薛定谔方程习题

第二章 习 题

1.质量为μ的粒子，约束在一维势V(x)中，设在某些区域V(x)是常数，V(x)=V 0，在这些区域里，求：(1) E>V 0; (2)E

2.考虑一个粒子受不含时势()V r 的束缚，

(1) 设粒子的态用的形如(,)()()V r t r t φχ=的波函数描述，证明：()i t t Ae ωχ-=（A

是常数），而必须满足方程：2

2()()()()2r V r r r φφωφμ

-

∇+=

(2) 证明：(1)中情况下，概率密度不依赖于时间。

3.质量为的粒子束缚在形如：(,,)()()()V x y z V x U y W z =++的三维势场中，用分离变量法导出三个独立的一维问题，并建立三维能量和一维问题有效能量的关系。

4.设束缚态波函数和是S.E 的两个解，证明：*12d ψψτ⎰

(全空间)

与时间无关。（可用两

种方法证）

（奥斯特罗格拉德斯基公式：

()

()

V s Ad Ad s τ∇=⎰⎰⎰⎰⎰）

5.NaCl 晶体内有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，因此可将这些电子看成束缚在边长为晶格常数a 的立方体内的粒子，设在室温下电子处于基态，求处于基态的电子吸收电磁波跃迁到第一激发态时，所吸收电磁波的波长。

6.将在动量空间中的波函数：()exp()(0,)C p N P P P α

α=->=归一化，并证明

在坐标空间中的波函数表达式为：3/2

2

2

1

()(2)()

r r α

ψαπ

α=+（提示：在球面坐标

ρ、θ、φ下由傅立叶变换关系求证） 7.粒子在：(1)一维无限深方势阱(0≤x ≤a)；

—V 0<0 x a ≤ (2)一维有限深方势阱：V(x)=

0 x a

>

中运动，运用索末菲量子化条件

()

q P dq nh =⎰求体系束缚定态能谱。

8.证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长，上述结果同样适用于椭圆轨道。（对于椭圆轨道有：

r

()()q

r

p dq p dr p d n

n h

ϕϕϕ=+=+⎰⎰⎰）

9.粒子在势能U(x)中运动，当U(x)→U(x)+C ，粒子的能量是否改变？波函数ψ(x)是否会改变？ψ

(x ，t)呢？是通过计算加以回答。

10.图(a)中的定态波函数对应于图中哪一个势函数图？

说明理由。

11.有下列波函数，其中和ψ1描写同一状态的有哪些？

2/2/2/1232/(2/)3/456;;(42);;3;.

i x h i x h i x h i x h i x h i x h e e i e e e e πψψψψψψ-+===+=-==

12.一维运动粒子处于定态221

2

()x x Axe

αψ-=中，求粒子所处势场？若V(0)=0,则E=？

2

4

2

3

422[()(3)()()(3)]

2x x x U x E x ψααψααμ

''=-=+

-，

13.设V(x)中的粒子波函数为()()x

n a

x x A e a

ψ-=，其中A,n,a 为常数，当x →∞时，V(x)→0，

求V(x)及E 。/1/2/2221(1)[()()2()()]n x a n x a n x a

x n x n n x x A

e A e A e a a a a a a

ψ------''=-+ 2

12

2

()[12()(1)()]2x x U x E n n n a a a μ--=+

-+-

14*.质量为μ的粒子，处于一维短程势0V()()x A V x δ=-中，求粒子的束缚态能量

E 。（注意束缚态能量的含义）

15.若描述粒子状态的波函数为：12

,0

(),0x

x A e x x A e x λλψ-⎧<⎪=⎨>⎪⎩

讨论：若()x ψ具有确定的宇称性，则A1与A2间的关系如何？()x ψ具有何种宇称？

16.试证明，对任意的一维势垒，关系式R+D=1都自动满足。（见图示）

提示：求出x →±∞的渐近解()x ψ；再求出J ；然后由R+D 求证R+D=1。

17.如图所示，设有一个一维势垒0,0

()0,0U x U x x >⎧=⎨

≤⎩

今有一束能量为E 的粒子从左向右入射，求出这束粒子被势垒反射的概率，分别讨论E>U 0和E

18.如图所示，一维方势阱代表金属中电子发射的模型，试求：E>0的电子在金属表面的反射系数。

19.如图所示，设粒子(E>0)从左入射，被势阱散射，求透射系数。 20.若粒子从右边入射，求一维阶梯势的R 和D 。（因从右入射，故E>U 0）

21.S.E 的逆问题

粒子在一维势场中运动，其束缚态定态波函数为：

(1)22

5

0,()15(),16x a x a x x a a

ψ⎧>⎪

=⎨-≤⎪⎩

(2)()()x x e x αψα-=-∞<<+∞ (3)3()2()x

x xe

x αψα-=

-∞<<+∞

求粒子相应的能级及势场V(x)。(已知:22

2()

d x

x dx

δ=)

22.由连续性方程证明，定态下概率分布函数与时间无关。

23.已知()x ψ描述粒子的归一化波函数，求在x →x+dx 区间内发现粒子的概率，在p x →p x +dx 区间内发现粒子动量值的概率。

24.归一化的基态波函数为：(1)

()(,,),r r e e r r r βαψψθϕαβ---==、为正常数，

设r →∞时，()0U r −−

→ 求势场()U r 及基态能量的值？ 25.设

1()x ψ与2()x ψ均为S.E 中属于同一能量E 的解。则1212ψψψψ''-=常数。

26.设粒子的波函数为(,,)x y z ψ，写出（x ，x+dx ）范围内粒子的概率。 27.思考：“粒子在空间x 处的波长λ”这一提法有无意义？为什么？

28.下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？ (1)1(,)()()E E ix i t

ix i t

x t U x e

U x e ψ---=+

(2)

1

2

2(,)()()E E i

t i

t

x t U x e

U x e ψ--=+

(3)1

2

3

12(,)()()()E E i

t i

t

x t U x e U x e

E E ψ--=+=-

29.请在下图中将代表奇宇称态和偶宇称态的波函数图挑选出来。