Banach不动点理论和应用

不动点定理及其应用综述

摘要 本文主要研究Banach 空间的不动点问题。［1］介绍了压缩映射原理证明隐 函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；［2］［3］介绍了应用压 缩映射原理需要注意的问题；［4］介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和 Volterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用； ［5］讨

论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。 一、压缩映射原理

压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们 在像空间中的距离缩短为不超过 d （x,y ）的倍（1 ）。它的数学定义为： 定义1.1设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在 ， 1，使得对所有

x, y X ，有下式成立

d （Tx,Ty ） d （x, y ）

（1.1）

则称T 是压缩映射。

定理1.1 （不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程 Tx=x 有且只有唯一解。 证明：设X o 是X 种任意一点，构造点列｛X n ｝，使得

则｛X n ｝为柯西点列。实际上,

L

m

d （X 1,x 。）

根据三点不等式，当n m 时，

m

m 1

n 1

(

L

)d(x °,X 1)

(1.4)

由于 1，故1 n m 1，得到

X 1 TXoX

Tx 1 T 2

x °丄，X n TX n 1

n

T X o

(1.2)

d(X m 1,X m )

d(Tx m ,Tx m 1) d(X m ,X m 1)

d(TX m 1,TX m 2)

2

d(X m 1

d(X m ,X

n )

d(X

m ,X

m 1 )

d(X m 1,X m 2) L

d(X n 1,X n )

(1.3)

m

g

n m

——d(x °,

为)

d(X m,X n) d(x o,xj( n m) (1.5)所以当m ,n 时，d(X m，X n)0，即｛x.｝为柯西列。由于X完备，x X ,

使得X m x(m )，又由三点不等式，有

d(x,Tx) d(x,X m) d(X m,Tx) d(x,X m) d(X m i,x)

(1.6)

上面不等式右端在m 时趋于0,故d(x,Tx) 0,即X Tx。

不动点的唯一性：假设同时存在x X ,有x Tx成立，贝U

d(x,x) d(Tx,Tx) d(x,x) (1.7)由于1，所以必有d(x,x) 0 ,即x x。证毕。

定理中的映射T是定义在整个X上的，但实际上有些问题中遇到的映射T 只在X 的一个子集上有定义或压缩性质。为了适应这种情形的需要，定义X上的闭子集的不动点定理如下。

定理1.2设(X,)是完备的。T是X X的映射。若在X的闭球

Y ｛x: (x,X0) r｝上T是压缩的，并且满足条件

(X0,Tx°) (1 )r, (Ty,Tx) (y,x), x, y Y

(1.8 )

此处是满足0 1的常数，贝U T在丫有唯一的不动点。

证明：丫作为(X,)的闭集按X的距离成一完备距离空间，倘能证明T(Y) Y，那么T就是Y Y上的压缩映射，根据不动点定理即可得证。实际上，任取x Y，令y Tx，贝u (X0, y) (X0,TX) (X0,Tx°) (Tx°,Tx) (1 )r (x°, x) r，

可见y 丫，证毕。

应用压缩映射原理需要注意的几个方面

(1) 根据证明可知，为了获取不动点x*，可以从X中的任意一点出发

(2) 在T满足

d(Tx,Ty) d(x, y),x y (1.9)

的条件下，T在X上不一定存在不动点。

例：令Tx x - arctanx,x R，T是从R到R的映射。设x,y R，贝U

Tx Ty x y (arctanx arctany)

(1.10)

2

根据微分中值定理，必定存在(x,y)，使得Tx Ty (x y) 2，故

1

Tx Ty x y

(1.11 )

即d(Tx,Ty) d(x,y)，但是当Tx x时，方程arctanx孑无解，因此，映射T没

有不动点。

倘若给满足()的算子加上适当的限制，便能保证T有不动点。

定理1.3设(X,)完备，映射T:X X满足条件()。若T(X) X是列紧集，则T有唯一的不动点。

证明：取的闭包—x。它是X的自列紧集(即紧致性)，而且有丁厂)-0

在—上定义一个实值函数

(x) (x, x) (1.12) (x)是—上的连续函数。它在—上达到最小值，即存在x* —使

(x*,Tx*) min (x,Tx)

x

(1.13)

则(x*,Tx*) 0。假若不然，即(x*,Tx*) 0，考虑Tx*和T2x*，它们都属于一。而由()得

* 2 * * *

(Tx ,T x ) (x ,Tx ) rm in (x,Tx) (1.14 )得到矛盾，不动点的存在性证得。

T的不动点是唯一的。假设有x x使得Tx x,Tx x，那么一方面有

(Tx,Tx ) (x,x )，另一方面由()有(Tx,Tx ) (x,x )，矛盾，可见x x。证毕。

(3) 压缩映射原理中，距离空间的完备性不能少。

例：设X (0,1］具有由R诱导出的距离，定义T如下：

x

Tx= (1.15 )

2

T是压缩映射，但是没有不动点。