解三角形最全知识点总结

解 三 角 形

正弦定理

要点1 正弦定理

在一个三角形中，各边和所对角的正弦值的比相等，即a sinA ＝b sinB ＝c

sinC

.

要点2 解三角形

三角形的三个角A ，B ，C 和三条边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. 正弦定理可以解决的问题

1.已知两角及一边解三角形，只有一解.

2.已知两边及一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解.

方法1:计算法.

方法2：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．

在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：

要点3 正弦定理的变式

C

B A c b a sin :sin :sin ::)1(=R

A a

C B A c b a C A c a C B c b B A b a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin )

2(==++++=++=++=++

A c C a

B c

C b A b B a sin sin ;sin sin ;sin sin )3(===

B C

b A C a

c A B a C B c b C A c B A b a sin sin sin sin ;sin sin sin sin ;sin sin sin sin )4(======

（边化角）C R c B R b A R a sin 2;sin 2;sin 2)5(===

要点5 常用结论

1．A ＋B ＋C ＝π.

2．在三角形中大边对大角，大角对大边．

3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；

sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2

.

5．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A

6．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π

3]；

若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π

3

.

7.sin A ＝sin B ⇔A ＝B ； sin(A －B )＝0⇔A ＝B ； sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π

2

A 为锐角 A 为钝角或直角

图形

关系式 a

（角化边）R c C R b B R a A 2sin ;2sin ;2sin )6(===

要点4 三角形的面积公式 B

ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆

题型一 解三角形

例1 已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B.

例2(1)在△ABC 中，(1)a ＝6，b ＝2，B ＝45°，求C ；

(2)A ＝60°，a ＝2，b ＝23

3

，求B ；

(3)a ＝3，b ＝4，A ＝60°，求B.

题型二 判断三角形解的个数

(1)在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝45°.则满足此条件的三角形的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个

(2)在△ABC 中，已知b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一个解 B ．两个解 C ．无解 D ．无法确定

(3)已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若这个三角形有两解，求x 的取值范围

【解析】 例1 ∵a sinA ＝c sinC ，∴a ＝csinA sinC ＝10×sin45°

sin30°

＝10 2.

B ＝180°－(A ＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.

又∵b sinB ＝c sinC ，∴b ＝csinB sinC ＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．

例2(1)由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝asinB b ＝6×

2

2

2＝32

.

又0°b ，∴A>B.∴A ＝60°或120°.∴C ＝75°或C ＝15°. (2)由正弦定理，得sinB ＝

bsinA

a

＝233×3

2

2

＝

22.∵a ＝2＝323

>b ，∴A>B ，∴B ＝45°. (3)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4×

3

23＝2

3

>1.∴这样的角B 不存在．

练习(1)A ． (2) B. (3)2

题型三 判断三角形的形状 例3 (1)在△ABC 中，已知a 2tanB ＝b 2

tanA ，试判断△ABC 的形状．

(2)在△ABC 中，若sinA ＝2sinB ·cosC ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2

C ；

(3)在△ABC 中，cosA a ＝cosB b ＝cosC

c

.

【解析】 (1)由已知，得a 2sinB cosB ＝b 2

sinA

cosA

.由正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB(R 为△ABC 的外

接圆半径)，得4R 2sin 2AsinB cosB ＝4R 2sin 2

BsinA

cosA

.∴sinAcosA ＝sinBcosB ，∴sin2A ＝sin2B.

∵2A ∈(0，2π)，2B ∈(0，2π)，

∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π

2

.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

(2)由已知a 2＝b 2＋c 2

.∴A ＝90°，C ＝90°－B.

由sinA ＝2sinB ·cosC ，得1＝2sinB ·cos(90°－B)．∴sinB ＝2

2

(负值舍去)．

∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 为等腰直角三角形．

(3)由已知，得cosA sinA ＝cosB

sinB

.∴cosA ·sinB ＝cosB ·sinA.∴tanA ＝tanB.

∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B.同理可证：B ＝C.∴△ABC 为等边三角形．