高等数学基础第四次作业
高等数学作业
高等数学作业AⅡ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．下列反常积分收敛的是( )． （A ）⎰∞+2d ln x xx； （B ）⎰∞+2d ln 1x x x ； （C ）⎰∞+22d )(ln 1x x x ；（D ）⎰∞+2d ln 1x xx ．2．下列反常积分发散的是( )． （A ）⎰-11d csc x x ；（B ）⎰--112d 11x x；（C ）⎰∞+23d 1x x；（D ）⎰∞+23d )(ln 1x x x ．3．设)(x f 、()g x 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =，()y g x =，直线b x a x ==,所围成平面图形的面积为( )．（A ）[()()]d ba f x g x x -⎰；（B ）[|()||()|]d baf xg x x -⎰；（C ）|()()|d baf xg x x -⎰；（D ）[()()]d b af xg x x -⎰．4．设曲线2y x =与直线4y =所围图形面积为S ，则下列各式中，错误的是 ( )．（A ）2202(4)d S x x =-⎰；（B ）02S y =⎰；（C ）2202(4)d S x y =-⎰；（D ）02S x =⎰．5．设点(,sin )A x x 是曲线sin (0)y x x π=≤≤上一点，记()S x 是直线OA （O 为原点）与曲线sin y x =所围成图形的面积，则当0x +→时，()S x 与( )．（A ）x 为同阶无穷小； （B ）2x 为同阶无穷小； （C ）3x 为同阶无穷小； （D ）4x 为同阶无穷小．6．设0()()g x f x m <<<（常数），则由(),(),,y f x y g x x a x b ====所围图形绕直线y m =旋转所形成的立体的体积等于( )．（A ）(2()())(()())d ba m f x g x f x g x x π-+-⎰；（B ）(2()())(()())d bam f x g x f x g x x π---⎰；（C ）(()())(()())d bam f x g x f x g x x π-+-⎰；（D ）(()())(()())d bam f x g x f x g x x π---⎰．二、填空题 1．已知反常积分⎰∞+0d e 2x x ax 收敛，且值为1，则=a ．2．⎰=-41)4(d x x x ．３．2d 25xx +∞-∞=+⎰．４．反常积分0d (0,0)1mnx x m n x+∞>>+⎰，当,m n 满足条件 时收敛． 5．由曲线2cos2r θ=所围成的平面图形面积为 ． 三、计算题1．用定义判断无穷积分0e d 1e xxx -∞+⎰的收敛性，如果收敛则计算积分值．2．判断反常积分的收敛性：1x+∞⎰3．用定义判断反常积分4⎰．的收敛性，如果收敛则计算积分值．4．求由曲线2xy=与32+=xy围成图形的面积．5．计算由x轴，曲线1-=xy及其经过原点的切线围成的平面图形绕x轴旋转所生成立体体积．6．求摆线(sin)(1cos)x a t ty a t=-⎧⎨=-⎩的一拱(02)tπ≤≤的长度以及摆线与x轴所围图形的面积．7．在曲线2(0)=≥上某点A处作一切线，使之与曲线以x轴所围图形的面积为y x x1，试求：12（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所围成旋转体体积．8．半径为r的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中提出，问需作多少功？第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．平面1=+z y （ ）． （A ）平行于yoz 平面； （B ）平行于x 轴； （C ）平行于xoz 面；（D ）平行于xoy 平面．2．平面1=z 与曲面14222=++z y x （ ）． （A ）不相交；（B ）交于一点；（C ）交线为一个椭圆；（D ）交线为一条抛物线．3．方程z y x =-4222所表示的曲面为（ ）． （A ）椭球面； （B ）柱面； （C ）双曲抛物面； （D ）旋转抛物面．4．过点(1,2,4)-且与平面234x y z -+=垂直的直线方程是（ ）． （A ）124231x y z -+-==--； （B ）238x y z -+=； （C ）124124x y z -+-==-；（D ）124231x y z ---==-． 5．设有直线182511:1+=--=-z y x L 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x L ，则L 1与L 2的夹角为（ ）．（A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π． 6．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ ）．（A ）平行于π； （B ）在π上； （C ）垂直于π； （D ）与π斜交．二、填空题1．设,a b 均为非零向量，且||||+=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ． 2．与直线⎩⎨⎧=+-=++0132z y x z y x 平行的单位向量为 ．3．点0(1,2,1)M 到平面2210x y z π++=:的距离为 ．4．若||3=a ，||=b a ，b 间夹角为34θπ=，则||+=a b ，||⨯=a b ．5．xoz 平面上的曲线1x =绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 ．6．曲线⎩⎨⎧=-+--=032622z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程为 ．7．已知向量a ，b ，c 两两相互垂直，且||1=a ，||=b ，||1=c ，则有||++=a b c ．三、计算题 1．求过直线1212:102x y z L --+==-，且平行于直线221:212x y zL +-==--的平面π的方程．2．求点(2,1,3)到直线11321x y z+-==-的距离．3．设空间三点)2,1,1(-A ，)4,5,4(B ，)2,2,2(C ，求三角形ABC 的面积．4．求过平面02=+y x 和平面6324=++z y x 的交线，并切于球面4222=++z y x 的平面方程．5．设有直线210:210x y z L x y z ++-=⎧⎨-++=⎩，平面:0x y π+=求直线L 与平面π的夹角；如果L 与π相交，求交点．6．模长为2的向量a 与x 轴的夹角是4π，与y 轴的夹角是3π，试求向量a 的坐标．第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．22003limx y xyx y →→=+（ ）． （A ）32； （B ）0； （C ）65； （D ）不存在．2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处（ ）．（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--．4．若(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ ）． （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界； （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续；（C ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续； （D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++． 二、填空题1．z =的定义域为 ．2．00x y →→= ．3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f ，=')4,3(y f ． 4．设ln(32)u x y z =-+，则d u = ． 5．设yz x =，则2z x y∂=∂∂ ．三、计算题1．已知2)z f =，且当1y =时z x =，求()f t 及z 的表达式．2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．3．设(1)y z xy =+，求d z ．4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．四、证明题1．设r=0r≠时，有2222222r r rx y z r∂∂∂++=∂∂∂．2．证明函数(,)f x y=(0, 0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微．第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．设22()y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，则zx∂∂=（ ）． （A ）2222()xyf x y --；（B ）222222()()xyf x y f x y '---；（C ）22222()()yf x y f x y '---；（D ）2222222()()()f x y yf x y f x y '-----． 2．设方程(,,)0F x y y z z x ---=确定z 是x ，y 的函数，F 是可微函数，则z x∂∂=（ ）．（A ）13F F '-'； （B ）13F F ''； （C ）x zy zF F F F --；（D ）1323F F F F ''-''-．3．设(,),(,),(,)x x y z y y z x z z x y ===都由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（ ）．（A ）1x yy x∂∂=∂∂； （B ）1x zz x∂∂=∂∂； （C ）1x y zy z x∂∂∂=∂∂∂；（D ）1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂．4．设(,),(,)u u x y v v x y ==都是可微函数，C 为常数，则在下列梯度运算式中，有错误的是（ ）．（A ）0C ∇=；（B ）()Cu C u ∇=∇； （C ）()u v u v ∇+=∇+∇；（D ）()uv v u u v ∇=∇+∇．5．()u f r =，而r =，且函数()f r 具有二阶连续导数，则22ux∂+∂2222u uy z ∂∂+=∂∂( )． （A ）1()()f r f r r '''+；（B ）2()()f r f r r '''+； （C ）211()()f r f r r r'''+；（D ）212()()f r f r r r '''+．6．函数(,)u f x y =在点00(,)x y 处沿任一方向的方向导数都存在是它在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在的( )条件．（A ）充分必要； （B ）必要非充分； （C ）充分非必要；（D ）既非充分又非必要．二、填空题1．已知(1,2)4,d (1,2)16d 4d ,d (1,4)64d 8d f f x y f x y ==+=+，则(,(,))z f x f x y =在点（1, 2）处对x 的偏导数为 ．2．由方程e z xy yz zx -+=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（1, 1）处的全微分为 ．3．r 在点（0, 0）处沿x 轴正向的方向导数为 ．4．函数2222u x y z xy yz =++-+在点(1,2,3)--处的方向导数的最大值等于 ． 三、计算与解答题 1．设f 是C (2)类函数，22(e ,)xyz f x y =-，求2zx y∂∂∂．2．设32(32)x yz x y-=-，求d z．3．设f，ϕ是C(2)类函数，x yz yf xy xϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，证明：（1）222z zx yx x y∂∂+=∂∂∂；（2）222222z zx yx y∂∂-=∂∂．4．设arctan yx，求22ddyx．5．设e sin,e cos,uux u vy u v⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求,u vx y∂∂∂∂．6．设2(,,),(,e ,)0,sin y u f x y z x z y x ϕ===，其中求f ，ϕ是C (1)类函数，求d d u x．7．求函数ln()z x y =+的点(1, 2)处沿着抛物线24y x =的该点切线方向的方向导数．第五次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线( )． （A ）只有一条；（B ）只有两条；（C ）至少有三条； （D ）不存在．2．设函数(,)f x y 在点(0, 0)附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==，则( )． （A ）d (0,0)3d d z x y =+；（B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}； （C ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1,0,3}；（D ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{3,0,1}．3．曲面()z x f y z =+-的任一点处的切平面 ( )． （A ）垂直于一定直线；（B ）平等于一定平面； （C ）与一定坐标面成定角；（D ）平行于一定直线．4．设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上是C (2)类函数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的 ( )． （A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最得到值点在D 的边界上． 5．函数sin sin sin u x y z =满足条件(0,0,0)2x y z x y z π++=>>>的条件极值为( )．（A ）1； （B ）0；（C ）16； （D ）18．二、填空题1．如果曲面6xyz =在点M 处的切平面平行于平面63210x y z -++=，则切点M 的坐标是 ．２．曲面224x y z +=与平面4y =的交线在2x =处的切线与x 轴正向所成的角为 ．３．曲线2224914,1x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,1,1)-处的法平面方程是 ．４．22z x y =+在条件1x y +=下的极小值是 ．５．函数u 在点(1,1,1)M 处沿曲面222z x y =+在该点的外法线方向的方向导数是 ．三、计算题1．求曲线222226,x y z z x y ⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程．2．过直线102227,x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求其方程．3．证明曲面2/32/32/32/3(0)++=>上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距x y z a a平方和等于2a．4．求函数22=++的极值．(,)(2)lnf x y x y y y5．求函数22D x y x y{(,)|25}=+≤上的最大值和=+-+在区域22(,)1216f x y x y x y最小值．6．求曲面1=的一个切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大．阶段测试题学院 班级 姓名 学号一、单项选择题（每小题3分，满分18分）1．曲面2222x y z a ++=与222x y ax +=（0a >）的交线是（ ）． （A ）抛物线 （B ）双曲线（C ）椭圆（D ）圆2．极限00limx y xyx y →→+（ ）．（A ）为0 （B ）为1 （C ）为∞ （D ）不存在3．双纽线22222()x y x y +=-所围成区域面积可用定积分表示为（ ）．（A ）42cos2d πθθ⎰（B ）404cos2d πθθ⎰（C）2θ⎰（D ）2401(cos 2)d 2πθθ⎰4．曲线22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)M -处的切线必平行于（ ）．（A ）xoy 平面 （B ）yoz 平面 （C ）zox 平面（D ）平面0x y z +-=5．(,)arctan xf x y y=的(0,1)处的梯度等于（ ）． （A ）i（B ）j （C ）-j （D ）-i6．已知(,)x f x y 、(,)y f x y 在（0，0）连续，则(,)z f x y =在（0，0）处，()(,0)x f x φ=在0x =处（ ）． （A ）均连续 （B ）均不一定连续（C ）均不连续（D ）()x φ一定连续，(,)f x y 不一定连续二、填空题（每小题3分，满分21分） 1．2d 25xx +∞-∞=+⎰．2．若向量(3,5,8)=-a 与(1,1,)z =-b 的和与差的模相等，则z = ．3．已知3(,)e ln 2x f x y y =，则1(0,)2x f '= ，(0,1)yyf ''= ． 4．23u xy z xyz =+-在点(1,1,1)M 处沿b = 方向的方向导数最大，方向导数的最大值为 ．5．设11[()()]()d 22x atx atu x at x at f t ta φφ+-=++-+⎰，其中(2),f C φ∈，则22222u u a t x ∂∂-=∂∂ ． 6．曲面224x y z +=与平面4y =的交线在2x =处的切线与x 轴正向所成的角为 ．7．设20(,e )d x y tz f t t =⎰，其中f 具有一阶连续偏导数，则2zx y∂=∂∂ ．三、解答题（每小题8分，满分40分） 1．判断反常积分e1⎰2．设直线0:30x y b L x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π上，且平面π又与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5)-，求,a b 的值．3．求曲线y =的一条切线l ，使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的图形面积最小．4．(2,sin )(e ln )x z f x y y x xg y =-+，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数。
高等数学基础作业答案
高等数学基础第一次作业点评1第1章 函数第2章 极限与连续(一)单项选择题⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等.A 、 2)()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f =,x x g =)(C 、 3ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称.A 、 坐标原点B 、 x 轴C 、 y 轴D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ).A 、 )1ln(2x y += B 、 x x y cos =C 、 2xx a a y -+= D 、 )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ).A 、 1+=x yB 、 x y -=C 、 2xy = D 、 ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的就是( D ).A 、 12lim 22=+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0=+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量.A 、 x x sinB 、 x 1C 、 xx 1sin D 、 2)ln(+x点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。
A 、 )()(lim 00x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C 、 )()(lim 00x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=二、填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2⒊=+∞→xx x)211(lim .21e⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ,在0=x 处连续,则=k .e⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点就是 .0=x⒍若A x f x x =→)(lim 0,则当0x x →时,A x f -)(称为 .无穷小量三计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求:)1(,)0(,)2(f f f -.解:2)2(-=-f0)0(=f e e f ==1)1(点评:求分段函数的函数值主要就是要判断那一点就是在哪一段上。
高三数学下学期第四次校内诊断考试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校西北师范大学附属2021届高三下学期第四次校内诊断考试数学〔理〕试题第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以，应选答案C。
2.假设复数满足，其中为虚数单位，那么复数的模为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，那么，应选答案A。
3.〕，使得，那么都有〔2〕～〔3〕回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为，那么回归直线方程为〔4〕“〞是“〞的充分不必要条件A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】知，曲线的对称轴为，那么，故②正确；样本中心点满足回归直线方程，由回归直线的斜率估计值可求得回归直线方程．③正确；由．结合根本不等式可得，反之，由得．故“〞是“〞的充分不必要条件．④正确．故此题选．4.函数，直线是它的一条对称轴，且是离该轴最近的一个对称中心，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由直线是它的一条对称轴，且是离该轴最近的一个对称中心，可得，所以，即，又因为直线是它的一条对称轴，且是离该轴最近的一个对称中心，那么，所以，应选B．考点：三角函数的图象与性质．5.执行如下列图的程序框图，那么输出的结果是〔〕A.14B.15C.16D.17【答案】C【解析】第一次循环：，不满足；第二次循环：，不满足；第三次循环：，不满足；第一次循环：，不满足；；第十五次循环：，满足；。
应选C。
6.某三棱锥的三视图如下列图，且三个三角形均为直角三角形，那么三棱锥的体积为〔〕A.32B.C.D.【答案】D【解析】由三视图可知该三棱锥的直观图〔如下列图〕，底面为直角三角形，且底面，设，那么，解得，所以该三棱锥的体积为；应选C.7.设满足约束条件假设，那么仅在点处获得最大值的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知：，即，故，由题设，所以，应选答案B。
国开电大-高等数学基础-第1-4次作业答案
高等数学基础第一次作业第1章 函数第2章 极限与连续（一） 单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A 、2()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R定义域不同，所以函数不相等；B 、()f x x ==，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等；C 、3()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21()11x g x x x -==+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。
故选C⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称故选C⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=分析：A 、()()()()22ln(1)ln 1y x x xy x -=+-=+=，为偶函数B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C 、()()2x xa a y x y x -+-==，所以为偶函数 D 、()ln(1)y x x -=-，非奇非偶函数故选B⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y 分析：六种基本初等函数（1） y c =（常值）———常值函数（2） ,y x αα=为常数——幂函数 （3） ()0,1x y a a a =>≠———指数函数 （4） ()log 0,1a y x a a =>≠———对数函数（5） sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====——三角函数（6） [][]sin ,1,1,cos ,1,1,tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x=-=-==——反三角函数分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对 对照比较选C⒌下列极限存计算不正确的是（D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x分析：A 、已知()1lim 00n x n x→∞=>2222222211lim lim lim 1222101x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞====++++ B 、0limln(1)ln(10)0x x →+=+=初等函数在期定义域内是连续的C 、sin 1limlim sin 0x x x x xx →∞→∞==x →∞时，1x是无穷小量，sin x 是有界函数，无穷小量×有界函数仍是无穷小量D 、1sin1lim sin lim1x x x x x x→∞→∞=，令10,t x x =→→∞，则原式0sin lim 1t t t →== 故选D⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． A.x x sin B. x1C. xx 1sinD. 2)ln(+x 分析；()lim 0x af x →=，则称()f x 为x a →时的无穷小量A 、0sin lim1x xx →=，重要极限B 、01lim x x→=∞，无穷大量C 、01lim sin 0x x x →=，无穷小量x ×有界函数1sin x 仍为无穷小量D 、()0limln(2)=ln 0+2ln 2x x →+=故选C⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。
吉大20秋《高等数学(理专)》作业1--4
1.曲线y=x^2+x-2在点（1.5，1.75）处的切线方程为（）A.16x-4y-17=0B.16x+4y-31=0C.2x-8y+11=0D.2x+8y-17=0参考答案：A2.设X0是函数f（x）的可去间断点，则（）A.f（x）在x0的某个去心领域有界B.f（x）在x0的任意去心领域有界C.f（x）在x0的某个去心领域无界D.f（x）在x0的任意去心领域无界参考答案：A3.直线y=2x，y=x/2，x+y=2所围成图形的面积为（）A.2/3B.3/2C.3/4D.4/3参考答案：A4.计算y=3x^2在[0，1]上与x轴所围成平面图形的面积=（）A.0B.1C.2D.3参考答案：B5.f（x）={0（当x=0）} {1（当x≠0）}则（）A.x-0，limf（x）不存在B.x-0，lim[1/f（x）]不存在C.x-0，limf（x）=1D.x-0，limf（x）=0参考答案：C6.x=0是函数f（x）=xarctan（1/x）的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点参考答案：B7.设f（x）是可导函数，则（）A.∫f（x）dx=f'（x）+CB.∫[f'（x）+C]dx=f（x）C.[∫f（x）dx]'=f（x）D.[∫f（x）dx]'=f（x）+C参考答案：C8.已知y=4x^3-5x^2+3x-2，则x=0时的二阶导数y”=（）A.0B.10C.-10D.1参考答案：C9.集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示（）A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合参考答案：B10.集合A={±2，±3，±4，±5，±6}表示（）A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合参考答案：B11.设函数f（x）=x（x-1）（x-3），则f'（0）=（）A.0B.1C.3D.2参考答案：C12.已知z=3sin（sin（xy）），则x=0，y=0时的全微分dz（）A.dxB.dyC.dx+dyD.0参考答案：D13.下列结论正确的是（）A.若|f（x）|在x=a点处连续，则f（x）在x=a点也必处连续B.若[f（x）]^2在x=a点处连续，则f（x）在x=a点也必处连续C.若[f（x）]^3在x=a点处连续，则f（x）在x=a点也必处连续D.若f（x）在x=a点处连续，则1/f（x）在x=a点也必处连续参考答案：C14.设函数f（x-2）=x^2+1，则f（x+1）=（）A.x^2+2x+2B.x^2-2x+2C.x^2+6x+10D.x^2-6x+10参考答案：C15.设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，且在[a，b]区间积分∫f（x）dx=∫g（x）dx，则（）A.f（x）在[a，b]上恒等于g（x）B.在[a，b]上至少有一个使f（x）≡g（x）的子区间C.在[a，b]上至少有一点x，使f（x）=g（x）D.在[a，b]上不一定存在x，使f（x）=g（x）参考答案：C16.无穷小量是一种很小的量。
高等数学基础形成性作业及答案1-4
⾼等数学基础形成性作业及答案1-4⾼等数学基础形考作业1：第1章函数第2章极限与连续（⼀）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A.2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C.3ln )(xx f =，x x g ln 3)(= D.1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D.x y =⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A.)1ln(2x y += B. x x y cos =C.2x x a a y -+=D.)1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A.1+=x y B. x y -=C.2xy = D.,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（D ）． A.12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x xC. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（C ）是⽆穷⼩量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满⾜（A ），则)(x f 在点0x 连续。
A.)()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C.)()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（⼆）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是()+∞,3．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2-x ．⒊=+∞→xx x0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=ke ．⒌函数?≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是0=x ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为时的⽆穷⼩量0x x →。
高等数学基础(19秋)形考作业4
高等数学基础（19秋）形考作业4
1、
A 1,2
B 1,-1
C
D
我的得分：10分
我的答案：C
2、
我的得分：10分
我的答案：C
3、
A
B
C
D
我的得分：10分我的答案：D
4、
A ∞
B -∞
C 0
D
我的得分：10分我的答案：D
5、
A
B
C
D
我的得分：10分
我的答案：A
6、下列命题正确的是（）
A 驻点一定是极值点
B 极值点一定是驻点
C 可导的极值点一定是驻点
D 不可导点一定不是极值点我的得分：10分
我的答案：C
7
A
B
C
D
我的得分：10分
我的答案：B
8、
A 与Δx 是等价的无穷小
B 与Δx 是同阶的无穷小
C 比Δx 低阶的无穷小
D 比Δx 高阶的无穷小
我的得分：10分
我的答案：C
9、
A 高阶无穷小
B 同阶无穷小，但不等价
C 低阶无穷小
D 等价无穷小
我的得分：10分我的答案：A
10、
A 1
B 2
C 3
D 4
我的得分：10分我的答案：C。
高三数学下学期第四次综合训练试题 文
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————2019届高三数学下学期第四次综合训练试题 文本试题共 5 页，共 23 题。
满分为150分，考试时间120分钟。
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、若复数z ＝2i ＋21i+，其中i 的虚数单位，则复数z 的模为 ( )A ．1BCD ．22、设A ，B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞)B ．[0,1)∪[2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2]3、已知1:1,:1p x q x><，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也非必要条件4、已知平面,αβ，直线,l m ，且有,l m αβ⊥⊂，给出下列命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若//l m ，则αβ⊥；③若αβ⊥，则//l m ；④若l m ⊥，则//αβ，其中正确命题个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 （ ）A ．383cmB ．343cmC ．323cmD ．313cm6、已知等差数列{a n }的公差为2，若前17项和为S 17=34，则a 12的值为（ ）A ． 8B ． 6C ． 4D ． 27、若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．-7D ．28、已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2=2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ） A ． 2B ．2C.4D ． 49、“中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．5和1.6B ．5和0.4C ．85和0.4D ．85和1.610、在区间[]0,2π上任取一个数x ，则使得2sin 1x >的概率为 A ．16 B ．14 C ．13 D ．2311、阅读如图所示的程序框图,若输入的10k =,则该算法的功能是A ．计算数列{}12n -的前10项和B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和 12、设直线l 与曲线()321f x x x =++有三个不同的交点,,A B C ，且AB BC ==，则直线l 的方程为A ．51y x =+B ．41y x =+C ．1y =+D ．31y x =+二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、在数列{}n a 中，112n n a a +=，11a =，若n S 是数列{}n a 的前n 项和，则20S = . 14、已知函数(0)x y a b b =+>，1>a ，它的图像经过点(1,3)P ，则411a b+-的最小值为 .15、圆O 内接∆ABC 中，M 是BC 的中点，3AC =.若4AO AM ⋅=，则AB = .16、如图,在Rt△BAC 中,,90︒=∠A D,E 分别是AC,BC 上的点，且满足︒=∠=∠30CDE ADB ,BE=4CE,若CD=3,则△BDE 的面积为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2021年国开电大《高等数学基础》第四次作业答案
2021年国开电大《高等数学基础》第四次作业答案高等数学基础第四次作业第5章 不定积分第6章 定积分及其应用（一）单项选择题⒈若)(x f 的一个原函数是x1，则=')(x f （D ）． A. x ln B. 21x- C. x 1 D. 32x ⒉下列等式成立的是（D ）．A. )(d )(x f x x f ='⎰B. )()(d x f x f =⎰C. )(d )(d x f x x f =⎰D. )(d )(d d x f x x f x=⎰ ⒊若x x f cos )(=，则='⎰x x f d )(（B ）． A. c x +sin B. c x +cosC. c x +-sinD. c x +-cos⒋=⎰x x f x xd )(d d 32（B ）． A. )(3x f B. )(32x f xC. )(31x fD. )(313x f ⒌若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f x d )(1（B ）．A. c x F +)(B. c x F +)(2C. c x F +)2(D.c x F x +)(1 ⒍下列无穷限积分收敛的是（D ）．A.⎰+∞1d 1x x B. ⎰+∞0d e x x C. ⎰+∞1d 1x x D. ⎰+∞12d 1x x（二）填空题⒈函数)(x f 的不定积分是 ．⎰+=c x F dx x f )()(⒉若函数)(x F 与)(x G 是同一函数的原函数，则)(x F 与)(x G 之间有关系式 ．)(x G =)(x F +c⒊=⎰x x d e d 2 ．dx e x 2 ⒋='⎰x x d )(tan ．tanx+c⒌若⎰+=c x x x f 3cos d )(，则=')(x f ．x 3cos 9- ⒍⎰-=+335d )21(sin x x ．3 ⒎若无穷积分⎰∞+1d 1x x p收敛，则p ．>1（三）计算题⒈⎰x x x d 1cos2 解：原式=⎰+-=-c xx d x 1sin 11cos ⒉⎰x x x d e解：原式=⎰+=c e x d ex x 22 ⒊⎰x x x d ln 1解：原式=⎰+=c x x d x)ln(ln ln ln 1 ⒋⎰x x x d 2sin 解：原式=⎰-x xd 2cos 21 =)2sin 212cos (21c x x x +-- ⒌⎰+e 1d ln 3x x x 解：原式=x d x x d x d x ee e ln ln ln 3ln )ln 3(111⎰⎰⎰+=+=1)ln 21ln 3(2e x x +=270213=-+ ⒍⎰-102d e x x x解：原式=⎰⎰---=--e x e x xde x d xe 121221)2(21 =1)21(2122e e xe x x --+-=)2321(21)2121(21122222-+-=--+⋅-+-----e e e e e e e e e e e e ⒎⎰e1d ln x x x解：原式=⎰⎰-=e e dx x e x x x xd 112221ln 22ln =412142222+=-e e x e ⒏⎰e12d ln x x x 解：原式=e e x e dx x e x x x d x e e 2111111ln 1)1(ln 121-=--=+-=-⎰⎰ （四）证明题⒈证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为奇函数，则0d )(=⎰-aa x x f ．证明：因为 )(x f 是奇函数，所以 )()(x f x f -=- dx x f dx x f x x f aa a a ⎰⎰⎰+=--00)()(d )( 令t x -= 则 dt dx -= x -a 0t a 0于是：⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aa a adx x f dx t f dt t f dx x f 0000)()()()( 故：⎰⎰⎰⎰⎰=+-=+=--a a a a a a dx x f dx x f dx x f dx x f x x f 00000)()()()(d )( ⒉证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为偶函数，则⎰⎰=-aaa x x f x x f 0d )(2d )(．证明：因为)(x f 在],[a a -上是偶函数 所以 )()(x f x f =-令t x -= 则 dt dx -= x -a 0t a 0于是：⎰⎰⎰⎰==--=-aa a adx x f dt t f dt t f dx x f 0000)()()()( 故：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+=--a a a a a a a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f x x f 00000)(2)()()()(d )( ⒊证明：⎰⎰-+=-aaa x x f x f x x f 0d )]()([d )( 证明：dx x f dx x f x x f a a aa ⎰⎰⎰+=--00)()(d )( 令t x -= 则 dt dx -= x -a 0 t a 0⎰⎰⎰⎰-=-=--=-a a a a dx x f dx t f dt t f dx x f 0000)()()()( 于是：dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f a a a a a a ⎰⎰⎰⎰⎰+-=+=--0000)()()()()( =dx x f x f a⎰+-0))()((。
高等数学基础形成性作业及答案1-4
A.
B.
C.
D.
⒌下列极限存计算不正确的是（D）．
A.
B.
C.
D.
⒍当时，变量（C）是无穷小量．
A.
B.
C.
D.
⒎若函数在点满足（A），则在点连续。
A.
B. 在点的某个邻域内有定义
C.
D.
（二）填空题
⒈函数的定义域是．
⒉已知函数，则 x2-x ．
⒊．
⒋若函数，在处连续，则 e ．
⒌函数的间断点是．
⒍若，则当时，称为。
⒋函数满足的点，一定是的（C ）．
A. 间断点
B. 极值点
C. 驻点
D. 拐点
⒌设在内有连续的二阶导数，，若满足（ C ），则在取到极小值．
A. B.
C. D.
⒍设在内有连续的二阶导数，且，则在此区间内是（ A ）．
A. 单调减少且是凸的
B. 单调减少且是凹的
C. 单调增加且是凸的
D. 单调增加且是凹的
⒋曲线在处的切线方程是。
⒌设，则
⒍设，则。
（三）计算题
⒈求下列函数的导数：
⑴
解:
⑵
解：
⑶ 解： ⑷ 解： ⑸
解： ⑹ 解： ⑺ 解： ⑻ 解： ⒉求下列函数的导数： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解： ⑷ 解： ⑸ 解： ⑹ 解：？ ⑺ 解： ⑻ 解： ⑼ 解： ⒊在下列方程中，是由方程确定的函数，求： ⑴ 解： ⑵ 解： ⑶ 解：
第5章
第6章
（一）单项选择题
⒈若的一个原函数是，则（D）．
A.
B.
C.
D.
不定积分 定积分及其应用
⒉下列等式成立的是（D）．
A
高等数学作业(高升专)答案
高等数学作业答案（高起专）第一章函数作业（练习一）参考答案一、填空题1．函数x x x f -+-=5)2ln(1)(的定义域是]5,3()3,2(2.函数392--=x x y 的定义域为),3(]3,(+∞⋃--∞。
3．已知1)1(2+=-x e f x ，则)(x f 的定义域为()+∞-,1 4．函数1142-+-=x x y 的定义域是),2[]2,(∞+--∞ 。
5．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x 二、单项选择题1. 若函数)(x f y =的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域是( C ) .A . ),0(∞+B . ),1[∞+C . ]e ,1[D . ]1,0[ 2. 函数x y πsin ln =的值域是( D ).A . ]1,1[-B . ]1,0[C . )0,(-∞D . ]0,(-∞ 3．设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -⋅是（C ）． A.单调减函数； B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数4．函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f xx （ B ） A.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。
5．若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （B ） A.2x ； B. 22-x ； C.2)1(-x ； D. 12-x 。
6．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．A ． xB ．x + 1C ．x + 2D ．x + 37． 下列函数中，（B ）不是基本初等函数．A ． xy )e1(= B ． 2ln x y = C ． xxy cos sin =D ． 35x y = 8．设函数⎩⎨⎧>≤=0,00,cos )(x x x x f ，则)4(π-f =（C）．A ．)4(π-f =)4(πf B ．)2()0(πf f =C ．)2()0(π-=f fD ．)4(πf =229. 若函数1)e (+=x f x ，则)(x f = ( C ) .A . 1e +xB . 1+xC . 1ln +xD . )1ln(+x10. 下列函数中=y （B ）是偶函数.A . )(x fB . )(x fC . )(2x fD . )()(x f x f --第二章极限与连续作业（练习二）参考答案一、填空题1．________________sin lim=-∞→xxx x 答案：12.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a 2, =b -8。
高等数学(第三版)各章实验作业题答案
1. 作出函数[]53()3123,2,2f x x x x x =+-+∈-的图像．第1题图2. 求下列各极限．（1）1lim 1nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭; （2）sin lim x x x →∞;（3）0sin lim x x x →; （4）10lim x x e +→．解（1）11lim 1enn n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）sin lim 0x x x →∞=；（3）0sin lim 1x xx →=； （4）12lim e x x e →3. 求方程20.2 1.70x x --=的近似解（精确到0.0001）． 解 1 1.2077x ≈-，2 1.4077x ≈． 4. 探究高级计算器的其他功能．（略）1. 求函数3(21)y x x =-的导数； 操作：在命令窗口中输入：>> syms xy=x^3*(2*x -1); dy=diff(y) 按Enter 键，显示：dy = 3*x^2*(2*x -1)+2*x^3 继续输入：>> simplify(dy) % 将导数化简 按Enter 键，显示： ans =8*x^3-3*x^2即 3283y x x '=-． 2. 求函数()ln 1y x x =-+的二阶导数； 操作：在命令窗口中输入： >> syms xy=1-log(1+x); dy=diff(y,x,2) 按Enter 键，显示： dy = 1/(1+x)^2即 21(1)y x ''=+． 3.函数4322341y x x x x =-+-+在区间[-3,2]上的最小值． 操作：在命令窗口中输入：>>x=fminbnd('x^4-2*x^3+3*x^2-4*x+1',-3,2) y=x^4-2*x^3+3*x^2-4*x+1 按Enter 键，显示： x =1 y =-11．求下列不定积分（1）在命令窗口中输入： >> syms xint(x/(sqrt(x^2+1)),x)按键Enter 键，显示结果： ans = (x^2+1)^(1/2)即c +.（2）在命令窗口中输入： >> syms xint(x^3*cos(x))按键Enter 键，显示结果：ans =x^3*sin(x)+3*x^2*cos(x)-6*cos(x)-6*x*sin(x) 即332cos =sin 3cos 6cos 6sin x xdx x x x x x x x c +--+⎰. 2．求下列定积分（1）在命令窗口中输入： >> int((-3*x+2)^10,x,0,1) 点击Enter 键，显示结果： ans = 683/11 即1100683(-3+2)d =11x x ⎰. （2）在命令窗口中输入： >> int(x*sin(x),x,0,pi/2)点击Enter 键，显示结果： ans = 1 即 π20sin d =1x x x ⎰.3．求广义积分0e d x x x -∞⎰.操作：在命令窗口中输入： >>int(x*exp(x),x,-inf,0)按Enter 键，显示结果： ans =-1 即e d =1xx x -∞-⎰.1. 230y y y '''++=.操作：在命令窗口中输入： >> syms x y;y=dsolve('D2y -4*Dy -5*y=0','x') 显示：y =C1*exp(5*x)+C2*exp(-x)即满足所给初始条件的特解为：512xx y c e c e -=-．2. 232sin xy y e x '''-=.操作：在命令窗口中输入： >> syms x y;y=dsolve('D2y -3*Dy=2*exp(3*x)*sin(x)','x') 显示：y = -3/5*exp(3*x)*cos(x)-1/5*exp(3*x)*sin(x)+1/3*exp(x)^3*C1+C2即满足所给初始条件的特解为：33312311cos sin 553xxxy e x e x c e c =--++． 整理得：33213cos +sin 5xxy e x x ce c =-++（）（令113c c =）3. +cos x y y y e x '''+=+，00x y ==，032x y ='=.操作：在命令窗口中输入： >> syms x y;y=dsolve('D2y+Dy+y=exp(x)+cos(x)','y(0)=0', 'Dy(0)=3/2', 'x') 显示：y = -1/3*exp(-1/2*x)*cos(1/2*3^(1/2)*x)+1/3*exp(x)+sin(x)即满足所给初始条件的特解为：211cos()sin 323x xy e e x -=-++．1. 绘制平面曲线ln y x =． 操作：在命令窗口中输入： >> x=1:0.02: exp(2); y=log(x); plot(x,y);按Enter 键，显示下图：2. 绘制空间曲面2232z x y =-. 操作：在命令窗口输入 >>[x,y]=meshgrid(-4:0.5:4); z=-3*x.^2-2*y.^2; surf(x,y,z)按Enter 键，显示下图：3. 绘制空间曲线23,23.t t t x e y e z e ---⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩操作：在命令窗口输入>>t=0:0.01:1;x=exp(-t);y=exp(-2*t)/4;z=3*exp(-3*t)/9;plot3(x,y,z)按Enter键，显示下图：实验6作业题1. 求函数cos z xy =的偏导数. 操作：在命令窗口中输入：>> dz_dx=diff('cos(x*y)', 'x ') 显示dz_dx = -sin(x*y)*y 继续输入：>> dz_dy=diff('cos(x*y)', 'y ') 显示：dz_dy =-sin(x*y)*x即sin zx xy x∂=-∂， sin z x xy y ∂=-∂2. 计算函数23y x y =-的极值.操作：在matlab 中依次选择“File\New\M -File ”，在弹出的M 文件编辑窗口中在命令窗口中输入：clear all;clc syms x y;z=x^3-6*x-y^3+3*y;dz_dx=diff(z,x); %计算z 对x 的偏导数 dz_dy=diff(z,y); %计算z 对y 的偏导数 [x0,y0]=solve(dz_dx,dz_dy); %求驻点x0,y0A_=diff(z,x,2); %计算z 对x 的二阶偏导数B_=diff(diff(z,x),y); %计算z 对x,y 的二阶混合偏导数 C_=diff(z,y,2); %计算z 对y 的二阶偏导数 x0=double(x0); %数据转换 y0=double(y0);n=length(x0); %计算x0中元素的个数 for i=1:nA_x=subs(A_, x,x0(i)); %把x=x0(i)(即x0的第i 个元素值)代入z 对x 的二阶偏导数A=subs(A_x, y,y0(i)); %继续把y=y0(i)(即y0的第i 个元素值)代入z 对x 的二阶偏导数,得到AB_x=subs(B_, x,x0(i)); %把x=x0(i)代入z 对x 、y 的二阶混合偏导数 B=subs(B_x, y,y0(i)); %继续把y=y0(i)代入二阶混合偏导数,得到B C_x=subs(C_, x,x0(i)); %把x=x0(i)代入z 对y 的二阶偏导数C=subs(C_x, y,y0(i)); %继续把y=y0(i)代入z 对y 的二阶偏导数，得到C D=A*C-B^2;text=['原函数在(',num2str(x0(i)), ', ',num2str(y0(i)), ')处' ]; if D>0fm=subs(x^3-6*x-y^3+3*y,{x,y},{x0(i),y0(i)}); %求函数值 if A>0disp([text, '有极小值',num2str(fm)]) %在命令窗口中输出 elsedisp([text, '有极大值',num2str(fm)])end end if D==0disp([text, '的极值情况还不确定，还需另作讨论' ]) end end保存后，选择M 文件编辑窗口中的“Debug\run ”，显示如下结果： 原函数在(1.4142,-1)处有极小值-7.6569 原函数在(-1.4142,1)处有极大值7.65693. 计算(2)d d Dx y x y -⎰⎰，D ：顶点分别为(0,0)，(1,1)和(0,1)的三角形闭区域；操作：在命令窗口中输入： >>syms x y;S=int(int(2*x-y,y,0,1-x),x,0,1) 显示： S=1/6即：二重积分1(2)d d =6Dx y x y -⎰⎰.实验7作业题1. 将函数xx f -=11)(展开为幂级数，写出展开至6次幂项. 操作：在命令窗口中输入： >> clear;clc syms x; f=1/(1-2*x); taylor(f,7,x) 显示：ans = 1+2*x+4*x^2+8*x^3+16*x^4+32*x^5+64*x^6即65432643216842111x x x x x x x ++++++=-. 2. 求函数2()tf t e =的拉氏变换.操作：在命令窗口中输入： >> clear;clc syms x;laplace(exp(2*t)) 显示： ans = 1/(s -2)即 21)(2-=s e L t. 3.求函数22()56s F s s s +=-+的拉氏逆变换.操作：在命令窗口中输入： >>syms silaplace((s+2)/(s^2-5*s+6)) 显示：ans =-4*exp(2*t)+5*exp(3*t)即 12256s L s s -+⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦234e 5e t t =-+.。
高等数学课后练习题答案 作业4无穷小与无穷大
1、根据无穷小的定义证明：1）当n →∞时，!n n n u n =是无穷小。
证明：0>∀ε!!10n n n n n n n-=< 取1N ε=，当n N >时恒有!0n n nε-< 所以当n →∞时，!n nn u n =是无穷小。
2）当0→x 时，221cos xx y =为无穷小 证明：0>∀ε 2221cos x xx ≤ 取εδ=，当δ<<x 0时，恒有ε<221cosx x 所以221cos xx y =当0→x 时为无穷小。
2、根据无穷大的定义证明：当0x →时，()12x f x x +=是无穷大。
证明：对于任给的0>M121122x x x x+=+>- 取12M δ=+，当00x δ<-<时，恒有12x M x+> 所以当0x →时，()12x f x x +=是无穷大。
3、当1x →时，将()223211x x f x x +-=+分解为一个常数于一个无穷小的和。
解：()()2222223212223321111x x x x x x f x x x x x +-+++-+===+-+++ ()213lim 101x x x x →+-=+4、求下列极限并说明理由1）()1lim 1x x x e →∞+ 解：因为()lim 1x x x e →∞+=∞，所以()1lim 01xx x e →∞=+ 2）101lim 1x x x e e →-+解：因为()0lim 10x x e →-=，1111x e <+，所以101lim 01x x x e e →-=+。
（有界量与无穷小的积还是无穷小）5、设0x x →时，()()A x g x f →∞→,，（A 为有限数）。
试证明下列各式： 1）()()()0lim x x g x f x →+=∞ 证明：对于任给0>M ，因为()∞=→x f x x 0lim ，所以存在01>δ，当100δ<-<x x 时， 恒有()23AM x f +>又因为()A x g x x =→0lim ，对于2A =ε，一定存在02>δ，当200δ<-<x x 时，恒有()()()2322A x g A A x g A A x g <⇒<-⇒<- 取{}21,min δδδ=，当δ<-<00x x 时()()()()3322A A g x f x f x g x M M +≥->+-= 所以()()()0lim x x g x f x →+=∞ 2）()()()1lim 0=+→x g x f x f x x 证明：因为()()()()()()x g x f x g x g x f x f +-+=+1，所以只需证明()()()0lim 0=+-→x g x f x g x x 由1）中证明，可得()()x g x f +为0x x →时的无穷大，由无穷大与无穷小的关系0x x →时，()()x g x f +1为无穷小，又因为()A x g x x =→0lim ，利用极限的性质，()x g 是局 部有界的，因此()x g -也是局部有界的。
高等数学基础形成性作业及答案1-4
高等数学基础形考作业1：第1章 函数 第2章 极限与连续（一） 单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A.2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C.3ln )(xx f =，x x g ln 3)(= D.1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D.x y =⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A.)1ln(2x y += B. x x y cos =C.2x x a a y -+=D.)1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A.1+=x y B. x y -=C.2xy = D.⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（D ）． A.12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x xC. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。
A.)()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C.)()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是()+∞,3．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2-x ．⒊=+∞→xx x)211(lim 21e ． ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=ke ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是0=x ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为时的无穷小量0x x →。
2021年高三数学下学期第四次统练试题 文
2021年高三数学下学期第四次统练试题文参考公式：球的表面积公式柱体的体积公式球的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高台体的体积公式其中表示球的半径锥体的体积公式其中分别表示台体的上底、下底面积，表示台体的高其中表示锥体的底面积，如果事件,互斥，那么表示锥体的高Ⅰ选择题部分（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集,集合，，则=A． B． C． D．2.“”是“直线和直线相互垂直”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.复数(是虚数单位)表示复平面内的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．执行如图所示的程序框图，那么输出的为A．l B．2 C．3 D．45.将函数的图像各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再把所得图像向右平移个单位长度，所得图像的函数解析式是( )A. B.C. D.6.已知实数满足不等式组,则的最大值是（）A. 5B. 4C. 3D. 07．设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是A．若// B．若//C．若// D．若//8．直线与圆相交于M、N两点，若|MN|≥，则的取值范围是A．B．C．D．9．若△内接于以为圆心，1为半径的圆，且，且,则A. 3B.C.D.10．已知是双曲线的两个顶点，点是双曲线上异于的一点，连接（为坐标原点）交椭圆于点，如果设直线的斜率分别为，且，假设，则的值为（）A．1 B． C． 2 D．4Ⅱ非选择题部分（共100分）二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分.将答案直接答在答题卷上的指定位置）11．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图是全等的矩形，底边长为2，高为3，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的体积是_______．12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6～8小时内的人数为．13.设正整数满足，则恰好使曲线方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是．14.已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为_________．15.已知，，，则的最小值为 .16.点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为 .17.设函数的导函数为且，则下列三个数：从小到大依次排列为．（e为自然对数的底数）三、解答题（本大题共5小题, 共72分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤）18.(本题满分14分）在三角形中，角所对的边分别为且(I)求角的大小;（II）若,且三角形的周长为,求三角形的面积19. (本题满分14分）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.（Ⅰ）求通项及；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.20．（本题满分14分）如图，在△中，，，点在上，交于，交于．沿将△翻折成△，使平面平面；沿将△翻折成△，使平面平面．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值．21.（本题满分15分）已知,函数.（Ⅰ）当,求函数f (x)的极值点；（Ⅱ）当时,不等式成立,求的范围.22.（本题满分15分）己知点为抛物线的焦点，斜率为1的直线交抛物线于不同两点．以为圆心，以为半径作圆，分别交轴负半轴于，直线交于点．（I）判断直线与抛物线的位置关系，并说明理由；（II）连接,,，记,,,设直线在轴上的截距为，当为何值时，取得最小值，并求出取到最小值时直线的方程.台州中学xx学年第二学期第四次统练参考答案高三数学(文)一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A C D C D B B B A C二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．11. 12. 30 13. 14.15. 6 16. 17.PQAOyM N（第22题）xFT19.解：（I ）因为是首项为公差的等差数列，所以（II ）由题意所以20.解：（Ⅰ）因为，平面，所以平面．因为平面平面，且，所以平面．同理，平面，所以，从而平面． 所以平面平面，从而平面．（Ⅱ）因为，，所以，，，．过E 作，垂足为M ，连结．由（Ⅰ）知，可得， 所以，所以．所以即为所求二面角的平面角，可记为．PABF C'B 'A E（第20题）M在Rt △中，求得， 所以．21、(Ⅰ) 解：（Ⅰ）由题意，3222'3222,234,2()|2|,()2,234,2x x x x x x f x x x f x x x x x x x ⎧⎧-≥-≥⎪⎪=-=∴=⎨⎨-+<-+<⎪⎪⎩⎩单调性:递减,递增,递减,递增,所以为极小值点,极大值点.（Ⅱ）设此最小值为m.①当因为 ),2,1(,0)32(323)(2∈>-=-='x a x x ax x x f 则是区间[1，2]上的增函数，所以②当0)(,0||)(,]2,1[,212=≥-=≤<a f a x x x f a 由上在区间时知③当).32(332)(,)(,]2,1[,2232x a x x ax x f x ax x f a -=-='-=>上在区间时 若]2,1[)(,0)()2,1(,3为区间从而内在区间x f x f a >'≥上的增函数， 由此得 若当]32,1[)(,0)(,321a x f x f a x 为区间从而时>'<<上的增函数； 当]2,32[)(,0)(,232a x f x f x a 为区间从而时<'<<上的减函数. 因此，当23,(1)1(2)4(2),a m f a m f a <<==-==-时或 当)2(4,1)2(4,372-=-≤-≤<a m a a a 故时； 当综上所述，所求函数的最小值1,10,1274(2)2371,3a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩当时当时当时当时解不等式解法二:先特殊值缩小范围,再参数分离求最值.40850 9F92 龒\33875 8453 葓24499 5FB3 徳]>24414 5F5E 彞37001 9089 邉37278 919E 醞/34152 8568 蕨 Ga。
2021年高三数学下学期第四次统练试题 理
2021年高三数学下学期第四次统练试题理本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：如果事件互斥，那么柱体的体积公式如果事件相互独立，那么其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生其中表示锥体的底面积，表示锥体的高次的概率球的表面积公式台体的体积公式球的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高其中R表示球的半径选择题部分（共50分）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数(是虚数单位)在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若集合,则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）。
可得这个几何体的体积是( )A． B．C． D．4. 二项式的展开式中常数项为（）A. 5B. 10C.D. 405.将函数的图象F向右平移，再向上平移3个单位，得到图象F′,若F′的一条对称轴方程是,则的一个可能取值是（）A. B. C. D.6. 一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b,负于对手（得0分）的概率为.已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则的最小值为( )A. B. C. D.7．已知函数，且实数满足，若实数是函数=的一个零点，那么下列不等式中不可能．．．成立的是（）A． B． C．D．8．已知点是的重心,若,,则的最小值是（）A．B．C．D．9.点P在双曲线上，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A. B. C. D.10.已知符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（）A．B． C． D．非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
高等代数作业
⾼等代数作业⾼等代数专题研究”是中央⼴播电视⼤学数学与应⽤数学专业本科的⼀门必修课程。
该课程是针对中央⼴播电视⼤学数学与应⽤数学专业的学⽣开设的。
它将已学过的代数知识（数的本质认识，数的发展历史，不等式、多项式理论、因式分解、初等排列组合和多项式的求根等）直接⽤到中学数学的教学与研究中。
本门课程的主要任务是,⼀⽅⾯使学⽣加深对代数学的理解，另⼀⽅⾯使学⽣从⾼等数学和⾼等代数的观点出发，对初等数学进⾏深⼊的研究，并能够建⽴起初等数学的严格的科学体系，有利于更好地进⾏初等数学的教学。
Ⅰ.关于课程考核说明与实施要求1.“⾼等代数专题研究”是中央⼴播电视⼤学本科开放教育数学与应⽤数学专业学⽣必修的⼀门专业基础课程。
通过本课程的学习，使学⽣掌握代数学的基本概念和基本原理，进⼀步提⾼抽象思维和逻辑推理的能⼒。
课程的结业考核合格⽔准应达到⾼等学校该专业本科教育的要求。
本考核说明是以本课程的教学⼤纲和指定的参考教材《⾼等代数专题研究》(王仁发主编中央⼴播电视⼤学出版社出版)为依据制定的。
2.考核要求分三个层次，有关概念、性质和定理等理论⽅⾯的要求从⾼到低为理解、了解和知道；有关⽅法、公式和法则等的要求从⾼到低为熟练掌握，掌握和会。
3.本课程的结业考核实⾏形成性考核和期末考试相结合的⽅式。
结业考核成绩满分100分，其中形成性考核成绩占20%,期末考试成绩占80%。
结业考核成绩满60分为合格。
4．关于形成性考核的说明形成性考核由平时作业成绩构成，根据教学进度，及时完成作业。
作业的内容和要求以及评定请参考⼴播电视⼤学“⾼等代数专题研究课程教学设计⽅案”5.关于终结性考试的说明终结性考试实⾏全国统⼀考试，根据本课程考核说明，由中央电⼤统⼀命题，统⼀评分标准，统⼀考试时间。
考试的组织实施和试卷的评定，由有关的各省、⾃治区和直辖市完成。
(1)终结性考试的内容和要求以本考核说明为准，要求考核基本概念、基本原理和基本运算。
命题覆盖⾯可适当宽些，但试题难度要适中，题量要适当。
2021年高三数学第四次阶段考试题 理
2021年高三数学第四次阶段考试题 理一、选择题：（共10小题，每小题5分，计50分）1．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 2．等差数列中，,,则数列的公差为（ ）A.1B.2C.3D.4 3．已知函数那么的值为（ ）A. B. C. D. 4．“实数”是“复数（）的模为”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中 的的值是（ ）A.2B.C.D.3 6． 若直线与垂直，则二项式的展开式中的系数为( )A ．B ．C ．D ．7．甲、乙、丙、丁四个人排成一行，则乙、丙相邻的排法种数是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．248．已知双曲线的左右焦点为，其中一条渐近线为，点在双曲线上， 若，则＝( )A ． B. C. D ．9．已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，，，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ． 10．已知函数，如果在区间上存在个不同的数使得比值成立，则的所有取值构成的集合是（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
把答案填在答题卡的相应位置。
11．某次数学成绩～,已知，则 .12．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率为 .13．设O 为坐标原点，点，若满足不等式组，则的最小值是 .14．设为抛物线的焦点，是抛物线上一点， 是圆C ：上任意一点，设点到轴UAB的距离为，则的最小值为．15.设函数、的定义域分别为，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数.设，为在上的一个延拓函数，且是奇函数.给出以下命题：①当时，；②函数有3个零点；③的解集为；④，都有。
其中所有正确命题的序号是 .三.解答题：本大题共6小题，共80分。
国家开放大学《高等数学基础》第1—4次作业参考答案
C. y
a x a x
2
D. y ln(1 x)
4.下列函数中为基本初等函数是（C）．
A. y x 1
B. y x
C. y x
2
1 , x 0
D. y
x0
1 ,
5.下列极限存计算不正确的是（D）．
x2
1
x x 2 2
2.若函数 f (x) 在点 x0 可导，且 x0 是 f (x) 的极值点，则 f ( x0 )
0
．
3.函数 y ln(1 x 2 ) 的单调减少区间是 （-∞，0） ．
2
4.函数 f ( x) e x 的单调增加区间是 （0，+∞） ．
5.若函数 f (x) 在 [a , b] 内恒有 f ( x) 0 ，则 f (x) 在 [a , b] 上的最大值是 f(a) ．
f ( x)
C. d f ( x)dx f ( x)
D.
d
f ( x)dx f ( x)
dx
3.若 f ( x) cos x ，则 f ( x)dx （B）．
A. sin x c
B. cos x c
C. sin x c
D. cos x c
4.
d
D. f ( x) x 1 ， g ( x)
x2 1
x 1
2.设函数 f (x) 的定义域为 (,) ，则函数 f ( x) f ( x) 的图形关于（C）对
称．
A.坐标原点
B. x 轴
C. y 轴
D. y x
3.下列函数中为奇函数是（B）．
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高等数学基础第四次作业
第5章 不定积分
第6章 定积分及其应用
（一）单项选择题
⒈若)(x f 的一个原函数是x 1
，则=')(x f （ ）．
A. x ln
B. 21
x
- C. x 1 D. 32
x
⒉下列等式成立的是（ ）．
A. )(d )(x f x x f ='⎰
B. )()(d x f x f =
⎰ C. )(d )(d x f x x f =⎰ D. )(d )(d d
x f x x f x =⎰
⒊若x x f cos )(=，则='⎰x x f d )(（ ）．
A. c x +sin
B. c x +cos
C. c x +-sin
D. c x +-cos ⒋=⎰x x f x x
d )(d d
32（ ）． A. )(3x f B. )(32x f x C. )(31
x f D. )(31
3
x f ⒌若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f x d )(1
（ ）．
A. c x F +)(
B. c x F +)(2
C. c x F +)2(
D. c x F x
+)(1
⒍由区间],[b a 上的两条光滑曲线)(x f y =和)(x g y =以及两条直线a x =和b x =所围成的平面区域的面积是（ ）．
A.
⎰-b a x x g x f ]d )()([ B. ⎰-b a x x f x g ]d )()([ C. ⎰
-b a x x g x f d )()( D. ⎰-b a x x g x f ]d )()([ ⒎下列无穷限积分收敛的是（ ）． A.
⎰+∞1d 1x x B. ⎰+∞0d e x x C. ⎰+∞
1d 1x x D. ⎰+∞12d 1x x
（二）填空题
⒈函数)(x f 的不定积分是 ．
⒉若函数)(x F 与)(x G 是同一函数的原函数，则)(x F 与)(x G 之间有关系
式 ． ⒊=⎰x x d e d 2 ． ⒋='⎰x x d )(tan ． ⒌若⎰+=c x x x f 3cos d )(，则=')(x f ． ⒍⎰-=+335
d )21(sin x x ． ⒎若无穷积分⎰∞+1d 1
x x p 收敛，则p ．
（三）计算题
⒈⎰x x x
d 1
cos 2
⒉⎰x x x
d e
⒊⎰x x x d ln 1
⒋⎰x x x d 2sin ⒌⎰+e 1d ln 3x x x
⒍⎰-10
2d e x x x
⒎⎰e 1
d ln x x x ⒏⎰
e 12d ln x x x
（四）证明题
⒈证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为奇函数，则0d )(=⎰-a a x x f ． ⒉证明：若)(x f 在],[a a -上可积并为偶函数，则⎰⎰=-a
a a x x f x x f 0
d )(2d )(． ⒊证明：⎰⎰-+=-a a
a x x f x f x x f 0d )]()([d )(。