初三数学圆与相似的专项培优练习题及答案.doc

初三数学圆与相似的专项培优练习题及答案
一、相似
1．如图所示，△ ABC 中， AB=AC，∠ BAC=90°， AD⊥ BC， DE⊥ AC，△ CDE 沿直线 BC 翻折到△ CDF，连结 AF 交 BE、 DE、 DC分别于点 G、 H、I．
（1）求证： AF⊥ BE；
（2）求证： AD=3DI．
【答案】（1）证明：∵在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=90°， D 是 BC 的中点，
∴AD=BD=CD，∠ ACB=45 ，°
∵在△ ADC中， AD=DC，DE⊥ AC，
∴A E=CE，
∵△ CDE沿直线 BC 翻折到△ CDF，
∴△ CDE≌ △CDF，
∴C F=CE，∠ DCF=∠ACB=45 ，°
∴C F=AE，∠ ACF=∠DCF+∠ACB=90 ，°
在△ ABE 与△ ACF中，
，
∴△ ABE≌ △ ACF（SAS），
∴∠ ABE=∠ FAC，
∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°
∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°
∴∠ AGB=90 ，°
∴AF⊥BE
（2）证明：作IC 的中点 M，连接 EM，由（ 1）∠ DEC=∠ECF=∠ CFD=90°
∴四边形 DECF是正方形，
∴EC∥ DF， EC=DF，
∴∠ EAH=∠ HFD， AE=DF，
在△ AEH 与△FDH 中
，
∴△ AEH≌ △FDH（ AAS），
∴EH=DH，
∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°
∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°
∴∠ AGB=90 ，°
∴AF⊥BE，
∵M 是 IC 的中点， E 是 AC 的中点，
∴EM∥AI，
∴，
∴DI=IM ，
∴CD=DI+IM+MC=3DI，
∴AD=3DI
【解析】【分析】（ 1）根据翻折的性质和SAS 证明△ ABE≌ △ ACF，利用全等三角形的性
质得出∠ ABE=∠ FAC，再证明∠ AGB=90°，可证得结论。

（2）作IC 的中点M ，结合正方形的性质，可证得∠ EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS 证明△AEH 与△ FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。

2．如图，抛物线 y=﹣ +bx+c 过点 A（ 3，0）， B（ 0， 2）． M（ m， 0）为线段 OA 上一个动点（点 M 与点 A 不重合），过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于
点P、 N．
（1）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P 是 MN 的中点，那么求此时点N 的坐标；
（3）如果以 B， P，N 为顶点的三角形与△ APM 相似，求点 M 的坐
标．【答案】（1）解：设直线 AB 的解析式为 y=px+q，
把 A（ 3， 0）， B（ 0，2）代入得，解得，
∴直线 AB 的解析式为y=﹣x+2；
把A（ 3 ， 0 ）， B（ 0 ， 2 ）代入y=﹣+bx+c 得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2
（2）解：∵ M （ m， 0）， MN ⊥ x 轴，
∴N（m，﹣m2+m+2）， P（ m，﹣m+2 ），
∴N P=﹣ m2+4m， PM=﹣ m+2，而
NP=PM，
∴﹣m2+4m=﹣m+2，解得 m1=3（舍去）， m2=，
∴N 点坐标为（，）
（3）解：∵ A（ 3， 0）， B（ 0， 2）， P（ m，﹣m+2），
∴AB==，BP==m，
而NP=﹣ m2+4m，
∵MN ∥ OB，
∴∠ BPN=∠ ABO，
当=时，△BPN∽ △OBA，则△BPN∽ △MPA，即m ： 2= （﹣m 2+4m ）：，
整理得 8m 2﹣11m=0 ，解得 m1=0（舍去）， m2= ，
此时 M 点的坐标为（， 0）；
当= 时，△ BPN∽△ ABO，则△ BPN∽ △ APM，即m：=（﹣m2+4m）：2，
整理得 2m 2﹣5m=0 ，解得 m1=0（舍去）， m2=，
此时 M 点的坐标为（， 0）；
综上所述，点M 的坐标为（，0）或（，0）
【解析】【分析】（ 1）因为抛物线和直线AB 都过点A（ 3,0）、 B（ 0,2），所以用待定系
数法求两个解析式即可；
（2）由题意知点P 是 MN 的中点，所以PM=PN；而 MN OA 交抛物线与点N，交直线AB 于点 P，所以 M、 P、 N 的横坐标相同且都是m, 纵坐标分别可用（1）中相应的解析式表
示，即P（ m,）,N（m,）,PM与PN的长分别为相应两点的纵
坐标的绝对值，代入PM=PN 即可的关于m 的方程，解方程即可求解；
（3）因为以B， P， N 为顶点的三角形与△ APM相似，而△ APM是直角三角形，所以分两
种情况：当∠ PBN=时，则可得△PBN∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m 的值；当∠ PNB= 时，则可得△ PNB∽ △ PMA，即得相应的比例式，可求得m 的值。

3．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，平行四边形 A BCD的边 BC 在 x 轴上， D 点在 y 轴上， C 点坐标为（2， 0）， BC=6，∠BCD=60°，点 E 是 AB 上一点， AE=3EB，⊙ P 过 D，O ， C 三点，抛物线y=ax2+bx+c 过点 D ， B ， C 三
点．
（1）请直接写出点 B、 D 的坐标： B（ ________）， D（ ________）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求证： ED 是⊙P 的切线；
（4）若点 M 为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N 的坐标，使得以点 B， D， M， N 为顶点的四边形为平行四边形．
【答案】（1） -4， 0； 0， 2
（ 2 ）解：将（ 2 ， 0 ）， B （ -4,0 ）， D(0, ); 三点分别代入 y=ax2 +bx+c 得，
解得
∴所求抛物线的解析式y=-x2-x+
（3）证明：在 Rt△ OCD 中， CD=2OC=4，
∵四边形 ABCD为平行四边形，
∴A B=CD=4， AB∥ CD，∠ A=∠BCD=60 ，°AD=BC=6，
∵AE=3BE，∴AE=3，
∴，∵∴
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴∠ DAE=∠ DCB=60 ，°
∴△ AED∽△ COD，
∴∠ ADE=∠ CDO，
而∠ ADE+∠ ODE=90°
∴∠ CDO+∠ODE=90 ，°
∴CD⊥DE，
∵∠ DOC=90 ，°
∴CD 为⊙ P 的直径，
∴ED 是⊙P 的切线
（4）解：点N 的坐标为（ -5，）、（3，）、（-3，-）【解析】【解析】解：（1）∵C点坐标为（2，0），
∴OC=2 ,
∵BC=6 ,
∴OB=BC-OC=4 ,
∴B（ -4,0），
∵∠ BCD=60 ，°tan∠BCD=,
∴,
∴OD=,
∴D(0,);
（4 存在 ,∵ y=-x2-x+=-(x+1)2+
∴M(-1,)，
∵B(-4,0),D(0,)，
如图，当BM 为平行四边形BDMN 的对角线时，
点 D 向左平移 4 个单位 ,再向下平移个单位得到B，
则点 M(-1, )向左平移 4 个单位 ,再向下平移个单位得到 N1(-5, )；当 DM 为平行四边形 BDMN 的对角线时，
点 B 向右平移 3 个单位 ,再向上平移个单位得到D，
则点 M(-1, )向右平移 4 个单位 ,再向上平移个单位得到 N2(3, )；当 BD 为平行四边形 BDMN 的对角线时，
点 M 向右平移 1 个单位 ,再向下平移个单位得到D，
则点 B(-4,0) 向右平移 1 个单位 ,再向下平移个单位得到N3(-3,-)；
综上所述 ,以点 B,D,M,N 为顶点的四边形为平行四边形时,点 N 的坐标为 (-5 ，,)或 (3,)
或(-3,-）
【分析】（ 1）根据点 C 的坐标，求出OC 的长度，进而求出OB 的长度，得出 B 点的坐
标。

根据正切函数的定义得出OD 的长度，从而得出 D 点的坐标；
（2）用待定系数法，分别将：将（2， 0）， B（-4,0）， D(0,);三点分别代入y=ax2+bx+c
得得出关于a,b,c 的三元一次方程组，求解得出a,b,c 的值，从而得出解析式；
（3）根据平行四边形的性质得出AB=CD=4， AB∥ CD，∠ A=∠ BCD=60°，AD=BC=6，又根据
AE=3BE，，从而得出AE=3，根据锐角三角函数的定义得出AE∶ AD＝OC∶ CD,然后根据两边
对应成比例，且夹角相等的两三角形相似得出△ AED∽△ COD，根据相似三角形对应角相等
得出∠ ADE=∠ CDO，根据等量代换得出∠CDO+∠ ODE=90°，即CD⊥ DE，根据90°的圆周角
所对的弦是直径得出CD 为⊙ P 的直径，从而得出结论；
（4）首先求出抛物线的顶点M 的坐标，然后按当BM 为平行四边形BDMN 的对角线时；
当 DM 为平行四边形BDMN 的对角线时；当BD 为平行四边形BDMN 的对角线时；三种情
况，找到其他点的平移规律即可得出N 点的坐标。

4．如图 1，经过原点O 的抛物线y=ax2+bx（ a≠0）与
x 轴交于另一点A（， 0），在第一
象限内与直线y=x 交于点 B（ 2， t ）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点 C，满足以 B， O，C 为顶点的三角形的面积为 2，求点 C 的
坐标；
（3）如图 2，若点 M 在这条抛物线上，且∠ MBO=∠ ABO，在（ 2）的条件下，是否存在点
P，使得△ POC∽ △ MOB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 （1）解： ∵B （ 2，t ）在直线 y=x 上，
∴ t =2 ， ∴ B （2， 2），
把 A 、 B 两点坐标代入抛物线解析式可得
，解得 ，
∴抛物线解析式为
y=2x 2﹣3x
（2）解：如图 1，过 C 作 CD ∥y 轴，交 x 轴于点 E ，交 OB 于点 D ，过 B 作 BF ⊥ CD 于点F ，
∵点 C 是抛物线上第四象限的点，
∴可设 C （ t ， 2t 2 ﹣3t ），则 E （t ， 0）， D （ t ，t ）， ∴ O E=t ，BF=2﹣ t ， CD=t ﹣（ 2t 2﹣ 3t ） =﹣ 2t 2+4t ，
△OBC =S △ CDO +S △CDB =
CD?OE+ CD?BF= （﹣ 2t
2
）（ t+2 ﹣t ）=﹣ 2t 2
+4t ， ∴S +4t
∵△ OBC 的面积为 2，
2
∴﹣ 2t +4t=2 ，解得 t 1=t 2=1，
（3）解：存在．设 MB 交 y 轴于点 N ，如图 2，
∵B（ 2，2），∴ ∠AOB=∠ NOB=45 ，°
在△ AOB 和△ NOB 中
∴△ AOB≌ △ NOB（ ASA），
∴ON=OA=，
∴N（0，），
∴可设直线BN 解析式为y=kx+，把B点坐标代入可得2=2k+，解得k=，
∴直线 BN 的解析式为y= x+，联立直线BN 和抛物线解析式可得，解得
或，
∴M （﹣，），
∵C（1 ，﹣ 1），∴∠ COA=∠ AOB=45 ，°且 B（ 2， 2），
∴O B=2 ， OC= ，∵△
POC∽ △MOB，
∴= =2，∠ POC=∠ BOM，
当点 P 在第一象限时，如图3，过 M 作 MG⊥ y 轴于点 G，过 P 作 PH⊥ x 轴于点 H，
∵∠ COA=∠BOG=45 ，°
∴∠ MOG=∠POH，且∠ PHO=∠ MGO，
∴△ MOG∽ △POH，∴===2，
∵M （﹣，），
∴MG=，OG=，
∴PH= MG=，OH=OG=，
∴P（，）；
当点 P 在第三象限时，如图4，过 M 作 MG⊥ y 轴于点 G，过 P 作 PH⊥y 轴于点 H，
同理可求得PH= MG=，OH=OG=，
∴P（﹣，）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）
【解析】【分析】（ 1）根据已知抛物线在第一象限内与直线y=x 交于点 B（ 2， t），可求出点 B 的坐标，再将点A、 B 的坐标分别代入y=ax2+bx，建立二元一次方程组，求出a、 b
的值，即可求得答案。

（2）过 C 作 CD∥ y 轴，交 x 轴于点 E，交 OB 于点 D，过 B 作 BF⊥ CD 于点 F，可知点 C、D、E、 F 的横坐标相等，因此设设 C（ t ， 2t2﹣ 3t），则 E（t ，0）， D（t ，t ）， F（t ，2） ,
再表示出 OE、 BF、 CD 的长，然后根据 S△△△
t
OBC=S CDO+S CDB=2，建立关于t的方程，求出
的值，即可得出点 C 的坐标。

（3）根据已知条件易证△ AOB≌ △NOB，就可求出ON 的长，得出点 N 的坐标，再根据点B、 N 的坐标求出直线BN 的函数解析式，再将二次函数和直线BN 联立方程组，求出点M 的坐标，求出OB、 OC 的长，再根据△ POC∽ △ MOB，得出，∠POC=∠BOM，然后分情况讨论：当点P 在第一象限时，如图3，过 M 作 MG⊥ y 轴于点G，过 P 作 PH⊥ x 轴于点H，证△ MOG∽△ POH，得出对应边成比例，即可求出点P 的坐标；当点P 在第三象限时，如图 4，过 M 作 MG ⊥y 轴于点 G，过 P 作 PH⊥ y 轴于点 H，同理可得出点 P 的坐标，
即可得出答案。

5．
（1）问题发现：如图① ，
正方形 AEFG的两边分别在正方形ABCD的边 AB 和 AD 上，连接 CF.
①写出线段CF与 DG 的数量关系；
②写出直线CF与 DG 所夹锐角的度数.
（2）拓展探究：
如图②，
将正方形AEFG绕点 A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利
用图②进行说明 .
（3）问题解决
如图③，
△ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠ DAE=90°，AB=AC=4，O为AC的中点.若点
D 在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 的运动过程中，线段 O
E 的长的最小值 .（直接写出结果）
【答案】（ 1）①CF=DG，②45
（2）解：如图：
①连接 AC、 AF,在正方形ABCD中，延长CF交 DG 与 H 点，
∠CAD=∠BCD=45,
设 AD=CD=a，易得 AC=a=AD,
同理在正方形AEFG中，∠FAG=45 ,AF=AG,
∠CAD=∠FAG,∠ CAD-∠ 2=∠ FAG-∠ 2,
∠1=∠ 3
又
△CAF∽ DAG,
=,CF=DG;
②由△ CAF∽ DAG，∠ 4=∠ 5，
∠ACD=∠ 4+∠ 6=45 ,∠5+∠ 6=45，
∠5+∠ 6+∠ 7=135 ，
在△ CHD中，∠CHD=180 -135 =45，（1）中的结论仍然成立
（3） OE 的最小值为.
【解析】【解答】（ 3）如图：
由∠ BAC=∠ DAE=90,可得∠ BAD=∠ CAE,又 AB=AC,AD=AE,
可得△ BAD≌ △ CAE,
∠A CE=∠ ABC=45 ,
又∠ ACB=45 ,∠ BCE=90 ,即CE⊥ BC,
根据点到直线的距离垂线段最短，
OE⊥ CE时， OE 最短，此时OE=CE,△ OEC为等腰直角三角形，
OC=AC=2,
由等腰直角三角形性质易得，OE=，
OE 的最小值为.
【分析】（ 1 ）①易得CF=DG;②45；(2)连接AC、 AF,在正方形ABCD 中，可得
△CAF∽DAG，= , （1）中的结论是否仍然成立；（
CF= DG，在△ CHD 中，∠ CHD=180 -135 =45 ，3）OE⊥ CE 时， OE 最短，此时 OE=CE,△ OEC 为等腰直角
三角形， OC=AC=2,可得 OE 的值 .
6．如图，抛物线 y=ax2+bx+c 过原点 O、点 A （2，﹣ 4）、点 B （ 3，﹣ 3），与 x 轴交于点C，直线 AB 交 x 轴于点 D，交 y 轴于点 E．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）直线AF⊥ x 轴，垂足为点F， AF 上取一点G，使△ GBA∽ △ AOD，求此时点G 的坐标；
（3）过直线AF 左侧的抛物线上点M 作直线AB 的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠ OAF，求直线BM 的函数表达式．
【答案】（ 1 ）解：将原点O（ 0,0）、点 A （ 2，﹣4）、点 B （ 3 ，﹣ 3），分别代入
y=ax2+bx+c，
得，解得，
∴y=x2-4x= ，
∴顶点为（2， -4） .
（2）解：设直线AB 为 y=kx+b，
由点 A（ 2， -4）， B（3， -3），得解得
，∴直线 AB 为 y=x-6.
当 y=0 时， x=6，∴ 点 D（ 6， 0） .
∵点 A（ 2， -4）， D（6,0）， B（ 3， -3），
∴OA=，OD=6，AD=，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，
∴D F=AF，又∵ AF⊥ x
轴，∴∠
AD0=∠DAF=45 ，°∵△
GBA∽△ AOD，
∴，
∴，
解得，
∴FG=AF-AG=4-，
∴点 G（ 2，）.
（3）解：如图1，
∵∠ BMN=∠ OAF，
，
∴∠ MBN=∠ AOF，
设直线 BM 与 AF 交于点 H，
∵∠ ABH=∠ AOD，∠ HAB=∠ ADO，
∴
∴，
则，解得 AH=，
∴H（ 2，）.
设直线 BM 为 y=kx+b，∵ 将点 B、 G 的坐标代入得，解得．∴直线 BM
的解析式为y= ；
如图 2，
BD=AD-AB=．
∵∠ BMN=∠ OAF，∠ GDB=∠ ODA，
∴△ HBD∽ △ AOD．
∴，即，解得
∴点 H 的坐标为（ 2，0）．
设直线 BM 的解析式为y=kx+b．
DH=4．
∵将点∴直线B 和点 G 的坐标代入得：
BM 的解析式为y=-3x+6．
，解得k=-3， b=6．
综上所述，直线MB 的解析式为【解析】【分析】（ 1）将原点y=ax2+bx+c，联立方程组解答即可
y=或 y=-3x+6．
O（0,0）、点 A （ 2，﹣ 4）、点 B （ 3，﹣ 3），分别代入a,b,c 的值，得到二次函数解析式；将解析式配成顶点
式，可得顶点；（2）由△ GBA∽ △ AOD，可得，分别求出AD， AB， OD 的长即可求出 AG，由点 A 的坐标，即可求出点G；（ 3）点 M 在直线 AF 的左侧，可发出垂足N 可以在线段AB 上，也可以在AB 的延长线上，故有如图 1 和如图 2 两种可能；设直线BM 与直线 AF 的交点为H，由（ 2）可知，参加（2）的方法可求出点H 的坐标，从而求出直线BM 的解析式.
7．已知：如图，在梯形 ABCD 中， AB∥CD，∠ D＝90°， AD＝ CD＝ 2，点 E 在边 AD 上（不与点 A、 D 重合），∠ CEB＝ 45°， EB 与对角线 AC 相交于点 F，设 DE＝x.
（1）用含 x 的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△ CAE的周长记作 C△CAE
，△ BAF 的周长记作
△ BAF
，设＝ y，求 y 关C
于 x 的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ ABE 的正切值是时，求AB的长.
【答案】（ 1）解：∵ AD=CD.
∴∠ DAC=∠ ACD=45 ，°
∵∠ CEB=45 ，°
∴∠ DAC=∠ CEB，
∵∠ ECA=∠ ECA，
∴△ CEF∽ △ CAE，
∴，
在 Rt△ CDE中，根据勾股定理得，CE=，
∵CA=，
∴，
∴CF=；
（2）解：∵ ∠ CFE=∠ BFA，∠ CEB=∠ CAB，
∴∠ ECA=180﹣°∠ CEB﹣∠ CFE=180﹣°∠ CAB﹣∠ BFA，
∵∠ ABF=180 ﹣°∠ CAB﹣∠ AFB，
∴∠ ECA=∠ ABF，
∵∠ CAE=∠ ABF=45 ，°
∴△ CEA∽ △ BFA，
∴（ 0＜ x＜ 2）（3）解：由（ 2）知，△ CEA∽ △ BFA，
∴，
，
∴
∴AB=x+2，
∵∠ ABE 的正切值是，
∴tan ∠ ABE= ，
∴x= ，
∴AB=x+2=.
【解析】【分析】（ 1）根据等腰直角三角形的性质，求得∠ DAC=∠ACD=45°，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得△ CEF∽ △ CAE，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；（ 2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；（3）由（ 2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB 的关系，然后可由∠ ABE的正切值求解.
8．如图，在△ ABC中， AB=AC ，以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC ， AC 于点 D ， E ，连结EB ，交 OD 于点 F ．
（1）求证： OD⊥ BE ．
（2）若 DE=，AB=6，求AE的长．
（3）若△ CDE的面积是△OBF 面积的
，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（ 1）证明：连接AD，
∵AB 是直径，
∴∠ AEB=∠ ADB=90 ，°
∵A B=AC，
∴∠ CAD=∠ BAD， BD=CD，
∴，
∴OD⊥BE；
（2）解：∵ ∠ AEB=90°，
∴∠ BEC=90 ，°
∵BD=CD，
∴BC=2DE=2，
∵四边形 ABDE内接于⊙ O，
∴∠ BAC+∠ BDE=180 ，°
∵∠ CDE+∠ BDE=180 ，°
∴∠ CDE=∠ BAC，
∵∠ C=∠ C，
∴△ CDE∽ △CAB，
∴，即，
∴C E=2，
∴A E=AC-CE=AB-CE=4
（3）解：∵ BD=CD，
∴S△CDE=S△BDE，
∵BD=CD，AO=BO，∴OD∥AC，
∵△ OBF∽ △ ABE，
∴，
∴S△ABE=4S△OBF，
∵，
∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，
∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，∵△ CDE∽ △CAB，
∴，
∴，
∵BD=CD，AB=AC，
∴，即 AC=BC
【解析】【分析】（ 1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及
平行线的性质即可证明；（2）先证△ CDE∽ △ CAB 得，据此求得 CE 的长，依据
AE=AC-CE=AB-CE可得答案；（3）由BD=CD 知
△CDE=S△BDE，证△OBF∽ △ABE得S
，据此知S△ABE=4S△OBF，结合知S△ABE=6S△CDE，S△CAB=8S△CDE ，由△ CDE∽ △ CAB知，据此得出，结合BD=CD， AB=AC知，从而得出答案．
二、圆的综合
9．如图 1，已知扇形MON 的半径为
2，∠ MON=90°，点 B 在弧 MN 上移动，联结BM ，作 OD⊥ BM，垂足为点D， C 为线段 OD 上一点，且 OC=BM，联结 BC并延长交半径OM 于点A，设 OA=x，∠COM 的正切值为 y.
（1）如图 2，当 AB⊥OM 时，求证： AM=AC；
（2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△ OAC为等腰三角形时，求x 的值 .
x
.( 0 x2 );(3) x 142 .
【答案】(1)证明见解析 ;(2) y
x2 2
【解析】
分析：（ 1）先判断出∠ ABM=∠ DOM，进而判断出△ OAC≌ △BAM，即可得出结论；
（2）先判断出BD=DM ，进而得出DM ME 1
x），再判断出BD AE
，进而得出 AE= （2
2
OA OC 2DM
，即可得出结论；
OE OD OD
（3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（ 1）∵ OD⊥ BM， AB⊥ OM，∴ ∠ ODM=∠
BAM=90°．∵∠ ABM+∠ M=∠ DOM +∠ M，∴ ∠
ABM=∠DOM．
∵∠ OAC=∠ BAM，OC=BM，∴△ OAC≌ △ BAM，
∴A C=AM ．
（2）如图 2，过点 D 作 DE∥AB，交 OM 于点 E．
∵OB=OM ， OD⊥BM，∴ BD=DM．
∵DE∥AB，∴DM ME
，∴ AE=EM．∵OM=
1
x）．BD AE
2，∴ AE= （2
2
∵DE∥AB，∴OA
OC 2DM ，OE OD OD
∴ DM OA
， y x ．（0＜x 2
）
OD 2OE x 2 （3）（ i）当 OA=OC 时．∵DM 1
BM
1
OC
1
x ．在Rt△ODM中，2 2 2
OD OM 2 DM 2 2 1 x2 ．
4
DM 1 x
x
∵ y
， 2 ．解得x 14
2
，或 x
142
（舍）．OD 1 x 2
2 2 2 2
x
4
（i i ）当 AO=AC时，则∠ AOC=∠ ACO．∵ ∠ ACO＞∠ COB，∠ COB=∠ AOC，∴∠ ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．
（ⅲ ）当 CO=CA 时，则∠COA=∠CAO=α．∵ ∠ CAO＞∠ M，∠ M=90°﹣α，∴ α＞90°﹣α，∴α＞ 45 °，∴ ∠ BOA=2 α＞ 90 °．∵ ∠BOA≤ 90，°∴此种情况不存在．
即：当△ OAC为等腰三角形时，x 的值为142 ．
2
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定
理，等腰三角形的性质，建立y 关于 x 的函数关系式是解答本题的关键．
10．如图， AB 为e O的直径，弦CD / / AB ，E是AB延长线上一点，CDB ADE ．1DE 是 e O 的切线吗？请说明理由；
2 求证：AC2CD BE ．
【答案】（1）结论：DE 是e O的切线，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接 OD ，只要证明OD DE 即可；
（2）只要证明：AC BD ， VCDB∽VDBE 即可解决问题.
【详解】
1解：结论： DE 是e O的切
线．理由：连接 OD．
Q CDB ADE ，
ADC EDB ，
Q CD / / AB ，
CDA DAB ，
Q OA OD ，
OAD ODA ，
ADO EDB ，
Q AB 是直径，
ADB 90o，
ADB ODE 90o ，
DE OD ，
DE 是e O的切线．
2 Q CD / / AB ，
ADCDAB ， CDB DBE ，
n
n
，
AC BD AC BD ，
Q DCB
DAB ， EDB DAB ，
EDB
DCB ，
VCDB ∽ VDBE ，
CD DB ，
BD
BE
BD 2 CD BE ，
AC 2 CD BE ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型
.
11． 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O ，对角线 AC 为 ⊙O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E ，点 F 为 CE 的中点，连接 DB ， DF ．
（ 1）求证： DF 是 ⊙ O 的切线；
（ 2）若 DB 平分 ∠ADC ， AB= 5 2，AD ∶ DE=4∶ 1，求 DE 的长．
【答案】 (1)见解析 ;(2) 5 【解析】
分析：（ 1）直接利用直角三角形的性质得出
DF=CF=EF ，再求出 ∠ FDO=∠ FCO=90°，得出答
案即可；
（ 2）首先得出 AB=BC 即可得出它们的长，再利用 △ ADC ～ △ACE ，得出 AC 2=AD?AE ，进
而得出答案．
详解：（ 1）连接 OD ．
∵ OD=CD ， ∴ ∠ ODC=∠OCD ．
∵ AC 为⊙ O 的直径， ∴∠ ADC=∠ EDC=90 °．
∵ 点 F 为 CE 的中点， ∴ DF=CF=EF ， ∴ ∠ FDC=∠ FCD ， ∴ ∠ FDO=∠
FCO ．又 ∵AC ⊥ CE ， ∴ ∠FDO=∠ FCO=90 °， ∴ DF 是 ⊙ O 的切线．
（ 2）∵ AC 为 ⊙ O 的直径， ∴ ∠ ADC=∠ABC=90 °．
?
? ， ∴ BC=AB=5
2 ．
∵ DB 平分 ∠ ADC ， ∴ ∠ ADB=∠ CDB ， ∴ AB = BC
在 Rt △ ABC 中， AC 2=AB 2+BC 2=100．
又∵AC⊥ CE，∴ ∠ACE=90 °，
∴△ ADC～△ ACE，∴AC
=
AE
，∴ AC2=AD?AE．
AD AC
设DE 为 x，由 AD：DE=4： 1，∴ AD=4x，
AE=5x，∴100=4x?5x，∴ x= 5，∴DE= 5．
点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD?AE 是解题的关键．
12．如图，在ABC 中，BAC 90 , AB AC2, AD BC ，垂足为D，过A, D 的⊙O分别与 AB, AC 交于点 E, F ，连接 EF , DE , DF ．
（1）求证：ADE ≌CDF；
（2）当BC与⊙ O 相切时，求⊙ O 的面积．
2
【答案】 (1)见解析 ;(2).
4
【解析】
分析：（ 1）由等腰直角三角形的性质知 AD=CD、∠1=∠ C=45°，由∠ EAF=90°知 EF是⊙O 的直径，据此知∠ 2+∠ 4=∠ 3+∠4=90°，得∠ 2=∠3，利用“ASA证”明即可得；（2）当 BC与⊙O 相切时， AD 是直径，根据∠ C=45 °、 AC= 2可得 AD=1，利用圆的面积公式可得答案．
详解：（ 1）如图，∵ AB=AC，∠ BAC=90°，∴∠ C=45°．
1
又∵AD⊥ BC， AB=AC，∴ ∠1=∠BAC=45°，BD=CD，∠ ADC=90．°
2
又∵∠ BAC=90 °，BD=CD，∴ AD=CD．
又∵∠ EAF=90 °，∴ EF是⊙ O 的直径，∴∠ EDF=90 °，∴∠ 2+∠ 4=90 °．
又∵∠ 3+∠ 4=90 °，∴∠ 2=∠ 3．在△ ADE 和△ CDF中．
1 C
∵
AD CD ， ∴ △ADE ≌ △CDF （ASA ）．
2
3
（ 2）当 BC 与 ⊙O 相切时， AD 是直径．在 Rt △ ADC 中， ∠ C=45 °， AC= 2
， ∴sin ∠ C=
AD
， ∴ AD=ACsin ∠ C=1， ∴ ⊙O 的半径为
1
， ∴⊙ O 的面积为
2
．
AC
2 4
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等
三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．
13． 如图．在 △ ABC 中， ∠C=90 °， AC=BC ， AB=30cm ，点 P 在 AB 上， AP=10cm ，点 E 从点
P 出发沿线段 PA 以 2cm/s 的速度向点 A 运动，同时点 F 从点 P 出发沿线段 PB 以 1cm/s 的速度向点 B 运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿线段 AB 向点 B 运动，在点 E 、 F 运动过
程中，以 EF 为边作正方形 EFGH ，使它与 △ABC 在线段 AB 的同侧，设点 E 、 F 运动的时间为 t （s ）（ 0＜ t ＜ 20）．
（ 1）当点 H 落在 AC 边上时，求 t 的值；
（ 2）设正方形 EFGH 与△ ABC 重叠部分的面积为 S ． ① 试求 S 关于 t 的函数表达式； ② 以
点 C 为圆心， 1 t 为半径作 ⊙ C ，当 ⊙C 与 GH 所在的直线相切时，求此时
S 的值．
2
9t 2 ?
(0 t 2)
【答案】（ 1） t=2s 或 10s ；（ 2） ①S=
7 t 2 50t 50(2 t 10) ； ②100cm 2．
t 2 2
40t 400? (10 t 20)
【解析】
试题分析：（ 1）如图 1 中，当 0 ＜t ≤5时，由题意 AE=EH=EF ，即 10﹣2t=3t ， t=2；如图 2 中，当 5＜ t ＜20 时， AE=HE ， 2t ﹣ 10=10﹣（ 2t ﹣10） +t ， t=10；
（2）分四种切线讨论 a 、如图 3 中，当 0＜ t ≤2时，重叠部分是正方形
EFGH ，S=（3t ）
2=9t2． b、如图 4 中，当 2＜t ≤5时，重叠部分是五边
形EFGMN． c、如图 5 中，当 5＜ t ＜10 时，重叠部分是五边形EFGMN． d、如图 6 中，当10＜ t ＜20 时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；
② 分两种情形分别列出方程即可解决问题．
试题解析：解：（ 1）如图 1 中，当 0＜ t≤5时，由题意得： AE=EH=EF，即 10﹣ 2t =3t ， t=2
如图 2 中，当 5＜ t ＜ 20 时， AE=HE， 2t ﹣ 10=10﹣（ 2t﹣ 10） +t， t=10．
综上所述： t=2s 或 10s 时，点 H 落在 AC边上．
（2）①如图 3 中，当 0＜ t ≤2时，重叠部分是正方形EFGH， S=（ 3t ）2 =9t2
如图 4 中，当 2＜ t ≤5时，重叠部分是五边形EFGMN， S=（ 3t ）2﹣1
（5t ﹣10）2 =﹣2
7
t2+50t﹣ 50．2
如图 5 中，当 5＜ t ＜ 10 时，重叠部分是五边形
EFGMN ， S=（ 20﹣ t ） 2
﹣ 1
（ 30﹣ 3t ） 2=﹣
2
7
t 2
+50t ﹣ 50．
2
如图 6 中，当 10＜ t ＜ 20 时，重叠部分是正方形
EFGH ， S=（ 20﹣t ） 2=t 2﹣ 40t+400．
9t 2 ?
(0 t 2) 综上所述： S=
7 t 2 50t 50(2 t 10) ． t 2 2 40t 400? (10 t
20)
② 如图 7 中，当 0＜ t ≤5
时，
1 t+3t=15，解得： t=
30
，此时 S=100cm 2 ，当 5＜ t ＜ 20 时，
2
7
1
t+20﹣ t=15，解得： t=10，此时 S=100．
2
综上所述：当⊙ C 与 GH 所在的直线相切时，求此时S 的值为 100cm2
点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．
14．已知 A（ 2,0）， B（6,0）， CB⊥ x 轴于点 B，连接 AC
画图操作：
（1）在 y 正半轴上求作点P，使得∠APB=∠ ACB（尺规作图，保留作图痕迹）
理解应用：
（2）在（ 1）的条件下，
1
①若 tan ∠ APB，求点P的坐标
2
②当点 P 的坐标为
拓展延伸：
时，∠ APB最大
（3）若在直线 y 4
x+4 上存在点 P，使得∠ APB 最大，求点 P 的坐标3
【答案】（ 1）图形见解析（2）（ 0， 2），（ 0， 4）（ 0， 2 3 ）（3）（9 5
3 ，5
12 5 ）
5
【解析】
试题分析：（ 1）以 AC 为直径画圆交y 轴于 P，连接 PA、 PB，∠ PAB即为所求；
（2）①由题意 AC 的中点 K（4， 4），以
知 P（ 0， 2）， P′（ 0， 6）；
K 为圆心AK 为半径画圆，交y 轴于P 和P′，易
②当⊙ K 与 y 轴相切时，∠ APB 的值最大，（ 3）如图 3 中，当经过 AB 的园与直线相切
时，∠ APB 最大．想办法求出点 P 坐标即可解决问题；
试题解析：解：（1）∠ APB 如图所示；
（2）①如图 2 中，∵ ∠ APB=∠ ACB，∴ tan ∠ ACB=tan∠ APB= 1
=
AB
．∵A（ 2， 0）， B 2 BC
（6， 0），∴AB=4， BC=8，∴ C（ 6，8），∴ AC的中点 K（ 4， 4），以 K 为圆心 AK 为半径画圆，交 y 轴于 P 和 P′，易知 P（ 0， 2）， P′（0， 6）．
②当⊙ K 与 y 轴相切时，∠ APB 的值最大，此时AK=PK=4， AC=8，
∴BC= AC2 AB2 =4 3，∴C（6， 4 3），∴K（4，2 2），∴ P（0， 2 3 ）．故答案为：（ 0， 2 3 ）．
（3）如图 3 中，当经过 AB 的园与直线相切时，∠ APB 最大．∵直线 y= 4
x+4 交 x 轴于 M 3
（﹣ 3， 0），交 y 轴于 N（ 0，4）．∵ MP 是切线，∴ MP 2=MA?MB，∴ MP=3 5 ，作
PK⊥ OA 于 K．∵ON∥ PK，∴ON
=
OM
=
NM
，∴
4
= 3
5
，∴ PK=
12
5 ，
=
PK MK MP PK MK 3 5 5
MK= 9 5
，∴ OK=
9 5
﹣ 3，∴ P（
9 5
﹣ 3，
12 5
）．5 5 5 5
点睛：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和
性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学
会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题．
15．如图，AB为e O的直径，C、D为e O上异于A、B的两点，连接CD，过点 C 作 CE DB ，交CD的延长线于点E，垂足为点E，直径AB与CE的延长线相交于点 F .
（1）连接AC、AD，求证：DAC ACF 180 .
（2）若ABD 2 BDC .
①求证： CF 是 e O 的切线.
②当 BD 6 ，tan F 3
时，求 CF 的长. 4
【答案】（ 1）详见解析；（2）①详见解析；②CF 20
. 3
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理证得∠ ADB=90°，即 AD⊥ BD，由 CE⊥ DB 证得 AD∥ CF，根据平行线的性质即可证得结论；
（2）①连接 OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠ 3=2∠ 1，由已知
∠4=2∠ 1，得到∠ 4=∠3，则 OC∥DB，再由 CE⊥ DB，得到 OC⊥CF，根据切线的判定即可证明 CF为⊙ O 的切线；
②由 CF∥ AD，证出∠BAD=∠F，得出 tan ∠BAD=tan∠ F= BD
= 3 ，求出 AD=
4
BD=8，利AD 4 3
用勾股定理求得AB=10，得出 OB=OC=， 5，再由 tanF= OC
=
3
，即可求出 CF．CF 4
【详解】
解：（ 1）AB是e O的直径，且 D 为 e O 上一点，ADB 90 ，
Q CE DB ，
DEC 90 ，
CF / / AD ，
DAC ACF 180 .
（2）①如图，连接OC .
Q OA OC ，1 2 .
Q 3 1 2 ，
3 2 1.
Q 4 2 BDC ，BDC1，
4 2 1 ，
4 3 ，
OC / / DB .
Q CE DB ，
OC CF .
又Q OC 为 e O 的半径，
CF 为 e O 的切线.
②由（ 1）知CF / / AD，
BAD F ，
tan BAD tanF 3 ，4
BD 3 AD .
4 Q BD 6
AD 4
8 ，BD
3
AB 62 82 10， OB OC 5 .
Q OC CF ，
OCF 90 ，
OC 3
tanF ，
CF 4
20
.
解得 CF
3
【点睛】
本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（ 2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．
16．如图，
在过点作的切线中，
，交
，以为直径作的
延长线于点，交
，交
于点．
边于点，交边于点，
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（ 1）证明见解析；
（2） 4．
【解析】
试题分析：（ 1）连接 AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．
（2）设⊙ O 的半径为 R，则 FO=4+R， FA=4+2R， OD=R，连接 OD，由△ FOD∽ △ FAE，得列出方程即可解决问题．
试题解析：（ 1）连接 AD，∵ AB 是直径，∴ ∠ ADB=90°，
∵A B=AC， AD⊥ BC，∴ BD=DC．
（2）设⊙ O 的半径为 R，则 FO=4+R， FA=4+2R， OD=R，连接 OD、
∵AB=AC，∴∠
ABC=∠ C，
∵O B=OD，
∴∠ ABC=∠ ODB，
∴∠ ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴△ FOD∽ △ FAE，
∴，
∴，
整理得 R2﹣R﹣ 12=0，
∴R=4 或（﹣ 3 舍
弃）．∴⊙ O 的半径为
4．
考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．。