七年级数学上册 5.3 应用一元一次方程—水箱变高了习题课件 (新版)北师大版
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北师大版七年级上册数学《应用一元一次方程―水箱变高了》一元一次方程PPT教学课件
课堂达标
等量关系：周长不变
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的
钉去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和
宽各为多少厘米？
10
解：设长方形的长为xcm
10
10
6
10
6
则 2(10+x)=10×4+6×2
解得
x=16
答：长方形的长为16cm，宽为10cm。
小结
4米
4 米
（2）设新水箱的高度是x米，填写下表：
3.2米
旧水箱
新水箱
x 底面半径/米
2
1.6
米
高/米
4
x
体积/立方米 π×22×4 π×1.62×x
4米
4 米
3.2米
（3）规范的解题过程： x
米 解：设新水箱的高度是x米
由题意，得 π×22×4= π×1.62×x 解方程，得 16π= 2.56πx
化而变化，当__长__=_宽____（即为_正__方_形__）时，面积最大。
2.练习变式 小华的父亲养了一群鸡，把它们圈在用80米篱笆围成的长为30米、
宽为10米的鸡圈内．为了扩大养鸡规模，利用现有的篱笆把鸡圈面积扩 大，你能帮他想想办法吗？
解：将80米的篱笆围成正方形时，面积最大 这时，正方形的边长为80÷4=20米。
2.列方程解应用题的步骤：
（1）审清题意，找准“__等__量___关系”； （2）设_未__知__数___； （3）列__方__程____； （4）正确求__解_____； （5）判明方程解的__合__理__性__；
（6）答。
3.下列过程中，哪些量变了？哪些量没变？根据不变量找出等量关系。 （1）用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱，然后把它变矮，变成一
北师大版数学七年级上册课件：5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 (共12张PPT)
5.3Βιβλιοθήκη 应用一元一次方程——水箱变高了
1、分析简单问题中的数量关系，建立方 解决问题
2、通过具体问题的解决体会利用方程解 问题的关键是寻找等量关系
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的 “瘦长”形水箱改造成底面直径为20厘米的 “矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下 新水箱的高变成了多少？
等量关系： 旧水箱的容积=新水箱的容积
x
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为(x+1.4)米 根据题意，得 x+x+1.4=10÷2
2x=3.6 x=1.8 长方形的长为1.8+1.4=3.2 ∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米
(2) 使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、 少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比 有什么变化？
(3) 使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时 的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变
解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得
x+x=10÷2
同样长的铁
围成怎样的四
x
x=2.5
形面积最大呢
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一 个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他 爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
x x+4
墙 铁线
如图所示，小明将一个正方形纸片 剪去一个宽为4厘米的长条后，在从剩下 的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长 条，如果两次剪下的长条面积正好相等，
4 5厘米
谢谢！
谢谢！
1、分析简单问题中的数量关系，建立方 解决问题
2、通过具体问题的解决体会利用方程解 问题的关键是寻找等量关系
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的 “瘦长”形水箱改造成底面直径为20厘米的 “矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下 新水箱的高变成了多少？
等量关系： 旧水箱的容积=新水箱的容积
x
x+1.4
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为(x+1.4)米 根据题意，得 x+x+1.4=10÷2
2x=3.6 x=1.8 长方形的长为1.8+1.4=3.2 ∴长方形的长为3.2米，宽为1.8米
(2) 使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、 少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比 有什么变化？
(3) 使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时 的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变
解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得
x+x=10÷2
同样长的铁
围成怎样的四
x
x=2.5
形面积最大呢
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一 个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他 爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
x x+4
墙 铁线
如图所示，小明将一个正方形纸片 剪去一个宽为4厘米的长条后，在从剩下 的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长 条，如果两次剪下的长条面积正好相等，
4 5厘米
谢谢！
谢谢！
初中数学北师大版七年级上册应用一元一次方程——水箱变高了课件
柱底面半径，读题时要看清题目中所给条件是直径还是
半径.
感悟新知
知识链接 常见立体图形的体积公式： 1. V正方体=a(3a为棱长). 2. V长方体=abh(a、b为底面的长、宽，h为高). 3. V圆柱=πR2h(R为底面圆的半径，h 为高).
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 用直径为4 cm 的圆柱形钢铸造3 个直径为2 cm，高为 16 cm 的圆柱形零件，需要截取多长的圆柱形钢？ 解题秘方：紧扣题意中铸造前后的体积相等这一等量 关系，列出方程解决问题.
感悟新知
知1－练
例2 将装满水的底面直径为40 cm，高为60 cm 的圆柱形 水桶里的水全部灌于另一个底面直径为50 cm 的圆柱 形水桶里(水不会溢出)，这时水面的高度是多少厘米？ 解题秘方：紧扣容器改变但水的体积没有变这一等量 关系.
感悟新知
解：设这时水面的高度为x cm.
根据题意可得，
感悟新知
知2－练
3-2. 用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆. 已 知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等 长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积较大.
感悟新知
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为m.
知2－练
根据题意，得2πr＝4.解得r＝4.
所以铁丝的长为2π×4＝8π(m)．
感悟新知
知2－练
3-1. 用一根铁丝可围成边长为9 cm 的正方形，若用这根 铁丝围成长比宽多2 cm 的长方形，则长方形的面积 是多少？
解：设长方形的宽为x cm，则它的长为(x＋2)cm. 依题意，得2x＋2(x＋2)＝9×4.解得x＝8. 则x＋2＝10，10×8＝80(cm2) 所以长方形的面积为80 cm2.
北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》优课件(11张)
锻压前
底面半径 5
高
36
体积 π×52 ×36
锻压后
10 x
π×102 X
1、填表并思考能用数学表达式表示出来吗？
4、把你列的方程写在练习本上，与小组的人交流， 你列对了吗？
5、把它解出来，与同桌交流，看谁做得又快又准 确。
等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积
2 (x+x+1.4) = 10
解得
x = 1.8
x米
x+1.4 = 3.2
（x+1.4 ）米
答：设此时长方形的长为3.2米，宽为1.8米。
例2 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。 ( 2 )若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方 形的长和宽各为多少米?它围成的长方形的面积与（1） 相比，有什么变化？
5.3应用一元一次方程——水箱变高了
老师手里的橡皮泥在手压前和手压后有何 变化？ 你发现了一个相等关系没有？能 用自己的话告诉大家吗？
1、变胖了，变矮了。
（即高度和底面半径发 生了改变。）
2、手压前后体积不变， 重量不变。
例1、将一个底面直径
是10厘米、高为36厘米 的“瘦长”形圆柱锻压 成底面直径为20厘米的 “矮胖”形圆柱，高变 成了多少？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
根据等量关系，列出方程：
× 52×36= × 102 × x
解得： X=9
因此，高变成了 9 厘米
等周长变化
例2 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。 ( 1) 若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的 长和宽各为多少米？
解：设此时长方形的宽为x米，则长为（x+1.4 ）米， 根据题意得：
七年级数学上册 5.3 应用一元一次方程水箱变高了课件 (新版)北师大版
第十四页，共24页。
3.一只长方体水箱，其底面是边长为5米的正方形，箱内盛
水，水深4米，现把一个棱长为3米的正方体沉入箱底(xiāngdǐ)，
水的深
度将是( )
A.5.4米Leabharlann B.7米C.5.08米
D.6.67米
【解析】选C.设水的深度为x米，根据题意得：
5×5x=5×5×4+3×3×3.解得：x=5.08.
(duànyā)
(duànyā)
_______的体积=_______的体积.
前
后
第五页，共24页。
二、常见的体积、面积公式
V正方体=a3，V长方体=abh.
V圆柱=πr2h，V圆锥1(yru2há.nzhuī)= 3
S正方形=a2，S长方形=ab，S梯(a形=b)h .
S三角形1= ah ,S圆=πr2.
第十九页，共24页。
8.用两根长为24cm的铁丝分别围成一个(yī ɡè)长与宽之比为2∶1的 长 方形和一个(yī ɡè)正方形,求长方形和正方形的面积. 【解析】设长方形的长为2xcm,宽为xcm, 则2(x+2x)=24,解得x=4,所以长方形的面积为32cm2.正方形的 边长为6cm,则面积为36cm2.
答案：4×3×2=π·1.52·x
第十八页，共24页。
7.把一块棱长是0.5米的正方体钢坯(gāngpī)锻压成橫截面面积是0.1平 方米的长方体钢材,锻压成的钢材有多长? 【解析】设锻压成的钢材长x米, 由题意得:0.1x=0.5×0.5×0.5, 解方程得:x=1.25. 答:锻压成的钢材有1.25米长.
第二十页，共24页。
9.将内径为12厘米的圆柱形杯子装满水后倒入内径为30厘米、
5.3 应用一元一次方程-水箱变高了(课件)七年级数学上册(北师大版)
多少米呢？面积是多少？
解：设此时长方形的宽为x米，则长为
（x+1.4）米.
x
2（x+x+1.4）=10
解得 x=1.8
x+1.4
即宽为1.8米，长为3.2米
故面积为1.8×3.2=5.76平方米。
用一根长为10米的铁线围成一个长方形.
（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少
习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得
π×2.52×10×36＝π×32×10x.
解这个方程，得x＝25.
答：这一支牙膏能用25次．
核心知识点二
图形的等长变化
用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
(1)若该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各是多少
几种情况：
(1)形状发生了变化，体积不变。
其相等关系是：变化前物体的体积=变化后物体的体积.
(2)形状、面积发生了变化，周长不变。
其相等关系是：变化前图形的周长=变化后图形的周长.
你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？
1.审——审题（已知条件，未知条件，等量关系）.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
4 厘米，高为 x 厘米的圆柱体的体积的 5 倍，则下列方程正确
的是( D )
A．5π×42·x＝π×52×7
42
52
C．5π×( ) ·x＝π×( ) ×7
2
2
B．π×42·x＝5π×102×7
42
D．5π×( ) ·x＝π×52×7
2
2．用5.2 m长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6
七年级数学上册第五章一元一次方程 应用一元一次方程__水箱变高了教学课件新版北师大版
xm
(x+1.4) m
课程讲授
1 等积变形问题
解：设此时长方形的宽为xm,则它的长为（x+0.8）m.根据题 意,得
(x+0.8 +x) ×2 =10 解得 x=2.1 2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9m,宽为2.1m,面积为2.9 ×2.1=6.09(m2),(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).
1 等积变形问题
例 一种牙膏出口处直径为5 mm,小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏,这样一支牙膏可以用36次,该品牌牙膏推出新 包装,只是将出口处直径改为6 mm,小明还是按习惯每次 挤出1 cm的牙膏,这样,这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用x次,根据题意得 π×2.52×10×36＝π×32×10x. 解这个方程,得x＝25.
课程讲授
2 和、差、倍、分问题
解：设客人共有x人,由题意,得 1 1 1 x 65 2 3 4 解得x=60.
答：客人共有60人.
课程讲授
2 和、差、倍、分问题
和、差、倍、分问题解题思路： 读懂题意,分析出题中的数量关系.
课程讲授
2 和、差、倍、分问题
练一练：在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及 纸草书中,记载着这样一个数学问题：“一个数,它的三分 之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起来总共是
答：这一支牙膏能用25次．
课程讲授
2 和、差、倍、分问题
例 中国古代有很多经典的数学题,例如《孙子算经》中有一道
题：“妇人洗碗在河滨,路人问她客几人？答曰不知客数目,六十五 碗自分明,二人共食一碗饭,三人共吃一碗羹,四人共肉无余数,请君 细算客几人？”这道题翻译成现代文就是：每两位客人合用1只饭 碗,三位合用1只汤碗,四位合用1只肉碗,共用65只碗,问有多少客人 ？
(x+1.4) m
课程讲授
1 等积变形问题
解：设此时长方形的宽为xm,则它的长为（x+0.8）m.根据题 意,得
(x+0.8 +x) ×2 =10 解得 x=2.1 2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9m,宽为2.1m,面积为2.9 ×2.1=6.09(m2),(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).
1 等积变形问题
例 一种牙膏出口处直径为5 mm,小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏,这样一支牙膏可以用36次,该品牌牙膏推出新 包装,只是将出口处直径改为6 mm,小明还是按习惯每次 挤出1 cm的牙膏,这样,这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用x次,根据题意得 π×2.52×10×36＝π×32×10x. 解这个方程,得x＝25.
课程讲授
2 和、差、倍、分问题
解：设客人共有x人,由题意,得 1 1 1 x 65 2 3 4 解得x=60.
答：客人共有60人.
课程讲授
2 和、差、倍、分问题
和、差、倍、分问题解题思路： 读懂题意,分析出题中的数量关系.
课程讲授
2 和、差、倍、分问题
练一练：在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及 纸草书中,记载着这样一个数学问题：“一个数,它的三分 之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起来总共是
答：这一支牙膏能用25次．
课程讲授
2 和、差、倍、分问题
例 中国古代有很多经典的数学题,例如《孙子算经》中有一道
题：“妇人洗碗在河滨,路人问她客几人？答曰不知客数目,六十五 碗自分明,二人共食一碗饭,三人共吃一碗羹,四人共肉无余数,请君 细算客几人？”这道题翻译成现代文就是：每两位客人合用1只饭 碗,三位合用1只汤碗,四位合用1只肉碗,共用65只碗,问有多少客人 ？
数学北师大七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》【课件】 (共17张PPT)
积是__________ 96cm2 ．
3．从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为 5cm，高为8cm 的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降( B ) A．8cm B．2cm C．5cm D．4cm
课堂小结
一
二
物体锻压或液体更换容器题，体积（或容积）不变。
固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是
X
X+0.8
（3）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边
长是多少米？围成的面积与前两次围成的面积相比，又有什么变化？
X
解：设正方形的边长为x米。
根据题意，得：4x
=10 x=2.5(m) ∴边长= 2.5 面积=2.5 2 =6. 25
X
面积增大： 6. 25 -6.09=0.16 （m2 ） 同样长的铁丝围成怎样的四边形面积最大呢？
r
2
2
a3 正方体体积 V =______.
r h 圆柱体体积V = _________.
阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法测出了 皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
=
形状改变， 体积不变。
r
h
自主探究、解决问题
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的“瘦长”形水箱改造成底 面直径为20厘米的“矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下，
(2)小明又想用这10米长铁丝围成一个长方形。使长方形的 长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成
的长方形与第一次所围成的长方形相比，面积有什么变化？
X
X+0.8
解：设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8）米。 根据题意，得：
3．从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为 5cm，高为8cm 的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降( B ) A．8cm B．2cm C．5cm D．4cm
课堂小结
一
二
物体锻压或液体更换容器题，体积（或容积）不变。
固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是
X
X+0.8
（3）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边
长是多少米？围成的面积与前两次围成的面积相比，又有什么变化？
X
解：设正方形的边长为x米。
根据题意，得：4x
=10 x=2.5(m) ∴边长= 2.5 面积=2.5 2 =6. 25
X
面积增大： 6. 25 -6.09=0.16 （m2 ） 同样长的铁丝围成怎样的四边形面积最大呢？
r
2
2
a3 正方体体积 V =______.
r h 圆柱体体积V = _________.
阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法测出了 皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
=
形状改变， 体积不变。
r
h
自主探究、解决问题
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的“瘦长”形水箱改造成底 面直径为20厘米的“矮胖”形水箱，那么在容积不变的前提下，
(2)小明又想用这10米长铁丝围成一个长方形。使长方形的 长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成
的长方形与第一次所围成的长方形相比，面积有什么变化？
X
X+0.8
解：设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8）米。 根据题意，得：
七年级数学上册第五章一元一次方程3应用一元一次方程—水箱变高了课件(新版)北师大版
2
、100 cm2,且甲容器装满水,乙容器是空的.若将甲容器中的水全部倒入
乙容器中,则乙容器中的水位高度比原先甲容器的水位高度低了8 cm,
则甲容器的容积为( )
图5-3-2
A.1 280 cm3 C.3 200 cm3
B.2 560 cm3 D.4 000 cm3
答案 C 本题的相等关系:甲容器中水的体积=乙容器中水的体积,甲
解析 设容器内的水将升高x cm,则 π·102×12+π·22(12+x)=π·102(12+x),
1. 解得x= 1 答:容器内的水将升高 cm. 2 2
一、选择题 1.(2018河南郑州一中汝州实验中学月考,7,★☆☆)如图5-3-2所示,在水 平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器,内部底面积分别为 80 cm
4 2 则 πx= π×1的圆钢.
4.要分别锻造底面直径为70 mm,高为45 mm和底面直径为30 mm,高为3 0 mm的圆柱形零件毛坯各一个,需要截取直径为50 mm的圆钢多长? 解析 设截取直径为50 mm的圆钢x mm,
容器中水的高度-乙容器中水的高度=8 cm.设甲容器中水的体积为x cm
3
,则由题意,得 - =8.解得x=3 200.故选C.
x x 80 100
二、解答题 2.(2018河南郑州实验学校第二次月考,22,★★☆)乐乐同学周末和妈妈 一起到农村参加献爱心志愿者活动,该村的李大爷正在用篱笆修建一个 长方形鸡舍栅栏,栅栏一面靠墙(墙面长度不限),三面用篱笆,篱笆总长6
4.在一个底面直径为3 cm,高为22 cm的量筒内装满水,再将量筒内的水 倒入底面直径为7 cm,高为9 cm的烧杯内,能否完全装下?若装不下,量筒 内水还剩多高?若能装下,求烧杯内水面的高度.
、100 cm2,且甲容器装满水,乙容器是空的.若将甲容器中的水全部倒入
乙容器中,则乙容器中的水位高度比原先甲容器的水位高度低了8 cm,
则甲容器的容积为( )
图5-3-2
A.1 280 cm3 C.3 200 cm3
B.2 560 cm3 D.4 000 cm3
答案 C 本题的相等关系:甲容器中水的体积=乙容器中水的体积,甲
解析 设容器内的水将升高x cm,则 π·102×12+π·22(12+x)=π·102(12+x),
1. 解得x= 1 答:容器内的水将升高 cm. 2 2
一、选择题 1.(2018河南郑州一中汝州实验中学月考,7,★☆☆)如图5-3-2所示,在水 平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器,内部底面积分别为 80 cm
4 2 则 πx= π×1的圆钢.
4.要分别锻造底面直径为70 mm,高为45 mm和底面直径为30 mm,高为3 0 mm的圆柱形零件毛坯各一个,需要截取直径为50 mm的圆钢多长? 解析 设截取直径为50 mm的圆钢x mm,
容器中水的高度-乙容器中水的高度=8 cm.设甲容器中水的体积为x cm
3
,则由题意,得 - =8.解得x=3 200.故选C.
x x 80 100
二、解答题 2.(2018河南郑州实验学校第二次月考,22,★★☆)乐乐同学周末和妈妈 一起到农村参加献爱心志愿者活动,该村的李大爷正在用篱笆修建一个 长方形鸡舍栅栏,栅栏一面靠墙(墙面长度不限),三面用篱笆,篱笆总长6
4.在一个底面直径为3 cm,高为22 cm的量筒内装满水,再将量筒内的水 倒入底面直径为7 cm,高为9 cm的烧杯内,能否完全装下?若装不下,量筒 内水还剩多高?若能装下,求烧杯内水面的高度.
北师大版初中数学七年级上册5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 课件
想一想 什么发生了变化？
什么没有发生变化？
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
等量关系： 锻压前的体积=锻压后的体积 解：设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表：
锻压前
底面半径
高
9 cm
体积
锻压后
x cm
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
根据等量关系，列出方程： π× 102×9 = π× 52×x
（3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此 时正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面 积相比，又有什么变化？
解：设正方形的边长为x米. 由题意得 4x = 10. 解，得 x=2.5. 边长为：2.5米； 面积为：2.5×2.5=6.25(平方米). 面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）.
长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的长条．如果
两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是
(B)
A．20 cm
B．24 cm
C．48 cm
D．144 cm
课堂检测
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
基础巩固题
2.从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为 5cm，高为8cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉 水杯的水面将下降( B ) A．8cm B．2cm C．5cm D．4cm
北师大版 数学 七年级 上册 5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
5.3 应用一元一次方程 ——水箱变高了
导入新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地 方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
北师大版七年级上册数学5.3应用一元一次方程————水箱变高了课件(16张PPT)
容积不变
旧
新
分析：在这个问题中有如下的等量关系：
=
.
旧水箱的容积 = 新水箱的容积.
白银十中
【自主研“究”】
旧水箱的容积 = 新水箱的容积.
设水箱的高变为x m，填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径/m
2
1.6
高/m
容积/m3
4 π 22 4
x
1.62 x
白银十中
【自主研“究”】
旧水箱的容积 = 新水箱的容积.
5.3 应用一元一次方 程——水箱变高了
【课前回顾】
长方形的周长C = 2(a+b) ;
长方形面积S=___a__b__; 长方体体积V=___a_b_h____.
b a
h
b
a
白银十中
【课前回顾】
正方形的周长 C =_4_a_____;
正方形面积 S =_a_2_____; 正方体体积 V =_a_3____.
三角形的周长=长方形的周长
2、把一小杯的水倒入另一只大杯中；
小杯中水的体积=大杯中水的体积
白银十中
【自主研“究”】
• 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的 占地面积,需要将它的底面直径由4m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原来的4 m 增高为多少米？
（2）使得长方形的长比宽多0.8 m，此时长方形的长、 宽各为多少米？它所围成的长方形与第一次所围成的长 方形相比，面积有什么变化？
（3）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形， 此时正方形的边长是多少米？围成的面积与前两次围成 的面积相比，又有什么变化？
旧
新
分析：在这个问题中有如下的等量关系：
=
.
旧水箱的容积 = 新水箱的容积.
白银十中
【自主研“究”】
旧水箱的容积 = 新水箱的容积.
设水箱的高变为x m，填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径/m
2
1.6
高/m
容积/m3
4 π 22 4
x
1.62 x
白银十中
【自主研“究”】
旧水箱的容积 = 新水箱的容积.
5.3 应用一元一次方 程——水箱变高了
【课前回顾】
长方形的周长C = 2(a+b) ;
长方形面积S=___a__b__; 长方体体积V=___a_b_h____.
b a
h
b
a
白银十中
【课前回顾】
正方形的周长 C =_4_a_____;
正方形面积 S =_a_2_____; 正方体体积 V =_a_3____.
三角形的周长=长方形的周长
2、把一小杯的水倒入另一只大杯中；
小杯中水的体积=大杯中水的体积
白银十中
【自主研“究”】
• 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的 占地面积,需要将它的底面直径由4m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原来的4 m 增高为多少米？
（2）使得长方形的长比宽多0.8 m，此时长方形的长、 宽各为多少米？它所围成的长方形与第一次所围成的长 方形相比，面积有什么变化？
（3）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形， 此时正方形的边长是多少米？围成的面积与前两次围成 的面积相比，又有什么变化？
秋七年级数学上册北师大版习题课件：5.3 应用一元一次方程——水箱变高了(共14张PPT)
B．3x＝5(32－x)
C．5x＝3(32－x) D．6x＝32－x
5. 根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水 面升高 cm.
(2)如果要使水面上升到 50 cm，应放入大球、小 球各多少个？
解：(1)2；3. 32－26
放入一个小球水面升高 3 ＝2 cm； 32－26
第五章 一元一次方程 5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
◎学习目标 1. 通过分析几何问题中的数量关系，建立方程解决 问题． 2. 进一步体会运用方程解决问题的关键是找出相 等关系．
◎知识梳理 1. 长方体的体积＝ 长 × 宽 × 高 ，或＝ 底面积 ×高 ， 用字母公式表示：V 长＝ abh 或 V 长＝ Sh ； 圆柱体的体积＝ 底面积 × 高 ， 用字母公式表示：V 圆柱＝ Sh ＝ πr2h ．
C．π·82x＝π·62(x＋5)
第 1 题图
D．π·82x＝π·62×5
2. 五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长 方形，大.
第 2 题图
【解析】设小长方形的宽为 x cm，则长为 3x cm. 根据题意得，2×(3x＋3x＋2x)＝32.解得 x＝2，3x·x ＝3×2×2＝12，所以小长方形的面积为 12 cm2.
放入一个大球水面升高 2 ＝3 cm. (2)设放入小球 x 个，则放入大球(10－x)个，根据 题意得 50－26＝2x＋3(10－x)， 解得 x＝6，10－x＝10－6＝4. 答：应放入大球 4 个，小球 6 个．
3. 甲水池原有水 159.5 cm3，乙水池原有水 32 cm3， 甲水池每分钟放水 2 cm3，乙水池每分钟进水 3 cm3， 求几分钟后甲水池存水量是乙水池存水量的一半？
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14．用直径为40 mm的圆钢1 m，拉成直径为4 mm的钢丝，则钢丝 的长为__1_0_0___m. 15．某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划 全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更 换的新型节能灯有__5_5___盏．
16．(10分)用两根等长的铁丝，分别绕成一个正方形和一个圆．已 知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)米，求这两根等长的铁丝的长 度，并通过计算说明哪个的面积大？ 解：设圆的半径为r，则2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.则圆的面积为 π·42＝16π，正方形面积4π2，16π>4π·π＝4π2，∴圆的面积较大．
12．已知一梯形的高为8 cm，上底长为14 cm，下底长比上底长的2 倍少6 cm，若把这个梯形改成与其面积相等的正方形，则这个正方 形的周长为___4_8___cm.
13．图1是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所 示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 __1_0_0_0___cm3.
7．(4分)如图所示是用铁丝围成的一个梯形，将其改成一个长和宽 比为2∶1的长方形，那么该长方形的长为__1_1_，宽为__5_._5___．
8．(8分)用长为10 m的铁丝沿墙围成一个长方形(墙的一面为长方形 的长，不用铁丝)，长方形的长比宽长1 m，求长方形的面积． 解：设宽为x m，长为(x＋1)m，根据题意，得2x＋(x＋1)＝10.解方 程，得x＝3.所以x＋1＝4(m)．故长方形的面积为：3×4＝12(m2)． 答：长方形的面积为12 m2.
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
1．等体积变形：即物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体 积___不__变____，利用变化前的体积＝变化后的体积列方程求解． 2．等长变形：如一根铁丝围成不同的图形，形状面积发生变化但 周长__不__变_____，利用变化前的周长＝变化后的周长列方程求解． 3．注意单位要统一，列方程解决实际问题时应与实际相符合，不 符合实际的答案应舍去或此问题无解．
10．一圆柱形容器盛有45体积的酒精，倒出 20 升后，容器中的酒精
还占容器的32体积，这个容器的容积是( C )
A．30 升
B．20 升
C．150 升 D．90 升 11．长方形的长是宽的 3 倍，如果宽增加了 4 m 而长减少了 5 m，那 么面积增加 15 m2.设长方形原来的宽为 x m，所列方程是( B ) A．(x＋4)(3x－5)＋15＝3x2 B．(x＋4)(3x－5)－15＝3x2 C．(x－4)(3x＋5)－15＝3x2 D．(x－4)(3x＋5)＋15＝3x2
3．(4分)如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条 后，再从剩下的纸片上剪下一条宽为8 cm的长条．如果两次剪下的长 条面积正好相等，则原正方形的边长是( B ) A．20 cm B．24 cm C．48 cm D．144 cm
4．(8分)将内直径为20厘米的圆柱形水桶中的水(未知水位高度)倒 入一个长、宽、高分别为30厘米、20厘米、80厘米的长方体铁盒中， 刚好倒满，求圆柱形水桶内水的高度．(π取3.14)
知识点1 等积变形问题
1．(4 分)要煅造一个半径为 5 cm，高为 8 cm 的圆柱毛坯，应截取半
径为 4 cm 的圆钢的高度为( A )
A．12.5 cm
B．13 cm
C．13.5 cm D．14 cm
2．(4 分)一个圆柱，半径增加到原来的 3 倍，而高度变成原来的13，
则变化后的圆柱体体积是原来圆柱体体积的( C ) A．8 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．9 倍
解：设圆柱形水桶内水的高度为 x 厘米．根据题意，得π(220)2·x ＝30×20×80.解得 x＝4π80≈152.87.所以圆柱形水桶内水的高度 约为 152.87 厘米．
知识点2 等长变形问题 5．(4分)用一根铁丝围成一个长24、宽12的长方形，若将它改制成一 个正方形，这个正方形的面积是( C ) A．81 B．18 C．324 D．326 6．(4分)用一根小铁丝围成一个三条边都为24 cm的三角形，如果将 它改围成一个正方形，这个正方形的边长是( B ) A．24 cm B．18 cm C．12 cm D．9 cm
9．如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部 底面积分别为80 cm2，100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空 的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水 位高度低了8 cm，甲的容积为( C )
A．1 280 cm3 B．2 560 cm3 C．3 200 cm3 D．4 000 cm3
【综合应用】 18．(12分)根据图中给出的信息，解答下列问题：
(高__3__cm； (2)如果要使水面上升到50 cm，应放入大球、小球各多少个？
解：(1)由图可知：放入三个体积相同的小球水面升高32－26＝6(cm)， 则放入一个小球水面升高2 cm.由图可知：放入两个体积相同的大球水 面升高32－26＝6(cm)，则放入一个大球水面升高3 cm (2)设应放入x个大球，则应放入(10－x)个小球．由题意，得3x＋2(10－ x)＝50－26.解得x＝4，10－x＝6(个)．答：应放入4个大球，6个小球．