中考数学圆-经典压轴题(含答案)

初三中考数学与圆有关的压轴题

1．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．

（1）求证：△BFG≌△DCG；

（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长；

（3）在（2）的条件下，P为⊙O上一点，连接BP，CP，弦CP交直径AB于点H，若△BPH与△CPB相似，求CP的长．

2．如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F．（1）求证：OD∥AC；

（2）求证：DC2＝DE•DA；

（3）若⊙O的直径AB＝10，AC＝6，求BF的长．

3．如图1，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点E，BD平分∠ABE交AC于F，交⊙O于点D，且∠BDE＝∠CBE．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）如图2，延长ED交直线AB于点P，若P A＝AO，DE＝2，求的值及AO的长．

4．如图，已知直角△ABC中，∠ABC＝90°，BC为⊙O的直径，D为⊙O与斜边AC的交点，作∠ECB使得CA平分∠ECB，且CE⊥DE；DE与AB交与点F．

（1）猜想并证明直线DE与⊙O的位置关系；

（2）若DE＝3，CE＝4，求⊙O的半径；

（3）记△BCD的面积为S1，△CDE的面积为S2，若S1：S2＝3：2．求sin∠AFD的值．

5．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．

（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）求证：△PCF是等腰三角形；

（3）若tan∠ABC＝，BE＝7，求线段PC的长．

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，F为CE的中点，连接BD，DF，BD与AC交于点P．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；

（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．

7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，∠BAD＝90°，延长AD、BC交于点F．点E在BF上，且DE＝EF．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）已知CE＝3，EF＝5，求AB的长；

（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．

（1）求证：MN是⊙O的切线；

（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；

（3）若BC＝6，cos C＝，求DN的长．

1【解答】解：（1）∵D是的中点，则，

∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，

∴，

∴，∴BF＝CD，

又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，

∴△BFG≌△DCG（AAS）；

（2）如图1，连接OD交BC于点M，

∵D为的中点，

∴OD⊥BC，∴BM＝CM，

∵OA＝OB，

∴OM是△ABC的中位线，

∴OM＝AC＝5，

∵，

∴，

∴OE＝OM＝5，

∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，

∴EF＝DE＝＝12，

∴BF＝＝＝4；

（3）如图2，∵弦CP交AB于点H，则点P与点C在直径的两侧，则∠CBP＞∠HBP，

∵△BPH与△CPB相似，

∴∠ABP＝∠PCB，

又∵∠CPB＝∠BPH，

∴∠ACP＝∠BCP，

∵AB是直径，则∠ACB＝∠APB＝90°，

∴∠ACP＝∠BCP＝45°，

过点B作BN⊥PC于点N，由（2）得AB＝26，

在Rt△CBN中，CN＝BN＝BC＝12，

∵∠CAB＝∠CPB，

∴tan∠CAB＝tan∠CPB＝，即，故PN＝5，∴PC＝CN+PN＝5+12＝17．

2【解答】解：（1）因为点D是弧BC的中点，

所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，

而∠BOD＝2∠BAD，

所以∠CAB＝∠BOD，

所以DO∥AC；

（2）∵D是的中点，

∴∠CAD＝∠DCB，

∴△DCE∽△DAC，

∴CD2＝DE•DA；

（3）∵AB为⊙O的直径

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ACB中，BC＝.＝8，∵OD∥AC，

∴△BOF∽△BAC，

∴，

即＝，

∴BF＝4．

即BF的长为4．

3【解答】（1）证明：如图1中，连接BE．

∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠A+∠ABE＝90°，

∵∠A＝∠D＝∠EBC，

∴∠ABE+∠EBC＝90°，

∴∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）如图2中，连接OD、BE．

∵BD平分∠ABE，

∴D是的中点，

∴OD⊥AE，

∵AE⊥BE，

∴BE∥OD，

∵P A＝OA＝OB，

∴OP＝2OB，

∴＝＝2，

∴PD＝2DE＝4，

∵△PDB∽∠P AE，

∴＝，

∴PD•PE＝P A•PB，

∴．

4【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，证明如下：连接OD，

∵CA平分∠ECB，

∴∠ECD＝∠OCD，

∵OD＝OC，

∴∠OCD＝∠ODC，

∴∠ODC＝∠ECD，

∴OD∥CE，