无穷级数 单元测试题 答案

(C )
3
( D)
4
分析：①正确。由级数的基本性质知：若级数 与已知矛盾，故①正确； ②错误。不成立的反例：
∑u
n
收敛，则添加括号后的级数收敛，
∑ n ，∑ n
1
−1
都发散，但
∑(n +
1
−1 ) 收敛； n
③正确。因为由级数收敛的必要条件知： lim un = 0 ，有 lim
n →∞ n →∞
1 1 = ∞ ，故 ∑ 发散； un un
∞ ∞
∑u
k =0
n −1
k
= nun − ∑ k (uk − uk −1 ) ，从而
k =1
n
∑ un = lim Sn = lim nun − ∑ k (uk − uk −1 ) = A − S
n=0 n →∞ n →∞ k =1
2、设 a 为常数，若级数 应填： a 。
∑ (u
n =1
∞
n
− a) 收敛，则 lim un = ＿＿＿＿。
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第十一章
一、选择题
1、设级数
∞
无穷级数 单元测试题答案
∞
∑u
n =1
n
收敛于 2，则级数
∑ (3u
n =1
n
−
5 ) 的和为 （ C 2n
）
( A)
0
∞
( B)
−1
(C )
1
( D)
+∞
1 ∞ ∞ 5 1 分析：因为 ∑ (3un − n ) = 3∑ un − 5∑ n = 3 × 2 − 5 × 2 = 1 。 1 2 n =1 n =1 n =1 2 1− 2
即 −3 < x < 1 时收敛。 5、设有级数
∑a (
n =0 n
∞
a x +1 n 1 ) ，若 lim | n |= ，则该级数的收敛半径等于＿＿＿＿。 →∞ n 2 an +1 3
应填：
2 。 3
分析：注意到幂级数
∑a (
n =0 n
∞
a x +1 n ) 的系数并非 an ，因此，不要误以为 lim | n | 即为 n →∞ a 2 n +1
( A)
1
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∑ 4n = 4 ∑ n 发散，故不选 ( C ) ； ( D ) 是两收敛级数之和，故收敛。
4、设正项级数
a
a
1
∑u
n
收敛，则下列级数收敛的是 （
B
1
n
）
( A) ∑
un
( B ) ∑ un2
n
(C ) ∑ u
( D ) ∑ (un +
un )
2
分析：因为
由幂级数的定义故(D)也不正确。 9、下列结论正确的是 （
C
）
( A) ( B)
幂级数在收敛域上必绝对收敛 幂级数的收敛半径为 R ，则 R 一定是正的常数
3
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(C ) ( D)
幂级数在其收敛域内收敛于它的和函数 S ( x) 幂级数在区间 [− R, R] 内一致收敛
7、当
∑ (an + bn ) 收敛时，级数 ∑ an 与 ∑ bn
n =1 n =1 n =1
（
C
）
( A) (C )
必同时收敛 可能不同时收敛 分析：设 an =
( B) ( D)
必同时发散 不可能同时收敛
∞ ∞ 1 1 , bn = − ，则 ∑ an 与 ∑ bn 都发散，而 n n +1 n =1 n =1
分析：将正项级数
∑ nln x 变形为 p 级数形式得 ∑ nln x = ∑
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
1 n
− ln x
，由 p 级数的收敛特
性知， − ln x > 1 ，即 ln x < −1 ，注意到 ln x 的定义域得 0 < x <
1 。 e
4、设幂级数
∑a x
n =1 n
∞
n
n →∞ n →∞
即 ∀n ≥ 3 ，都有 un +1 < un ，即 {un } 为单调递减数列，且有 lim un = lim 尼兹审敛法知，级数
∞
ln n = 0 ，根据莱布 n
∑ (−1)n
n =3
∞
∞ ln n n ln n 收敛，从而原级数 ∑ (−1) 也收敛。 n n n =1 ∞ ∞
n =1
∞
∞
( D)
5 4
n
∑ (−1)
n =1
n
ln n n
分 析 ： lim(−1) ( ) 不 存 在 ， 故 ( A ) 发 散 ； lim( −1) n cos nπ = 1 ， 故 ( B ) 发 散 ；
n n →∞
n →∞
5 4 ln n lim(−1) n ( + ) n 不存在，故 ( C ) 发散；下证 ( D ) 中级数收敛，实际上，令 un = ，则 n →∞ 4 5 n
( n + 1)( n + 4 )
∞
1
<
∞ 1 1 ， 收敛，知收敛级数为 ( C ) 。 ∑ 2 2 n n =1 n
6、下列级数收敛的是
（
D
）
( A) ∑ (−1)n ( )n 4
n =1
∞ 5 4 C ( ) ∑ (−1)n ( + )n 4 5 n =1
5
( B ) ∑ (−1)n cos nπ
分析： 因为
(a > 0, b > 0) ( D) ∑ an + b
n =1
∞ 1 1 1 ∞ 1 1 1+ n 1+ n 1 > ≥ = ， ， 而 ∑ 发散， 所以 ∑ 发散； 又 2 2 n =1 n 2n − 1 2n 1+ n n + n2 n n =1 2n − 1
故
∞ 1+ n 1 1 1 D > 也发散；至于 ， ，所以 发散。对于 ( C ) , 由 ( ) ∑ ∑ 2 an + b (a + b)n n =1 1 + n n =1 an + b ∞
xn 分析：( A ) 不对，反例：级数 ∑ 的收敛域为 [−1,1) ，但在 x = −1 处条件收敛；( B ) n =1 n
不对，反例：
∞ xn xn D R = +∞ 的收敛半径 ； 不对，反例： ， R = 1 ，但它在 x = 1 ( ) ∑ ∑ n =1 n n =1 n ! ∞
∞
处并不收敛，更谈不上一致收敛。 10、周期为 2π 的周期函数 f ( x) = ⎨
2、现有四个命题： ①若 u1 + (u2 + u3 ) + (u4 + u5 + u6 ) +… 发散，则 ②若
∑u
n
发散；
∑u ∑u ∑u
1
n
，
∑v
n
发散，则
∑ (u
n
± vn ) 发散；
③若
n
收敛，则
∑u ∑u
( B)
Fra Baidu bibliotek
1
n
发散；
④若
n
发散，则
1
n
收敛。
以上四个命题中正确的个数是（
B
）
( A)
2
∞ ∞ 1 1 1 1 1 ( ) ( ) a + b = − = 收敛，故排除 ( A ) ；又设 an = 2 , bn = n ，则 ∑ ∑ ∑ n n n + 1 n =1 n(n + 1) 2 n n =1 n =1 n ∞ ∞ 1 1 1 1 ( 2 + n ) 及 ∑ 2 ， ∑ n 都收敛，排除 ( B ) ， ( D ) 。 ∑ 2 n =1 n n =1 2 n =1 n ∞
2
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1 1 ln n + ln(1 + ) ln n + ln(n + 1) n < n un +1 = = n +1 n +1 n +1 = ln n 1 ln n ln n 1 − ln n ln n ln n + − + = + < （当 n ≥ 3 时） ， n + 1 n(n + 1) n n n(n + 1) n n
的收敛半径为 2，则级数
∑ na ( x + 1)
n =1 n
∞
n
的收敛区间为＿＿＿＿。
应填： (−3,1) 。 分析： lim |
n →∞
∞ nan a |= lim | n |= 2 ，故当 | x + 1|< 2 时级数 ∑ nan ( x + 1)n 收敛， (n + 1)an +1 n→∞ an +1 n =1
n →∞
4
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∞
分析： 由级数
∞
∑ (u
n =1
n
− a) 收敛及收敛的必要条件知：lim(un − a) = 0 ， 从而 lim un = a 。
n →∞ n →∞
3、若级数
∑n
n =1
ln x
收敛，则 x 的取值范围是＿＿＿＿。
应填： 0 < x <
1 。 e
n +1
当
1 2 | x | < 1 ，即 | x |< 3 时级数收敛，从而 R = 3 。 3
7、若幂级数
∑a
n =0
∞
n2
x n (a > 0) 在 (−∞, +∞) 内收敛，则应满足＿＿＿＿。
应填： 0 < a < 1 。 分析：因 lim |
∑u
n
收敛， lim un = 0 ，所以 lim
n →∞
5、下列级数中，收敛的是
（
C
）
1 1 1 + ... ( A) 1 + + + ... + 3 5 2n − 1
( B)
1+
∞
1+ 2 1+ 3 1+ n + + ... + + ... 2 2 1+ 2 1+ 3 1 + n2 1
(C )
1 1 1 + + ... + + ... 2 ⋅5 3⋅ 6 (n + 1)(n + 4)
即当 n 为奇数时， bn ≠ 0 ；当 n 为偶数时， bn = 0 ，故选 ( D ) 。
二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）
1、设
∑ n(un − un−1 ) = S ，并且 lim nun = A ，则 ∑ un = ＿＿＿＿。
n =1 n →∞ n =0
∞
∞
应填： A − S 。 分析：因为级数的部分和 S n =
an +1
1 2n +1 |= 1 lim | an +1 |= 3 ，故原级数的收敛半径 该级数的收敛半径，实际上， ρ = lim | n →∞ 1 2 n→∞ an 2 an n 2
为R =
1
ρ
=
2 。 3
∞
6、幂级数
∑2
n =1
n
n x 2 n −1 的收敛半径 R = ＿＿＿＿。 n + (−3)
④错误。反例：
∑ n 发散，且 ∑ n 也发散。
（
1
3、下列级数中，收敛的是
D
）
1 1 1 1 1 3 5 7 + + + + ... ( B ) − + − + ... 3 6 9 12 2 4 6 8 1 1 1 1 1 1 a a a a ( C ) + + + + ...(a ≠ 0) ( D ) ( − ) + ( 2 − 2 ) + ... + ( n − n ) + ... 2 3 2 3 2 3 4 8 12 16 1 2 n − 1 n −1 ≠ 0 故 不 选 ( B) ； 分析： ∑ 发 散 ， 故 不 选 ( A ) ； lim un = lim(−1) n →∞ n →∞ 3n 2n
∑u
故存在 N ∈ N ， 当 n > N 时 un < 1 ， 所以 un < un ， 收敛，从而 lim un = 0 ，
n →∞
2 n
由比较审敛法知
∑u
收敛。
( A) 不成立。例如 ∑
成立。因为
1 1 1 1 ) 发散； ( C ) 不 收敛，但 ∑ 发散； ( D ) 不成立。 ∑ ( 2 + 2 n n n n2 1 1 = +∞ ，故 ∑ 发散。 n →∞ u un n
1
[ ∫ (− cos nx)dx + ∫ cos nxdx] = 0(n = 0,1, 2,...) 。
−π
0
0
π
0
π
[ ∫ (− sin nx)dx + ∫ sin nxdx] =
−π 0
π
2
π
∫
π
0
sin nxdx
=−
2 2 π cos nx 0 = (1 − cos nπ ),(n = 1, 2,...) nπ nπ
⎧−1, −π < x < 0 的傅立叶级数满足 ⎩ 1, 0 ≤ x ≤ π
（
D
）
( A) (C )
bn = 0, an ≠ 0 an ≠ 0, bn ≠ 0
分析：因为 f ( x) 的傅立叶系数为
( B) ( D)
an = 0, bn 全不为零 an = 0, bn 不全为零
an =
bn =
1
π
应填： 3 。 分析：级数缺少偶次幂的项，我们根据比值审敛法来求收敛半径。
5
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n +1 2 x 2 n +1 (− )n + 1 n n n +1 2 + (−3) 1 2 + (−3) 3 lim | |= lim | n +1 || x |2 = lim | || x |2 = | x |2 ， n + 1 n →∞ n →∞ 2 n →∞ 2 n + (−3) 3 x 2 n −1 2 ⋅ (− ) n + (−3) n n 2 + (−3) 3
∞
8、下列结论正确的是
∞
（
B
）
( A) ∑ an x n 在收敛域上必绝对收敛
n =0
( B ) ∑ an x n 在 x = 0 点必绝对收敛
n =0
∞
∞
( C ) ∑ an x n 在收敛域上必条件收敛
n =0
∞
∞
( D ) ∑ ( )n x
n =1
1
是幂级数
( −1) n −1 n 分析： ∑ x 的收敛域为 (−1,1] ，但在 x = 1 处它条件收敛，故不选 ( A) ( C ) ， n n =1