地图投影基本知识PPT课件
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第三节 地图投影
介绍内容
1、概述 2、地图投影基本理论 3、方位投影 4、圆锥投影 5、圆柱投影和高斯-克吕格投影 6、地图投影变换 7、总结
（1）引言
1、概述
① 定义:依据一定的数学法则，将不可展开
的地表曲面展示到平面上，建立曲面点与
平面点之间的一一对应关系：
平面极坐标
球面极坐标
x
y
f1(, ) f2 (, )
x
cos
y
y
cos
x
（2）等角条件、等积条件和等距离条件
② 等积条件
投影前面积： r 2
投影后面积：
ab ； mn sin
② 等积条件
（2）等角条件、等积条件和等距离条件 ③ 等距离条件
（3）球面坐标系的常用公式
Q α (φ0,λ0)
P Z
W
A(φ,λ) E
P
90-φ0
λ-λ0
（1）地图投影的主要公式 （2）等角条件、等积条件和等距离条件 （3）球面坐标系的常用公式 （4）地图投影分类
（1）地图投影的主要公式
ADBCMd ABCDNcosd
对角线：
A C A2 D A2 BM 2 d2 r2 d2
投影后的平面上的距离为：
ds dx2dy2
x
y
f1(, ) f2 (, )
( x )2 ( y )2 E ( x )2 ( y )2 G
x x
y y
F
x
y
x
y
H
H EGF2
投影后的平面上的距离为：
dS Ed22FddG2 d
当d0，为子午线 dS长E， d
当d0时，为纬线 dS长G， d
投影后的平面上的长度比：
dS Ed 2 2 Fd d Gd 2
（4）变形椭圆 （4）变形椭圆
x mx
y
ny
m为经线方向的长度比 n为经线方向的长度比
（4）变形椭圆
说明：圆投影以后为一椭圆。 缺点：投影面上的坐标轴是不垂直的。
（4）变形椭圆
主方向的条件：
①椭球面上互相垂直（x，y）； ②投影后仍保持垂直（x´，y´）； ③投影后的（x´，y´）为变形最大和最小的方向，长 度比用a，b表示。 ④投影后的（x´，y´）为变形椭圆的长半轴和短半轴。
b
a b
) )
a
si nabsin (a)
ab
OA方向的角度变形：
有一角度u，投影后为u‘，投影后 与主方向相交成α‘，有：
u18 2 0 18 2 0 22
u
2
最大角度变形：
si nabsin (a)
ab
u
2
sin ab
2 ab
（5）地图投影中投影面的选择
地面
参考椭球面
可展曲面
0
G r
E M
F 0
r12[(x)2(y)2]M 12[(x)2(y)2]
Fx xy y 0
① 等角条件说明：
根据投影方式的不同，可以用以上任意一个公式； 以上第三个公式常用于高斯投影的计算，使用中可以 转化为（略去推导过程）为：
x
r M
y
y
r
x
M
地球作为圆球时：
长度变形 角度变形
面积变形和长度变形
投影变形示意图
① 长度比和长度变形
② 面积比和面积变形
投影面上的微分面积dF′与椭球面上相应面积dF 之比，用P表示，
面积变形
③ 角度变形
投影面上的任意两方向的夹角β′与椭球面上相 应两方向的夹角β之差，
由于个方向的变形角度不同，采用取极值的方法， 角度变形最大值用ω表示。
dx
x
d
x
d
dy
y
d
y
d
d s2 dx 2 dy 2 [( x ) 2 ( y ) 2 ] d 2 2[ x x y y ] dd [( x ) 2 ( y ) 2 ] d 2
d s2 dx 2 dy 2 [( x ) 2 ( y ) 2 ] d 2 2[ x x y y ] dd [( x ) 2 ( y ) 2 ] d 2
② 变形矛盾 在实际应用中，只能根据需要保证角度、面积、
某个方向的边长保持不变。 ③ 经纬线是解决投影变形问题的主要方面。
（3）地图投影的变形 我国1984年编制的世界地图
（3）地图投影的变形：微分圆到变形椭圆
微分圆
形状不变： 某个方向 等角投影 长度不变
面积不变
都改变
地球表面经投影以后在长度、角度和面积要发生一定程度的变形。
Qα
Z
Q’ P’
90-φ A
平面
平圆圆 面锥柱
面面
（5）地图投影中投影面的选择
（6）地形图、地图对地图投影的要求
决定地图投影的因素： ①制图区域的范围、形状、大小； ②制图区域所占的具体地理位置； ③所设计的地图对各类变形的特殊要求； ④地图的用途及其使用效果； ⑤地图所含的具体内容。
2、地图投影基本理论
2、地图投影基本理论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
g1( g2 (
, ,
Z Z
) )
（1）引言
② 从一开始的透视投影，到非透视投影 （数字投影）。
数学投影
可以理解为：投影光 线为弯曲的投影线。
（1）引言
③地图投影是地图制图过程中的一个重要 组成部分;它与地图综合、图形设计、地 图制作和应用是一个严密的整体。
（2）地图投影中的主要矛盾
① 曲面和平面的矛盾 必然在某种程度上的近似表达（精度问题）。 与区域大小、比例尺大小有关。
dS
M 2d 2 r2d2
经线长度比： m Ed 2 E M 2d 2 M
经线长度比： n Gd 2 G r2d2 r
投影后的经纬线的交角：
交 角 ，为 交 9之 0角 差 与 9 为 0
简略证明过程，得到：
tanH
F
tanF
H
（2）等角条件、等积条件和等距离条件
① 等角条件
m n
OA方向的长度比：
OA方向的角度变形：
xrcos xax yrsin yby
OA方向的角度变形： xrcos xax yrsin yby
tanybybtan
x axa
tan tan tan(1 b)
a
tan tan tan(1 b)
a
顾及
tantan sin() coscos
tan
tan
tan tan
sin( ) coscos sin( )
tan(1 tan(1
b) a b)
coscos
a
OA方向的角度变形：
ttaa nn ttaa nn ccssooii nn ss((cc oo ))ss ttaa nn((11 baba))
sin( sin(
) )
(1 (1
介绍内容
1、概述 2、地图投影基本理论 3、方位投影 4、圆锥投影 5、圆柱投影和高斯-克吕格投影 6、地图投影变换 7、总结
（1）引言
1、概述
① 定义:依据一定的数学法则，将不可展开
的地表曲面展示到平面上，建立曲面点与
平面点之间的一一对应关系：
平面极坐标
球面极坐标
x
y
f1(, ) f2 (, )
x
cos
y
y
cos
x
（2）等角条件、等积条件和等距离条件
② 等积条件
投影前面积： r 2
投影后面积：
ab ； mn sin
② 等积条件
（2）等角条件、等积条件和等距离条件 ③ 等距离条件
（3）球面坐标系的常用公式
Q α (φ0,λ0)
P Z
W
A(φ,λ) E
P
90-φ0
λ-λ0
（1）地图投影的主要公式 （2）等角条件、等积条件和等距离条件 （3）球面坐标系的常用公式 （4）地图投影分类
（1）地图投影的主要公式
ADBCMd ABCDNcosd
对角线：
A C A2 D A2 BM 2 d2 r2 d2
投影后的平面上的距离为：
ds dx2dy2
x
y
f1(, ) f2 (, )
( x )2 ( y )2 E ( x )2 ( y )2 G
x x
y y
F
x
y
x
y
H
H EGF2
投影后的平面上的距离为：
dS Ed22FddG2 d
当d0，为子午线 dS长E， d
当d0时，为纬线 dS长G， d
投影后的平面上的长度比：
dS Ed 2 2 Fd d Gd 2
（4）变形椭圆 （4）变形椭圆
x mx
y
ny
m为经线方向的长度比 n为经线方向的长度比
（4）变形椭圆
说明：圆投影以后为一椭圆。 缺点：投影面上的坐标轴是不垂直的。
（4）变形椭圆
主方向的条件：
①椭球面上互相垂直（x，y）； ②投影后仍保持垂直（x´，y´）； ③投影后的（x´，y´）为变形最大和最小的方向，长 度比用a，b表示。 ④投影后的（x´，y´）为变形椭圆的长半轴和短半轴。
b
a b
) )
a
si nabsin (a)
ab
OA方向的角度变形：
有一角度u，投影后为u‘，投影后 与主方向相交成α‘，有：
u18 2 0 18 2 0 22
u
2
最大角度变形：
si nabsin (a)
ab
u
2
sin ab
2 ab
（5）地图投影中投影面的选择
地面
参考椭球面
可展曲面
0
G r
E M
F 0
r12[(x)2(y)2]M 12[(x)2(y)2]
Fx xy y 0
① 等角条件说明：
根据投影方式的不同，可以用以上任意一个公式； 以上第三个公式常用于高斯投影的计算，使用中可以 转化为（略去推导过程）为：
x
r M
y
y
r
x
M
地球作为圆球时：
长度变形 角度变形
面积变形和长度变形
投影变形示意图
① 长度比和长度变形
② 面积比和面积变形
投影面上的微分面积dF′与椭球面上相应面积dF 之比，用P表示，
面积变形
③ 角度变形
投影面上的任意两方向的夹角β′与椭球面上相 应两方向的夹角β之差，
由于个方向的变形角度不同，采用取极值的方法， 角度变形最大值用ω表示。
dx
x
d
x
d
dy
y
d
y
d
d s2 dx 2 dy 2 [( x ) 2 ( y ) 2 ] d 2 2[ x x y y ] dd [( x ) 2 ( y ) 2 ] d 2
d s2 dx 2 dy 2 [( x ) 2 ( y ) 2 ] d 2 2[ x x y y ] dd [( x ) 2 ( y ) 2 ] d 2
② 变形矛盾 在实际应用中，只能根据需要保证角度、面积、
某个方向的边长保持不变。 ③ 经纬线是解决投影变形问题的主要方面。
（3）地图投影的变形 我国1984年编制的世界地图
（3）地图投影的变形：微分圆到变形椭圆
微分圆
形状不变： 某个方向 等角投影 长度不变
面积不变
都改变
地球表面经投影以后在长度、角度和面积要发生一定程度的变形。
Qα
Z
Q’ P’
90-φ A
平面
平圆圆 面锥柱
面面
（5）地图投影中投影面的选择
（6）地形图、地图对地图投影的要求
决定地图投影的因素： ①制图区域的范围、形状、大小； ②制图区域所占的具体地理位置； ③所设计的地图对各类变形的特殊要求； ④地图的用途及其使用效果； ⑤地图所含的具体内容。
2、地图投影基本理论
2、地图投影基本理论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
g1( g2 (
, ,
Z Z
) )
（1）引言
② 从一开始的透视投影，到非透视投影 （数字投影）。
数学投影
可以理解为：投影光 线为弯曲的投影线。
（1）引言
③地图投影是地图制图过程中的一个重要 组成部分;它与地图综合、图形设计、地 图制作和应用是一个严密的整体。
（2）地图投影中的主要矛盾
① 曲面和平面的矛盾 必然在某种程度上的近似表达（精度问题）。 与区域大小、比例尺大小有关。
dS
M 2d 2 r2d2
经线长度比： m Ed 2 E M 2d 2 M
经线长度比： n Gd 2 G r2d2 r
投影后的经纬线的交角：
交 角 ，为 交 9之 0角 差 与 9 为 0
简略证明过程，得到：
tanH
F
tanF
H
（2）等角条件、等积条件和等距离条件
① 等角条件
m n
OA方向的长度比：
OA方向的角度变形：
xrcos xax yrsin yby
OA方向的角度变形： xrcos xax yrsin yby
tanybybtan
x axa
tan tan tan(1 b)
a
tan tan tan(1 b)
a
顾及
tantan sin() coscos
tan
tan
tan tan
sin( ) coscos sin( )
tan(1 tan(1
b) a b)
coscos
a
OA方向的角度变形：
ttaa nn ttaa nn ccssooii nn ss((cc oo ))ss ttaa nn((11 baba))
sin( sin(
) )
(1 (1