勾股定理的逆定理

18.2 勾股定理的逆定理
知识点1 互逆命题
在两个命题中,如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,那么这两个命题称为互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.
每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.原命题和逆命题的真假性一般有四种情况:真、假;真、真;假、假;假、真.
知识点2 互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理.
知识点3 勾股定理的逆定理——直角三角形的判别条件
定理:如果三角形的边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
解读:(1)作用:可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形.
(2)用较短两边的平方和与最大边的平方进行比较.
(3)条件中没有涉及直角三角形,结论是直角三角形.
(4)勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别:
联系:①两者都与三角形的三边关系a2+b2=c2有关;
②两者都与直角三角形有关.
区别:①勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形的三边的数量关系,即a2+b2=c2.
②勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形,是判断一个三角形是否是直角三角形的一个有效的方法.
(5)应用:①现实生活中,在没有测量角的仪器的情况下,常利用勾股定理的逆定理来确定直角(或垂线).
②勾股定理与勾股定理的逆定理的综合运用.
知识点4 勾股数
概念:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
解读:(1)勾股数满足两个条件:①正整数;②满足a2+b2=c2.
(2)常见的勾股数:3,4,5;6,8,10;5,12,13;8,15,17;9,40,41;…
(3)小窍门:记住常见的勾股数可以提高做题速度.
(4)一组勾股数中各数扩大相同的整数倍能得到一组新的勾股数,如当k=1,2,3,…,n时,下列各组数还是勾股数,{3k,4k,5k},{l5k,l2k,l3k},…
延伸:(1)几个求勾股数的常见公式:
①n2-1,2n,n2+1(n≥2,n.为正整数);
②2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1(n是正整数);
③m2-n2,2mn,m2+n2(m>n,m、n都是正整数).
(2)小窍门:
①有最小的勾股数(3,4,5),没有最大的勾股数.
②勾股数不能全是奇数,但可以全是偶数.
③勾股数中不可能只有两个偶数.
一、选择题
1.以下面各组数为边长的三角形,能组成直角三角形的个数是( )
①6,7,8;②8,15,17;③7,24,25;④12,35,37.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,在满足下列条件下,不是直角三角形的是( )
A.a :b :c =3:4:5
B.a :b :c =9:12:15
C.∠A :∠B :∠C =3:4:5
D.∠A :∠B :∠C =1:2:3
3.在△ABC 中,∠A :∠B :∠C =2:1:3, a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边,则有( )
A.b 2+a 2=c 2
B.c 2=3b 2
C.3a 2=2c 2
D.c 2=2b 2
4.等腰三角形底边上的高为1cm,周长为4cm,则三角形的面积是( )
A.14cm 2
B.10cm 2
C.1cm 2
D.23cm 4
5.如图所示,已知AB ⊥CD , △ABD 、△BCE 都为等腰三角形,如果CD =7,BE =3,那么AC 的长为( )
A.8
B.5
C.3
D.4
6.下列说法中,正确的是( )
A.三角形两条边的平方和等于第三条边的平方
B.如果一个三角形两条边的平方差等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形
C.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c , 若a 2+b 2=c 2,则∠A =90°
D.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,若c 2-a 2=b 2,则∠B=90°
7.把直角三角形的三边都扩大n 倍( n >0),得到的三角形是( )
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
8.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆,都是每分钟走50米,小丽走直线用了10分钟,小芳先回家拿了钱去图书馆,小芳到家用了6分钟,从家到图书馆用了8分钟.小芳从公园到图书馆拐的角是( )
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.不能确定
9.如图所示,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13, 小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边为a ,较长的直角边为b ,那么(a +b )2的值为( )
A.13
B.19
C.25
D.169
10.长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棍,选出三根首尾连接,最多可搭成的直角三角形的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
11.在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( )
A.12,15,27
B.32,42,52
C.5a, l2a, l3a(a>0)
D.1,2,3
12.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )
A.∠A=∠B-∠C
B.∠A:∠B:∠C=1:1:2
C.a:b:c=1:1:2
D.b2=a2-c2
13.已知在△ABC中,AB=8,BC=15,AC=17,则下列结论无法判断的是( )
A.△ABC是直角三角形,且AC为斜边
B.△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°
C.△ABC的面积为60
D.△ABC是直角三角形,且∠A=60°
14.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:1:2,则下列说法错误的是( )
A.∠C=90°
B.a2=b2-c2
C.c2=2a2
D.a=b
15.若△ABC的三边分别为m2-1,2m,m2+1(m>1),则下列结论正确的是( )
A.△ABC是直角三角形,且斜边的长为m2+ 1
B.△ABC是直角三角形,且斜边的长为2m
C.△ABC是直角三角形,但斜边的长需由m的大小确定
D.△ABC无法判定是否是直角三角形
二、填空题
1.若△ABC三边长为a、b、c,且满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC的形状为_______三角形.
2.若三角形三边之比为3:4:5,则该三角形为________三角形;若三角形三角之比为1:2:3,则该三角形为__________三角形.
3.三角形三边分别为6、8、10,则最长边上的高为__________.
4.三边长为a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(其中m>n>0)的三角形为_______三角形.
5.请任意写出三组勾股数_______,________,_________.
6.一直角三角形的两直角边分别为9、12,该三角形的周长为_________.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,则斜边上的高是__________cm.
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,AD⊥AB,AD=9cm,BD=15cm,则AC=-_________cm.
9.一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是_________.
10.传说,古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别是______厘
米,_________厘米,_________厘米,其中的道理是________.
11.一条对角线长39cm,一条边长是36cm的矩形的周长为________cm.
12.三角形三边长为a+1,a+2,a+3,当a=_________时,此三角形为直角三角形.
13.在△ABC中,三边为a、b、c,且满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC的形状为________.
14.在△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=l2cm,则△ABC的面积为_______.
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2, CD=1.5,BD=2.5,则AC等于___________.
16.将一根长24cm的筷子,置于直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中(如图所示).设筷子露在杯子外面的长为h cm,则h的取值范围是__________.
17.直角三角形的三边长分别是a-b,a,a+b,其周长为24cm,则面积为________cm2.
三、解答题
1.试判断三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0)的三角形是否是直角三角形.
2.已知△ABC的三边的长分别为a、b、c,且满足关系式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状.
3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,P为BC上一点,求证:PB2+PC2=2P A2.
4.如图所示,CD是△ABC的边AB上的高,且CD2=AD·DB.求证:∠ACB=90°.
5.求证a=m2-n2, b=m2+n2,c=2mn(m>n>0)是一个直角三角形的三边.
6.如图所示,如果只给你一把带刻度的直尺,你是否能检验∠MPN是不是直角,简述你的作法.
7.如图所示,在四边形ABCD中,AB⊥BC,且AB=9,BC=12,CD=17,AD=8,求四边形ABCD的面积.
8.如图所示,学校B前面有一条笔直的公路,学生放学后走AB、BC两条路可到达公路,经测量BC=6km,BA=8km,AC=10km.现需修建一条公路使学校B到公路的距离最短,请你帮助学校B设计一种方案,并求出公路的长.
9.如图所示,一个池塘呈三角形形状,三角形的边长分别为6m、8m、10m,距池塘边缘5m 内的土地上栽着树,问池塘连同树木共占土地多少m2？(结果精确到1m2,π=3.14)
10.如图所示,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且
1
,
4
EC BC
试判断
AF与EF的位置关系,并说明理由.
11.
3,4 ,5 32+42=52
5, 12 , 13 52+122=32
7,24 ,25 72+242=252
9,40 ,41 92+402=412
……
21, b ,c212+b2=c2
(1)试找出它们的共同点,并说明你的结论;
(2)当a=21时,求b、c的值.
a b c
第一组3=2×1+1 4=2×l×(1+1) 5=2×1×(1+1)+1
第二组 5=2×2+1 12=2×2×(2+1) 13=2×2×(2+1)+1 第三组
7=2×3+1 24=2×3×(3+1) 25=2×3×(3+1)+1 第四组
9=2×4+1 40=2×4×(4+1) 41=2×4×(4+1)+1 … … … …
根据以上勾股数组的组成傅点,你能求,出第七组勾股数的a 、b 、c 各是多少吗？第n 组呢？
13.如图是一个零件的形状,校规这个零件中必须有AC ⊥BC ,工人师傅量得B 、C 两点距离为36,AD =12,CD =9,AB =39,∠ADC =90°.问:这个零件符合要求吗？并说明理由.
14.如图所示,E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点,并且AB =4,1,4
CE BC =F 为CD 的中点,连接AF 、AE 、EF ,△AEF 是什么三角形？请说明理由.
15.甲、乙两船从港口A 同时出发,甲船以16海里/时的速度向北偏东35°航行,乙船沿南偏东一角度航行,船速为12海里/时,2小时后,甲、乙两船相距40海里,问乙船的航行方向.
16.如图所示,在△ABC 中,AB =40,BC =100,且BC 边上的中线长AD =30.
(1)试说明2;ABC ABD S S ∆∆=
(2)求△ADC 的面积.
17.同学们在数学老师的带领下来到平坦的草原上游玩,他们发现前面有两棵大树,当地的牧'民告诉他们,这是两棵古老而特别的树,两楝树之间的距离为750 m,一部分同学以45 m/min 的速度向一棵大树走去,伺时,剩下的一部分同学以60m/min 的速度向另一棵大树走去,10min 后,两组同学同时到达目的地.问:
(1)两组同学行走的方向是否成直角？
(2)如果他们仍以原速度行走,至少还需要几分钟才能相遇？
18.Tom 和Jerry 去野外宿营,在某地要确定两条互相垂直的路,而身边又没带直角尺,可利用的只有背包带,你能帮他们想一个简单可行的办法吗？
19.已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ,如图所示,现计划在该空地上种上草皮,经测量,∠A =90°,AB =3m,BC =12m,CD =13m,DA =4m.若每平方米草皮需要200元,问需要投人多少
元.
20.阅读下列解题过程:
已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,试判断△ABC 的形状.
解:∵222244a c b c a b -=-
① ∴2222222()()()c a b a b a b -=+- ②
∴222c a b =+
③ ∴△ABC 是直角三角形.
问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号:________;
(2)错误的原因为___________;
(3)本题正确的结论是_____________;
21.观察下列两组勾股数:
(1)3,4,5;5,12,13;7,24,25;…
(2)6,8,10;10,24,26;14,48,50;…
你发现上述两组勾股数各有什么特征？请用含有字母m 、n 的式子表示出来,你还能发现勾股数有什么特征？与同学交流.
22.已知,如图△ABC 的周长是24,M 是AB 的中点,MC =MA =5,求△ABC 的面积.。