用待定系数法求一类不等式的最值

用待定系数法求一类不等式的最值

题 已知z y x ,,均为正数，求函数222),,(z y x yz

xy z y x u +++=的最大值。

（第9届希望杯高二培训）

一般解法是：

222),,(z y x yz

xy z y x u +++=)2

1()21(2222z y y x yz xy ++++= 2222=

++≤yz xy yz

xy 当且仅当 222221,21z y y x == 即y z x 2

2==)0,,(>z y x 时等号成立。 上述解法经过分母的变形后，巧妙地利用均值不等式，使问题得以求解，是开拓思路，培养创新精神的一个好题。诚然，均值不等式是求函数最值的一种重要的方法，这种方法对变形能力的要求较高．常需考虑“一正、二定、三等”三个方面，但在实际问题中，我们发现有些题根本凑不出定值，或虽凑出定值而等号又不能成立，因此有时往往会觉得难以入手，如上例。此时若通过“设参、定参”，并把表达式进行适当的分解或重组，创设使用含参均值不等式的情景，能使问题获解。例如 ，我将原题该为：已知z y x ,,均为正数，求函数2222),,(z y x yz

xy z y x u +++=的最大值。

分析：两者解法之间是否有一定的相同之处呢？若把222z y x ++拆成)2

1()21(2222z y y x +++是行不通的，不妨尝试引进新的参数。 解：2222),,(z y x yz xy z y x u +++=

22222z ny my x yz xy ++++= （其中1=+n m ）

yz n xy m yz xy 222++≤)(22yz m n xy m yz

xy +

+= 欲使上式为定植，只需2=m n

，即m n 4=，又1=+n m 得5

4,51==n m 此时当且仅当y z y x 552,55==时，u 有最大值2

5max =u

推广：已知z y x ,,均为正数，求函数222),,(z y x nyz

mxy z y x u +++=)0(≠mn 的最大值。

请读者一试。

应用巧增参数法，可快速地解决如下两题：

例1：（97高考）甲、乙两地相距S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c 千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a 元. (Ⅰ)略

(Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 解：],0(),(2c v bv v

a s v s bv v s a y ∈+=+⨯= （S,a,b,v 都为正数） （1）若c

b a ≤，ab s bv v

a s y 2)(≥+=， 当且仅当bv v a =，即b

a v =时y 有最小值． （２）若c

b a >，))1(2())1((c

a a

b s v a v a bv s y λλλλ-+≥-++= 当且仅当⎩⎨⎧==

c v a bv λ2，即⎪⎩⎪⎨⎧==c

v a bc 2λ时y 有最小值． 此时))1(2(22min c a a bc ab a bc s y -+=)2(2c

bc a bc s -+= s c

a bc +=2 例２：用总长为14.8米的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边比另一边长0.5，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容器 分析：设容器底面较长边长为x m ，则另一边长为5.0-x m 高为x x x h 22.44)5.0(448.14-=---= )1.25.0(<

设容器的容积为y m 3，则有

)22.4)(5.0(x x x y --= )1.25.0(<

)22.4)(5.0)((1x n nx mx mn --=

（m,n 为参数） 3)3

22.45.0(1x n nx mx mn -+-+≤ 为使上式为一定值，需使02=-+n m

此时等号成立当且仅当x n nx mx 22.45.0-=-=

解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+2.4)2(5.0)(02x m n x m n n m 得⎪⎩

⎪⎨⎧===5.12.18.0x n m

此时容器的高为2.1=h m , 容器容积有最大值8.1max =y m 3.

因此，在应用均值不等式求函数最值问题中，适当增设参数，可使条件与结论间的联系得以加强，获得淡化复杂技巧之功效．