薛定谔方程习题
23薛定谔方程习题解答
（提示：非相对论的动能和动量关系为 E 解：依题意，有如下关系
n/ 2 = a 或 = 2a / n 根据德布罗意波长公式 = h / p，则有p = h n / ( 2a ) 。 故在一维无限深势阱中运动的粒子能量 E n 2 h 2 /(8ma 2 ),
E p n h 2m 8ma 2
2 2 2 = x , t U x , t x , t 2x 2 1 x, t U x, t ( x, t ) 2m x 2 m U ( x, t ) 2 2x 2 1 m
令上两式相等，得势函数
2 2 2
n 1, 2, 3, … …
即
En n 2 h 2 /(8ma 2 ), n 1, 2, 3, ……
4
6. 假设一个微观粒子被封闭在一个边长为a的正立方盒子内，试根据驻波概念 导出粒子的能量为
En h2 8ma 2
2 2 (n x n2 y nz )
其中nx、ny、nz是相互独立的正整数。 解：本题中的粒子可看成是在三维无限深势阱中运动，由于边界条件的限 制，在盒壁处波函数为零，粒子在盒子内形成三维驻波。与在一维无限深势阱 中运动的粒子一样，每个方向上势阱宽度a必须等于该方向上德布罗意波长 半波长的整数倍，在x轴方向 nx x/ 2 = a 或 x = 2a / nx 式中nx是正整数。根据德布罗意波长公式x = h / px，则有px = h nx / ( 2a ) 。类似地py = h ny / ( 2a )，pz = h nz / ( 2a )。 故在盒子中运动的粒子能量
4. 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：
n x 2 a sin nπx a
量子力学(二)习题参考答案
2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2） 、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。 不过， 为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代 换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式， （16） 、 （17）变成 或由 （19） 式， （16） 、 （17） 变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0
薛定谔方程习题
第二章 习 题1.质量为μ的粒子，约束在一维势V(x)中，设在某些区域V(x)是常数，V(x)=V 0，在这些区域里，求：(1) E>V 0; (2)E<V 0; (3)E=V 0 三种情况下粒子的定态波函数，此处E 为粒子能量。
2.考虑一个粒子受不含时势()V r 的束缚，(1) 设粒子的态用的形如(,)()()V r t r t φχ=的波函数描述，证明：()i t t Ae ωχ-=（A是常数），而必须满足方程：22()()()()2r V r r r φφωφμ-∇+=(2) 证明：(1)中情况下，概率密度不依赖于时间。
3.质量为的粒子束缚在形如：(,,)()()()V x y z V x U y W z =++的三维势场中，用分离变量法导出三个独立的一维问题，并建立三维能量和一维问题有效能量的关系。
4.设束缚态波函数和是S.E 的两个解，证明：*12d ψψτ⎰(全空间)与时间无关。
（可用两种方法证）（奥斯特罗格拉德斯基公式：()()V s Ad Ad s τ∇=⎰⎰⎰⎰⎰）5.NaCl 晶体内有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，因此可将这些电子看成束缚在边长为晶格常数a 的立方体内的粒子，设在室温下电子处于基态，求处于基态的电子吸收电磁波跃迁到第一激发态时，所吸收电磁波的波长。
6.将在动量空间中的波函数：()exp()(0,)C p N P P P αα=->=归一化，并证明在坐标空间中的波函数表达式为：3/2221()(2)()r r αψαπα=+（提示：在球面坐标ρ、θ、φ下由傅立叶变换关系求证） 7.粒子在：(1)一维无限深方势阱(0≤x ≤a)；—V 0<0 x a ≤ (2)一维有限深方势阱：V(x)=0 x a>中运动，运用索末菲量子化条件()q P dq nh =⎰求体系束缚定态能谱。
8.证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长，上述结果同样适用于椭圆轨道。
大学物理练习题 氢原子理论 薛定谔方程
练习二十三 氢原子理论 薛定谔方程一、选择题1. 已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV ，若氢原子从能量为−0.85eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为(A ) 2.56eV 。
(B ) 3.41eV 。
(C ) 4.25eV 。
(D ) 9.95eV 。
2. 氢原子光谱的巴耳末系中波长最长的谱线用λ1表示，其次波长用λ2表示，则它们的比值λ1/λ2为(A ) 9/8。
(B ) 19/9。
(C ) 27/20。
(D ) 20/27。
3. 根据氢原子理论，氢原子在n =5的轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为：(A ) 5/2。
(B ) 5/3。
(C ) 5/4。
(D ) 5。
4. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布几率将(A ) 增大D 2倍。
(B ) 增大2D 倍。
(C ) 增大D 倍。
(D ) 不变。
5. 一维无限深势阱中，已知势阱宽度为a 。
应用不确定关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为：(A ) ћ/(ma 2)。
(B ) ћ2/(2ma 2)。
(C ) ћ2/(2ma )。
(D ) ћ/(2ma 2)。
6. 由于微观粒子具有波粒二象性，在量子力学中用波函数Ψ(x ，y ，z ，t )来表示粒子的状态，波函数Ψ(A ) 只需满足归一化条件。
(B ) 只需满足单值、有界、连续的条件。
(C ) 只需满足连续与归一化条件。
(D ) 必须满足单值、有界、连续及归一化条件。
7. 反映微观粒子运动的基本方程是(A ) 牛顿定律方程。
(B ) 麦克斯韦电磁场方程。
(C ) 薛丁格方程。
(D ) 以上均不是。
8. 已知一维运动粒子的波函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧==−0e x cx x kx ψψ00<≥x x 则粒子出现概率最大的位置是x =(A)k1。
(B) 1/k2。
(C)k。
(D) 1/k。
9. 由氢原子理论知，当大量氢原子处于n=3的激发态时，原子跃迁将发出(A) 一种波长的光。
薛定谔方程
定态特点：定态波函数几率密度ρ 定态特点：定态波函数几率密度ρ ＝ ψ 无关， 与t无关，几率分布不随时间而变，因此 无关 几率分布不随时间而变， 称为定态。 称为定态。 （见P45(a), (b), (c)) v − h 2∇ 2 v •用哈密顿算符 用哈密顿算符 ˆ = T + V (r ) = ˆ H + V (r ) 简化方程。 ，简化方程。 2m
2
v 2 ＝ϕ(r )
∂ ˆ ˆ ˆ Ψ (r ,t) = H Ψ (r ,t) ∆ 薛定谔方程： i h 薛定谔方程： ∂t
∆ 定态薛定谔方程或 不含时薛定谔方程： 不含时薛定谔方程：
v v ˆ ϕ (r ) = Eϕ (r ) H
ˆ 能量）本征方程； 定态薛定谔方程， 定态薛定谔方程，数学上称为 H（能量）本征方程； v ϕ(r) ，称为 H（能量）本征函数； ˆ 能量）本征函数；
v ψ (r , t ) = 1 v v v 3 d r ′G (r , t ; r ′, t ′)ψ (r ′, t ′) 3 ∫ (2πh ) (t ≥ t ′)
G(r,t; r´,t´)称为传播子 ´ ´ 称为传播子 以自由粒子的时间演化为例， 以自由粒子的时间演化为例，见P42,43
2.3.3 不含时间的 不含时间的Schrodinger 方程，定态 方程， 介绍定态Schrodinger 方程形式与定态波函数特点 介绍定态 定态条件：势能 （ ） 无关。 定态条件：势能V（r,t）=V(r)， 与t无关。 ， 无关 用分离变量法, φ(r)f(t)， 用分离变量法 令Ψ=φ(r)f(t)，得两个方程： φ(r)f(t) 得两个方程：
∂2 ∂2 ∂2 定义算符：∇ 2 = 2 + 2 + 2 定义算符： ∂x ∂y ∂z
结构化学(2-2)-3-24
2 写出下列原子能量最低的光谱支项的符号:(a) Si; (b) Mn; (c) Br; (d) Nb; (e) Ni 解：一般步骤：
写出个原子的基组态和最外层电子排布（对
对全满的电子层，电子的自旋互相抵消，个电子
的轨道角动量矢量也相互抵消，不必考虑），根
据Hund规则推出原子最低能态的自旋量子数S、
(1)稀有气体的I1总是处于极大值 (完满电子层)，碱金属的I1处于极 小值(原子实外仅一个电子)，易形 成一价正离子；碱土金属的I1比碱 金属稍大，I2仍较小，所以易形成 二价正离子。 (2)除过渡金属外，同一周期元素 的I1基本随Z增加而增大(半径减 小)；同一族中随Z增加I1减小；因 此周期表左下角金属性最强，右上 角元素最稳定。
logI/eV
I1和I2与Z的关系
2.5.4.
电子亲和能(Y)
• 定义： 气态原子获得一个电子成为一价负离子 时所放出的能量称为电子亲和能，用符号Y 表示。 A(g) +e→A－(g)+Y • P49表2.5.2列出了主族元素的电子亲和能. 将之与表中列出的元素的电离能比较，我们 发现：电子亲和能的绝对值比电离能的绝对 值小一个数量级。原因：负离子的有效核电 荷较原子少。
1 S (1) (1) 1 S ( 2 ) ( 2 )
但该波函数不能经受坐标的交换：
1 S (1) (1) 1 S ( 2 ) ( 2 ) 1 S ( 2 ) ( 2 ) 1 S (1) (1)
为了满足Pauli原理，即交换任意两个电子的坐标后，全波函 数反对称： (1, 2 ) ( 2 ,1) 则需将上两个波函数进行线性组合：
● 电子在原子轨道中填充时，最外层的不规则现象：部分原因是由于 d,f轨道全充满、半充满、全空或接近全满、半满、全空时更稳定所致。 但仍有解释不了的。
量子力学习题解答-第1章
260 = 18 . 571 14
s=
（c）
260 = 18 . 571 = 4 . 309 14
2
s =
j 2 - j =
6434 260 2 - 21 = = 4 . 309 14 14
这与（b）中的结果是一致的。
习题 1.2 (a) 求出例 1.1 中所给分布的标准方差. (b) 随机拍照一张照片其显示距离 x 比平均值差一个标准差以上的几率是多少? 例题 1.1 假设我们从高度为 h 的悬崖上释放一块石头。当石头下落时，以随机的间隔，我 们摄取了一百万张照片。在每一张照片上我们测量石头已经落下的距离。问：所有这些距 离的平均值是多少？也就是说，下降距离的时间平均是多少？ 原例题解：石头从静止开始下落，下落过程中逐渐加速；它在靠近悬崖顶端处所花费的时 间较多，所以平均距离一定比 h / 2 小。忽略空气阻力，距离 x 与下降时间的关系为
第 1 章
波函数
本章主要内容概要： 1. 薛定谔方程： 微观粒子的状态由一个波函数描写， 这个波函数通过解薛定谔(Schrödinger) 方程得到：
¶Y ( x , t ) é h 2 ¶ 2 ù ih = ê+ V ( x , t ) , t ) 2 ú Y ( x ¶t m ¶x ë 2 û ¶Y ( r, t ) é h 2 2 ù = êÑ + V ( r , t ) r , t ) ú Y ( ¶t 2 m ë û
h 4 1 æ 4 ö ÷ h = ç 1 ÷h 3 45 3 ç 5 è ø
x+ x +
随机拍摄一张照片，其显示距离 x 比平均值差一个标准差以上的几率是
P ( x > x+ ; x < x- ) = 1 - ò r ( x)dx = 1 - ò
量子力学习题解答-第2章
若
ì0, V ( x ) = í î ¥ ,
则能量本征函数和能量本征值为
- a < x < a 其它地方
y n ( x) =
1 æ n p ö sin ç ( x + a ) ÷ , - a < x < a; n = 1,2,3,... a a è 2 ø
2 2 2 n p h E = n 2 2 m(2 a ) n = 1 是基态（能量最低） ， n = 2 是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替
定态波函数满足含时薛定谔方程。 对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值 E n ，其它力 学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可 归一化） ，但是它们可以叠加成物理上可实现的态。 含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为
第二章 定态薛定谔方程
本章主要内容概要： 1. 定态薛定谔方程与定态的性质： 在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解 定态薛定谔方程（能量本征值方程）
h 2 d 2 y + Vy = E y . 2 m dx 2
求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等） 。能量本征函数y n 具有正交归一 性（分立谱）
2
可以是物理上可实现（可归一化）的态。其中叠加系数 f (k ) 由初始波包 Y ( x,0) 决定
Y ( x,0) =
由能量本征函数满足
1 2p
¥
¥ ikx f ( k ) e dk ò -¥
d 函数正交归一性
1 2p
- ikx Y ( x ,0) e dk ò -¥
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
图2.3 例题2.2中的初始波函数
所有这些概率的之和一定为1， ∑∞n=1cn2=1.(2.38)
能量的期望值一定是 〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)
例题2.3 在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态 ψ1(图2.2)很相似，这意味着 c12将是主要的，事实 上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1 的差额
2.3.1 代数法 2.3.2 解析法
2.3 谐振子
图2.4 对任意势能极小值点附近的抛物线形近似(虚线)
图2.5 谐振子的能态“梯子”
2.3.1 代数法
ψ0(x)=mωπћ1/4e-mω2ћx2。(2.59) 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量
(以式2.57的形式)，ћω(a+a-+1/2)ψ0=E0ψ0， 利用a-ψ0=0，有：
解：第一问很简单： Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ， 这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此 Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-
iE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2E1)t/ћ］. (这里用了欧拉公式expiθ=cos θ+isin θ来化简。)很显 然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有 不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生 运动
2.1 定态
1.它们是定态(stationary states)。 ２.它们是具有确定总能量的态。 3.一般解是分离变量解的线性组合。
第二章习题
第二章 波函数和薛定谔方程2.1. 证明在定态中,几率流密度与时间无关. 解: 几率流密度公式为()**2J i ψψψψμ=∇-∇而定态波函数的一般形式为()(),iEt t eψψ-=r r将上式代入前式中得:()()()()**2J r r r r i ψψψψμ⎡⎤=∇-∇⎣⎦ 显然是这个J 与时间无关.2.2. 由下列两定态波函数计算几率流密度; (1) ,e rikr11=ψ (2) i k r e r-=12ψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点)传播的球面波.解: 在球坐标中,梯度算符为11sin e e e rr r r θϕθθϕ∂∂∂∇=++∂∂∂ 1ψ和2ψ只是r 的函数,与ϕθ,无关,所以()11111e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψ∂⎛⎫⎛⎫∇==-=- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭,()**11211e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψ-∂⎛⎫⎛⎫∇==-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭()*222111e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψψ-∂⎛⎫⎛⎫∇==-+=-+=∇ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭()()**221111ikr r r r e r ik ik r r r r r ψψψψ∂⎛⎫⎛⎫∇==-=-=∇ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭e e e将以上四式代入 ()()()()**2J r r r r i ψψψψμ⎡⎤=∇-∇⎣⎦ (1) 对于ikre r11=ψ12222111122r r r i k p ik r r r rμμμμ⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦ p J e e e (2) 对于ikre r-=12ψ212222111122r r r i k p ik r r r r μμμμ⎡⎤==-=-=-=-⎢⎥⎣⎦p J e e e J 计算的结果已经很清楚ikr e r 11=ψ这样的球面波,是沿r e 方向传播的波, 121p J e r r μ=.而球面波ikre r-=12ψ传播方向与1ψ相反,即21J J =- 2.3. 一粒子在一维势场()⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=ax a x x x U 00中运动,求粒子的能级和对应的波函数.解: 从定态薛定谔方程 02222=+ψμψEdx d即 02=+''ψψk()0k E =>可知,其解为ikx ikx Be Ae -+=ψ在0≤x 和a x ≥处，波函数为 0)(=x ψ， 在a x ≤≤0处， 波函数为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 从()00=ψ得 0=+B A 即 B A -=因此有 ()2sin sin ikx ikxA e e iA kx C kx ψ-=-==从()0=a ψ得 sin 0ka = 即要求 321,,n n ka ==π所以 sin1,2,3n n C x n aπψ== 22222an E n μπ = 归一化条件1*=⎰dx ψψ可得a C 2=()()222211sin 1cos 2,cos 1cos 222αααα⎡⎤=-=+⎢⎥⎣⎦所以1,2,30n n x n x a aπψ==≤≤ 综合得: 000n n x x a ax x aπψ≤≤=<>⎩或2.4. 证明()sin20n n A x a x a ax aπψ⎧'+<⎪=⎨⎪≥⎩式中的归一化常数是a A 1=' 解: 这是宽度为a 2,将坐标原点选在势阱中心而表示的一维无限深势阱的波函数,利用归一化条件得()222220222201sin sin 2222sin 2a aa n n n A x a dx A ydya a a a n A zdz A A a n n ππππππ+-''=+='''==⋅⋅=⎰⎰⎰所以 a eA i 1δ=' 取 0=δ 得 aA 1=' 2.5. 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置. 解: 一维谐振子第一激发态的波函数为 ()()x xex *x 1212112222ψαπαψα=⋅=- 其中μωα==1x几率密度 ()()223*211xw x x e αψψ-==)()22223323222210x x dw x x e x e dx αααα---=-= 极值点有 00,,x x =±±∞使:)2223224421520x d w x x e dx ααα-=-+< 只有μω±=±=0x x两个值,所以μω=x 和μω-=x 处第一激发态粒子出现的几率最大.2.6. 在一维势场中运动的粒子,势能对原点对称:()()x U x U =-,证明粒子定态的波函数具有确定的宇称.解: 定态的波函数满足的薛定谔方程为()()()x E x x H ˆψψ=哈密顿算符 ()()x U dxd x H ˆ+-=222μ 于是当x x -→时, ()()()x U x U x U =-→而拉普拉斯算符 ()222222222222dx d x d d dx d μμμ -=--→- 即在坐标反射下,哈密顿算符不变,即()()x H ˆx Hˆ=- 写出坐标反射后的薛定谔方程()()()x E x x H ˆ-=--ψψ 考虑到()()x H ˆx H ˆ=-有 ()()()x E x x H ˆ-=-ψψ 比较 ()()()()()()ˆˆH x x E x H x x E x ψψψψ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩如果属于能量E 的本征值是非简併的,反射变换前后,状态函数有如下关系()()x x λψψ=-,()()()x x x ψλλψψ2=-=,1±=λ.即()()x x ψψ±=-可见,粒子的定态波函数具有确定的宇称,奇宇称或偶宇称. 当()()x x ψψ-=时,称该波函数为偶宇称. 当()()x x ψψ-=-时,称该波函数为奇宇称. 但是如果属于能量E 的本征值是简併的,特别是()()x x ψλψ-≠这时可以构造两个与之相关的波函数()()()()()(),.f x x xg x x x ψψψψ-=+--=--据此,可知()(),f x f x -=因而具有偶宇称;()().g x g x -=-因而具有奇宇称.以上结果本质上是根据哈密顿的对称性去推知它的本征函数的对称性.一般地,如果属于某一能量的本征态是非简併的, 那么, 能量本征态会携带哈密顿算符的对称性.但是, 如果属于某一能量的本征态是简併的,那么并不是其中的每一个本征态都会携带哈密顿算符的对称性.但总可以通过它们的某种组合使之携带哈密顿算符的对称性.2.7. 一粒子在一维势阱()⎩⎨⎧<>>=ax ax U x U 00 中运动,求束缚态()00U E <<的能级所满足的方程.解: 粒子所满足的方程()()()22101122d x U x E x x a dx ψψψμ-+=<- ()()222222d x E x a x a dx ψψμ-=-<<()()()a x x E x U x dxd >=+-33032222ψψψμ令 22 Eμα= ()202E U -=μβ 方程变为()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>=-''<<-=+''-<=-''ax x x a x a x x a x x x 000323222121ψβψψαψψβψ它们的解分别是:()112212312sin cos sin x xx xA e A e x aB x B x B x a x aC e C e x aββββψψαααδψ--=+<-=+=+-<<=+> 由波函数的有限性条件限制,必须要求120A C ==()12231sin xxA e x aB x a x aC e x aββψψαδψ-=<-=+-<<=> (1)根据波函数在边界上连续及导数连续的条件, 确定常数.(1) 波函数ψ连续1232x a x a x a x a x a x a ψψψψ=-=-==⎧=-=⎪⎨==⎪⎩得 ()()21s i n s i n aaA e Ba C e B a ββαδαδ--⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩ (2) (2) 波函数导数ψ'连续[][][][]⎩⎨⎧'='='='-===-=-=a x a x a x a x a x a x 22332211ψψψψψψψψ 得 ()()c t gc t ga a βααδβααδ=-+⎧⎪⎨-=+⎪⎩ (3) 由此明显看出:由(2)可以用消去两个待定系数2A 和1C ;由(3)可以确定δ和能量E .由(3)得()()()ctg ctg ctg a a a αδαδαδ+=--+=-所以 ()();0,1,2a k a k αδπαδ+=+-=±± ,由此得πδk 21=,由于余切以π为周期, 故只有两个独立解:20πδ,=,把0=δ和2π分别代入(3)式得到确定能量的方程为：0ctg 2tg a a δααβδπααβ==-==将上面的式子同乘以势垒宽度a0ctg 2tg a a aa a aδααβδπααβ==-==再考虑到:a β==令 22022U a n μ=za α= ctg z z =令1()ctg f z z z =+同理由第二组解得: 2()tg f z z z =-当1,2,3,4n =, 由1()f z 和2()f z 做出图2.7-1, 图2.7-2, 图2.7-3, 图2.7-4.由图2.7-1可以看出:当1n =时()01z <<只有一虚线通过横轴,也就说只存在一个解.对应的是第二组的解.由数值计算可知,此时0.7391z =,由此可算出对应的能级. 由图2.7-2可以看出:当2n =时()02z <<存在两个解.分别对应的是第一组和第二组的解.由数值计算可知,此时对应第一组的解为 1.8955z =,对应第二组的解为 1.0299z =,由此可算出对应的能级. 由图2.7-3可以看出:当3n =时()03z <<存在两个解.分别对应的是第一组和第二组的解.由数值计算可知,此时对应第一组的解为 2.2789z =,对应第二组的解为 1.1701z =,由此可算出对应的能级. 由图2.7-4可以看出:当4n =(实际上只要 3.5n >即存在三个解)时()04z <<存在三个解.其中第一组一个解和第二组的两个解.由数值计算可知,此时对应第一组的解为 2.4746z =,对应第二组的两个解为别为 1.2524,3.5953z =,由此可算出对应的能级.第一组解0δ=由()()21sin sin aaA eB aC eB a ββαδαδ--⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩得: ()()21sin sin aa A e B a C e B a ββαα⎧=-⎪⎨=⎪⎩ ()()()123sin sin sin a x a xe B a e x a B x a x a e B a e x aββββψαψαψα-=-<-=-<<=>由归一化条件得()()()()()(){}()22211122222222222221sin sin sin sin sin sin sin sin 22aaaaaa a x a x aaaaa x a x aadx dx dxe B a e dx B x dx e B a e dxBe a e dx x dx e a e dxa a B a ββββββββψψψααααααααβα-∞-∞--∞--∞--∞--∞-=++=-++=++⎧⎫⎪⎪=+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1sin a xe a e a x ββαψ=-<图2.7-1 图2.7-2图2.7-3 图2.7-42sin x a x a ψ=-<<3sin a xe a e x a ββαψ-=>对于第一组解的第一个能级,有:1.8955a α=,0.626019a β=== 取1a =得 1.8955α=,0.626019β=0.6260190.626019120.6260190.6260193sin 1.8955sin 1.8955sin 1.8955x xe e x ax a x a e e ψψψ-=<-=-<<=x a>由上述波函数可绘出图2.7-5第二组解2πδ=由21sin 2sin 2a a A e B a C e B a ββπαπα--⎧⎛⎫=-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩得()()21cos cos a aA eB aC e B a ββαα⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()()()123cos cos cos a x a xe B a e a x B x a x a e B a e x aββββψαψαψα-=-<=-<<=> 由归一化条件得()()()()()(){}()22211122222222222221cos sin cos cos sin cos cos sin 22aaaaaa ax ax aaaa a x a x aadx dx dxeB a edx B x dx eB a edxBe a e dx x dx e a e dxa a B a ββββββββψψψααααααααβα∞-∞-∞--∞-∞--∞-=++=++=++⎧⎫⎪⎪=+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰123cos cos cos a xa xe a e a xx a x a e a e x aββββψαψαψ-=-<=-<<=>对于第二组解的第一个能级,有:0.7391a α=0.673596a β=== 令1a =得0.7391α=,0.673596β=0.6735960.673596120.6735960.6735963cos 0.7391cos 0.7391cos 0.7391x x e e x ax a x a e e ψψψ-=<-=-<<=x a>由上述波函数可绘出图2.7-6. 照此方法可绘出其它能级对应的波函数.2.8. 分子间的范德瓦尔斯力所产生的势能可以近似地表示为()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<≤<∞=bx bx a U ax Ux x U 00010图2.7-6图2.7-5求束缚态的能级所满足的方程.解: 束缚态,即要求01<<-E U .分区域写出薛定谔方程:()()()()()()()()1220222231332244200222x d x U x E x x a dx d x U x E x a x bdxd x E x x bdx ψψψψμψψψμψψμ=<-+=≤≤--=≤≤-=>其中2k = 则 ()()22220x k x ψψ''-= 其中3k = 则 ()()23330x k x ψψ''+=其中 4k = 则 ()()24440x k x ψψ''-= 以上三方程的解分别为:()()()()22442334sin k x kxkxk xx Ae A e x B k x x Ce C e ψψδψ--'=+=+'=+ 在0x =处, ()200ψ=,得0A A '+=.令A A '=-;对于()4x ψ,当∞→x 应有限,故0C '=, 则波函数可写为()()()()()2242334sin k x kxkxx A e e x B k x x Ce ψψδψ--=-=+= 由波函数导数的连续性得[][]()()[][]()322333223334434tan th tan x a x ax b x b k x a k a k a k k x b k b k ψψψψδψψψψδ====⎧''==+=⎪⎪⎨⎪''==+=-⎪⎩即()113332324tan th ,tan k k k a k a k b k k δδ--⎡⎤⎛⎫+=+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭由上两式消去δ,得()()11333224tan th tan k k k a b k a k k --⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭用到公式111tan tan tan 1x yx y xy---±±= 上式成为 ()()()()()332342232433324332242th th tan th 1th k k k a k k k a k k k k k a b k k k k k k k a k a k k ++-==⎡⎤⎣⎦--。
薛定谔方程
i En t
0 xa
n 1,2,3
三. 结果讨论 1. 能量量子化(习题22-3. 22-4)
n 1,2,3
边界条件 d 2 x 2m n 2 E x 0 A sin ka 0 k n 2 a dx
2 2 n 2mE 2 kn 2 2 a
A 0
0 0 B 0
n x A sin k n x A sin x a
V
n 1,2,3
2
(4) 规一化条件定A
x
d 1
x
a 0
2
dx 1
2
a
0
n A sin xdx 1 a
2
a 2 A 1 A 2 a
三. 定态基本特征 1.稳定态
(1)势场(能)不随时间变化 V V x
(2)概率不随时间变化
r , t r e
2 2 i Et
r e
i Et
*
i Et 2 r e r
2 2 kn En 2m 2ma 2
2mE k 2 n 2 2 2
2
当 n 取不同值时， En E1 ,4E1 ,9E1 ,16E1 一维无限深势阱中，粒子的能量是量子化的
(1) 基态与激发态 (2) 能级间隔
9
E1 0
E E n 1 E n
第二十二章
薛定谔方程
第一节
一.方程形式 1. 波函数
自由粒子的薛定谔方程
x, t 0 e
2
i Et px
方程
2. 证明
量子力学习题
1 hc 2 m v m h A A 2 6.63 10 34 3 108 2.30 1.84[eV] 9 19 300 10 1.6 10
例1. 设有一个电子在宽为0.20nm一维无限深的方势阱
中， （1）计算电子在最低能级的能量；
（2）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出 现的概率最小，其值为多少？
16
5. (1) 用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个 量子数各称做什么，它们取值范围怎样？ (2) 4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态， 当 n = 2 时，包括几个量子态？ (3) 写出磷 (P) 的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。
答：(1) 4 个量子数包括： 主量子数 n， n = 1, 2, 3,… 角量子数 l， l = 0, 1, 2,…, n-1 轨道磁量子数 ml， ml = 0, 1, …, l 自旋磁量子数 ms， ms = 1/2
一.量子力学基本原理之一——波函数
微观粒子的运动状态可以用波函数 完全描述。
2 r , t r , t r , t
表示 t 时刻, 微观粒子在空间
点出现的相对概率密度。 r
1) 空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值 2) 要求 r , t 单值
2
3) 波函数的连续性 4) 粒子在空间各点的概率的总和为 1
--之二——薛定谔方程
2 2 i ( r , t ) [ U ( r , t )] ( r , t ) t 2m
（1）它的解满足态的叠加原理
若 1 ( r , t ) 和 2 (r , t ) 是薛定谔方程的解， 则 c11 (r , t ) c2 2 (r , t ) 也是薛定谔方程的解。
量子物理题解2
量子物理第2章 薛定谔方程（崔砚生 助教李丹）2.2 一个氧分子被封闭在一个盒子内。
按一维无限深方势阱计算，并设势 阱宽度为10cm 。
（1） 该氧分子的基态能量是多大？（2） 设该分子的能量等于T =300K 时的平均热运动能量kT 23，相应的量子 数n 是多少？这第n 激发态和第n +1激发态的能量差是多少？ 解：根据解无限深方势阱中粒子的薛定谔方程得到的2122222πn E n maEn == 来计算本题。
由题设已知一维无限深方势阱的宽度为 a = 10cm = 0.1m 。
氧分子的质量为kg 1032.51002.6103226233--⨯=⨯⨯=m （1）要求氧分子的基态能量，则令n = 1代入能量公式计算得J 1002.11.01032.52)1005.1(π2π4022623422221---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==ma E （2）当T 为300K 时，氧分子热运动的平均平动动能为kT 23，题设该分子的能量值和这时氧分子的热运动能量（平均平动动能）相等，于是有2122222π23n E n maE kT n === 9402311080.71002.123001038.1323⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--E kT n 这个激发态和它相邻的较高激发态的能量差为[])12()1(1221+=-+=∆n E n n E E)11080.72(1002.1940+⨯⨯⨯⨯=-J 1059.130-⨯=该能量差如此之小，表明在宏观上此时的能量可视为连续变化。
2.3 在如图2.1所示的无限深斜底势阱中有一粒子。
试画出它处于n = 5的激发态时的波函数曲线。
解：由于粒子动能UEE-=k ，而粒子的德布罗意波长k2//mEhph==λ，若势阱底升高，则kE减小，所以λ增大。
同时由于k E减小，速度也减小，粒子出现的概率就会增大，因而波函数振幅应增大。
又，在边界处若势能有限，则波函数曲线有可能进入势阱之外（隧道效应）。
第二章-波函数与薛定谔方程-习题答案
第二章 波函数与薛定谔方程 1．计算n=4时，所对应经典线性振子的振幅4A =？[解]：由线性谐振子能量公式 1()2E w n =+α=4n =时，2q E w ∴=又2212E w A μ=A A x ∴===即振幅4A =2. 证明在定态中，几率流密度与时间无关2 **()()() () ()，iEtr t r f t r e iJ mψψ-ψ===ψ∇ψ-ψ∇ψ22**** [()()()()] [()()()()]（）（）i i i i Et Et Et Et i r e r e r e r e m ir r r r mψψψψψψψψ----=∇-∇=∇-∇可见t J 与无关。
3. 由下列两定态波函数计算几率流密度ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ1表示向内（即向原点）传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0**111110(1) ()21111 [()()]2ikr ikr ikr ikriJ mi e e e e r m r r r r r rψψψψ--=∇-∇∂∂=-∂∂022023111111[()()]2 i ik ik r m r r r r r rk kr r mr mr=----+==r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ikr ikr ikr ikr *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
4．求自由粒子的几率流密度J =？[解]自由粒子波函数()()iEx v Ax r e-=2*()()ii Et EtA x r x r ee--∇2*2*[()()()()]2iA x r x r A x r x r M=∇-∇ 对于自由粒子 ()i p rx r e ⋅= ()ip rix r pe⋅∇=*()i p rx r e-⋅=*()i p rix r pe-⋅∇=-22[()]2i i J A P x r M∴=- 5． 下列波函数中，哪些是定态？哪些是非定态？]（1）1()()()i i ix ETix ETx x xt u eU x e ---=+（2）122()()()i i E T E Thx x xt u e u x e--=+ 12()E E ≠（3）3()()i iETETx x xt u eu x e-=+[解]：（1）是定态，（2）（3）是非定态。
第二章-波函数与薛定谔方程-习题
第二章波函数与薛定谔方程第一部分；基本概念与基本思想题目1.试述波函数的统计解释。
2.为什么波函数可以描述微观粒子的微观态？3.如何理解态叠加原理？量子力学中的态叠加原理与经典力学中的态叠加原理有何区别？4.简述动量几率密度的物理意义。
5.试述定态的基本特征。
6.两个能量本征值不同的定态波函数，他们的线性组合是否还是定态？7.何为定态？如何判断一量子态是定态？8.在经典力学中，E=T+U=动能+势能，这个结果对微观粒子是否成立？为什么？9.试写出求解定态薛定谔方程的基本步骤10. 何为束缚态？有何特征？11. 波函数满足的标准条件是什么？12. 实物粒子的波动性为什么很长时间未能发现?13. 试述C(P, t) 物理意义。
第二部分：基本技能训练题1.计算线性谐振子n=4时所对应的经典线性谐振子的振幅A4=？2.证明在定态中，几率流密度与时间无关3. 由下列两定态波函数计算几率流密度（1）ψ1=（1/r ）e ikr （2）ψ2=（1/r ）e -ikr从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ1表示向内（即向原点）传播的球面波。
4. 求自由粒子的几率流密度J =？5. 下列波函数中，哪些是定态，哪些不是定态？12312312ix-(i)Et -ix-(i )Et -(i )E t -(i )E t 12-(i)Et (i )Et () (x,t)U(x)e U(x)e () (x,t)U(x)e U(x)e E E () (x,t)U(x)e U(x)e ψψψ=+=+≠=+ 6. 一粒子在一维势场 x 0()0 0x a x a U x ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪∞>⎩中运动，求粒子的能级和对应波函数。
7. 设粒子限制在矩形匣子里，其运动势能为：0 x a, y b, z c, (,,) U x y z ⎧<<<⎪=⎨∞⎪⎩其它 求其本征值与本征函数。
8. 求一维谐振子处于第一激发态时几率最大位置。
量子力学习题
第二章 波函数与薛定谔方程（1）一、填空题1、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ； 连续性 ；单值性 。
根据玻恩对波函数的统计解释，电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律，称为 概率 波，波函数模的平方()2r ψ 表示粒子在空间的几率分布，称为 概率密度 。
而()2r d ψτ 表示在空间体积 dt 中概率，要表示粒子出现的绝对几率，波函数必须 归一化 。
2r 点处小体积元dτ内粒子出现的几率与波函数模的平方（|Ψ|2）成正比。
3、根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为 粒子在xdx 范围内的概率 。
4、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ； 单值性 ；连续的。
5、波函数的标准条件为（1）波函数可归一化（2）波函数的模单值（3）波函数有限。
6、三维空间自由粒子的归一化波函数为()r pψ= ，()()=⎰+∞∞-*'τψψd r r p p见书P18 。
7、动量算符的归一化本征态=)(r p ψ ，='∞⎰τψψd r r p p )()(* 见书P18 。
8、按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w = 见网页收藏 ，几率流密度= 。
9、设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是 概率波 ，在)(rψ中力学量Fˆ的平均值为F = 。
10、波函数ψ和ψc 是描写 状态，δψi e 中的δi e 称为 ，δi e 不影响波函数ψ的归一化，因为 。
11、定态是指 的状态，束缚态是指 的状态。
12、定态波函数的形式为 。
13、)i exp()()iexp()(),(2211t Ex t E x t x-+-=ψψψ是定态的条件是 ，这时几率密度和 都与时间无关。
14、波函数的统计解释 15．描述微观粒子状态的波函数ψ应满足的三个标准条件 。
16、粒子作自由运动时，能量本征值是 ___ __。
波函数及薛定谔方程习题解
π2 2 2 n 2μ a 2
(n = 1, 2,3, ) 能量是量子化的
两组波函数的空间部分：
nπ ⎧ B cos x, ⎪ ⎪ a ψn = ⎨ ⎪ 0, ⎪ ⎩ nπ ⎧ A sin x, ⎪ ⎪ a ψn = ⎨ ⎪ 0, ⎪ ⎩
可以将上式合并写为：
a a - ≤x≤ 2 2 a a x< - , x> 2 2 a a - ≤x≤ 2 2 a a x< - , x> 2 2
E
t ) + v( x) exp(−ix) exp(−i E t)
E
t)
= [u ( x) exp(ix) + v( x) exp(−ix)]exp(−i E1 E2
由此可见，其能量值为固定值 E ，故此状态为定态。 对于ψ 2 ( x, t ) = u ( x) exp(−i 所以不是定态。 对于ψ 3 ( x, t ) = u ( x) exp(−i
∴ψ 2 ( x) = A sin
(n = 1, 2, 3, )
nπ x a
题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao@,谢谢
第二章 波函数与薛定谔方程习题解
门福殿教授著《量子力学》
由归一化条件
∫
由
∞
2 ψ ( x) dx = 1 得
A2 ∫ sin 2
0
a
nπ xdx = 1 a
2
令k =
2
，得
d 2ψ 2 ( x) + k 2ψ 2 ( x) = 0 dx 2
④
其解为
ψ 2 ( x) = A sin kx + B cos kx
a 2 a 2
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
薛定谔方程习题解答
第二十三章薛定谔方程
一选择题
2. 关于量子力学中的定态，下面表述中错误的是（ B ）
A. 系统的势函数一定与时间无关
B. 系统的波函数一定与时间无关
C. 定态具有确定的能量
D. 粒子在空间各点出现的概率不随时间变化
第二十四章原子中的电子
一选择题
1. 关于电子轨道角动量量子化的下列表述，错误的是：( B )
A.电子轨道角动量L的方向在空间是量子化的；
B.电子轨道平面的位置在空间是量子化的；
C.电子轨道角动量在空间任意方向的分量是量子化的；
D.电子轨道角动量在z轴上的投影是量子化的。
2. 设氢原子处于基态，则下列表述中正确的是：( C )
A.电子以玻尔半径为半径做圆周运动；
B.电子只可能在以玻尔半径为半径的球体内出现；
C.电子在以玻尔半径为半径的球面附近出现的概率最大；
D.电子在以玻尔半径为半径的球体内各点出现的概率密度相同。
二填空题
6. 原子内电子的量子态由n，l，m l及m s四个量子数表征。
当n，l，m l一定时，不同的量子态数目为 2 ；当n，l一定时，不同的量子态数目为2 （2 l +1）_；当n一定时，不同的量子态数目为___2 n2____。
薛定谔方程习题
第二章薛定谔方程习题(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章 薛定谔方程 习题 (课本44页)证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证明：当一个系统处于定态时，其波函数),(t rϕ可以写作，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Et i r t rexp )(),(φϕ于是便有，⎪⎭⎫ ⎝⎛=Et ir t rexp )(),(**φϕ根据概率流密度的定义式有， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-∇≡ϕϕϕϕϕϕϕϕψψψψt iE t iE t iE t iE m i t iE t iE t iE t iE m i m i J exp exp exp exp 2exp exp exp exp 2)(2****** 即有，)(2)(2****φφφφϕϕϕϕ∇-∇=∇-∇=mi m i J显然，在定态中概率流密度与时间无关。
从某种意义上说明上述波函数称为定态波函数是名副其实的。
由下列两定态波函数计算概率流密度：⑴ )exp(11ikr r=ϕ，⑵ )exp(12ikr r-=ϕ。
从所得结果说明1ϕ表示向外传播的球面波，2ϕ表示向内(即向原点)传播的球面波。
解：在解本题之前，首先给出一个函数f 的梯度在球坐标系下的表达式，即ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇f r e f r e r f e f r sin 1ˆ1ˆˆ ⑴ 首先求解函数1ϕ的概率流密度r ikr ikr r ikr ikr ikr r ikr e m r k r ike re e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i mi J ˆˆˆ2)exp()exp()exp()exp(2)(22221*1*111 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇---∇=∇-∇=---ϕϕϕϕ可见，概率流密度1J 与r同号，这便意味着1J 的指向是向外的，即1ϕ表示向外传播的球面波。
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第二章 习 题
1.质量为μ的粒子，约束在一维势V(x)中，设在某些区域V(x)是常数，V(x)=V 0，在这些区域里，求：(1) E>V 0; (2)E<V 0; (3)E=V 0 三种情况下粒子的定态波函数，此处E 为粒子能量。
2.考虑一个粒子受不含时势()V r 的束缚，
(1) 设粒子的态用的形如(,)()()V r t r t φχ=的波函数描述，证明：()i t t Ae ωχ-=（A
是常数），而必须满足方程：2
2()()()()2r V r r r φφωφμ
-
∇+=
(2) 证明：(1)中情况下，概率密度不依赖于时间。
3.质量为的粒子束缚在形如：(,,)()()()V x y z V x U y W z =++的三维势场中，用分离变量法导出三个独立的一维问题，并建立三维能量和一维问题有效能量的关系。
4.设束缚态波函数和是S.E 的两个解，证明：*12d ψψτ⎰
(全空间)
与时间无关。
（可用两
种方法证）
（奥斯特罗格拉德斯基公式：
()
()
V s Ad Ad s τ∇=⎰⎰⎰⎰⎰）
5.NaCl 晶体内有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，因此可将这些电子看成束缚在边长为晶格常数a 的立方体内的粒子，设在室温下电子处于基态，求处于基态的电子吸收电磁波跃迁到第一激发态时，所吸收电磁波的波长。
6.将在动量空间中的波函数：()exp()(0,)C p N P P P α
α=->=归一化，并证明
在坐标空间中的波函数表达式为：3/2
2
2
1
()(2)()
r r α
ψαπ
α=+（提示：在球面坐标
ρ、θ、φ下由傅立叶变换关系求证） 7.粒子在：(1)一维无限深方势阱(0≤x ≤a)；
—V 0<0 x a ≤ (2)一维有限深方势阱：V(x)=
0 x a
>
中运动，运用索末菲量子化条件
()
q P dq nh =⎰求体系束缚定态能谱。
8.证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长，上述结果同样适用于椭圆轨道。
（对于椭圆轨道有：
r
()()q
r
p dq p dr p d n
n h
ϕϕϕ=+=+⎰⎰⎰）
9.粒子在势能U(x)中运动，当U(x)→U(x)+C ，粒子的能量是否改变？波函数ψ(x)是否会改变？ψ
(x ，t)呢？是通过计算加以回答。
10.图(a)中的定态波函数对应于图中哪一个势函数图？
说明理由。
11.有下列波函数，其中和ψ1描写同一状态的有哪些？
2/2/2/1232/(2/)3/456;;(42);;3;.
i x h i x h i x h i x h i x h i x h e e i e e e e πψψψψψψ-+===+=-==
12.一维运动粒子处于定态221
2
()x x Axe
αψ-=中，求粒子所处势场？若V(0)=0,则E=？
2
4
2
3
422[()(3)()()(3)]
2x x x U x E x ψααψααμ
''=-=+
-，
13.设V(x)中的粒子波函数为()()x
n a
x x A e a
ψ-=，其中A,n,a 为常数，当x →∞时，V(x)→0，
求V(x)及E 。
/1/2/2221(1)[()()2()()]n x a n x a n x a
x n x n n x x A
e A e A e a a a a a a
ψ------''=-+ 2
12
2
()[12()(1)()]2x x U x E n n n a a a μ--=+
-+-
14*.质量为μ的粒子，处于一维短程势0V()()x A V x δ=-中，求粒子的束缚态能量
E 。
（注意束缚态能量的含义）
15.若描述粒子状态的波函数为：12
,0
(),0x
x A e x x A e x λλψ-⎧<⎪=⎨>⎪⎩
讨论：若()x ψ具有确定的宇称性，则A1与A2间的关系如何？()x ψ具有何种宇称？
16.试证明，对任意的一维势垒，关系式R+D=1都自动满足。
（见图示）
提示：求出x →±∞的渐近解()x ψ；再求出J ；然后由R+D 求证R+D=1。
17.如图所示，设有一个一维势垒0,0
()0,0U x U x x >⎧=⎨
≤⎩
今有一束能量为E 的粒子从左向右入射，求出这束粒子被势垒反射的概率，分别讨论E>U 0和E<U 0的情况，并将所得结果与经典力学的结果作比较，讨论在何种情况下经典与量子的结果相符合。
18.如图所示，一维方势阱代表金属中电子发射的模型，试求：E>0的电子在金属表面的反射系数。
19.如图所示，设粒子(E>0)从左入射，被势阱散射，求透射系数。
20.若粒子从右边入射，求一维阶梯势的R 和D 。
（因从右入射，故E>U 0）
21.S.E 的逆问题
粒子在一维势场中运动，其束缚态定态波函数为：
(1)22
5
0,()15(),16x a x a x x a a
ψ⎧>⎪
=⎨-≤⎪⎩
(2)()()x x e x αψα-=-∞<<+∞ (3)3()2()x
x xe
x αψα-=
-∞<<+∞
求粒子相应的能级及势场V(x)。
(已知:22
2()
d x
x dx
δ=)
22.由连续性方程证明，定态下概率分布函数与时间无关。
23.已知()x ψ描述粒子的归一化波函数，求在x →x+dx 区间内发现粒子的概率，在p x →p x +dx 区间内发现粒子动量值的概率。
24.归一化的基态波函数为：(1)
()(,,),r r e e r r r βαψψθϕαβ---==、为正常数，
设r →∞时，()0U r −−
→ 求势场()U r 及基态能量的值？ 25.设
1()x ψ与2()x ψ均为S.E 中属于同一能量E 的解。
则1212ψψψψ''-=常数。
26.设粒子的波函数为(,,)x y z ψ，写出（x ，x+dx ）范围内粒子的概率。
27.思考：“粒子在空间x 处的波长λ”这一提法有无意义？为什么？
28.下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？ (1)1(,)()()E E ix i t
ix i t
x t U x e
U x e ψ---=+
(2)
1
2
2(,)()()E E i
t i
t
x t U x e
U x e ψ--=+
(3)1
2
3
12(,)()()()E E i
t i
t
x t U x e U x e
E E ψ--=+=-
29.请在下图中将代表奇宇称态和偶宇称态的波函数图挑选出来。
30.当描述微观粒子的波函数()r ψ具有确定的宇称时，粒子所处的势场具有何种特征？
31.一个质量为m 的粒子，在势V(x)的作用下作一维运动，假如它处在
22
2r
E m =
的能量本征
态22
21/4/2
()(/)r x x r e ψπ-=上
(1) 求粒子的平均位置； (2) 求粒子的平均动量； (3) 求V(x)；
(4) 求粒子动量在p →p +dp 间的概率。
32.束缚态能级所满足的方程问题
(1) 周世勋《量子力学教程》第2版2.7题P45. (2) 考虑质点在下列势中运动的一维问题。
0,00,0,V x V x a V V x a
=∞<⎧⎪
=≤≤⎨⎪=>⎩
证明束缚态能级由方程
1/2
0tan 2/[/()]mEa E V E =-给出。
33.已知一维谐振子
221
()2U x x ax μω=
+（a 为常数），求n E 和()n x ψ。
34.粒子在22
,0
()=1,02x U x x x μω∞<⎧⎪⎨>⎪⎩中运动，求()?n
n x E ψ=、
35.质量为μ的一维粒子，处于势
22
1()4U x S x bx =
+中，求其定态能级和定态波函数。
其
中s 、b 为常数。
36.设有一维不对称有限深方势阱，势能为
12
,0()=0,0,V x U x x a
V x a ≤⎧⎪
<<⎨⎪≥⎩（其中：
12
V V >）
求：(1)能级
20
V E >>所满足的方程；
(2)证明当12V V =→∞
时，能级所满足的方程与一维无限深势阱相同。