二次根式的乘除法20590讲课教案
《二次根式的乘除法》教案
《二次根式的乘除法》教案教学目的：1、使学生掌握二次根式的乘除法法则．2、会应用二次根式的乘除法法则进行简单的二次根式的乘除法运算．3、能正确地进行简单的二次根式的乘除法混合运算．教学重点：应用二次根式的乘除法法则进行简单的二次根式的乘除法运算．教学难点：正确地进行简单的二次根式的乘除法混合运算．教学过程：一、复习复习旧知：什么是二次根式？已学过二次根式的哪些性质？二、探索新知1、分别用式子表示二次根式积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则．二者的关系是什么？ 答：二次根式积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．即：()0,0≥≥⋅=b a b a ab 二次根式的乘法法则是：()0,0≥≥=⋅b a ab b a 这两个式子是互逆的关系． 概括：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ．得出：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变．例1、计算：（1）73⨯； （2）4831⨯.例2、化简下列二次根式：（1）48； （2）325m ； （3）22817-.例3、计算：（1）615⨯； （2）355202⨯-.2、二次根式商的算术平方根的性质是什么？并用式子表示．答：二次根式商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以式的算术平方根，即： b a b a =()0,0>≥b a ．把式子b a b a =()0,0>≥b a 反过来，得到ba b a=()0,0>≥b a ，这是二次根式的除法法则.运用这个法则可以进行二次根式的除法运算．例4、计算：（1）672；（2）61211÷． 解：（1）672=3232321267222=⨯=⨯==． （2）由学生口述，并说明各步运算依据．3、什么是最简二次根式.满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是．例5、把下列根式化为最简二次根式：（1）18； （2）32； （3）()043＜a b a . 4、分母有理化把分母中的根号划去，叫做分母有理化.例6、把下列各式的分母有理化：（1）；53 （2）；b a a + （3）.1852三、习题演示练习1：计算（1）354-（2）531513÷ 2：计算：（1）4540（2）345653n m n m ÷ 解：（1）4540=32298984540=== （2）345653n m n m ÷=mn n m n m n m n m n m n m 5353535353222234563456====指出：在进行二次根式的除法运算时，有时要把除法法则与商的算术平方根的性质结合应用，如上面例2的第（1）题．在（2）中把两个二次根式中的根号外面的数与被除数开方数分别相除，然后取其积．练习2：（1）188146÷；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷233212y x xy ； （3）y x y x x -÷-324． 3：计算（1）21223222330÷⨯； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷b a a b b a ab b 3252362． 分析：二次根式乘除的混合运算与有理数的乘除混合运算一样，按先后顺序进行.解：（1）原式=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=÷⨯258102232122383023=258102123÷⨯⨯ =2324433281043=⨯=⨯⨯ （2）原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛÷b a a b ab a b b b a a b ab b a b 35235223622362 =ab ab ab b a a b b a a b b a b a ab a b 2222333225535-=⋅-=-=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯． 练习3：计算（1）21223151437⨯÷-（2）()a a b ab 23233-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷． 四、小结1、二次根式的乘法法则)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ．二次根式乘法法则是由积的算术平方根的性质()0,0≥≥⋅=b a b a ab 得来的．它们所表示的式子是相反方向．2、二次根式的除法法则ba b a=()0,0>≥b a 是把b a 看作b a 1⋅，这样就可以把二次根式的除法转化为二次根式的乘法运算．二次根式除法法则是由商的算术平方根的性质b a b a =()0,0>≥b a 得来的．它们所表示的式子是相反方向． 2、在进行二次根式和乘、除混合运算时，如果没有括号，应按从左到右的先后顺序进行运算，运算结果要注意化简，使被开方数中每个因式（或因数）的指数都小于是2．。
二次根式的乘除教案(教学设计)
【教学目标】
1．掌握二次根式的乘除。
2．熟练运用二次根式的乘除解决具体问题。
3．亲历二次根式的乘除的探索过程，体验分析归纳得出二次根式的乘除的方法，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】
重点：掌握二次根式的乘除。
难点：二次根式的乘除与算术平方根的关系及应用。
【教学过程】
一、直接引入
师：今天这节课我们主要学习二次根式的乘除，这节课的主要内容有二次根式的乘除的计算以及最简二次根式的概念，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课
（1）教师引导学生在预习的基础上了解二次根式的乘法内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习二次根式的乘法，它的具体内容是：
二次根式的乘法法则是 。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：计算：
（1） ；
（2） 。
解析：（1） 。
（2） 。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：
计算： 。
解： 。
3．接着，我们再来看下二次根式的除法内容，它的具体内容是：
二次根式的除法法则是 。
它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
例：计算 。
解析： 。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：计算 。
解：
。
三、课堂总结
1．这节课我们主要讲了
（1）二次根式的乘法法则是 。
（2）二次根式的除法法则是 。
四、习题检测
1．计算： ；结果是_____。
2．化简二次根式 得_____。
3．化简： =_____
二次根式的乘除——知识讲解(教案)
二次根式的乘除法——知识讲解（教案）【学习目标】1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除法1．(1)×；(2)×； (3)； (4)；【答案与解析】(1)×=；(2)×==；(3)===2；(4)==×2=2.【总结升华】直接利用计算即可．举一反三：【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.【答案】(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确．改正：×=×===＝4.2.计算：（1）（2014秋•闵行区校级期中）×（﹣2）÷．（2）（2014春·高安市期中）a 【答案与解析】 解：（1）×（﹣2）÷=×（﹣2）×=﹣=﹣ =﹣．(2)原式=a2222a a a=÷==【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简. 举一反三：【变式】b ba b a x x b a -÷+⋅-5433622222 【答案】原式=21⨯==3.计算：（1）（2014秋•门头沟区期末） 4÷（﹣）×．（2）（2014秋•松江区校级期中）计算：÷×．【思路点拨】做二次根式的乘除时要注意计算法则，根号外和根号内的因式分别相乘除，最终计算结果要化为最简形式.【答案与解析】解：（1）原式=﹣2÷×=﹣×=43 ．（2）原式÷×==．【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.4.计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()× (a＞0).【思路点拨】复杂的二次根式计算，要注意在化简过程中运用幂的乘除运算和因式分解运算.【答案与解析】(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.举一反三：【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．类型二、最简二次根式5. （2016•自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ．【思路点拨】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【答案】B ． 【解析】解：因为==2，因此不是最简二次根式．故选B ．【总结升华】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 举一反三： 【变式】化简（10,0)a b >>（2【答案】(1)原式2abc（2） 原式=46.已知0<a <b ,【答案与解析】原式a b a b +-=a =成立的条件是a >0;若a <0,a =-.7. （2016•黄石）观察下列等式： 第1个等式：a 1==﹣1， 第2个等式：a 2==﹣，第3个等式：a 3==2﹣， 第4个等式：a 4==﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n 个等式：a n = ； （2）a 1+a 2+a 3+…+a n = ． 【思路点拨】（1）根据题意可知，a 1==﹣1，a 2==﹣，a 3==2﹣，a 4==﹣2，…由此得出第n 个等式：a n ==﹣；（2）将每一个等式化简即可求得答案． 【答案与解析】解：（1）∵第1个等式：a 1==﹣1，第2个等式：a 2==﹣，第3个等式：a 3==2﹣， 第4个等式：a 4==﹣2， ∴第n 个等式：a n ==﹣；（2）a 1+a 2+a 3+…+a n =（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）=﹣1． 故答案为=﹣；﹣1．【总结升华】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．【变式】的整数部分是a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值.【答案】2=(2原式（又因为整数部分是a ，小数部分是b则a =13，b =6222213136)6)a ab b ∴-+=-⨯+=331-。
人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教案
16．2 二次根式的乘除（2）教学内容： b ab a =反之ba b a =（a ≥0,b >0），利用它就可以进行二次 教学目标1.知识技能：（1）.会进行简单的二次根式的除法运算．（2）.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．2. 数学思考：在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.3. 解决问题：引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题．4. 情感态度：通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.教学重难点关键重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用． 教学方法 1. 讨论分析法. 2. 类比法. 3. 逆向思维法. 4. 练习法. 教学过程 二、课前复习1.请同学们回忆ab b a =⋅ (a ≥0，b ≥0)是如何得到的?2.计算：()()0,04912.12>>⨯y x x xy ()322112.2⨯⨯()()()6416.3-⨯- ()()0,0,09.4432>>>c b a c b a三、探索新知1.（学生活动）请同学们完成下列各题：计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?（1=________；（2；32____32(3)52___522.例题讲评()()18123232414÷，：计算例()61521123÷3.请你动手试一试计算下列各式：a38a3413÷）（xyaby x b a 205)2(32÷xyx 33218)3(3÷a b ab 363)4(÷例5：化简1003)1(2775)2( ()29253y x 4.最简二次根式:（1）.被开方数不含分母;（2）.被开方数不含能开得尽方的因数或因式.例：指出下列各式中的最简二次根式xb )1(32)2(ab3.0)3(ab 5.0)4(()525a 23)6(22)7(b a +x x x 96)8(23++5.相信自己，你能行！化简下列各式：)0x 94.12>（x nm 389.2755.3a b 24918.4xy a6.大显身手应用拓展=，且x为偶数，求（1+x 的值．分析：，只有a ≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得9060x x -≥⎧⎨->⎩，即96x x ≤⎧⎨>⎩∴6<x ≤9 ∵x 为偶数 ∴x=8∴原式=（1+x ）=（1+x ）=（1+x ）∴当x=8时，原式的值=6．四、归纳小结1.a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．2.最简二次根式:（1）被开方数不含分母;（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 五、布置作业 计算:（1）218； （2）102175÷； (3) a b a 2112532÷； (4) 31501000m m.。
二次根式的乘除法 优秀教案
二次根式的乘除法【教学目标】1．使学生理解二次根式乘法法则；2．通过()0,0≥≥⋅=b a b a ab 及()0,0≥≥=⋅b a ab b a 的教学，培养学生的逆向思维。
【教学重点】进行简单的二次根式的乘法运算【教学难点】积的算术平方根及二次根式的乘法运算法则的综合运用【教学过程】一、复习1．用语言叙述并用式子表示积的算术平方根的性质。
2．化简：（1）180 （2）450 （3）3532n m二、新课 把式子()0,0≥≥⋅=b a b a ab 反过来，得到二次根式的乘法运算法则 ()0,0≥≥=⋅b a ab b a两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
运用这个法则，可以进行二次根式的乘法运算。
例1 计算 （1）714⋅ （2）10253⋅分析：第（2）题先把根号外面的有理数相乘，再利用一次根式的乘法法则进行计算。
解：（1）714⋅=27727727142=⨯=⨯⨯=⨯；（2）230526552610523102532=⨯=⨯⨯=⨯⨯=⋅。
指出：（1）在实数一章里，我们已经时确了，有理数的乘法法则和运算律，在实数范围内也成立，如乘法的交换律及结合律等。
（2）在进行二次根式乘法运算时，应先考虑把被开方数进行因式分解。
例2 计算（1）5632243⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯ （2）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-73141358 分析：在运算中注意符号变化，有理数乘法中的符号法则在实数范围内也适用。
因此，第（1）题的运算结果应是负号，第（2）题的运算结果应是正号。
解：（1）5632243⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=782563843⨯⨯-=⨯⨯- （2）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-73141358=()71035273135418⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯- =21025225225522=⨯⨯=⨯=⨯⨯练习1 从课后习题中节选例3 计算（1）b a 10253⨯ （2）xy x 11010-⋅ （3）()mn m m 422212+-⋅ 分析：可以根据二次根式的乘法法则及乘法运算律进行计算。
二次根式的乘除教案 人教版(优秀教案)
《二次根式的乘除》教案第一课时教学内容（≥，≥）及其运用．教学目标化简•利用逆（≥，≥）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键（≥，≥）及它们的运用．-或关键：要讲清（<<）a b，如3)教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．．填空；参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．．利用计算器计算填空×老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让、个同学上台总结规律．老师点评：（）被开方数都是正数；（）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例．计算分析：=例化简（≥，≥）直接化简即可．三、巩固练习（）计算（学生练习，老师点评）() 化简;教材练习全部四、应用拓展例．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：解：（）不正确．（）不正确．五、归纳小结本节课应掌握：六、布置作业．课本，，，．（）（）．．选用课时作业设计．.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题．•那么此直角三角形斜边长是（）．．．）．11x-=）．≥．≥．≤≤．≥或≤．下列各等式成立的是（）．二、填空题．自由落体的公式为12（为重力加速度，它的值为），若物体下落的高度为，则下落的时间是．三、综合提高题．一个底面为×长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了，铁桶的底面边长是多少厘米？．探究过程：观察下列各式及其验证过程．=====通过上述探究你能猜测出：>）,并验证你的结论．答案:一、．．．三、．设：底面正方形铁桶的底面边长为，则×××，××，．．==。
二次根式的乘除 优秀教案
二次根式的乘除【教学目标】1．知识与技能（1（a≥0，b≥0（a≥0，b≥0）；（2（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）。
2．过程与方法（1a≥0，b≥0）并运用它进行计算；（2（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简。
（3）最后综合运用以上两个规律进行解题。
3．情感、态度与价值观学生通过探究a≥0，b≥0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学（a≥0，b≥0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力。
【教学重难点】（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用。
（a≥0，b≥0）。
【教学过程】一、课堂导入（学生活动）请同学们完成下列各题。
1．填空（1=______；（2，。
（3。
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空。
2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4，（5。
二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结上述规律。
老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数。
一般地，对二次根式的乘法规定为例1．计算（1（23（a≥0，b≥0）计算即可。
解：（1（2=（3例2化简（123（45（a≥0，b≥0）直接化简即可。
解：（1×4=12（2×9=36（3×10=90（4（5三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）②×（2四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2=4=4解：（1）不正确。
×3=6（2）不正确。
五、归纳小结本节课应掌握：（1=（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用。
二次根式的乘除法教案
16.2 二次根式的乘除（第1课时）二次根式的除法是建立在二次根式的基础上的，所以在学习中侧重于引导学生利用与乘法相类似的方法去学习，从而进一步降低学习的难度，提高学习的效率，但在教与学中，可以明显感受到学生对分母有理化概念在运用中的不灵活性，这也是应在今后的复习中给予加强的16.1 二次根式（第2课时）偿提高化简23x+x的结果是（）A、－4xB、4xC、－2xD、2x3．已知实数x，y满足x y-++=540，求代数式的值.问题共同讨论解决.第3题鼓励学生独立思考后解决.感觉有困难的学生可以寻求同学的帮助，然后完成.小组交流内.小结本节课你学到了什么知识？你有什么认识？学生自己说出本节课的收获作业设计作业：教材P5习题21.1复习巩固2题 (3)、(4)3题 (1)、(2).教师布置作业，并提出要求.学生课下独立完成，延续课堂.附赠材料优秀的教学是练出来的在上一堂课里,你已经学会了区分高效教学法和低效教学法之间的区别。
现在,我们还要继续巩固这一概念。
在高效教学法和低效教学法之间,是否存在一个灰色的中间地带呢?是的,这个灰色地带确实存在。
如果能带领那些还不够高效的教师们进人这一中间地带,那也是很大的进步。
当然,本课的主要目的是发掘出教师的最大潜力,以最终实现高效教学。
如果能成功做到这一点,那么你最终会发现学生的表现有了显著的提高。
显而易见,教师能力的优劣会直接影响到学生的表现。
教师越优秀,学生的表现就越好。
课程：首先,我们回顾一下上一节课所学的如何区分高效和低效教学上一节课,我已经要求你总结出自身存在的弱项,并且在课后进行针对性的练习。
今天,请你仔细思考,在下面列举的教学情景中高效和低效的教师将如何做出不同的应对措施。
高效教学与低效教学实践一个学生在课堂上一直和其他学生聊天。
他这个举动非常明显,必须及时制止。
面对这个情形时,低效的教师会如何应对?高效的教师又会如何应对?一个学生在课堂上不断发出声响,这个声音越来越吵,并且影响到了班级里的其他学生。
16.2二次根式的乘除法(教案)
1.教学重点
本节课的教学重点主要包括以下内容：
a.掌握二次根式乘法的运算法则，特别是\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)的形式，以及如何将其他形式的二次根式乘法转化为这一形式；
b.理解并应用二次根式除法的运算法则，特别是\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)和\( \frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}} \)的形式，以及如何处理分母中含有二次根式的情况；
（3）\( \sqrt{a^2} \times \sqrt{b^2} = |a||b| \)（a、b为任意实数）
2.掌握二次根式除法的运算法则，能够正确计算以下形式的除法：
（1）\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)（a≥0，b＞0）
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够理解并运用二次根式乘除法的性质，解决实际问题；
3.培养学生的数学建模能力，通过解决实际情境中的问题，让学生体会数学知识在实际生活中的应用；
4.培养学生的数学抽象能力，让学生从具体的二次根式乘除运算中抽象出一般性规律，形成数学认知结构；
5.培养学生的合作交流意识，鼓励学生在小组讨论和交流中，共同探索二次根式乘除法的运算规律，提高解决问题的能力。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式乘除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次根式乘除法的基本原理，如使用尺子和直角三角形模型来计算对角线长度。
八年级数学上册《二次根式的乘除法》教案、教学设计
2.教学过程：
-引导学生复习平方根、立方根的概念，为新课的学习做好铺垫；
-通过具体例题，展示二次根式乘除法的运算过程，让学生在实际操作中感知和理解规则；
-组织学生进行小组讨论，互相交流解题心得，培养学生的团队协作能力和表达能力；
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学习积极性；
2.培养学生严谨、踏实的学风，养成勤奋好学的学习习惯；
3.引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，提高数学学习的实用性；
4.培养学生的创新意识，鼓励学生勇于探索、突破自我。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重情感教育，激发学生的学习兴趣，培养良好的学习氛围，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
此外，我会布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。作业包括基础题、提高题和拓展题，旨在帮助学生提高解题能力，培养数学思维。
五、作业布置
为了巩固学生对二次根式乘除法的理解，提高学生的运算能力和解决问题的技巧，特此布置以下作业：
1.基础巩固题：
-计算下列各式的值：
a) √12 × √18
b) √50 ÷ √5
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了实数的初步概念和运算法则。在此基础上，学生对二次根式的认识已经有了一定的基础，但乘除法运算可能还较为陌生。因此，在教学过程中，需要关注以下几点：
1.学生对二次根式的理解程度：部分学生可能对二次根式的概念理解不深，容易混淆根号内的运算和根号外的运算；
-合并同类项时对二次根式的识别和转换；
-在复杂问题中灵活运用二次根式乘除法解决实际问题。
人教版数学九年级上册21.2.2《二次根式的乘除—除法》教学设计
人教版数学九年级上册21.2.2《二次根式的乘除—除法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第21.2.2节《二次根式的乘除—除法》是二次根式乘除法运算的一部分，是学生进一步掌握二次根式运算的重要内容。
本节课通过介绍二次根式的除法运算，帮助学生理解和掌握二次根式除法的运算方法，为以后解决更复杂的数学问题打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的概念、性质和乘法运算。
但学生在进行二次根式的除法运算时，可能会遇到困难，因为除法运算涉及到分母有理化，这对学生的逻辑思维能力和转化能力提出了较高的要求。
三. 教学目标1.让学生理解二次根式除法的运算方法。
2.培养学生进行二次根式除法运算的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和转化能力。
四. 教学重难点1.二次根式除法运算的方法。
2.分母有理化的方法和技巧。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生思考和探索二次根式除法的运算方法；通过案例分析，让学生理解和掌握二次根式除法的步骤；通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学PPT，包括二次根式的概念、性质、乘法和除法运算的步骤。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出二次根式除法运算的需求，激发学生的学习兴趣。
例如：已知√64=8，求√256÷√64。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式除法的运算方法，包括分母有理化的步骤。
通过PPT展示和讲解，让学生清晰地理解二次根式除法的运算过程。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式除法的练习，巩固所学知识。
教师可设置不同难度的题目，让学生分组讨论和解答。
4.巩固（10分钟）对学生的练习情况进行总结，指出常见的错误和问题，并进行讲解。
通过典型例题的讲解，帮助学生进一步巩固二次根式除法的运算方法。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何将二次根式除法运算应用于实际问题中？让学生举例说明，培养学生的应用能力。
二次根式的乘除法教学设计
二次根式的乘除法教学设计教学目标:1.学生能够理解二次根式的乘法和除法的概念；2.学生能够正确地进行二次根式的乘法和除法运算；3.学生能够运用所学知识解决实际问题。
教学准备:1.教师准备黑板、白板或投影仪等教学工具；2.教师准备相关的教学示例和练习题。
教学过程:一、导入（5分钟）教师通过一个简单的问题导入本课的内容。
例如：“同学们，一个正方形的边长是2√3，那么这个正方形的面积是多少？请大家思考一下。
”同学们思考一分钟后，教师请其中一个同学回答问题，并引导其他同学进行讨论和确认。
二、概念讲解与示例解读（15分钟）1.二次根式乘法：教师引导学生回顾一下二次根式的概念，并向学生解释二次根式乘法的概念。
例如：“同学们，在我们之前的学习中，我们已经学过了二次根式的加法和减法。
你们还记得怎么进行二次根式的加法和减法吗？这个过程中，我们发现了什么规律呢？”同学们思考一段时间后，教师引导学生回忆和总结。
然后，教师给出一个例子：“现在，如果我们要计算(2√5)(3√7)，你们觉得应该怎么做？请同学们先思考一下。
”同学们思考一段时间后，教师请一个同学上黑板解答，并请同学们进行讨论和确认。
2.二次根式除法：教师向学生讲解二次根式的除法的概念。
例如：“同学们，我们知道，在进行数的除法运算时，我们可以先化简被除数和除数，然后进行整数的除法运算。
那么，对于二次根式来说，我们应该也可以先化简被除数和除数，然后进行二次根式的除法运算。
你们觉得是这样吗？”同学们思考一段时间后，教师请一个同学上黑板解答，并请同学们进行讨论和确认。
三、练习与实践（45分钟）1.练习题演练：教师向学生出示一些二次根式乘除法的练习题，并请学生在纸上作答。
然后，教师随机选择几个学生上黑板解答，并请其他同学进行讨论和确认。
教师及时给予学生指导和反馈。
2.实际问题解决：教师出示一些实际问题，并要求学生运用所学知识进行解决。
例如：“现在，假设一根绳子的长度是2√6米，我们需要用这根绳子把一个正方体卷起来。
八年级数学上册《二次根式的乘除运算》教案、教学设计
（3）实施分层教学，针对不同学生的学习需求，提供个性化的辅导。
（4）利用信息技术，如多媒体课件、网络资源等，丰富教学手段，提高教学效果。
2.教学过程：
（1）导入：通过一个简单的实际问题，引导学生回顾二次根式的定义，为新课的学习做好铺垫。
（2）新课：以实例为主线，引导学生发现二次根式乘除运算的规律，并通过练习加以巩固。
（2）探索以下问题：
a.两个二次根式相乘，它们的根号下的数相乘，结果为什么？
b.两个二次根式相除，它们的根号下的数相除，结果为什么？
（3）查找相关资料，了解二次根式乘除运算在生活中的应用，下节课与同学分享。
3.思考题：
（1）如何将复杂的二次根式乘除运算简化？
（2）在实际问题中，如何运用二次根式乘除运算解决问题？
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以下方法引导学生学习：
1.采用问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
2.通过实例分析，引导学生发现二次根式乘除运算的规律。
3.设计丰富的课堂练习，让学生在实践中掌握二次根式乘除运算方法。
4.组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
5.引导学生总结运算规律，形成知识体系。
（三）情感态度与价值观
1.树立正确的数学观念，认识到数学在生活中的广泛应用。
2.培养学生的运算兴趣，激发他们学习数学的热情。
3.培养学生勇于探索、克服困难的品质，增强自信心。
4.培养学生的团队合作精神，使他们学会倾听、交流、协作。
5.培养学生严谨、细致的学习态度，提高他们的思维品质。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了实数的基本概念和性质，能够进行简单的实数运算。在此基础上，他们对二次根式的认识处于初步阶段，对于二次根式的乘除运算，大部分学生还缺乏系统的掌握和应用能力。因此，在本章节的教学中，需要关注以下几点：
《二次根式的乘除法》教案设计
《二次根式的乘除法》教案设计《二次根式的乘除法》教案设计范文（通用8篇）在教学工作者实际的教学活动中，总不可避免地需要编写教案，教案是保证教学取得成功、提高教学质量的基本条件。
那么写教案需要注意哪些问题呢？下面是店铺为大家整理的《二次根式的乘除法》教案设计，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《二次根式的乘除法》教案设计篇1【教学目标】1.运用法则进行二次根式的乘除运算;2.会用公式化简二次根式。
【教学重点】运用进行化简或计算【教学难点】经历二次根式的乘除法则的探究过程【教学过程】一、情境创设：1.复习旧知：什么是二次根式?已学过二次根式的哪些性质?2.计算：二、探索活动：1.学生计算;2.观察上式及其运算结果，看看其中有什么规律?3.概括：得出：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。
将上面的公式逆向运用可得：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
三、例题讲解：1.计算：2.化简：小结：如何化简二次根式?1.(关键)将被开方数因式分解或因数分解，使之出现“完全平方数”或“完全平方式”;2.P62结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。
四、课堂练习：(一).P62练习1、2其中2中(5)注意：不是积的形式，要因数分解为36×16=242(二).P673计算(2)(4)补充练习：1.(x>0,y>0)2.拓展与提高：化简：1).(a>0,b>0)2).(y2.若，求m的取值范围。
☆3.已知：,求的值。
五、本课小结与作业：小结：二次根式的乘法法则作业：1).课课练P9-102).补充习题《二次根式的乘除法》教案设计篇2教材分析:本节内容出自九年级数学上册第二十一章第三节的第一课时，本节在研究最简二次根式和二次根式的乘除的基础上，来学习二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。
本小节重点是二次根式的加减运算，教材从一个实际问题引出二次根式的加减运算，使学生感到研究二次根式的加减运算是解决实际问题的需要。
《二次根式的乘除》 教学设计
《二次根式的乘除》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标理解二次根式的乘法法则和除法法则。
能熟练进行二次根式的乘法和除法运算。
2、过程与方法目标通过对二次根式乘法和除法法则的探究，培养学生的观察、分析和归纳能力。
在运算过程中，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观目标让学生经历数学知识的形成过程，感受数学知识的系统性和逻辑性。
通过合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。
二、教学重难点1、教学重点二次根式的乘法法则和除法法则。
二次根式的乘法和除法运算。
2、教学难点二次根式乘法和除法法则的推导。
二次根式乘法和除法运算中符号的确定。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、复习导入回顾平方根和算术平方根的概念。
提问：什么是二次根式？2、探究二次根式的乘法法则计算：√4 × √9√16 × √25引导学生观察计算结果，思考：二次根式相乘，结果有什么规律？提出猜想：√a × √b ＝√（ab) （a≥0，b≥0）证明猜想：（√a × √b）²＝（√a）² ×（√b）²＝ ab因为a≥0，b≥0，所以√（ab）＝√a × √b3、二次根式乘法法则的应用√3 × √53√2 × 2√8练习：课本上的相关练习题4、探究二次根式的除法法则计算：√16 ÷ √4√36 ÷ √9引导学生观察计算结果，思考：二次根式相除，结果有什么规律？提出猜想：√a ÷ √b ＝√（a÷b) （a≥0，b＞0）证明猜想：√a ÷ √b ＝√a × 1/√b ＝√（a×1/b) ＝√（a÷b)5、二次根式除法法则的应用例 2：计算√18 ÷ √25√12 ÷ 2√3练习：课本上的相关练习题6、二次根式乘除混合运算√2 × √6 ÷ √33√8 ÷ √2 × √6强调运算顺序：先乘除，后加减，有括号先算括号里的。
二次根式的乘除课件数学课件-2024鲜版
二次根式的乘除课件数学课件CATALOGUE 目录•二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•复杂表达式中二次根式乘除处理策略•误差分析与计算技巧提高•练习题与课堂互动环节01二次根式基本概念与性质二次根式定义及表示方法定义表示方法二次根式性质介绍非负性乘法定理除法定理典型例题解析例1解析解析例3例2解析02二次根式乘法运算规则同类二次根式乘法法则数学表达式法则描述若$sqrt[n]{a}$是同类二次根式，则times sqrt[n]{b} = sqrt[n]{atimes b}$。
注意事项不同类二次根式乘法转化技巧0102实例一转化计算实例二利用平方差公式030405乘法运算实例演示03二次根式除法运算规则同类二次根式除法法则同类二次根式是指被开方数相同的二次根式。
对于同类二次根式，可以直接进行除法运算，即把系数相除，被开方数保持不变。
例如：√a / √a = 1 (a > 0)不同类二次根式除法转化方法有理化分母的方法有理化分子的方法除法运算实例演示示例101示例202示例30304复杂表达式中二次根式乘除处理策略1 2 3确定表达式中的二次根式部分分析二次根式的性质识别其他运算符号和数值识别并提取复杂表达式中关键信息010405060302分步进行乘法和除法操作简化结果并验证正确性化简结果验证正确性通过代入原表达式或与其他方法得到的结果进行比较，验证化简结果的正确性。
05误差分析与计算技巧提高数值计算误差截断误差舍入误差030201误差来源及影响因素分析减少误差策略探讨选择合适的算法增加计算精度误差传播分析利用已知恒等式熟记一些常用的恒等式（如平方差公式、完全平方公式等），以便在计算过程中快速应用。
简化计算过程通过合并相同项、提取公因子等方法简化计算过程，减少计算量。
分步计算与验证将复杂问题分解为多个简单问题，分步进行计算，并及时验证每一步的结果，以确保计算准确性。
21.2 二次根式的乘除 华师大版九年级数学上册教案
21.2 二次根式的乘除1.二次根式的乘法※教学目标※【知识与技能】1.掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算.2.培养学生的合情推理能力.【过程与方法】1.在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探索新知识.2.体会用类比思想研究二次根式的乘法，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂.【情感态度】教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识.【教学重点】会进行简单的二次根式乘法运算.【教学难点】二次根式乘法的应用.※教学过程※一、复习引入计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？；.二、探索新知二次根式的乘法1.参考上面的结果，用“>”“<”或“=”填空.2.根据上面的探究，下列式子是否也存在类似关系，猜想你的结论并用计算器验证.以上式子从运算角度看是什么运算？结果是什么？你能说出二次根式的乘法法则吗？字母表达式是怎样的？3.二次根式的乘法法则这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.注意：a、b必须都是非负数，上式才能成立.在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数.三、掌握新知【例1】计算：解：四、巩固练习1.下列各等式成立的是( )2.计算：答案：五、归纳小结本节课应掌握：及其运用.※课后作业※计算：2.积的算术平方根※教学目标※【知识与技能】1.掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练地化简二次根式.2.培养学生的合情推理能力.【过程与方法】在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探索新知识.【情感态度】通过本节课的学习让学生认识到事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.【教学难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.※教学过程※一、复习引入上节课学习了二次根式的乘法：反过来，可以得到积的算术平方根的性质.二、探索新知这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.【例1】化简，使被开方数不含完全平方的因数.分析：利用直接化简即可.解：注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因数开出来，从而将二次根式化简.三、巩固练习1.化简：2.计算：3.计算：答案：四、应用拓展1.化简：2.自由落体的公式为为重力加速度，它的值为,若物体下落的高度为720m,则下落的时间是.五、归纳小结本节课应掌握：及其应用.※课后作业※1.若的结果是.2.成立的条件是.3.已知a、b为实数，且满足的值.3.二次根式的除法※教学目标※【知识与技能】1.会进行简单二次根式的除法运算.2.能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.3.理解最简二次根式的概念，并能把一个非最简二次根式化为最简二次根式.【过程与方法】1.在学习了二次根式的乘法的基础上进行总结类比，得出除法的运算法则.2.引导学生从特殊到一般的方法以及类比的方法，解决数学问题.【情感态度】通过本节课的学习让学生认识到事物之间是相互联系、相互作用的.【教学重点】简单的二次根式的除法运算，利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.【教学难点】将一个非最简二次根式化为最简二次根式.※教学过程※一、复习引入问题1：上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则？问题2：是否也有二次根式的除法法则呢？问题3：两个二次根式相除，应该怎样进行呢？二、探索新知1.二次根式的除法（1）计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？(2)总结二次根式除法法则注意：因为b在分母上，分母不能为零，所以b只能大于零.（3）和积的算术平方根类似，把这个式子反过来得到商的算术平方根：【例1】计算解：题（2）的另一解法:【例2】化使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母.解：2.最简二次根式最简二次根式有如下两个特点：①被开方数不含分母；②被开方数中所有因式的幂的指数都小于2.【例3】化简：解：(2)分母有理化数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.三、巩固练习1.化简：2.计算：答案：四、应用拓展1.化简：2.计算：3.阅读下列内容，并完成以下各题.数学上将这种把分母变成有理数（式）的过程称为“分母有理化”，其中分别称为有理化因式.的有理化因式是的有理化因式是.（2）进行分母有理化.五、归纳小结本节课要掌握：1.及其运用；2.最简二次根式的定义及应用.※课后作业※1.教材第9页练习第3题.2.教材习题21.2第3题.3.计算：。
二次根式的乘除教学设计（精选7篇）
二次根式的乘除教学设计二次根式的乘除教学设计（精选7篇）作为一名教师，往往需要进行教学设计编写工作，教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。
那么写教学设计需要注意哪些问题呢？下面是小编精心整理的二次根式的乘除教学设计，欢迎阅读与收藏。
二次根式的乘除教学设计篇1一、引入新课：上节数学课我们学习了二次根式的乘法计算，那么该怎样进行二次根式的除法运算呢?本节课我们一起学习。
二、展示目标，自主学习：自学指导：认真阅读课本第8页——10页内容，完成下列任务：1、先自主完成8页“探究”，再和同伴交流，你们得到的结论是：。
尝试用文字语言表述这个法则。
2、认真看例4、例5、例6和例7的每一步计算和化简，有疑问随即和同伴交流或向老师请教;3、最简二次根式满足的两个条件是:①( )② ( )4、仿照例题格式完成10页练习并和同伴互相找毛病。
三、检测反馈1、师生共同解决“自学指导”中的问题。
2、找同学演板10页练习1、2、3四、课堂小结：本节课你有哪些收获?(1)二次根式的除法法则是什么?请写在下面。
(2)在进行二次根式的除法计算和化简时你有觉得应该注意些什么?请告诉大家。
五、布置作业：作业：课本第10页习题16.2 第2题;第3题的(3)、(4)小题二次根式的乘除教学设计篇2教学目标1、使学生理解最简二次根式的概念；2、掌握把二次根式化为最简二次根式的方法。
教学重点和难点重点：化二次根式为最简二次根式的方法。
难点：最简二次根式概念的理解。
一、导入新课计算：我们再看下面的问题：简，得到从上面例子可以看出，如果把二次根式先进行化简，会对解决问题带来方便。
二、新课答：1、被开方数的因数是整数或整式；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
满足上面两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
例1 试判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？解（1）不是最简二次根式。
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二次根式的乘除法
二. 重点、难点：
1. 重点：
（1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算；
（2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简；
（3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。
2. 难点：
（1）理解最简二次根式的概念；
（2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。
三. 知识梳理：
1. 二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；
（2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）；
（≥0，≥0，≥0，≥0）。
（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。
也称“积的算术平方根”。
它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。
2. 二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。
说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0；
（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；
（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。
也称“商的算术平方根”。
它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。
3. 最简二次根式
一个二次根式如果满足下列两个条件：
（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；
（2）被开方数中不含分母。
这样的二次根式叫做最简二次根式。
说明：
（1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；
（2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简；
（3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。
【典型例题】
例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。
（1）
（2）
分析：此题涉及二次根式的乘法、除法公式的正确应用，特别注意公式应用的范围。
（a≥0，b≥0）；==（a≥0，b＞0）。
解：（1）+1≥0，2-≥0。
解得≥-1，≤2，即-1≤≤2。
（2）≥0，3->0。
解得≥0，< 3，即0≤<3。
例2. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：直接运用二次根式的乘法进行计算，把它们的被开方数相乘，根指数不变，如果积能开方一定要开方。
解：（1）==；
（2）===6；
（3）===；
（4）===。
例3. 化简：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：直接运用公式（≥0，≥0）化简即可，尽可能将被开方数的因式写成平方的形式。
解：（1）===15；
（2）====6；
（3）======20；
（4）===
=。
例4. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：利用（≥0，≥0）对二次根式进行乘法计算，要注意当结果仍然是二次根式时，应尽量化简。
（4）中的隐含条件是≥0，≥0。
解：（1）====；
（2）===；
（3）====-39；
（4）===。
例5. 化简：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：利用（≥0，≥0）可把被开方数比较复杂的二次根式化简。
方法是先将被开方数进行质因数分解，化为积的形式，如果根号内有开得尽方的因式就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，从而达到化简的目的。
解：（1）====；
（2）===；
（3）==
===504；
（4）=
例6. 化简：
（1）（＞0）；（2）（＞0）；
（3）（＞0）；（4）（＞0，＞）。
分析：对于被开方数是多项式的二次根式，应把多项式分解因式然后按照被开方数是单项式的方法进行分解。
为使运算简便，应尽量地应用运算律和乘法公式来进行计算，运算得到的结果必须进行化简。
解：（1）===；
（2）=
==；
（3）===
（4）===。
例7. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：直接运用（≥0，＞0）进行计算，运算后结果要化简。
解：（1）===2；
（2）===3；
（3）===2；
（4）==。
例8. 化简：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：运用公式（≥0，＞0）化简，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
要注意的是，当被开方数是带分数时，要先把它化成假分数。
解：（1）===；
（2）==；
（3）==；
（4）===。
例9. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：二次根式的除法可以转化为乘法运算。
对于多个二次根式相除的情况，应按照题中指定的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，没有括号的，从左往右依次计算，结果注意化简，数字应放在字母前面。
解：（1）====；
（2）====
（3）===；
（4）====。
例10. 把下列根号外的因式移到根号内
（1）；（2）。
分析：把根号外的因式内移到根号内，是指将根号外的非负因数或非负因式平方后移到根号内，并与根号内的因数或因式相乘。
解：（1）=
（2）
点拨：因式内移，最容易发生符号错误。
因此内移时，一定要认准非负因数或因式，保证内移时，不改变根式的大小。
如（1）题中被开放数，根号外面的－x也是非负的，内移后根号外应没有负号；
（2）题因为被开方数＞0，所以＞0，所以＜0要把负号留在根号外面。
例11. 去掉下列各式分母中的根号：
分析：（1）分母=，分子、分母同乘即可去掉分母中的根号；（2）分母，分子、分母同乘即可去掉分母中的根号；（3）分子、分母同乘即可去掉分母中的根号；（4）将分子分解后，直接与分母约分，从而化去分母．
解：（1）
（2）
（3）
=
（4）
点拨：去掉分母中的根号，通常是分母有理化。
分母有理化时，应结合题目的具体特点，选择适当的方法。
当分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能够约分的，最好不要直接分母有理化，待约分后再相机行事。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 填空题：
1. 等式成立的条件是.
2. 计算：（1）；（2）.
（3）；（4）.
3. 化简：（1）＝；（2）.
4. 计算：（1）＝；（2）.
二. 选择题：
5. 把化简的结果应是（）
A. B. C. D.
6. 下列计算中，正确的是（）
A.
B.
C.
D.
7. 如果，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 下列二次根式中，最简二次根式是（）
A. B. C. D.
三. 解答题：
9. 计算：（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
10. 化简：
（1）（2）
（3）（4）
11. 已知：求的值。
【试题答案】
一. 填空题。
1. ；
2. （1）20；（2）；（3）2；（4）3；
3. （1）；（2）；
4.（1）；（2）；
二. 选择题。
5. B；
6. D；
7. C；
8. B
三. 解答题。
9. （1）；（2）；（3）10；（4）1；（5）；（6）-9.
10. （1）；（2）；（3）；（4）
11. 化简得，代入得2.197。