山东科技大学2015-2016高等数学期中考试试卷

山东科技大学2015—2016学年第 一 学期

《高等数学》期中考试试卷

班级 姓名 学号

一、填空题（每小题5分，共15分）

1.

设lim )0,x ax b →-∞

-=则a =_________，b =________。

2. 设()sin

cos 22

x

f x x =+,(27)()f π=___________。 3.已知2)3(='f ，则h

f h f h 2)

3()3(lim

0--→= 。

二、单项选择题（每小题5分，共15分）

1. 当0x →时，变量211

sin x x

是（ ）

()A 无穷小 ()B 无穷大

()C 有界但不为无穷小 ()D 无界但不为无穷大

2. x

x

x +-=

11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有（ ） （A ）α是比β高阶的无穷小 （B ）α是比β低阶的无穷小 （C ）α与β同阶无穷小，但不等价 （D ）βα~

3. )(6

1sin 43

x R x x x +-

=其中=)(4x R ( ) （A ）

5!5cos x ξ- （B ）5

!5cos x ξ （C ）5!5sin x ξ （D ）5

!

5sin x ξ-（上述各式中ξ介于0与x 之间）

三、计算题（每小题8分，共40分）

1. 求极限 x x x e e x

x x cos sin lim tan 0--→。

2. 求极限 x

x x

x )121lim

2+-∞

→（。 3. 讨论2

cos

2(1)

x

y x x π=

-的连续性，若有间断点判断其类型，如是可去间断点补充定义使其连续。 4.

设ln arctan x y t

⎧⎪=⎨=⎪⎩ 22d y dx 。

5. 设()y y x =由方程2610y e xy x ++-=所确定，求

''(0)y 。

四、解答题（共10分）

设()()sin f x x x ϕ=，其中()x ϕ的一阶导数连续，且 (0)0ϕ=，'(0)0ϕ=，试判断()f x 在

0x =处是否二阶可导。

五、证明题（每小题10分，共20分）

1.设函数()f x 在(,)-∞+∞内二阶可导,且()1,f x ''>0

()

lim

2,x f x x

→= 试证明：2

1()22

f x x x ≥+

。 2．设函数()f x 在[,]a b 上有二阶导数,()()f a f b =,试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得

2()

()f f b ξξξ

'''=

- 。