三角函数模型的简单应用学案
三角函数模型的简单应用教案北师大版
作业反馈：
1. 及时批改意见和评分。
2. 指出存在的问题：在批改作业时，教师应指出学生在作业中存在的问题，如计算错误、概念不清、逻辑推理不严密等，并给出具体的改进建议。
- 通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
- 通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
教学资源拓展
1. 拓展资源
- 数学杂志和期刊：推荐学生阅读一些与三角函数模型相关的数学杂志和期刊，如《数学通报》、《数学进展》等，以了解最新的研究进展和应用实例。
- 在线数学论坛和社区：鼓励学生参与在线数学论坛和社区，如数学吧、知乎数学板块等，与其他学习者和专业人士交流问题和经验。
（2）实际问题与三角函数模型的联系。
学生可能难以将实际问题与三角函数模型建立联系，无法从实际问题中抽象出三角函数模型。
（3）三角函数模型在实际问题中的应用方法。
学生可能对如何运用三角函数模型解决实际问题感到困惑，无法正确选择和使用三角函数模型。
（4）三角函数模型的推理和论证。
学生可能对如何运用三角函数模型进行推理和论证感到困难，无法逻辑清晰地阐述推理过程。
- 学习三角函数的历史和发展：介绍三角函数的历史背景和发展过程，让学生了解三角函数的重要性和影响，培养他们对数学的兴趣和好奇心。
- 探索三角函数的性质和图像：引导学生深入研究三角函数的性质和图像，如周期性、奇偶性、单调性等，通过实践活动和数学软件工具进行探索和验证。
- 参与数学研究和交流：鼓励学生积极参与数学研究和交流活动，如参加数学研究小组、参与数学研讨会等，与他人分享自己的研究成果和思考。
1.6《三角函数模型的简单应用》(定) 教案
1.6 三角函数模型的简单应用一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
3、情态与价值：培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。
三、课时分配:2课时四、教学重点与难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.四、教学设想：三角函数模型的简单应用（一）一、导入新课我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.二、推进新课、新知探究、提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?③上述的数学模型是怎样建立的?④怎样处理搜集到的数据?③解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.三、应用示例例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.例2 2007全国高考 函数y=|sinx|的一个单调增区间是( ) A.(4π-,4π) B.(4π,43π) C.(π,23π) D.(23π,2π) 例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h 0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?四、课堂小结五、作业三角函数模型的简单应用（二）一、导入新课回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用二、推进新课、新知探究、提出问题三、应用示例例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?例2 图9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:(1)单摆振幅多大；(2)振动频率多高；(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；(5)若当g＝9.86 m/s2J,求摆线长.四、课堂小结五、作业。
〖2021年整理〗《三角函数模型的简单应用》优秀教案
三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型 （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型 （2）=|in |是以 π 为周期的波浪形曲线 2．预习自测 （1）函数=in （2-3π）的最小正周期为 π (二)（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数=10in （8π-45π）2021∈4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 2021课堂设计 1知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响（2）函数=A in （ωφ）的图象（3）=A in （ωφ），∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义 2问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数=in ωφb1求这一天6—14时的最大温差;2写出这段曲线的函数解析式 【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合的数学思想 【解题过程】解:1由图可知,这段时间的最大温差是20212从图中可以看出,从6—14时的图象是函数=A in ωφb 的半个周期的图象,∴A =2130-10=10,b =213010=202121·ωπ2=14-6,∴ω=8π将=6,=10代入上式,解得φ=43π综上,所求解析式为=10in8π43π2021∈6,14]【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象1根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; 2为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合【解题过程】解:1由图知A =300,第一个零点为－3001,0,第二个零点为1501,0, ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I 2依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值如果在北京地区纬度数约为北纬40°的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少【知识点】正切函数 【数学思想】数形结合【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′依题意两楼的间距应不小于MC 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－－23°26′|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26tan h 0≈ 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数 【数学思想】数形结合【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为 h =15tan ［90°-23°23°26′］=15tan43°34′≈, 由于每层楼高为3米,根据以上数据, 所以他应选3层以上【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻 0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米1选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值精确到2一条货船的吃水深度船底与水面的距离为4米,安全条例规定至少要有米的安全间隙船底与洋底的距离,该船何时能进入港口在港口能呆多久3若某船的吃水深度为4米,安全间隙为米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解根据题意,一天中有两个时间段可以进港问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？ 问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合 【解题过程】解:1以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图根据图象,可以考虑用函数=Ainωφh 刻画水深与时间之间的对应关系从数据和图象可以得出: A ＝,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π所以这个港口的水深与时间的关系可用＝6π5近似描述 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:时刻 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 时刻 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20210 21:00 22:00 23:00 水深2货船需要的安全水深为4＝米,所以当≥时就可以进港 令6π5=,in6π=MODE MODE由计算器可得 2SHIFT in -1=357 92≈ 4如图,在区间[0,12]内,函数＝6π5的图象与直线＝有两个交点A 、B ,因此6π≈ 4,或π－6π≈ 4 解得A x ≈ 8,B x ≈ 2由函数的周期性易得:C x ≈12 8＝ 8,D x ≈12 2＝ 2因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港每次可以在港口停留5小时左右(3)设在时刻货船的安全水深为,那么=在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点通过计算也可以得到这个结果在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为米;时的水深约为米,此时货船的安全水深约为米;7时的水深约为米,而货船的安全水深约为4米因此为了安全,货船最好在时之前停止卸货,将船驶向较深的水域【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t 时的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深的关系t 0 3 6 9 12 15 18 21 2412经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ）A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质 【数学思想】数形结合【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期 【答案】A3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据； ⑤还原：将所得结论转译回实际问题 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破,B ,C 是△ABC 的三个内角,且in A >in B >in C ,则 >B >C2πC >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小 【数学思想】三角函数图象的应用【解题过程】∵in A >in B >in C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数＝in ,），（π0∈图象可得A >B >C 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为＝in ,），（π0∈ 【答案】A2．2021年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则in θco θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴=53，∴in θ=53,co θ=54∴in θco θ=57【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值． 【答案】57能力型 师生共研的函数关系，I =A in ωφω>0,|φ|<2π在一个周期内的图象1根据图象写出I =A in ωφ的解析式； 2为了使I =A in ωφ中的t 在任意一段1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建【解题过程】1由图知A =300,第一个零点为－3001,0,第二个零点为1501,0, ∴ω·－3001φ=0,ω·1501φ=π解得ω=100π,φ=3π∴I =300in100πt 3π2依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥=629 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω 【答案】1I =300in100πt 3π；2629 探究型 多维突破（米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：t （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米）根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数=A in ωtb 的图象． （1）试根据数据表和曲线，求出=A in ωtb 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式 【解题过程】解：（1）根据数据可得，Ah =13，-Ah =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴=3in （6πφ）10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为=3in6πt 10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深≥7，即3in6πt 10≥（0≤t ≤24）， ∴3in 6πt ≥，∴6πt ∈[2π6π，2π65π]，=0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，Ah =13，-Ah =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深≥7，即3in6πt 10≥（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）=3in 6πt 10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时自助餐1甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, 表示甲、乙两人的直线距离，则=f θ的图象大致是【知识点】三角函数模型的应用【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负【答案】C安培随时间t 秒变化的函数I =Ain ωt φ的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度【知识点】三角函数模型的应用【数学思想】函数=A in （ωφ），∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10in （10π6π）故当t =1207时，I =0 【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负【答案】A3一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h 米与时间t 分钟之间的函数关系式【知识点】三角函数模型的应用【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型【解题过程】以最低点的切线为轴，最低点为原点，t , t 则ht = t 2,又设P 的初始位置在最低点，即0=0，在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,co θ=8()8y t -,∴t = -8co θ8, 而212π=t θ，∴θ=6t π，∴t = -8co 6t π8, ∴h t = -8co 6t π10【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果【答案】h t =-8co 6t π10。
三角函数模型的简单应用 学案 导学案 课件
数学导学稿一、课题：三角函数模型的简单应用 二、教学目标：1、能识别三角函数的应用题属于哪个三角函数模型；2、会用“五点法”作出x y sin =的图象，并观察其性质；3、对于形如函数()ϕω+=x A y sin 的模型，能根据题目数据，求出它的解析式； 三、学习内容及程序 （一）基础知识回顾以下知识是前面学习过的内容,在本课学习中将帮助你理解新内容，请同学们阅读.1、)(x f y =的图象−−−−−−−−−−−−−−−→−轴的对称轴左边的图象再作关于去掉轴右边的图象保留y y ，y )(x f y =的图象； )(x f y =的图象−−−−−−−−−−−−−−→−轴上方轴下方的图象翻折到并将轴上方的图象保留x x ，x )(x f y =的图象； 2、已知函数()ϕω+=x A y sin 部分图象求它解析式时，要联想基本函数x y sin =的图 象特征来分析，一般分三步：①先求周期；②再求ω；③最后求ϕ；可得函数解析式.（二）课前自主学习内容与要求请同学们在课前一天自找时间，自学教材第60-64页的内容，并按要求完成以下任务。
1、例题1回顾 要求在自学完例题1后，不看教材，将例题1的过程重新写出来。
例题1某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()b x A y ++=ϕωsin（1）求这一天6~14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式。
2、例题2回顾要求在自学完例题2后，不看教材，将例题2的过程重新写出来。
例题2 画出函数x y sin =的图象并观察其周期；（选讲）例题4.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐。
在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后， 在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5 米的安全间隙（船底与洋底的距离）,该船何时能进入港口?在港口能呆多久?（3）若某船吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度 以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深水域？ （要求整点）分析：解答三角应用题的基本步骤分为四步：审题、建模、解模、还原评价。
三角函数模型的简单应用教案
三角函数模型的简单应用一、教学目标1 、基础知识目标： a 通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法； b 根据解析式作出图象并研究性质； c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程； d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质三、教学难点： a 、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．b 、由图象求解析式时的确定。
四、教学过程及设计意图教学过程设计意图（一）课题引入情景展示，引入课题（多媒体显示）同学们看过海宁潮吗？……•今天我就带大家去看一看天下奇观一一海宁潮. 在潮起潮落中也蕴含着数学知识．又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。
通过上面的例子引发学生的兴趣，贴近生活，可以告诉学生生活离不开数学，身边充满了数学；同时可以让学生知道数学的重要性，不仅仅是课本上的内容，还有生活都可以用到数学，所以学生更应该努力学习，才能更懂得生活。
这样的例子还有很多，比如：二．由图象探求三角函数模型的解析式例1 •如图，某地一天从6〜14时的温度变化曲线近似满足函数.(1 )求这一天6〜14时的最大温差；(2 )写出这段曲线的函数解析式.解：( 1 )由图可知：这段时间的最大温差是；(2)从图可以看出：从6〜14 是的半个周期的图象，又… -•••将点代入得：••,取，•・。
人教A版必修4 三角函数模型的简单应用 学案
知识•巧学一、函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系绝对值仅对函数值施加影响，根据绝对值的意义有⎩⎨⎧<-≥=,0)(),(,0)(),(x f x f x f x f y 要画出y=|f(x)|的图象，只需先画出y=f(x)的图象，再把x 轴下半平面的部分沿x 轴翻折上去(翻折后x 轴下方的图象不再存在)，这样原有的x 轴上半平面的部分及翻折上去的部分一起便构成了y=|f(x)|的图象. 二、数学建模解决实际问题就是要把实际问题变成数学问题，通过解数学问题，获得答案，再反过来解释实际问题，这就是一个数学建模的过程.一般来说，数学建模过程可用下面的框图表示：图1-6-1当问题与函数图象有关时，可先建立适当坐标系，把题目所给的每一对数据作为一个点的坐标，在坐标系中描出这些点，并用光滑曲线把这些点依次连结起来，观察所画曲线、选用适当函数解析式，设法求出解析式中各参数，并将已知数据代入求得的解析式进行检验.如果等式不成立，则需修改解析式；如果等式成立，则该函数解析式就是本题的数学模型.这时就可以利用这个数学模型解决题目的其他问题了. 函数模型的应用实例主要包括三个方面：直接利用给定的函数模型解决实际问题；建立确定性函数模型解决实际问题；建立拟合函数模型解决实际问题.误区警示 建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析. 典题•热题知识点一 确定函数解析式例1 若函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜2π)的最小值为-2，周期为32π，且它的图象过点(0,2-)，求此函数的表达式.思路分析：根据条件可先求出A ，再由周期得出ω，用特殊点求出φ. 解：由题意得A=2,ω=3，故设y=2sin(3x+φ)， ∵图象过点(0,2-),∴sinφ=22-,0＜φ＜2π.∴φ=45π或φ=47π. ∴函数的表达式为y=2sin(3x+45π)或y=2sin(3x+47π). 例2 图1-6-2为y=Asin(ωx+φ)的一段图象，求其解析式.图1-6-2思路分析：本题主要考查正弦函数的图象与性质.首先确定A.若以N 为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于y=-sinx 的图象)，所以A ＜0；若以M 点为第一个零点，由于此时曲线是先上升后下降(类似于y=sinx 的图象)，所以A ＞0.而φ可由相位来确定.解：以N 为第一个零点，则A=3-，T=2(65π-3π)=π. ∴ω=2，此时解析式为y=3-sin(2x+φ).∵点N(6π-，0)为y=3-sin(2x+φ)的第一个零点， ∴6π-×2+φ=0⇒φ=3π.∴所求解析式为y=3-sin(2x+3π).巧解提示：以点M(3π，0)为第一个零点，则A=3，ω=Tπ2=2，解析式为y=3sin(2x+φ).∵点M(3π，0)为y=3sin(2x+φ)=0的第一个零点， ∴将点M 的坐标代入得2×3π+φ=0⇒φ=32π-.∴所求解析式为y=3sin(2x-32π). 方法归纳 (1)参数A 与ω是改变曲线形状的量，φ与b 是改变曲线位置的量.它们一起决定了曲线的形状与位置.(2)确定解析式y=Asin(ωx+φ)+b 中的参数A 、ω、φ、b 的关键是明确该函数同y=sinx 的关系；同时明确“五点法”作草图的过程及两个图象上相对应点间的关系. 知识点二 函数y=f(x)与y=|f(x)|图象间的关系 例3 画出下列函数的图象并观察其周期. (1)y=|cosx|；(2)y=|tanx|.思路分析：显然y=|cosx|，y=|tanx|的图象分别是把y=cosx ，y=tanx 的图象在x 轴下半平面的部分沿x 轴翻折上去而得到的.解：(1)y=|cosx|的图象如图1-6-3所示.图1-6-3从图中可以看出该函数是以π为周期的函数. (2)y=|tanx|的图象如图1-6-4所示.图1-6-4从图中可以看出该函数是以π为周期的函数. 例4试画出下列函数的图象并观察其周期. (1)y=sin|x|；(2)y=tan|x|. 思路分析：显然这两个函数都是偶函数，其图象应关于y 轴对称.根据绝对值的意义可知x≥0的部分应是y=sinx ，y=tanx 右半平面的部分. 解：(1)y=sin|x|的图象如图1-6-5所示.图1-6-5从图中可以看出y=sin|x|不再是周期函数. (2)y=tan|x|的图象如图1-6-6所示.图1-6-6从图中可以看出y=tan|x|的图象也不再是周期函数.方法归纳 (1)一般地，对于函数y=f(|x|)而言，若它的定义域是关于原点对称的，则它是偶函数，它的图象必关于y 轴对称，因为当x≥0时，|x|=x ，所以函数y=f(|x|)的图象在y 轴右半平面的部分(包括同y 轴的交点)是函数y=f(x)在x≥0时的部分，左半平面的部分应是右半平面的部分沿y 轴翻折而得到的.(2)函数y=|Asin(ωx+φ)|的图象是保留y=Asin(ωx+φ)的上半平面部分，而把下半平面的部分沿x 轴翻折上去而得到的.对于y=|Acos(ωx+φ)|、y=|tan(ωx+φ)|的图象也是如此.函数y=|sin(ωx+φ)|的周期变为ωπ，而y=|tan(ωx+φ)|的周期仍是ωπ. 知识点三 建立数学模型解决实际问题例5 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位：小时)的函数，下面是时间与水深的数据：图1-6-7根据上述数据描出的曲线如图1-6-7所示，经拟合，该曲线可近似看成正弦函数y=Asinωt+b 的图象.(1)试根据以上数据，求出y=Asinωt+b 的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天(24小时)安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？ 思路分析：观察问题所给的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，可依据给出的数据与图象确定函数解析式中的参数A,ω,b 的值. 解：(1)由表中数据可知b=2713+=10，A=3. 由T=ωπ2=12,得ω=6π. 所以y=3sin6πt+10. (2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y 应大于等于7+4.5=11.5米.令y=3sin6πt+10≥11.5，可得sin 6πt≥21. ∴2kπ+6π≤6πt≤2kπ+65π,k ∈Z.∴12k+1≤t≤12k+5,k ∈Z.取k=0，则1≤t≤5，取k=1，则13≤t≤17；而取k=2，则25≤t≤29(不合题意).∴在凌晨1点至5点和下午13点至17点，该船能够安全进港.船舶要在一天之内在港内停留时间最长，就应在凌晨1点进港，而下午的17点前离港，在港内停留的时间最长不能超过16小时.例6 如图1-6-8，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m.风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).图1-6-8(1)求函数h=f(t)的关系式； (2)画出函数h=f(t)的图象.思路分析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力.解：(1)如图1-6-9，以O 为原点，过点O 的切线为x 轴，建立直角坐标系.图1-6-9设点A 的坐标为(x,y)，则h=y+0.5.设∠OO 1A=θ，则cosθ=22y -,y=-2cosθ+2.又θ=122π×t 即t 6πθ=, 所以y=-2cos 6πt+2,h=f(t)=-2cos 6πt+2.5.(2)函数h=f(t)=-2cos 6πt+2.5的图象如图1-6-10.图1-6-10问题•探究 方案设计探究问题 根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界期和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置).请根据自己的出生日期，绘制自己的情绪和智力曲线.探究思路：从生日前一天起，连续一个月记录自己每天在情绪、体力、智力方面的表现，之后绘制自己的情绪和智力曲线.并比较生日相同的同学所绘制的情绪和智力曲线是否相同，通过实际操作，研究情绪和智力曲线对每个同学的指导是否有效.探究结论：根据实际情况得出结论，总结在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力. 材料信息探究在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落.一般地，海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”.由于潮汐与港口的水深有密切的关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用.一般地，船涨潮时驶入航道，靠近码头，卸货后，在落潮时回到海洋.某港口工作人员在2006年8月1日从0时至24时记录的时间t(小时)与水深d(米)的关系如探究过程：观察上表中所给的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.根据表中的数据作出图象，从图象可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用一个类似于正弦函数的函数来刻画，此函数可记为y=Asin(ωx+φ)+k(A ＞0,ω＞0,φ∈［0,π］). 由上表可知，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，周期为12.则有⎩⎨⎧=-=+,5.2,5.7A k k A 则A=25，k=5，12=ωπ2,即ω=6π. 由上表还可得点(3，7.5)在函数的图象上，则有7.5=25sin(6π×3+φ)+5，即sin(2π+φ)=1，再由φ∈［0,π］得φ=0.由上可得函数的解析式为y=x 6sin 255π+,x ∈［0,24］. 探究结论：上表中时间与水深的函数解析式可以近似地用函数y=x 6sin 255π+,x ∈［0,24］来描述.思想方法探究问题 怎样求方程sinx=10x解的个数？ 探究过程：根据我们所学的知识，还不能解出这个方程.这时不妨采用数形结合的方法，把求方程根的个数的问题转化为求函数y=sinx 与y=10x的交点个数的问题.此外，解题时还应注意两个函数的奇偶性及图象的特性.具体方法是：作出当x≥0时，y=sinx 与y=10x的图象，由图可知它们有4个交点(包括原点).又因为y=sinx 与y=10x都是奇函数，它的图象关于原点对称，所以，当x ＜0时，两图象有3个交点.所以，函数y=sinx 与y=10x共有7个交点，即方程sinx=10x有7个根.探究结论：sinx=10x是一个超越方程，用代数的方法是无法求解的.对超越方程,我们可以利用数形结合的方法求其近似解和其解的个数.具体方法是：首先将方程化为f(x)=g(x)的形式，其中f(x)、g(x)的图象可以画出.然后画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们交点的横坐标为方程的解，而交点的个数为方程解的个数.。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明教案示例：一、教学目标1.理解三角函数模型的基本概念和性质；2.能够应用三角函数模型解决实际问题；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
二、教学内容1.三角函数模型的概念和性质；2.三角函数模型的简单应用。
三、教学重点1.理解三角函数模型的概念和基本性质；2.能够运用三角函数模型解决实际问题。
四、教学方法1.讲授法：通过教师讲授和示范，引导学生理解三角函数模型的概念和特点；2.案例法：通过具体实例，让学生运用三角函数模型解决实际问题，提高问题解决能力；3.合作学习法：通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。
五、教学步骤和内容详细说明步骤一：引入1.导入话题：通过提问和讨论，引导学生思考在现实生活中有哪些问题可以用三角函数模型来解决。
2.引入概念：介绍三角函数模型的概念和基本性质，引导学生理解三角函数模型的意义和应用范围。
步骤二：探究与讲解1.设计实例：给学生一个具体实例，引导他们通过观察和探究，了解三角函数模型的具体应用。
2.讲解三角函数模型的基本概念、公式和性质，帮助学生建立起三角函数模型的基本框架。
步骤三：梳理与总结1.梳理知识：回顾三角函数模型的基本概念和公式，让学生用自己的话总结出三角函数模型的特点和应用方法。
2.综合训练：设计一些综合性的应用题，让学生运用所学知识解决问题，提高解题能力。
步骤四：拓展与延伸1.拓展应用：给学生一些更复杂的实际问题，让他们运用所学知识进行分析和解答，培养他们的建模能力和创新思维。
2.延伸探究：引导学生思考三角函数模型的局限性和应用范围，鼓励他们用不同的方法去解决同一个问题。
六、教学资源和工具1.教材：高中数学必修4教材；2.工具：白板、多媒体投影仪等。
七、教学评价1.提问评价：通过提问方式，检查学生对三角函数模型的理解程度；2.综合评价：通过学生的实际表现和作业完成情况，评价他们运用三角函数模型解决实际问题的能力。
《三角函数模型的简单应用》的教学设计
《三角函数模型的简单应用》的教学设计教学设计：三角函数模型的简单应用一、教学目标：1.了解三角函数的概念和基本性质；2.掌握三角函数的图像和性质；3.掌握如何利用三角函数模型解决实际问题。
二、教学重点：1.三角函数的概念、基本性质及图像；2.如何应用三角函数模型解决实际问题。
三、教学内容：1.三角函数的概念和性质：正弦、余弦和正切函数的定义及性质；2.三角函数的图像和性质：了解正弦、余弦和正切函数的图像、特点和性质；3.三角函数模型的简单应用：掌握如何利用三角函数模型解决实际问题。
四、教学过程：1.导入（5分钟）教师通过引入一个简单的实际问题，如一个船在河中流动的问题，引导学生发现问题中涉及到角度和距离的关系，从而引出三角函数模型的应用。
2.讲解三角函数的概念和性质（15分钟）教师讲解三角函数的定义及性质，引导学生了解正弦、余弦和正切函数的定义和特点。
3.讲解三角函数的图像和性质（20分钟）教师讲解正弦、余弦和正切函数的图像、特点和性质，帮助学生了解三角函数的变化规律。
4.解决实际问题（30分钟）教师通过几个实际问题的讲解，引导学生掌握如何利用三角函数模型解决实际问题，如计算建筑物的高度、船在河中的速度等。
5.练习与讨论（20分钟）让学生进行相关练习，并进行讨论和解答。
通过互动讨论，加深对三角函数模型的理解。
6.总结与拓展（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，并展示一些拓展的问题，激发学生对三角函数的兴趣和好奇心。
五、教学手段：1.多媒体课件：用于展示三角函数的图像和性质；2.实物模型：如玩具船、建筑物模型等，用于辅助学生理解实际问题；3.白板和彩色笔：用于讲解和解题。
六、教学反馈：通过课堂练习和讨论，以及课后作业的批改和讲解，及时检查学生对三角函数模型的掌握情况。
同时鼓励学生多进行实际问题的应用练习，加深对知识的理解和运用能力。
七、教学评价：通过对学生的课堂表现、课后作业和考试成绩等多方面进行评价，全面了解学生对三角函数模型的掌握情况，并根据评价结果进行针对性的改进和提升。
高中数学人教A版必修4《三角函数模型的简单应用》教案
1.6 三角函数模型的简单应用教材：高中数学人教A版必修4第一章第六节第一课时一、教学目标知识目标：从实际问题中发现周期性变化的规律，并把发现的规律抽象为恰当的三角模型，进而解决相关实际问题。
能力目标：能够正确转化函数的图像模型和解析式模型来解决实际问题；能从实际问题中抽象出恰当的数学模型来解决问题。
体会形结合思想、类比学习思想及数学建模数的思想方法。
情感目标：在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。
二、教学重点与难点重点：运用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
难点：如何从实际问题中抽象出三角函数模型，并用相关知识解决实际问题。
三、教学方法与手段教学方法：三段六步法教学。
学习方法：自主探究、观察发现、合作探究、归纳总结。
教学手段：运用多媒体辅助教学。
四、教学基本流程步骤师生活动作图观察得：函数y=|x-1|的图象是将y=x-1的图象_______________________________而得到。
２）画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期。
作图观察得：函数y=|sinx|的图象是将y=sinx的图象______________而得到。
由图像知函数y=|sinx|的周期是_________ 验证：由于|sin( x+___)| =|sinx|, 所以函数y=|sinx|的周期是_______通过分级分难度的设置问题，降低了解决问题的难度，使学生通过动手动脑很快解决问题。
培养学生用类比学习的方法来解决问题。
让学生到黑板上画图并解答这两个问题，老师适当引导，适时给予鼓励与肯定，激发学生学习和探索新知的兴趣和热情。
三、释疑：问题（1）属于根据________模型求解_________模型问题。
问题（2）属于根据_________模型求解______模型，并根据______认识性质。
提高概括能力,体会数学中式和形两种不同数学模型互相转化解决问题的思想方法，提升对三角函数模型应用问题的认识和解决能力。
《三角函数模型的简单应用》的教学设计
《三角函数模型的简单应用》的教学设计教学设计：《三角函数模型的简单应用》教学目标：1.了解三角函数模型的基本概念和定义；2.掌握三角函数模型在实际问题中的简单应用；3.培养学生的创造思维和解决问题的能力。
教学重点：1.三角函数模型的基本概念和定义；2.三角函数模型在实际问题中的简单应用。
教学难点：1.将实际问题转化为三角函数模型；2.处理和解决实际问题中遇到的不确定因素。
教学准备：1.教学课件PPT；2.教学实例和练习题；3.板书工具。
教学步骤：第一步：导入新知识（10分钟）1.教师通过提问的方式引入新知识，如：“我们知道三角函数是一种与角度相关的函数，它在几何中的基本应用是什么？还有哪些实际应用呢？”2.学生回答后，教师简要介绍三角函数模型的基本概念和定义。
第二步：讲解三角函数模型的基本原理（15分钟）1.教师通过PPT和板书，详细讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质，以及它们的简单图像表示。
第三步：示范解题（25分钟）1.教师展示一些实际问题，并演示如何将问题转化为三角函数模型，并求解。
2.教师通过步骤分解、解析图像、比例关系等方式，逐步解决问题，并解释每一步的思路和方法。
3.学生在观摩教师示范后，跟随教师一起解答相关问题。
第四步：合作讨论（15分钟）1.学生分成小组，针对给定问题进行合作讨论和解决。
2.学生通过合作讨论，共同找出问题解决的思路和方法，并进行尝试和验证。
3.学生之间可以相互讨论和交流，促进思维的碰撞和问题的解决。
第五步：练习巩固（20分钟）1.教师发布几个练习题，让学生个人独立完成。
2.学生完成练习题后，教师进行点评和解析，指导学生找出解题中的问题和改正方法。
第六步：拓展应用（15分钟）1.教师提出一些较为复杂的实际问题，并引导学生尝试将问题转化为三角函数模型，并进行求解。
2.学生进行小组合作讨论和解决，培养他们的创造思维和解决问题的能力。
第七步：作业布置（5分钟）1.教师布置相关课后作业，要求学生将实际问题转化为三角函数模型，并求解。
1.6《三角函数模型的简单应用》教案(新人教必修4)
4-1.6三角函数模型的简单应用【知识与技能】1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 【过程与方法】例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数x y sin =与正弦函数有紧密的联系.例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。
应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。
关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
补充例题例题：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？ 解：（1）lg f g l T l g ππωπω21,22===∴=Θ；（2）cm g l T 8.24412≈==π，即若. 【情态与价值】 一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ）A.t v y 0=B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 0 2. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）A ．2π B.0 C.π D.π32 3.某人向正东方向走x 千米后向右转ο150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为ο30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成ο60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____. 三、解答题6. 三个力321..F F F 同时作用于O 点且处于平衡，已知ο13521的夹角为与F F ，牛顿，的夹角为与2120232=F F F ο，求31F F 和7、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?三角函数小结和复习【知识与技能】理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。
3、《三角函数模型的简单应用》教学设计.[修改版]
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第一篇：3、《三角函数模型的简单应用》教学设计.直线和圆的位置关系教学设计课题: 三角函数模型简单应用设计者:学院: 数学学院时间: 2015-9-24 三角函数模型的简单应用一、教学目标1、知识与技能:a 通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会由图象求解析式的方法; b 根据解析式作出图象并研究性质; c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程; d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2、过程与方法:让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想, 从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.3、情感态度价值观:让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,让学生切身感受数学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重难点教学重点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
教学难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的三角函数关系来建立数学模型,并运用相关学科的知识来解决问题.三、教学过程1. 情景展示,新课导入【师】经过前面的学习, 大家知道, 在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象, 而要定量地去刻画这些现象, 我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。
这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。
【师】老师想问大家一个问题:若干年后, 如果在座的各位有机会当上船长的话, 当你的船只要到某个港口去,你作为船长,你希望知道关于那个港口的一些什么情况? 【生】水深情况。
【师】是的, 我们要到一个陌生的港口时, 是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表。
那么这张表格是如何产生的呢?请同学们看下面这个问题。
问题探究1:如图所示,下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5【师】请同学们仔细观察表格中的数据,你能够从中得到一些什么信息? 【生】(思考中发现水深的最大值是7.5米,最小值是2.5米。
导学案2：1.6 三角函数模型的简单应用
必修四第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评．“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评．“巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题．“能力展示”5分钟，教师作出总结性点评．通过本节学习应达到如下目标：1．三角函数日常生活、建筑学中的应用2．发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界．3．通过合作学习培养合作精神．学习重点：三角函数日常生活、建筑学中的应用学习难点：三角函数日常生活、建筑学中的应用学习过程1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.二.合作探讨如何理解五点法作图及根据函数的图象解题巩固练习1.给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.42.在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tanC A C A ++的值为__________. 3.在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =54，则cos2(B +C )=__________.4.已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积.四.个人收获与问题知识：方法：我的问题：五.拓展能力：5.如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？答案：一. 巩固练习一、1.解析：其中(3）(4）正确.答案： B二、2.解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ， .32tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴C A C A C A C A C A C A 故π 答案：33.解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°.∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C )=53. ∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =53. 即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53. ∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524， ∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625527. 答案：625527 三、4.解：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积：S =S △ABD +S △CDB =21·AB ·AD sin A +21·BC ·CD ·sin C ∵A+C =180°，∴sin A =sin C故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =21(2×4+6×4)sin A =16sin A 由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A 在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ，∴64cos A =－32，cos A =－21，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°=83. 五.拓展能力：5.解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r ， R R h Rk I Rk R k I Rk R k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得。
三角函数模型的简单应用 学案 导学案 课件
三角函数模型的简单应用【学习目标】体会三角函数是描述周期变化现象的重要的数学模型；学会将简单的实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型，从而利用三角函数的相关知识解决问题【课前导学】1．应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．解决问题的一般程序是：(1)审题：先审清楚题目条件、要求，理解数学关系；(2)建模：分析题目条件(如周期性等)，选择适当三角函数模型；(3)求解：对所建立的三角函数模型进行分析研究，得到数学结论；(4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答．2．解决有关三角函数的实际问题时，要注意：自变量x的变化范围；数形结合，通过观察图形，获得本质认识；要认真仔细地审题，多进行联想、运用适当的数学模型；涉及复杂的数据，往往需要借助使用信息技术工具．3．通常用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b来刻画现实生活中重复出现的现象.例1.某港口相邻两次高潮发生的时间间隔12 h 20 min，低潮时入口处水的深度为2.8 m，高潮时为8.4 m，一次高潮发生在10月3日2∶00.(1)若从10月3日0∶00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)求出10月5日4∶00水的深度例2已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosω t＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acosω t＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？。
三角函数模型的简单应用优秀教学设计
三角函数模型的简单应用优秀教学设计教学目标：1.了解三角函数的概念和性质；2.理解三角函数在几何图形中的应用；3.掌握三角函数的计算方法；4.能够应用三角函数解决简单实际问题。
教学内容：1.三角函数的概念和性质：引导学生学习正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义和性质，包括定义域、值域、图像特点等。
2.三角函数在几何图形中的应用：通过几何图形的展示，引导学生理解三角函数与角度之间的关系，以及三角函数在几何图形中的具体应用。
3.三角函数的计算方法：通过例题演示，教授学生如何计算给定角度的正弦、余弦、正切等数值。
4.应用三角函数解决简单实际问题：通过实际问题的引入，让学生学会如何应用三角函数解决实际问题，如测量高楼的高度、计算斜坡的角度等。
教学步骤：第一步：导入通过引用一个有趣的生活场景，如打渔的故事，激发学生的学习兴趣，引出三角函数的概念和应用。
第二步：概念讲解介绍正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和性质，包括定义域、值域、图像特点等。
通过示意图和实例进行讲解，让学生更加直观地理解三角函数的含义。
第三步：几何图形展示展示一系列几何图形，如正弦曲线、余弦曲线、切线、圆等，引导学生分析图形中的角度和三角函数之间的关系。
让学生通过观察图像，能够发现和总结规律。
第四步：计算方法演示通过例题演示，教授学生如何计算给定角度的正弦、余弦、正切等数值。
通过实际计算过程，帮助学生理解计算方法，并加深记忆。
第五步：应用解决实际问题引入一些简单实际问题，如测量高楼的高度、计算斜坡的角度等，让学生通过应用三角函数解决问题。
通过解决实际问题，帮助学生巩固所学的知识，并培养应用能力。
第六步：练习和巩固组织学生进行练习和巩固，包括选择题、填空题和解答题等形式。
通过练习，加深学生对三角函数的理解和掌握程度。
第七步：总结和拓展通过总结所学的知识和方法，概括三角函数的应用特点和解题技巧。
引导学生思考更多实际问题的解决思路，拓展思维和应用能力。
三角函数模型的简单应用教案(详细的)
三角函数模型的简单应用一、教学目标1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质三、教学难点：a、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．b、由图象求解析式时 的确定。
五、教学设计分析《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一,在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间,促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。
通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题。
在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界,是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器,同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。
增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案【教学内容】三角函数模型的简单应用【教学目标】1. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 掌握解决几何问题时应用三角函数模型的方法；3. 培养学生从实际问题中抽象出三角函数模型的能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【教学重点】1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 解决几何问题时应用三角函数模型的方法。
【教学难点】学生解决实际问题时抽象出三角函数模型的能力。
【教学方法】1. 讲授法：通过讲解三角函数模型的定义和性质，让学生理解三角函数模型的概念和基本思想；2. 举例法：通过讲解几个综合实例，让学生理解应用三角函数模型解决问题的基本方法；3. 练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识。
【教学过程】一、引入让学生观察、思考以下两个图象，引出三角函数模型的概念及相关性质。
例1 例2二、讲解1. 什么是三角函数模型三角函数模型是指用正弦函数、余弦函数、正切函数等描述几何问题及物理问题的模型。
正弦函数、余弦函数、正切函数是一种列函数，用于描述三角形的内角与长度之间的关系。
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象（1）正弦函数的图象正弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的奇函数。
（2）余弦函数的图象余弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的偶函数。
（3）正切函数的图象正切函数的图象是一个无量纲的周期函数，周期为π，无定义域上的最大值和最小值，其图象相对于 y 轴是奇函数。
三、练习例1 解：构造如下图形，已知 $BC=6$ cm，$m\angleB=30^\circ$，求 $AC$ 和 $AB$ 的长度。
（1）分析题意，选用何种三角函数模型。
设 $\angle ABC=\theta$，则有 $\angle BAC=150^\circ -\theta$，观察正弦函数的定义式，选用正弦函数。
高中数学《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明
《三角函数模型的简单应用》（第1课时）教案教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修4知识与技能：深刻体会三角函数模型应用的三个层次，灵活运用三角函数图像与性质求解实际问题的方法；学会分析问题并创造性地解决问题。
过程与方法：在自主探究的活动中，明白考虑问题要细致，说理要明确；渗透数形结合、化归的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。
情感、态度、价值观：理性描述生活中的周期现象；培养喜学数学、乐学数学、爱学数学的数学情感。
教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型，并调动相关学科的知识来解决问题。
教法：创设情景法、引导发现法。
学法：自主探索、尝试总结。
教学手段：借助多媒体教学，增大课堂容量、提高联系效率。
特点一：问题生活化一、创设情景，呈现问题提出问题问题一：冲浪池中橡皮圈移动的路径像哪类函数？问题二：某一橡皮圈的路径如图所示，并近似满足满足函数b x A y ++=)sin(ϕω，请找出其解析式。
提出问题，板书课题，引导学生发现最值与A 、b 之间的关系和提醒学生注意自变量范围。
观察图象，找出20b 0810====、、、ϕπωA 解决问题。
角函数模型周期，激发学生的学习兴趣，使学生获得成功喜悦，增强学习自信心，营造轻松的课堂气氛。
变式训练 如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数bx A y ++=)sin(ϕω。
（1）求这一天的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.提出问题，提问学生。
观察图象，求出解析式（运用待定系数法）。
学生体会题目多样性的同时，渗透了数学的化归思想。
特点二：探究深入化 教学环节 教学内容教师活动 学生活动 设计意图动画演示给出函数y=x 与y=|x|关于x 轴的翻折效果。
(见附件一)课件演示翻折效果。
观察动画，思考图象关系。
利用函数图像的直观性，通过观察图像而获得对函数性质的认识。
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1.6三角函数模型的简单应用（一）学案 学习要求：
掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；选择合理三角函数模型解决实际问题；培养用已有的知识解决实际问题的能力.
学习重点：
待定系数法求三角函数解析式.
一、自主学习
1、已知电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是),0[),3
100sin(5+∞∈+=t t i π
π (1)电流i 变化的周期是______,频率是______振幅是______初相是_________
(2)当电流t=600
1s 时，电流i=______；当电流t=1501s 时，电流i=_________
2、函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）
二、合作探究
例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++，
（1） 求这一天6到14时的最大温差
（2） 试求这段曲线的函数解析式.
（3）这一天12时的温度大概是多少？
讨论：如何由图中的几何特征得到曲线的各参量A 、b 、ω，φ？
讨论结果：
解答过程：
例2：作出函数y ＝｜sin x ｜的图象，指出它的周期、值域、奇偶性和单调区间. 利用绝对值的几何意义作简图并讨论： 如何利用图形研究函数的性质？
讨论结果：
解答过程：
变式：研究y ＝sin|x| 的性质？
3. 知识小结：
4、课堂检测
1、教材65页练习第一题
2、如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.
（i ）试根据图象写出sin()y A t ωϕ=+的解析式.
（ii ）在任意一段3100
秒的时间内，电流I 既能取得最大值A ，又能取得最小值－A 吗？。