列行初等变换和第一种列初等变换化为如下形式：

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛****

****

**+000

00000000010001011

rr b ； 进而化为以下形式：

⎪

⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛+++0000000000001000001000011212111 rn rr n r n r c c c c c c .其中"",,,0*≤≤≥n r m r r 表示不同的元素. 5）用矩阵的初等变换解线性方程组

对线性方程组：⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1） 由定理1其系数矩阵=A ⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 2

1

22221

11211

可经过行初等变换和列换法变换化为 ⎪

⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛+++000000000000100000100001121211

1 rn rr n r n r c c c c c c ；则对其增广矩阵