人口生育问题线性代数模型

人口生育问题线性代数模型

人口指数增长模型和人口阻滞增长模型, 他们在生物种群分析、社会研究等领域都有广泛应用. 经过在原始模型中引入修正参数并

运用非线性最小二乘法求解, 它们对于中国人口增长的描述是一定

程度上可以适用的.

为了进一步优化人口增长模型, 我们依次考虑了年龄结构、人口城乡分布、生育模式对于人口增长的影响. 分别使用到的关键方法如下:

1. 模仿概率论中概率分布函数和概率密度函数的定义, 引入了

若干能够同时反映人口与时间、人口与年龄分布情况关系的二元函数, 和表征了育龄女性生育模式的关于年龄的女性生育加权因子;

2. 将影响人口变化的因素细分为城、镇、乡的自然增长率、净

迁移率从而实现各区域人口分别估计.

关键词: 非线性最小二乘法, 人口指数增长模型, 人口阻滞增

长模型, 连续人口发展方程, 生育模式

1 问题重述

中国是世界上人口最多的国家, 人口众多、人均资源相对不足是我国的基本国情. 所以, 人口过多一直制约着中国的发展.

但自从中国在20世纪70年代全面推行计划生育以来, 我国的人口增速稳步放缓, 形式趋于乐观. 但与此同时也出现了新的人口变化, 例如: 老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高以及乡村人

口城镇化等, 这些都影响着中国人口的数量增长与结构严谨. 因此,

利用已有数据和已掌握的现有国情, 通过数学建模对中国人口做出分析和预测是一个重要且必要的任务. 这将直接为中国经济和社会发展决策提供科学依据, 同时对于加速推进我国现代化建设有现实指导意义.

2.模型假设

1. 由于中国人口基数庞大, 我们忽略国际人口迁移对中国人口发展的影响.

2. 将中国或中国部分地区的人口看做关于各个变量均连续可微的正值函数

3 符号说明

符号符号说明

t 年份

P(t) 年份 t 的人口

P0 初始人口数量

B(t) 年份 t 的出生率

D(t) 年份 t 的死亡率

r 人口增长率

r(t) 年份 t 的人口增长率

r0 固有增长率

M 人口容量

c 待定的修正参数

a 年龄

F(a, t) 年份 t 时年龄小于 a 的人口

ρ(a, t) 人口分布函数

µ(a, t) 死亡率函数

ρ0(a) 初始人口密度函数

f(t) 婴儿出生率函数

4 基本模型准备

一个地区的人口增长率基本可由该地区的出生率、死亡率、迁入率、迁出率共同决定, 由于本文研究中国人口增长, 人口基数足够

庞大, 因此可忽略人口迁入迁出对于总人口的影响, 即成立r(t) = B(t) − D(t). （1）

设年份 t 时中国人口为 P(t). 尽管我们只关心 P(t) 在 t 为

整数时的取值, 但为了更方便地利用微积分学工具, 不妨认为 P(t) 为关于 t 的连续可微函数. 本文所有涉及到的数学模型均是在此

假设下构建的. 本部分给出用于描述人口增长的两个基本模型.

4.1 人口指数增长模型

记初始年份的人口数量为 P0, 人口增长率为常数 r, 即 P(0)

= P0, P(t + ∆t) − P(t) = rP(t)∆t. （2）

令∆t → 0, 可得函数 P(t) 所满足的微分方程，进而可解得

P(t) = P0e rt , (2) (2) 式称为人口指数增长模型, 因为若其中增长率 r > 0, 则人口将关于时间呈指数式增长. 该模型也被称为Malthus 人口模型.