一元一次方程及等式的基本性质
一元一次方程 基础知识整理
一元一次方程1.定义：方程与一元一次方程含有未知数的叫方程，方程必须具备两个条件：第一是等式，第二是含有未知数。
方程中只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程。
2.方程的解与解方程使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！解方程就是求出使方程中左右两边均相等的未知数的值，是过程。
3.等式的性质（1）：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（2）：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.解方程的过程就是把方程逐步化为x=a（常数）的形式，等式的性质是重要的转化依据。
4．解方程（1）合并同类项与移项：合并时牢记：同类项的系数相加，字母连同指数不变，系数为负数时要注意符号。
（2）移项（移项要变号）：移项就是把等式一边的某项变号后移到另一边。
一般把方程转化为含有未知数的在方程的左边，常数在方程的右边。
注意与加法交换律不一样。
移项是把某些项从方程的一边移到另一边，移动要变号，而加法交换律只是加数之间交换位置，改变的只是顺序不改变符号。
（3）去括号与去分母：去括号法则与整式去括号法则相同：括号外的因数是整数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。
括号外的因数是负数时，去括号内后，原括号内各项的符号与原来的符号相反。
去分数：先把分式化成整式再计算。
应注意各项都要乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘分母的项，如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号。
当分母是小数时，要先利用分母的基本性质把小数转化成整数，然后再去分母。
（4）一元一次方程解法的一般步骤：化简方程----------分数基本性质去分母----------同乘（不漏乘）最简公分母去括号----------注意符号变化移项----------变号合并同类项--------合并后注意符号系数化为1---------未知数细数是几就除以几5.列方程（1）读题分析法:…………多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.（2）画图分析法: …………多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.6.列方程解决实际问题一般步骤：审设列解验答（1）配套问题等量关系：加工或者生产的总量相等或成比例。
5.2一元一次方程的解法+等式的基本性质2024-2025学年+北师大版(2024)数学七年级上册
分层设计 数学 BS 七年级 上
思考
a
b
a
b
a a
b b
3a ＝ _____
3b
_____
a ＝ _____
b
_____
从右到左，等式发生了怎样的变化？
等式的两边都乘同一个
等式的两边都除以同一个数，等式仍然成立.
数(或除以同一个不为0
的数)，所得结果仍是
等式.
3
解:(2)方程的两边都加 2，得
－ －2＋2＝10＋2。
3
化简，得
－ ＝12。
3
方程的两边都乘－3，得
n＝－36。
检验：将n＝－36代人方程的左边,得方程
−36
左边＝－ －2＝10,右边＝10,左边＝右边，
3
所以n＝－36是－
3
−2＝10的解。
随堂检测
1. 根据等式的性质，由x＝y可得（ B
分层设计 数学 BS 七年级 上
新知小结
1. 等式基本性质.
（1）等式基本性质1：等式两边都加（或减）
同一个代数式
所得结果仍是等式，即如果 a ＝ b ，那么 a ± c ＝
（2）等式基本性质2：等式的两边都乘
以
同一个不为0的数
那么 ac ＝
bc
同一个数
b ±
c
，
.
（或除
），所得结果仍是等式，即如果 a ＝ b ，
解：方程两边同时减 x ，得
方程两边同时加3，得
3 x －3＝9。
3 x ＝12。
方程两边同时除以3，得
x ＝4。
检验：将x＝4代人方程的左边,得方程
一元一次方程知识点归纳
一元一次方程方程的有关概念夯实基础一．等式用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。
温馨提示①等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可以表示不同的意义。
②不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。
如x x 2735-=+才是等式。
二．等式的性质性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
即如果b a =，那么c b c a ±=±。
性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
即如果b a =，那么bc ac =；如果b a =()0≠c ，那么cb c a =。
温馨提示①等式类似天平，当天平两端放有相同质量的物体时，天平处于平衡状态。
若在天平的两端各加（或减）相同质量的物体，则天平仍处于平衡状态。
所以运用等式性质1时，当等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式时，才能保证所得的结果仍是等式，应特别注意“都”和“同一个”。
如31=+x ，左边加2，右边也加2，则有2321+=++x 。
②运用等式的性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母。
③等式性质的延伸：a.对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即如果b a =，那么a b =。
b.传递性：如果c b b a ==,，那么c a =（也叫等量代换）。
例1：用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式哪一条性质，以及怎样变形得到的。
（1）如果51134=-x ，那么+=534x ； （2）如果c by ax -=+，那么+-=c ax ；（3）如果4334=-t ，那么=t 。
三．方程含有未知数的等式叫做方程。
温馨提示 方程有两层含义：①方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。
②方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。
一元一次方程讲义
一元一次方程一、等式及其性质1、等式用等号表示相等关系的式子叫等式。
如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。
注意：等式中一定含有等号。
2、等式的性质等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
a=b ，那么a ±c=b ±c等式性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么a ／c=b ／c （c ≠０）。
注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。
思考：回答下列问题：（１）从a+b=b+c ，能否能到a=c ，为什么？（2） 从a-b=b-c ，能否能到a=c ，为什么？（3） 从ab=bc ，能否能到a=c ，为什么？（4） 从a/b=c/b ，能否能到a=c ，为什么？（5）从xy=1，能否能到x=1/y ，为什么？二、解一元一次方程的步骤：①去分母； ⇐（没有分母的项不要漏乘；去掉分数线，同时要把分子加上括号） ②去括号； ⇐（当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号）③移项； ⇐（移项要注意变号）④合并同类项； ⇐（如果方程中有同类项，一定要合并同类项）⑤系数化为1； ⇐（记得每一项都要除系数） 例：解一元一次方程3122133---=+x x x三、一元一次方程解的实际应用1、列方程解应用题的步骤（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。
找出能表示题目全部含义的相等关系（2）设：设未知数。
可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。
①直接设未知数：题目求什么就设什么。
②间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。
③设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过程中会自然消去（3）列：根据等量关系列方程。
（4）解：解方程（5）验：检验方程的解和解是否符合实际问题。
3,1一元一次方程和等式的基本性质教案
一元一次方程和等式的基本性质教学目标：1、经历对实际问题中数量关系的分析，建立一元一次方程的过程，体会学习方程的意义在于解决实际问题。
2、通过观察，归纳一元一次方程的概念。
3、理解等式的基本性质，并利用等式的基本性质解一元一次方程。
教学重点、难点教学重点：对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程。
教学难点：对等式基本性质的理解与运用。
教学过程：一、情境导入问题：一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70km/h ，卡车的行驶速度是60km/h ，客车比卡车早1h 经过B 地，A ，B 两地间的路程是多少？1．若用算术方法解决应怎样列算式？2．如果设A ，B 两地相距x km ，那么客车从A 地到B 地的行驶时间为________，货车从A 地到B 地的行驶时间为________．3．客车与货车行驶时间的关系是____________．4．根据上述关系，可列方程为____________．5．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？二、合作探究探究点一：一元一次方程的有关概念【类型一】 一元一次方程的辨别例1 下列方程中是一元一次方程的是( )A ．x ＋3＝y ＋2B ．1－3(1－2x )＝－2(5－3x )C ．x －1＝1x D.y3－2＝2y －7 解析：A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B.化简后含有未知数的项可以消去，不是方程，错误；C.分母中含有字母，不是一元一次方程，错误；D.符合一元一次方程的定义，正确．故选D.方法总结：判断一元一次方程需满足三个条件：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)是整式方程．【类型二】 利用一元一次方程的概念求字母次数的值例2 方程(m ＋1)x ＋1＝0是关于x 的一元一次方程，则( )A ．m ＝±1B ．m ＝1C ．m ＝－1D ．m ≠－1解析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧|m |＝1，m ＋1≠0，解得m ＝1.故选B. 方法总结：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程．【类型三】 一元一次方程的解例3 检验下列各数是不是方程5x －2＝7＋2x 的解，并写出检验过程．(1)x ＝2; (2)x ＝3.解析：将未知数的值代入方程，看左边是否等于右边，即可判断是不是方程5x －2＝7＋2x 的解．解：(1)将x ＝2代入方程，左边＝8，右边＝11，左边≠右边，故x ＝2不是方程5x －2＝7＋2x 的解；(2)将x ＝3代入方程，左边＝13，右边＝13，左边＝右边，故x ＝3是方程5x －2＝7＋2x 的解．方法总结：检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等． 探究点二：等式的基本性质例4 已知mx ＝my ，下列结论错误的是( )A ．x ＝yB ．a ＋mx ＝a ＋myC ．mx －y ＝my －yD ．amx ＝amy解析：A.等式的两边都除以m ，依据是等式的基本性质2，而A 选项没有说明m ≠0，故A 错误；B.符合等式的基本性质1，正确；C.符合等式的基本性质1，正确；D.符合等式的基本性质2，正确．故选A.方法总结：在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，这里的数或字母没有条件限制，但是在等式的两边同时除以同一个数或字母时，这里的数或字母必须不为0.探究点三：利用等式的基本性质解方程例5 用等式的性质解下列方程：(1)4x ＋7＝3；(2)12x －13x ＝4. 解析：(1)在等式的两边都减7，再在等式的两边都除以4，可得答案；(2)在等式的两边都乘以6，再合并同类项，可得答案．解：(1)方程两边都减7，得4x ＝－4.方程两边都除以4，得x ＝－1；(2)方程两边都乘以6，得3x －2x ＝24，x ＝24.方法总结：解方程时，一般先将方程变形为ax ＝b 的形式，然后再变形为x ＝c 的形式．三、板书设计1．一元一次方程：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程．2．等式的基本性质：性质1：a＝b，则a＋c＝b＋c，a－c＝b－c；性质2：a＝b，则ac＝bc，ad＝bd(d≠0)．3．利用等式的基本性质解方程．一：情境导入今有雉兔同笼，上有三十五头下有九十四足，问雉兔各几何二：导入课题一元一次方程和等式的基本性质.三：问题情境导入问题1：在参加2004年雅典奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有18人，比跳水运动员的2倍少4人，参加奥运会的跳水运动员有多少人？如果设参加奥运会的跳水运动员有x人，则根据题意可列出方程2x－4=18问题2王玲今年12岁，她爸爸36岁，问再过几年，她爸爸的年龄是她年龄的2倍？如果设再过 x年，则x年后王玲的年龄是岁则x年后爸爸的年龄是岁由题意可得：（让让学生做，然后交流。
一元一次方程的解法
（2） 调配问题。 从调配后的数量关系中找等量关系， 常见是“和、 差、 倍、 分”关系， 要注意调配对象流动的方向和数量。
例 1 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 27 人，在乙处植树的有 18 人.如果要使在甲处植树的人 数是乙处植树人数的 2 倍，需要从乙队调多少人到甲队？
例 2 . 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 23 人，在乙处植树的有 17 人.现调 20 人去支援，使在甲 处植树的人数是乙处植树人数的 2 倍多 3 人，应调往甲、乙两处各多少人？
5
表或画图来帮助理解题意。
例 1 .一项工程，甲、单独做需 20 天完成，乙单独做需 30 天完成，如果先由甲单独做 8 天，再由乙单独 做 3 天，剩下的由甲，乙两人合作还需要几天完成？
例 2. .一项工程，甲独做需１２天完成，乙独做２４天完成，丙独做需６天完成，现在甲与丙合作２天， 丙因事离去，由甲乙合作，甲乙还需几天才能完成这项工程？
一元一次方程的解法 知识点和方法概述 1、等式 等式：用“=”表示相等关系的式子。 等式的性质： 1） 等式两边都加上 （或减去） 同一个数或同一个整式， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， 则 A±C=B±C。 2） 等式两边都乘以 （或除以） 同一个数 （除数不为 0） ， 所得结果仍是等式。 即： 若 A=B， A B C ≠ 0 ，则 A⋅C=B⋅C， = 。 C C 3)等式的对称性：若 A=B，则 B=A。 4）等式的传递性：若 A=B，B=C，则 A=C。 等式的类型： 1）恒等式：当不论用任何数值代替等式中的字母，其左右两边的值总相等时，这样 的等式叫做恒等式。如 0 ⋅ x = 0 。 2）矛盾等式：如 2=0， 2 x = 2 x + 1 3）条件等式：字母取某特定值时才成立的等式，如 3 x − 4 = 3 2、方程 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 （注：用等式的 两条性质所得的方程与原方程是同解方程。 ） 方程的同解原理： 1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 2）方程两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0） ，所得结果仍是等式。 不难看出，方程的同解原理是由等式的性质演变出来的，其实质是一样的。 检验方程的解：检验一个数是不是某个方程的解，其方法是将数分别代入方程的左边和 右边，如果左边=右边，则该数就是原方程的解，否则就不是。 含绝对值符号的方程：绝对值符号内含有未知数的方程，叫含绝对值符号的方程，有时 也简称绝对值方程。 解含绝对值符号的方程的基本思想就是去掉绝对值符号，转化为一般方程。具体操作方 式有两种：其一是对含绝对值符号的各个式子分别讨论其正负，利用绝对值的定义去掉绝对
5.2 第1课时 等式的基本性质 教学课件北师大版(2024)数学七上
C. 由2( + 1) = 2 + 1得 + 1 = + 1
D. 由2 + 3 = －6 得2 = －18
随堂训练
3、解方程：
(1)x-9=8；
(3)3a+4=-13；
(5)8y=4y+1。
(2)5-y=-16；
2
(4) -1=5；
(2)若 = ，则 −= − ；
(3)若 = ， 则 = ；
(4)若 = ,，且 ≠0
时，则
= 。
知识讲解
例1 利用等式的性质解下列方程：
(1) x＋2=5;
（2）3=x-5。
解：(1)方程两边都减2，得
x＋2－2＝5－2，
于是
x＝3。
(2)方程两边都加5，得
化简，得
3a= -15，
方程两边都除以3，
得
a= -5 。
(4)
2
-1=5
3
解：方程两边都加1，得
2
x-1+1=5+1，
3
2
化简，得 x=6，
3
方程两边都乘 ，
得
x=9 。
随堂训练
(5)8y=4y+1
解：方程两边都减4y，
得 8y-4y=4y+1-4y，
于是
4y=1，
方程两边都除以4，
1
得 y=
第五章 一元一次方程
第五章 一元一次方程
2 一元一次方程的解法
第1课时 等式Байду номын сангаас基本性质
《第一元一次方程及等式的基本性质》示范教学方案
第三章 一次方程与方程组3.1一元一次方程及等式的基本性质第1课时一、教学目标1. 通过观察，归纳一元一次方程的概念.2. 会根据一元一次方程的概念判断一元一次方程.3.利用等式的基本性质对等式进行变形，会利用等式的基本性质解简单的一元一次方程.（重点、难点）二、教学重点及难点重点：对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程. 难点：对等式基本性质的理解与运用.三、教学用具多媒体课件．四、相关资料无．五、教学过程【情景引入】问题：一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70km/h ，卡车的行驶速度是60km/h ，客车比卡车早1h 经过B 地，A ，B 两地间的路程是多少？1．若用算术方法解决应怎样列算式？2．如果设A ，B 两地相距x km ，那么客车从A 地到B 地的行驶时间为_70x _______，货车从A 地到B 地的行驶时间为___60x _____． 3．客车与货车行驶时间的关系是__客车时间-货车时间=1h__________．4．根据上述关系，可列方程为_-=16070x x ___________． 5．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？回顾：首先使用以前学习过的方法进行计算，再使用引入未知数进行计算，比较二者的区别与联系，更好的认识方程的概念.设计意图：回顾曾将解决问题的方法，与使用未知数后的方法进行对比，帮助学生理解二者的区别和联系，帮助学生更快、更清晰的认识和理解方程及其概念.【探究新知】本图片是微课的页面截图，本微课资源通过列方程解决实际问题，来引出一元一次方程的概念.若需使用，请插入微课【知识点解析】一元一次方程.一、一元一次方程的概念观察方程：x －4=1817＋x ＝2(12＋x )-=16070x x 1. 它们属于我们小学里学过的什么内容？方程：含有未知数的等式叫方程.2. 上面的三个方程的左右两边的式子属于我们学过的代数式中的哪一类式子？ 它们都是整式3. 如果方程的两边都是整式，我们就把这样的方程叫整式方程.4. 这三个方程有什么特征？（从未知数的个数与未知数的次数两方面去考虑）一元一次方程：上面的三个方程，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.设计意图：通过让学生自己观察式子，探究得到方程的概念和特征、一元一次方程的概念和特征，知道方程是由等号和两个整式所组成的，能够说粗一元一次方程和方程的关系.使用学生自主观察探究的方法，提高学生的观察能力和分析能力.例题：判断下列各式是不是一元一次方程，是的打“√”，不是的打“ｘ”.(1) x+3y=4 ( )(2) x2-2x=6 ( )(3) -6x=0 ( )分析：观察的时候要抓住问题的重点，问自己三个问题：第一，方程中是不是一元，即方程是不是只有一个未知数；第二，方程是不是一次，即方程中未知数的指数是不是1；第三，方程两侧是不是整式.如果两都符合，那么这个方程就是一元一次方程.答案：(1) x+3y=4 (×)(2) x2-2x=6 (×)(3) -6x=0 (√)强调：一元一次方程需要满足3个条件：1. 是不是只有一个未知数；2.方程中未知数的指数是不是1；3.方程两边都是整式.设计意图：通过例题的设置可让学生更深刻的理解一元二次方程的概念.明确一元二次方程成立的两个条件.二、方程的解对于方程3x=9，容易知道x=3可以使等式成立，对于方程170+15x=245，你知道x等于什么时，等式成立吗？我们来试一试.我们知道当x=5时，170+15x的值是245，所以方程170+15x=245中的未知数的值应是5．使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.一元方程的解也可以叫做方程得根.求方程解的过程叫做解方程.判断一个数值是不是方程的解的步骤：1.将数值代入方程左边进行计算，2.将数值代入方程右边进行计算，3 .若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．三、等式的性质问题1.对比天平与等式，你有什么发现？把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平保持两边平衡.等式性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式即如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c.等式性质2:等式的两边乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.等式性质3：如果a=b,那么b=a.(对称性）等式性质4：如果a=b,b=c,那么a=c.(传递性）在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用于它相等的量代替，简称等量代换.例如：x=3,又y=x,所以y=3.【典型例题】例1：方程(m＋1)x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则()A．m＝±1B．m＝1C．m＝－1 D．m≠－1分析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0，所以|m|＝1，m＋1≠0，解得m＝1.答案：B例2 (1) 怎样从等式x-5= y-5得到等式x =y ?依据等式的性质1两边同时加5(2) 怎样从等式 3+x=1 得到等式 x=-2?依据等式的性质1两边同时减3(3) 怎样从等式 4x=12 得到等式 x=3?依据等式的性质2两边同时除以4或同乘14(4) 怎样从等式 得到等式 a =b ?依据等式的性质2两边同时除以1100或同乘100例3 解方程：2x -1=19.解：两边都加上1，得2x =19+1, 等式的基本性质1即 2x =20.两边都除以2，得x =10. 等式的基本性质2检验：把x =10分别代入方程两边，得左边=2×10-1=19，右边=19.即 左边=右边所以x =10是原方程的解.【随堂检测】1.若方程3x a +1-4=5是关于x 的一元一次方程 ,则a 等于(B )A.任意有理数B.0C.1D.0或12.下列各式变形正确的是（ A ）3.用等式的性质解下列方程：(1)x ＋7＝26；(2)－13x -5＝4.解：(1)方程两边都减7，得x ＝－19.检验：将x =19分别代入方程两边；左边=19+7=26=右边 所以x =19是原方程的解.(2) 两边都加上5，得－13x ＝9， 两边都乘以-3，得x =-27. 六、课堂小结1. 一元一次方程的概念.2.方程的解．3.等式的基本性质4.利用等式的基本性质解一元一次方程.设计意图：将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识．。
初一上册数学一元一次方程知识点讲解
利润问题常用等量关系：售价-进价=利润
(5)配套问题：
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历||史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁||传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”||，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也||有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师||长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说||不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传||授知识的对象和本身明确的职责。(6)分配问题：
||课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使||运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死||”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天||花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“||积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮||流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教||师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名||言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑||中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增||色添辉。以上内容由查字典数学网独家专供，希望这篇初一上||册数学一元一次方程知识点讲解能够帮助到大家。
系数化为1---------除前面
10.列一元一次方程解应用题：
(1)读题分析法:多用于和，差，倍，分问题
仔细读题，找出表||示相等关系的关键字，例如：大，小，多，少，是，共，合，为，完成，||增加，减少，配套-----，利用这些关键字列出||文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入||代数式，得到方程.
一元一次方程的概念与解法
一元一次方程的概念与解法【知识要点】1．一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式是：2．等式的基本性质（1）等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式. 3．解一元一次方程的基本步骤：【典型例题】例1．下列方程是一元一次方程的有哪些？x+2y=9 x 2－3x=1 11=xx x 3121=-2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=1例2. 用适当的数或整式填空，使得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质，通过怎样变形得到的.(1)如果________;-8x 3,853==+那么x(2)如果-1_x_________3,123=--=那么x x ；(3)如果;__________x ,521==那么x(4)如果________.3x ,32==那么yx例3．解下列简易方程1．5223-=+x x 2．4.7-3x=113．x x +-=-32.0 4．)3(4)12(3-=+x x例4．解方程 1．32243332=+--x x 2．1423(1)(64)5(3)25x x x --++=+3．21101211364x x x -++-=- 4．22314615+=+---x x x x 5．003.002.003.0255.09.03.0=+---+x x x 6．83161.20.20.55x x x +-+-=-例6．x 取何值时，代数式 63x + 与 832x- 的值相等.例7．已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例8. 已知1x =-是关于x 的方程 327350x x kx -++= 的解，求221195k k --的值.例9．当.38322倍的的值是为何值时，代数式x x x x ++-例10. 若对于任意的两个有理数m, n 都有m ※n=43nm +，解方程3x ※4=2.系统讲解一元一次方程的应用【知识梳理】一、知识结构二、知识要点归纳1．列方程解决实际问题的一般步骤（1）找——找准等量关系，找出能够表示题意的等量关系.（2）设——设未知数，弄清题意和找准等量系后，用字母表示题目中的一个未知数.（3）列——列出方程，用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量，依据找准的等量关系，列出方程.(4) 解——解方程.解出所列的方程,求出未知数的值.(5) 答_作出应答,检验方程的解是否符合实际,作出回答且注明单位.水速度＝船速－水速2.分析应用题中等量关系的一般方法（1）译式法：将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系.（2）线示法：用同一直线的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段的长度的内在联系，找出等量关系.（3）列表法：将已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系.（4）图示法：利用图表示题中的数量关系，它可以使量之间的关系更为直观，更方便找出其中的等量关系.三、考查解析一元一次方程应用问题，关键是考查同学们用一元一次方程的模型解决实际问题的能力，大多数属于当基本题或中档题，学习中应抓住其核心问题——建模，从等量关系入手，而不是只让学生套题型，套步骤去解应用题.【典型例题】劳动力分配问题例1.某车间有100个工人，每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓要配两个螺母）应如何分配加工螺栓、螺母的工人？分析：等量关系为螺栓数：螺母数＝1︰2.设加工螺栓人数为x，则加工螺栓的总数为18x个，加工螺母总数为24（100－x）个.解：设加工螺栓的人数为x人，依题意有24xx⨯(=-2,18)100解得 40=x （人）.∴加工螺母的人数为 100－x ＝100－40＝60（人） 答：应分配40人去加工螺栓.点评：此题重点是培养学生寻找等量关系的意识和能力. 等体积问例2.一个圆柱形水桶，底面半径为11cm ，高25cm ，将满桶的水倒入底面长30cm ，宽20cm 的长方体容器，问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水（π取3.14，结果精确到0.1cm ）? 分析：从相等关系入手，即圆柱形容器积＝长方体器容积. 解：设长方体容器的高为x cm ，依题意，有 30×20x ＝25π×112，解方程，得 ≈=24121πx 15.9cm ， 答：长方体容器的高至少需要15.9cm.点评：“等积变换”是中学数学的常用方法，要让学生理解和把握这方法，并能在实际问题中灵活应用. 盈亏问题例3.某服装个体户同时卖出两套服装，每件都以135元出售，按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%.（1）在这次买卖中，这位个体户是赔是赚还是正好保本？ （2）若将题中的135元改成为任何正数a 元，情况如何？ 分析：关键把握等量关系： 进价（1＋盈利率）＝售价，进价（1－亏本率）＝售价.解：（1）设第一件进价为x 元，则135%)251(=+x , 解得 108=x ,设第一件进价为y 元，则135%)251(=-y , 解得 180=y ,而 181352)180108(1352)(=⨯-+=⨯-+y x .所以赔18元.（2）仿前一小题方法可得： a x =+%)251(及a y =-%)251(, 解得 a x 54=， a y 34=,而 0152234542)(>=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+aa a a a y x , 所以此时仍然是亏本.点评：解决该题的关键是把握住此类问题中的几个等量关系，同时理解好一些常用“词”：如：打八折，进价，售价，盈利10%，亏本20%等.拓广：在例3中，将题中的135元改为任何正数a 元，同时又将题中的25%改为m%（0＜m ＜100）情况如何？工程量问题例4.甲、乙两水管往水池中注水，甲管单独打开用20小时可注满一池水，乙管单独打开用40小时可注满一池水.现在甲管单独打开8小时后，乙管才开始工作，问两管一起打开后需多少小时可注满水池？分析：利用等量关系，甲管工作量＋乙管工作量＝1，来解题，为了理清工作量的关系，可列表如下：（设两管一起开后x 小时可注满全池）解：设两管一起打开后x 小时可注满全池，依题意，得140208=++xx . 解得 8=x （小时），答：两管一起打开后8小时可注满水池.点评：“列表法”在分析等量关系中，有其特点，但重点还应是在培养学生寻找等量关系的意识和能力上，提高“建模”能力.行程问题例5.由甲地到乙地前32的路是高速公路，后31的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地.A 车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路的行驶速度是60千米/时.B 车在高速公路上的行驶速度是110千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时.A 、B 两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在距离丙地44千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？分析：本题在相遇过程中A 、B 两车同时出发相向而行至相遇如图3－5－1所示，相等关系是A 车行驶时间＝B 车行驶时间.距丙地44千米处，有两种可能，（1）相遇处在高速公路上距丙地44千米，（2）相遇处在普通公路上，解题时要考虑到这两种情况，再根据实际取舍.解：设甲、乙两地相距x 千米，A 车从甲地到丙地，需要15010032xx=（小时），B 车从乙地到丙地，需要2107031x x=（小时）， ∵210150x x > ∴A 、B 两车只能在高速公路上距丙地44千米处相遇.列方程得,1104470311004432+=-xx 解得441=x .答：甲、乙两地之间的距离是441千米.点评：“线示法”分析等量关系比较方便.但要注意分类讨论各种情况，以免挂一漏万.利息问题例6.大宝、小宝共利用假期打工1000元，大宝把他的工钱按一年期教育储蓄存入银行，年利率为1.98%，免收利息税，小宝把他的工钱买了月利率为2.15%的债券，但要交纳20%的利息税，一年后两人得到的收益恰好相等，问两人的压岁钱各是多少？分析：抓住这一问题的等量关系.1.利息（免税的）＝存入钱数×年利率，2.利息（不免税的）＝存入钱数×年利率×（1－税率），3..大宝的收益＝小宝的收益.解：设大宝的工钱为x元，则小宝的工钱为（1000－x）元，由题意，得.1⨯98%⨯⨯x.=x-(80%100012%).215解得510x（元），1000－x=490(元).=答：大宝的工钱是510元，小宝的工钱是490元.【自我测试】一、基础测试1.在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追及超越卡车，需要花费的时间约是（）A.1.6秒B.4.32秒C.5.76秒D.345.6秒2.有一旅客携带30公斤行李从某机场乘飞机返回绵阳，按民航规定，旅客最多可免费携带20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购行李票，已知该旅客现已购行李票60元，则它的飞机票价为（）A.300元B.400元C.600元D.800元3.一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元，问该储户存入多少本金？4.某商品的进货单价为280元，按25%的利润率确定售价.后因市场发生变化，决定按原定价格的八五折出售，问这时每售出一件这种商品，商店获利多少？5.用内径18毫米的圆柱形试管盛满水后，向一个底面是边长为22毫米的正方形，高是15毫米的空长方体容器内倒水，倒满容器后试管内水面下降约多少毫米？6.一艘船在甲、乙两地之间航行，顺水要3小时，逆水要3.5小时，已知船在静水中航行速度是每小时26千米，求水流速度.7.两人在环形跑道上同向急走，一圈为400米，甲的速度为平均每分钟80米，乙的速度是甲的1.25倍，如果乙在甲的前面100米，多少分钟后两人相遇？8.某人原计划骑车以12km/h的速度由A地去B地.这样可在规定时间内到达B地.但他因事将原计划出发的时间推迟了20min，只好以15km/h的速度前进，结果比规定时间早4min到达B地，求A、B 两地的距离？二、综合能力测试题1.某商店先在广州以每件15元的价格购进一种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价购进同样商品40件，如果商店销售这些商品时，要获利12%的利润，那么这种商品的销售价应该是_______.2.有一卷铁丝，第一次用去了它的一半少1m，第二次用去了剩下的一半多1m，结果还剩下10m，这卷铁丝原长多少？3.有大中小三个正方形水池，它们的内池分别为6m、3m、2m，把两堆碎石分别沉浸在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6cm和4cm，如果将这两堆碎石都沉浸在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？4.有一火车以每分钟600m的速度要过完第一、第二座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥多用5分钟，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50m，试求各铁桥的长？5.某公司向银行贷款40万元用来生产某种新产品，已知该贷的年利率为1.5%（不计复利），每人新产品的成本是2.3元，售价4元，应纳税是销售额的10%，如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润用来归还贷款，问需要几年才能一次性还清？（利润＝销售额－成本－应纳税款）6.某班共40名学生，其中33人数学成绩不低于80分，32人英语成绩不低于80分，且班上每人在这两科中至少有一科不低于80分.求两科成绩都不低地80分的人数.。
一元一次方程知识点汇总
一元一次方程知识点汇总【知识点归纳】一、方程的有关概念1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)的方程叫做一元一次方程.3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.二、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等. 用式子形式表示为：如果a=b ，那么a±c=b±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 用式子形式表示为：如果a=b ，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么a c =b c三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．四、去括号法则 〔依据分配律：a （b+c ）=ab+ac 〕1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．五、解方程的一般步骤1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a （或乘未知数的倒数），得到方程的解x=b a). 六、用方程思想解决实际问题的一般步骤1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，找:明确各数量之间的关系；2. 设：设未知数(可分直接设法，间接设法), 表示出有关的含字母的式子；3. 列：根据题意列方程；4. 解：解出所列方程, 求出未知数的值；5. 检：检验所求的解是否是方程的解，是否符合题意；6. 答：写出答案(有单位要注明答案).七、有关常用应用题类型及各量之间的关系1. 和、差、倍、分问题（增长率问题）： 增长量＝原有量³增长率 现在量＝原有量＋增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，几分之几,增长率,减少,缩小……”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、大、小、和、差、不足、剩余……”来体现. 审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别.2. 等积变形问题：（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变(等积)为前提，是等量关系的所在.常用等量关系为： ①形状面积变了，周长没变； ②原料体积＝成品体积.（2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积³高＝S ²h ＝πr 2h②长方体的体积 V ＝长³宽³高＝abc3. 劳力调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系，要注意调配对象流动的方向和数量.这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变4. 数字问题： 要正确区分“数”与“数字”两个概念, 同一个数字在不同数位上，表示的数值不同，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系列方程.列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和.（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c ，十位数可表示为10b+a ，百位数可表示为100c+10b+a （其中a 、b 、c 均为整数，且0≤a ≤9， 0≤b ≤9， 1≤c ≤9）.（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n 表示，连续的偶数用2n+2或2n —2表示；奇数用2n+1或2n —1表示.5. 工程问题（生产、做工等类问题）：工作量＝工作效率³工作时间 工作时间工作量工作效率= 工作效率工作量工作时间=合做的效率＝各单独做的效率的和. 一般情况下把总工作量设为1，完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1.分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。
3.1.2一元一次方程(等式的基本性质)修改版
2 2
x y y ，那么 a b
（x ）
√ ） （
（√ ）
等式性质1 等式性质2
（5）如果 x
（6）如果 x
（x ）
x y
y ，a 1
，那么a 1 a 1
√ ） （
等式性质2
因为 a 1，所以 a 1 0
学习难点：运用等式性质把简单的一元一次方程化成 x＝a的形式．
等式的左边 等号
等式的右边
把一个等式看作一个天平， 等号两边的式子看作天平两边的物体，
等式成立可以看作是天平两边保持平衡。
a
左
b
右
a
左
b a =b
右
a
左
c
b
右
a =b
a
左
c
b
c
a =b a+c = b+c
右
a
c
b
c
左
a =b
右
一、创设情境
用估算的方法可以求出简单的一元一次方程的解．
你能用估算的方法求出下列方程的解吗？
（1）3x－5＝22；
x9
x2
（ 2） 4 x 3 5
用估算的方法解比较复杂的方程是困难的. 因此，我们还要讨论怎样解方程.
一、创设情境
思考：以下方程有什么特点？
m＋n＝n＋m，x＋2x＝3x，3×3＋1＝5×2， 3x＋1＝5y.
利用等式的性质解方程 1 (3) x 5 4 2 5x 20 3
解：两边加5，得
解：两边同时除以-5得
5x 20 5 5
【沪科版教材】七年级数学上册《3.1 第1课时 一元一次方程和等式的性质》课件
情景2：小颖种了一棵树苗，开始时树苗高为40厘 米，栽种后每周树苗长高约15厘米，大约几周后树 苗长高到1米？
40cm
x周后
100cm
如果设x周后树苗长高到1m，那么可以得 到方程： 40+15x=100 .
情景3：某长方形操场的面积是5850 m2，长和宽之 差为25 m，这个操场的长与宽分别是多少米？
将 x = 10代入方程2x-1=19的两边，得 左边=2×10-1=19. 右边=19. 即 左边=右边 所以x=10是原方程的解.
小结：解一元一次方程要“化归”为“ x=a ”的形式.
当堂练习
1.下列各式中，是一元一次方程的有_(_1_)_(3_)_(填序号). (1) x ＋8＝3；(2) 18－x；(3) 1＝2x＋2；
一元一次方程的概念
应 用
用等式的基本性质变形 解一元一次方程
根据等式的传递性，一 个量用与它相等的量代 替，简称等量变换.
b 100
得到等式
a=b?
依据等式的性质2两边同时除以
1 100
或同乘100
四 利用等式的性质解方程 例4 解方程：2x-1=19.
解：两边都加上1，得
2x=19+1, 等式的性质1
即 2x=20.
两边都除以2，得
x=10.
等式的性质2
思考：x=10是原方程的解吗?
一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代 入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等.
xm
(x+25) m
如果设这个操场的宽为 x m，那么长为 (x＋25) m，由此可以得到方程： x(x＋25)＝5850 .
第三章一元一次方程
第三章一元一次方程3.1从算式到方程3.1.1一元一次方程 3.1.2等式的性质1.知识点：方程：含 未知数 的等式．．叫做方程. ． 方程的解：使方程．．．的等号左右两边相等．．．．的 未知数的值．．．．． ，就是方程的解．．．．。
解 方 程：求． 未知数的值 的过程叫做解方程．．．。
一元一次方程只．含有一个．．未知数（元），未知数的最高次数是．．．．．1．的整式方程叫做一元一次方程。
等式的基本性质等式的性质1：等式的两边同时加（或减） 一个数 （ 或式子 ），结果仍相等。
即：如果a=b ，那么a ±c=b ±c 。
等式的性质2：等式的两边同时乘 同一个数 ，或除以 同一个不为0 数，结果仍相等。
即：如果a=b ，那么ac =bc ； 或 如果a=b （ c ），那么a/c =b/c△分数的基本的性质分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：b a =bm am =mb m a ÷÷（其中m ≠0） 1、在①21x -；②213x x +=；③π3π3-=-；④13t +=中，等式有_____________，方程有_____________．2、根据“x 的2倍与5的和比x 的12小10”，可列方程为____ ___． 3、若(a －1)x |a|＋3＝－6是关于x 的一元一次方程，则a ＝＿＿练习题一、选择题1、 下列方程中，是一元一次方程的为（ ）A 、2x-y=1B 、22=-y xC 、322=-y y D 、42=y 2、根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）A 、 由y x 3231=-得x=2y B 、 由3x-2=2x+2得x=4C 、 由2x-3=3x 得x=3D 、由3x-5=7得3x=7-53、下列方程与方程2x-3=x+2有相同解的是（ ）A 、2x-1=xB 、x-3=2C 、3x-5=0D 、3x+1=04、当x=-1时3-2ax x 42+的值是3,则a 的值为（ ）A 、-5B 、5C 、1D 、-15、某数减去它的31，再加上21，等于这个数的，则这个数是（ ） A 、-3B 、23C 、0D 、3 6、已知某数x ，若比它的43大1的数的相反数是5，求x.则可列出方程 （ ） A.5143=+-x B.5)1(43=+-x C.5143=-x D.5)143(=+-x7．如果方程（m －1）x + 2 =0是表示关于x 的一元一次方程，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ≠0B ．m ≠1C ．m=－１D ．m=０8.己知方程6x 312=-m 是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（ ）A 、1±B 、1C 、0或1D 、-19. 下列说法中，正确的是（ ）A 、x=－1是方程4x+3=0的解B 、m=－1是方程9m+4m=13的解C 、x=1是方程3x －2=3的解D 、x=0是方程0.5（x+3）=1.5的解10.小华想找一个解为x=-6的方程，那么他可以选择下面哪一个方程（ ）A 、2x-1=x+7B 、131x 21-=x C 、()x x --=+452 D 、232-=x x二、填空题1、当x=-2时,代数式ax x -3的值为4，则a 的值2. 若（m －2）x 32-m =5是一元一次方程，则m 的值是 。
5.2一元一次方程的解法(第一课时+等式的基本性质)2024-2025学年北师大版七年级数学上册+
解一元一次
方程
解方程是逐步把方程转化为 x=a的形式
作业布置
基础作业：课本P141页随堂练习
一元一次方程
的解法
完成对应练习册
如：3+3=6，x+1=2，m-n=1
问题二：等式有哪些基本性质呢？
我们不难理解下面两个基本事实：
（1）如果a=b,那么b=a
（2）如果a=b,b=c那么a=c
等式还有哪些基
本性质呢？
5.2 一元一次方程的解法
情景导入
问题三：在实验室中我们测量物体的质量，通常会使用天平，对比天平
与等式，你有什么发现？
(2)0.5x＋2＝4，
解：(1)方程两边同时加3，得
解：(1)方程两边同时减2，得
2x-3+3＝-5+3
0.5x+2-2＝4-2
2x=-2
方程两边同时除以2得到x=-1
0.5x=2
方程两边同时除以0.5得到x=4
随堂练习
3.小红编了一道题：我是4月出生的，我的年龄的2倍加6，正好是我出
生那个月的总天数，你猜我多少岁？请你求出小红的年龄
对于方程ax＝b(a≠0)，两边都除以a，得x＝
对于方程 ＝b(a≠0)，两边都乘a，得x=ab
5.2 一元一次方程的解法
知识.巩固
问题六：小明化简3（x-1）=2（x-1），两边同时除以（x-1）得到了3=2，
你能解决小明的问题吗？
根据等式的基本性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，所得
3＋5＝x－5＋5，
于是
8＝x.
习惯上，我们写成 x＝8.
思考：观察方程最后解得形式有什么特点？
北师大版七年级数学《等式的基本性质》ppt课件
5.1 认识一元一次方程
第2课时 等式的基本 性质
1
1 课堂讲解 2 课时流程
等式的基本性质1 等式的基本性质2 用等式的基本性质解方程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
2
复习提问 引出问题
(1)什么叫做方程？ (2)什么叫做一元一次方程？ (3)一元一次方程有哪几个特征？
导引： (1)中方程的左边由－ 到x，乘了－3，所以右边 也要乘－3；(2)中方程的左边由0.4a到a除以了0.4， 所以右边也要除以0.4，即乘 .
14
知2－练
1 等式2x－y＝10变形为－4x＋2y＝－20的依据为( )B A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．分数的基本性质 D．乘法分配律
15
2 下列变形，正确的是( B )
A. 如果a＝b，那么
B. 如果
，那么a＝b
知2－练
C. 如果a2＝3a，那么a＝3
D. 如果
－1＝x，那么2x＋1－1＝3x
16
知2－练
3 下列根据等式的性质变形正确的是( B ) A. 由－ x＝ y，得x＝2y B. 由3x－2＝2x＋2，得x＝4 C．由2x－3＝3x，得x＝3 D．由3x－5＝7，得3x＝7－5
7
知1－讲
例1 根据等式的性质填空，并在后面的括号内填上变形 的根据． (1)如果4x＝x－2,那么4x－ x ＝－2( 等式的基本性质1)； (2)如果2x＋9＝1，那么2x＝1－ 9 ( 等式的基本性质1).
导引：(1)中方程的右边由x－2到－2，减了x，所以左边也 要减x.(2)中方程的左边由2x＋9到2x，减了9，所以 右边也要减9.
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一般地，从方程解出未知数的值以
后，可以代入原方程检验，看这个
值能否使方程的两边相等.例如， 将x=-27代入方程 1 x 5 4 的左边得 _____13__(_2_7)__5__4__3__ 方程左右两边相等，所以x=-27是 原方程的解.
利用等式的性质解下列方程并检验：
(1) 3 1 x 2
若cx=yc，则
x a
x b
3、下列结论正确的是( D )
A、x+3=1的解是x=4.
B、3-x=5的解是x=2. C 、5x=3的解是 x 5 .
3D、3 2x Nhomakorabea
3 2
的解是x=-1
.
4、利用等式的性质解下列方程并检验：
(1) x 5 6
(3) 5x 4 0
(2) 0.3x 45
等 式
等式的性质1： 等式两边加（或减）同一个数（或
的 式子），结果仍相等.
性
质
如果a=b,那么a±c=__b_±__c_____；
3、从课本81页3.1-2中可以发现的 规律是：
等式的性质2：
等式两边同乘一个数，或除以同一个 等 _不__为__0__的数，结果仍相等. 式 的 性 质 如果a=b,那么ac=___b_c__;
等式的性质2： 等式两边同乘一个数，或除以同一个_不__为__0__的数， 结果仍相等.
如果a=b,那么ac=__b_c___; ab
如果a=b(c≠0),那么 c=___c__.
1、（1）方程3x+3=5的两边都_减___得到方
程3x=2，这是根据_等__式__的__性_质__13_;
（2）在方程a-4=b-4两边都_加__4__得到a=b，
(2) 2x 1 0
3
解：(1) 1 x 2 3
31 x 1 3
(2) -2x=-1 x=0.5
把 得 x=x23=，是3等方代于入程右方的x=边程解3 ，的. 所左以边，把左边程边，的x=，所解0.5.得以代0x入=，0方等.5是程于方的右
等式的性质1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果 仍相等. 如果a=b,那么a±c=__b_±__c_____；
(2) 两边除以-5，得_____55_x___2_50_____ 于是 ___x_=_-_4________________ （3）两边加5，得____13_x__5 _5__4__5_____
1x 9
化简，得 __________3____________ 于是 ____x_=_2_7_____________
等式的性质
学习目标:
1.了解等式的两条性质 2.会用等式的性质解简单的(用等式的一条性质)一元一次方 程 3.培养观察.分析.概括及逻辑思维能力.
1、x的4倍等于24，列等式为：_4_x_=_2_4___ 2、x与1的和等于3，列等式为：_x+__1_=_3__
认真阅读课本第81页至第82页的内
得-4，等于右边，所以 x 4
是方程的解.
5
（4） 1 x 1
4
x 4
把x=-4代入方程的左边，得 1，等于右边，所以x=-4是 方程的解.
经常不断地学习，你就什么都知道。 你知道得越多，你就越有力量。
———— 高尔基
(4)
2 1 x 3 4
解：（1）x=6+5 x=11
把x=11代入方程的左边， 得6，等于右边，所以 x=11是方程的解.
（2）x=45÷0.3
x=150 把x=150代入方程的左边， 得45，等于右边，所以 x=150是方程的解.
（3）5x=-4
x4 5
把
x
4
5代入方程的左边，
这是根据______等__式__的_性; 质1
（3）方程-
1 3
x
2的两边都_乘__以__-3_得到x=-
6，这是根据_等__式__的_性__质___.
2、下列运用2等式的性质进行变形，正确 的（C）
A、 若x=y,则x-5=y+5
B、若ac=bc，则a=b
C、若 a b ,则2a 2b
D、
等 容，完成下面练习，并体验知识点的
式 的
形成过程.
性 质
1、像4x=24，x+1=3这样的式子，都
可以用____a_=_b____的形式表示.
2、图中可以发现，如果在平衡的天平的 两边都加（或减）同样的量，天平还保 持平衡.从而得到什么规律？
等式的左边
b
等式的右边
a
等号
把一个等式看作一个天平， 等号两边的式子 看作天平两边的物体， 则等式成立可以看作是天 平两边保持平衡.
a c
如=_果__ab_=_b. (c≠0),那么 c
例2 利用等式性质解下列方程：
（1）x 7 26
（2） 5x 20
（3） 1 x 5 4 3
解：（1）两边减7，得 ___x_+_7_-_7_=_2_6_-7_____ 于是 _x_=_1_9__________________