高中数学三角函数求周期

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苏教版高中数学高一1.3.1三角函数的周期性

√D.因为 cosx＋π3≠cos x，所以π3不是函数 y＝cos x 的一个周期
解析根据周期函数的定义容易知道A，C均是错误的，同时D是正确的；对于B，我们只能得出2π是函数y＝tan x的一个周期，但不是最小正周期.
1234
2.函数 y＝ 2cosπ4－2x的最小正周期为__π___. 解析 T＝|2ωπ|＝π.
知识点二正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
1.正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π. 2.正切函数的周期正切函数是周期函数，最小正周期是π. 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0， ω>0)的周期T＝ 2π .
第1章 §1.3 三角函数的图象和性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期. 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
3 达标检测
PART THREE
1.下列说法中，正确的是 A.因为sin(π－x)＝sin x，所以π是函数y＝sin x的一个周期 B.因为tan(2π＋x)＝tan x，所以2π是函数y＝tan x的最小正周期 C.因为当 x＝π4时，等式 sinπ2＋x＝sin x 成立，所以π2是函数 y＝sin x 的一个周期
3.当 x＝74π 时，cosx＋π2＝cos x，所以π2是 cos x 的一个周期.( × )

高中数学必修四第一章三角函数 1.4.2.1 周期函数

7 2
-4
, 即��
7 2
= ��
-
1 2
.
又当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,
∴��
7 2
= ��
-
1 2
=2×
-
1 2
+ 1 = 0.
题型一题型二题型三题型四
反思1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上,代入求值即可.
π 6
+ 2π = 2(�� + π) − π6,
∴f(x+π)=sin
2(��
+
π)-
π 6
=sin
2��-
π 6
+
2π
= sin
2��-
π 6
= ��(��).
∴T=π.
本节结束，谢谢大家！
题型一题型二题型三题型四
题型二求三角函数的周期
【例 2】求下列函数的周期:
(1)f(x)=sin
1 4
��
+
π 3
(��∈R);
(2)y=|sin x|(x∈R).
分析:对于(1),可结合周期函数的定义求解;对于(2),可通过画函
数图象求周期.
题型一题型二题型三题型四
(2)函数 y=sin
��
+
π 4
(��
>
0)的周期是
2π 3
,
则��
=
_____.

三角函数周期的几种求法.doc

三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。

本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。

1.定义法：定义：一般地y=c,对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值吋，f (x+T) = f ( X )都成立，那么就把函数y = f (x)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。

对于一个周期函数來说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。

下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小止周期。

例1.求函数y=3sin (-% + -)的周期3 3解:Vy=f (x) =3sin (-x+—) =3sin (-% + —+2^-)3 3 3 3=3sin (拿+ 2兀 +彳)=3sin[|(x + 3^) + |]二f (x+3兀)这就是说，当自变量由x增加到x+3龙,且必增加至!J x+3龙时,函数值重复出现。

二函数y=3sin (-x + —)的周期是T二3龙。

3 3例2：求f (x) =sin6x+cos6x 的周期解Tf (x+—) = sin b (x+—) + cos6 (x+—)2 2 2二cos h x +sir?x二f (x).•.f （x） =sin6x+cos6x 的周期为T= —2例3：求f （x）二血兀+血3兀的周期cosx + cos3x解：Vf （x+兀）二曲（只+兀）+血如+兀）COS（X + 7l） + COS（X + 71）_ -sinx-sin3x-cox - cos3x_ sinx + sin 3xcos x +cos 3^二f （x）■求f（X）二Siz + sin3兀的周期:T Fcos x +cos 3x2.公式法：（1）如果所求周期函数可化为y二Asin （亦+ ©）、y二Acos （亦+炉）、y = tg （亦 + 0 ）形成（其中X、co、cp为常数，且A H O、®>O、0W R）,则可知道它们的周期分别是：—> —> -Oco co co例4：求函数y=l-sinx+V3 cosx的周期解：Vy=l-2 （- sinx- —cosx）- 2 2= 1-2 （cos —sinx-sin— cosx）3 3= l-2sin （x-—）3这里0二1 ・••周期T二2龙例5：求：y=2 （— sinx--cos3x） -12 2解：Vy=2 （— sinx-—cos3x） -12 2=2sin (3x-— ) -16这里⑵二3 ・•・周期为T二弐3例6：求y二tg (1+—)的周期解：这里g二丸，・•.周期为：T=^-/ —=-5 5 3(2)如果f (x)是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinox、COSGX、tgcox的形式，再确定它的周期。

高中数学三角变换知识点总结

高中数学三角变换知识点总结三角变换是高中数学中一个重要的概念，它涉及到三角函数的性质、图像和方程的变换，是解决各类三角函数问题的基础。

本文将对高中数学中常见的三角变换知识点进行总结和归纳，以帮助学生更好地理解和掌握这一内容。

1. 三角函数的周期性变换三角函数的周期性变换是指通过改变角度的取值范围，可以得到相同函数值的新角度。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们的周期性变换分别如下：正弦函数：f(x) = sin(x)周期：2π周期性变换：f(x + 2π) = f(x)余弦函数：f(x) = cos(x)周期：2π周期性变换：f(x + 2π) = f(x)正切函数：f(x) = tan(x)周期：π周期性变换：f(x + π) = f(x)通过理解和掌握这些周期性变换的性质，可以简化三角函数的求解过程，同时也能更好地理解三角函数的图像特征。

2. 三角函数图像的变换三角函数的图像变换是指通过改变系数和常数的值，可以改变函数图像在坐标平面上的位置和形状。

常用的图像变换包括平移、伸缩、翻转和相位差变换。

平移变换：将函数图像沿x轴或y轴方向上下左右平移，改变函数的位置。

平移变换可用函数的形式来表示，如f(x) + a、f(x - b)等。

伸缩变换：将函数图像在x轴或y轴方向上进行拉伸或压缩，改变函数的形状。

伸缩变换可用函数的系数来表示，如af(x)、f(bx)等。

翻转变换：将函数图像关于x轴或y轴进行翻转，改变函数的对称性。

翻转变换可用函数的负号来表示，如-f(x)、f(-x)等。

相位差变换：将函数图像在x轴方向上进行平移，改变函数的起始位置。

相位差变换可用函数的参数表示，如f(x - c)、f(x + c)等。

通过掌握这些图像变换的规律，可以更清晰地观察和分析三角函数图像的各个特点，从而更准确地解决相关问题。

3. 三角方程的变换和解法三角方程是指含有三角函数的方程，解决三角方程需要通过变换和求解来得到最终结果。

【优化指导】高中数学(基础预习课堂探究达标训练)341 三角函数的周期性以及函数y=Asinx,

3.4.1 三角函数的周期性以及函数y ＝Asin x ，y ＝sin ωx 的图象与性质学习目标重点难点1．知道什么是周期函数，什么是函数的周期以及最小正周期；2．能说出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的最小正周期；3．能分析y ＝A sin x ，y ＝sin ωx 的图象与y ＝sin x 图象的关系； 4．会解决函数y ＝A sin x ，y ＝sin ωx 的性质问题.重点：周期函数的定义以及正弦函数、余弦函数、正切函数的周期．分析函数y ＝A sin x ，y ＝sin ωx 的图象与性质；难点：周期函数的定义；疑点：函数y ＝A sin x ，y ＝sin ωx 的图象与函数y ＝sin x 图象的关系.1．三角函数的周期性(1)一般地，对于函数y ＝f (x )，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内每一个值时，x ±T 都有定义，并且f (x ±T )＝f (x )，则这个函数y ＝f (x )称为周期函数，T 称为这个函数的一个周期．如果周期函数y ＝f (x )的所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数就称为这个函数的最小正周期，我们也常常将“最小正周期”简称为“周期”．(2)y ＝sin x 是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. (3)y ＝cos x 是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. (4)y ＝tan x 是周期函数，k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它的周期，最小正周期是π. 预习交流1能否由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝sin π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋5π4＝sin 5π4等说明π2是y ＝sin x 的周期？提示：不能，周期函数中的定义中应要求对定义域中的每一个x ，都满足f (x ＋T )＝f (x )，如果只有个别x 的值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说f (x )的周期为T .预习交流2所有的周期函数都具有最小正周期吗？提示：并不是所有周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f (x )＝C (C 为常数)，x ∈R ，当x 为定义域内的任何值时，函数值都是C ，即对于函数f (x )的定义域内的每一个值x ，都有f (x ＋T )＝C ，因此f (x )是周期函数，由于T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f (x )没有最小正周期．2．函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)的图象与性质(1)一般地，对任意A ＞0，A ≠1，函数y ＝A sin x 的图象可以由y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标乘以A 得到．(2)函数y ＝A sin x 的周期是2π，值域是[－A ，A ]，最大值和最小值分别为A 和－A ．预习交流3函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)的奇偶性、单调区间是怎样的？提示：函数y ＝A sin x (A ＞0，A ≠1)仍然是奇函数，它的单调区间与y ＝sin x 的单调区间也完全相同．3．函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的图象与性质(1)函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的图象可以由y ＝sin x 的图象上每一点(x ，sin x )的纵坐标不变，横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω得到．(2)函数y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的周期是T ＝2πω，值域为[－1,1]．预习交流4你能由周期函数的定义说明y ＝sin ωx (ω＞0，ω≠1)的周期为什么是2πω吗？提示：由于sin(ωx ＋2π)＝sin ωx ，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝sin ωx ，因此y ＝sin ωx 的周期为2πω.预习交流5若对于函数f (x )定义域中的每个值x ，都有f (2x ＋T )＝f (2x )，能否说f (x )的周期为T? 提示：不能．从周期函数的定义式f (x ＋T )＝f (x )可知，自变量x 本身增加的常数才是周期．当f (2x ＋T )＝f (2x )时，有f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，所以f (x )的周期不是T ，而是T2.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、求三角函数的周期求下列函数的周期：(1)y ＝－3sin x ；(2)y ＝cos 5x ；(3)y ＝3tan 3x .思路分析：利用三角函数的周期以及周期的定义求解．解：(1)由于－3sin x ＝－3sin(x ＋2π)，所以y ＝－3sin x 的周期T ＝2π；(2)由于cos 5x ＝cos(5x ＋2π)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π5，所以y ＝cos 5x 的周期T ＝2π5； (3)由于3tan 3x ＝3tan(3x ＋π)＝3tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以y ＝3tan 3x 的周期T ＝π3.1．函数y ＝cos(－4x )的最小正周期为__________．答案：π2解析：y ＝cos(－4x )＝cos 4x ，而cos 4x ＝cos(4x ＋2π)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以函数的最小正周期为π2.2．已知y ＝2sin ωx (ω＞0)的周期为4π，则ω＝__________.答案：12解析：依题意应有2πω＝4π，所以ω＝12.一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)的周期为2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为π|ω|.二、三角函数的图象变换画出函数y ＝2sin 12x 的图象，并说明由这个函数的图象怎样得到函数y ＝sin x 的图象？思路分析：利用五点作图法画函数y ＝2sin 12x 的图象，然后通过横、纵坐标的变换得到函数y ＝sin x 的图象．解：令12x 分别取0，π，π，3π，2π，列表如下：x 0 π 2π 3π 4π 12x 0 π2 π 3π22πy ＝2sin 12x 02 0 －2 0 描点、连线即得函数y =2sin 2x 在一个周期上的图象，然后根据周期性，将其向左、右扩展，即得y =2sin 12x ，x ∈R 的图象．将y =2sin 12x 的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，可以得到函数y =sin 12x的图象，然后再将y =sin 12x 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，即可得到函数y =sin x 的图象．1．(2012浙江高考，文6)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )．答案：A解析：y ＝cos 2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应图象为A ．2．为了得到函数y ＝sin x 的图象，应将函数y ＝13sin x 的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的( )倍即可．A ．3B ．13C ．1D ．32答案：A1．画函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)的图象时，仍然可以用“五点法”，但应先作变量代换，令ωx ＝0，π2，π，3π2，2π，求得x 相应的值，然后根据x ，y 的值描点，连线画出函数的图象．2．进行图象变换时，一是要牢记横坐标与纵坐标的变化规则，二是要分清哪是变换前的函数，哪是变换后的函数．三、函数y ＝A sin ωx 的性质已知函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)，其中0＜φ＜π，若f (x )是奇函数． (1)求φ的值；(2)求f (x )的单调区间．思路分析：结合诱导公式求φ的值，根据φ的值，将f (x )解析式化简，然后求其单调区间．解：(1)由于cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x . 而y ＝－sin 2x 是奇函数，从而y ＝－3sin 2x 也是奇函数，故当φ＝π2时，f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－3sin 2x 是奇函数，即φ的值为π2. (2)由(1)知f (x )＝－3sin 2x .令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2解得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )；令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2解得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )．若函数f (x )＝14sin ωx (ω＞0)的周期为3π，则其递减区间为__________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋3π4，3k π＋9π4(k ∈Z ) 解析：由于f (x )的周期为3π，所以2πω＝3π，ω＝23.于是f (x )＝14sin 23x .令2k π＋π2≤23x ≤2k π＋3π2，解得3k π＋3π4≤x ≤3k π＋94π，k ∈Z .故f (x )的减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π＋3π4，3k π＋9π4(k ∈Z )．求y ＝A sin ωx 的单调区间，可以把ωx 看作一个整体(保证ω＞0)放入y ＝sin x 的单调区间内，解不等式求得．1．函数y ＝－sin x 的周期为( )A ．π B．2π C．4π D．π2答案：B2．函数y ＝－3cos 2x 的最大值是( ) A ．－1 B ．－3 C ．1 D ．3 答案：D3．要得到函数y ＝sin 4x 的图象，只须将函数y ＝sin x 的图象上每一点的( ) A ．横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍 B ．纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍C ．横坐标不变，纵坐标变为原来的14倍D ．纵坐标不变，横坐标变为原来的14倍答案：D4．函数y ＝sin 3x 的图象，可以由函数y ＝12sin 3x 的图象上每一点( )得到．A ．横坐标变为原来的3倍B ．纵坐标变为原来的12倍C ．横坐标变为原来的13倍D ．纵坐标变为原来的2倍答案：D5．若函数y ＝－5cos ωx (ω＞0)的周期为4，则其递增区间是__________．答案：[4k,4k ＋2](k ∈Z )解析：依题意有2πω＝4，所以ω＝π2，即y ＝－5cos π2x .令2k π≤π2x ≤2k π＋π，解得4k ≤x ≤4k ＋2，k ∈Z ，因此函数的递增区间是[4k,4k ＋2](k ∈Z )．。

高中数学三角函数公式归纳

高中数学三角函数公式归纳高中数学三角函数公式归纳三角函数是高中数学中的重要内容，其公式是学习三角函数的基础。

在高中数学中，我们主要学习了正弦函数、余弦函数、正切函数以及其反函数。

这些函数都有一些常用的公式，下面我将对这些公式进行归纳整理。

1. 正弦函数的公式：（1）周期性: sin(x+2πk) = sin x，其中 k∈Z（2）奇偶性: sin(-x) = - sin x（3）值域范围: -1 ≤ sin x ≤ 1（4）正弦函数的平方等于余弦函数的平方与1的差值: sin²x + cos²x = 12. 余弦函数的公式：（1）周期性: cos(x+2πk) = cos x，其中 k∈Z（2）奇偶性: cos(-x) = cos x（3）值域范围: -1 ≤ cos x ≤ 1（4）余弦函数的平方等于正弦函数的平方与1的差值: sin²x + cos²x = 13. 正切函数的公式：（1）周期性: tan(x+πk) = tan x，其中 k∈Z（2）奇偶性：tan(-x) = - tan x（3）值域范围: -∞ < tan x < ∞4. 反正弦函数的反函数公式：（1）正弦函数的反函数: y = sin^(-1)(x) => x = sin(y)（2）值域范围: - π/2 ≤ y ≤ π/2（3）对称性: sin^(-1)(-x) = - sin^(-1)(x)（4）角度关系：sin^(-1)(x) + cos^(-1)(x) = π/25. 反余弦函数的反函数公式：（1）余弦函数的反函数: y = cos^(-1)(x) => x = cos(y)（2）值域范围: 0 ≤ y ≤ π（3）对称性: cos^(-1)(-x) = π - cos^(-1)(x)（4）角度关系：sin^(-1)(x) + cos^(-1)(x) = π/26. 反正切函数的反函数公式：（1）正切函数的反函数: y = tan^(-1)(x) => x = tan(y)（2）值域范围: -π/2 < y < π/2以上是常用的三角函数公式，对于学习三角函数非常重要。

三角函数周期高中数学

（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。

例4：求函数y=1-sinx+3cosx 的周期例5：求：y=2（23sinx-21cos3x ）-1例6：求y=tan （1+53xπ）的周期（2）如果f （x ）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sin ωx 、cos ωx 、tan ωx 的形式，再确定它的周期。

例7：求f （x ）=sinx ·cosx 的周期例8：求f （x ）=sin 2x 的周期例10：函数y=3sin 2x-23sinx ·cosx+5cos 2x 的周期。

例1、求下列函数的周期。

（1）x x f 2cos )(= （2）)421cos(2)(π---=x x f（3）|sin |)(x x f =例2、若函数)5sin(2)(π+=kx x f 的最小正周期为π32，求正数k 的值。

例3、若函数)(x f 的定义域为R ，且对一切实数x ，都有)()(x f x f =-，且)2()2(x f x f -=+，试证明)(x f 为周期函数，并求出它的一个周期。

例4、电流强度I 随时间t 变化的关系式是)3100sin(5ππ+ =t I ，),0[+∞∈t 。

（1）求电流强度I 的周期；（2）当0=t ，6001，1501（单位：s ）时，求电流强度I 。

巩固练习1、函数)23sin(x y -=π是（）A 、周期为π的奇函数B 、周期为π的偶函数C 、周期为π2的奇函数D 、周期为π2的偶函数2、如图是周期为π2的函数)(x f 在]2,0[π上的图象，请画出该函数在]4,2[ππ上的图象。

课堂小函数的周期性的定义，最小正周期的定义，简单三角函数的周期的求法。

高中数学第一章三角函数三角函数的图象与性质正弦余弦函数的周期性与奇偶性

第1课时正弦、余弦函数的周期性与奇偶性学习目标：1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期．(重点)3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)[自主预习·探新知]1．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么这个函数的周期为T .(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性1．思考辨析 (1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin π6，则2π3是函数y ＝sin x 的一个周期．( )(2)所有的周期函数都有最小正周期．( ) (3)函数y ＝sin x 是奇函数．( ) [解析] (1)×.因为对任意x ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋x 与sin x 并不一定相等．(2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f (x )＝5是周期函数，就不存在最小正周期．(3)×.函数y ＝sin x 的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，不关于原点对称，故非奇非偶．[答案] (1)× (2)× (3)× 2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数B [y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，它是周期为π的偶函数．]3．若函数y ＝f (x )是以2为周期的函数，且f (5)＝6，则f (1)＝________. 6 [由已知得f (x ＋2)＝f (x )，所以f (1)＝f (3)＝f (5)＝6.][合作探究·攻重难](1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4； (2)y ＝|sin x |. 【导学号：84352085】[思路探究] (1)法一：寻找非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )恒成立．法二：利用y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式计算． (2)作函数图象，观察出周期．[解] (1)法一：(定义法)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋π＋π4，所以周期为π.法二：(公式法)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4中ω＝2，T ＝2πω＝2π2＝π.(2)作图如下：观察图象可知周期为π.[规律方法] 求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．提醒：y ＝|A sin(ωx ＋φ)|(A ≠0，ω≠0)的最小正周期T ＝π|ω|. [跟踪训练]1．利用周期函数的定义求下列函数的周期． (1)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，x ∈R .[解] (1)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(2)因为sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋2π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4的周期为6π.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x .[思路探究][解] (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ＞0，1＋sin x ＞0，得－1＜sin x ＜1，解得定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z， ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )， ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数．[规律方法] 1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f (x )与f (－x )的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则． [跟踪训练]2．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ；(2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1. [解] (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x ) ＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12，∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z ，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？提示：奇函数有y ＝2sin x ，y ＝sin 2x ，y ＝5sin 2x ，y ＝sin x cos x 等．偶函数有y ＝cos 2x ＋1，y ＝3cos 5x ，y ＝sin x ·sin 2x 等．2．若函数y ＝f (x )是周期T ＝2的周期函数，也是奇函数，则f (2 018)的值是多少？提示：f (2 018)＝f (0＋1 009×2)＝f (0)＝0.(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|sin 2x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x(2)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( )A ．－12B.12 C ．－32D.32[思路探究] (1)先作出选项A ，B 中函数的图象，化简选项C 、D 中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．(2)先依据f (x ＋π)＝f (x )化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3；再依据f (x )是偶函数和x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝sin x 求值．(1)D (2)D [(1)y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin 2x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos2x 是偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T ＝π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.]母题探究：1.若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“11π12”，其他条件不变，结果如何？[解] f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－11π12×2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＝－12.2．若本例(2)中的“π”改为“π2”，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π.[解] ∵f (x )的周期为π2，且为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6 ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝32.[规律方法] 1.三角函数周期性与奇偶性的解题策略探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．2．与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )； (2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．[当堂达标·固双基]1．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是( )D [观察图象易知，只有D 选项中的图象不是周期函数的图象．] 2．函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数A [f (x )＝2sin 2x 的定义域为R ，f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．]3．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．4 [由已知得f (x )的最小正周期T ＝2ππ2＝4.]4．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.－3[由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.]5．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝－2cos 3x；(2)f(x)＝x sin(x＋π).[解](1)f(－x)＝－2cos 3(－x)＝－2cos 3x＝f(x)，所以f(x)＝－2cos 3x为偶函数．(2)f(x)＝x sin(x＋π)＝－x sin x，所以f(－x)＝x sin(－x)＝－x sin x＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．。

三角函数周期的求法

三角函数周期的求法周期性是三角函数的重要性质，如何求最小正周期是三角函数知识的一个重点、难点、也是高考的热点之一，大多数的题设所给的三角函数式都比较复杂。

这就需要把函数式适当变形后，再利用定义，周期公式求解，或用其他特殊方法巧妙求周期。

求最小正周期的常用方法（1）转化法：通过和角公式、二倍角公式、降次公式、分解因式等变形后将它化为y=A sin（ωx+φ）+B和y=A cos（ωx+φ）+B的形式求解，这种形式周期为T=2π|w|，化为y=A tan（ωx+φ）+B和y=A cot（ωx+）+B的形式其最小正周期T=2π|w|。

例：（2010湖南卷）已知函数f（x）=sin 2x-2sin2x.（1）求函数f（x）的最小正周期（2）求函数f（x）的最大值及f（x）的最大值时x的集合解：（1）f（x）=Sin 2x-（1-cos 2x）=2Sin（2x+π4）-1函数f（x）的最小正周期T=2π2=π（2）最小公倍数法：由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个函数的最小正周期然后找出所有周期的最小公倍数。

其中分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公倍数），特别值得注意的是：对于正，余弦函数的差不能用最小公倍数法。

例：（2005河北卷）设函数f（x）=sin x+|sin 3x|，则f（x）为A、周期函数，最小正周期为π3B、周期函数，最小正周期为23πC、周期函数，最小正周期为2πD、非周期函数解：f1（x）=Sin x的最小正周期为2π3，f2（x）=|Sin 3x|的最小正周期为π3分子的最小公倍数为2π，分母的最大公倍数为3。

f（x）=sin 3x+||sin 3x|最小正周期为23π，选B。

例：（2009河北卷）函数f（x）=（1+3tan x）cos x的最小正周期为（）A、2π；B、32π；C、π；D、π2解：f（x）=（1+3tanx）cosx的最小正周期为2π，选A。

2021_2022学年新教材高中数学第7章三角函数7.3.1三角函数的周期性同步课件苏教版必修第一册

1 π
变式训练 1(1)函数 y=3tan 2 - 6 的最小正周期为
π
(2)y=2cos + 的最小正周期为 π,则 ω=
6
答案 (1)2π (2)±2
1 π
1
解析 (1)y=3tan 2 - 6 中 ω=2,故 T=2π.
2π
(2)∵T= =π,∴ω=±2.
||
.
.
探究二
利用周期求函数值
期,事实上,任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期.
微判断
(1)正弦函数y=sin x的一个周期为4π.(
(2)y=cos|x|是偶函数且周期为2π.(
(3)y=|tan x|的周期为
答案 (1)√
π
2
.(
(2)√ (3)×
)
)
)
微练习
若函数 f(x)=sin +
π
5
2π
(k>0)的最小正周期为 ,则
1
021)=f(5)=
=2.
(2)
变式训练2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正
π
5π
周期是 π,且当 x∈ 0, 时,f(x)=sin x,求 f
的值.
2
3
解 ∵f(x)是周期函数,且最小正周期为 π,
5π
π
π
∴f 3 =f - 3 + 2π =f - 3 .
π
π
值问题.
(3)证明一个函数是周期函数,一般从定义出发,只需找到非零常数T,使对定
义域内任意x都有f(x+T)=f(x)即可.
1
延伸探究将例 2 的(2)改为:已知函数 f(x)对于任 x∈R 满足条件 f(x+3)=(),

三角函数周期性公式大总结

三角函数周期性公式大总结三角函数是高中数学中经常出现的重要概念之一，它描述了角度与直角三角形边长之间的关系。

而周期性公式是三角函数中的一种重要性质，它表明在一定范围内三角函数的值会重复出现。

本文将对常见的三角函数周期性公式进行详细总结。

首先，我们来回顾一下常见的三角函数及其定义域：正弦函数(Sine Function)：y = sin(x)，定义域为(-∞,∞)，值域为[-1,1]余弦函数(Cosine Function)：y = cos(x)，定义域为(-∞,∞)，值域为[-1,1]正切函数(Tangent Function)：y = tan(x)，定义域为(-∞,∞)，值域为(-∞,∞)反正弦函数(Arcsine Function)：y = arcsin(x)，定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]反余弦函数(Arccosine Function)：y = arccos(x)，定义域为[-1,1]，值域为[0,π]反正切函数(Arctangent Function)：y = arctan(x)，定义域为(-∞,∞)，值域为(-π/2,π/2)接下来，我们来总结三角函数的周期性公式：1. 正弦函数和余弦函数的周期性公式：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，也就是说当θ增加或减少2π后，sin(θ)和cos(θ)的值会重复出现。

2. 正切函数的周期性公式：正切函数的周期是π，也就是说当θ增加或减少π后，tan(θ)的值会重复出现。

3. 反正弦函数和反余弦函数的周期性公式：反正弦函数和反余弦函数的周期都是2π，也就是说当x增加或减少2π后，arcsin(x)和arccos(x)的值会重复出现。

4. 反正切函数的周期性公式：反正切函数的周期是π，也就是说当x增加或减少π后，arctan(x)的值会重复出现。

在实际应用中，周期性公式对于解三角函数方程、图像的绘制以及数学模型的建立与求解等方面起到了重要的作用。

三角函数周期的三种求法

三角函数周期的三种求法作者：刘志军来源：《中学生数理化·教与学》2011年第07期职业高中数学（基础模块）上册第五章第三节中涉及函数周期的问题，学生往往对解决此类问题感到比较困难，而近年来职高对口升学又经常涉及三角函数周期的问题.本文结合职业高中学生知识水平的实际，总结了三角函数周期的三种求法.1．定义法周期函数的定义：一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，有ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）都成立，就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期.以后我们说到三角函数的周期，一般指的都是三角函数的最小正周期.针对一些简单的三角函数问题，通过变形可以利用上面的定义求得三角函数的周期.例1 求函数y=2sin（2x+π3）的周期.解：∵y=f（x）=2sin(2x+π3)=2sin（2x+π3+2π）=2sin（2x+2π+π3）=2sin［2(x+π)+π3］=f（x+π）.这就是说，当自变量由ｘ增加到x+π，且至少增加到x+π时，函数值重复出现.∴函数y=2sin（2x+π3）的周期T=π.点评：针对例1这种类型的问题我们可以推广到形如：y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tan（）（其中A、w、为常数，且A≠0、w＞0、∈R），这些函数都可以通过以上的变形求出周期，事实上这些函数的周期和三角函数中w的值有关.例2 求f（x）=sin3x+sin5xcos3x+cos5x的周期.解：∵f（x+π）=sin3(x+π)+sin5(x+π)cos3(x+π)+cos5(x+π)=-sin3x-sin5x-cos3x-cos5x=sin3x+sin5xcos3x+cos5x=f（x）.∴函数f（x）=sin3x+sin5xcos3x+cos5x的周期T=π.点评：类似例2的题目，可以结合三角函数的诱导公式变形而得.例3 求f（x）的周期.解：∵f（x+π2）（x+π2）（x+π2）（x）.∴f（x）的周期为T=π2.2．公式法（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tan（）的形式（其中A、w、为常数，且A≠0、w＞0、∈R），则可知道上述三个函数的周期分别是：2πw、2πw、πw.例4 求f（x）-的周期.解：∵f（x）--这里w=2.∴周期T=π.∴f（x）-的周期为T=π.3．最小公倍数法由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出其中每个函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数.（１）分数的最小公倍数的求法是：各分数分子的最小公倍数÷各分数分母的最大公约数.（2）对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法.（3）本方法主要用于快速解决一些填空题或选择题，但本方法不能用作大题的解答过程.例5 求三角函数y=sin4x＋sin8x的周期.解：y=sin4x的周期是T=π2,y=sin8x的周期是T=π4.所以函数y=sin4x＋sin8x的最小正周期是π2和π4的最小公倍数π2.例6 求函数y=sinx+cos2x+sin4x的最小正周期.解：函数y=sinx的最小正周期是T=2π，cos2x的最小正周期是T=π，y=sin4x的最小正周期是T=π2.∵π2、π、2π的最小公倍数是2π，∴函数y=sinx+cos2x+sin4x的最小正周期为T＝2π.以上三种求三角函数周期的方法适用于不同的题目类型，用的最多的是公式法，而最小公倍数法则可快速解答填空题和选择题.只要多练习，我们在求三角函数周期时就能灵活运用这三种方法，逐步提高解题效率.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

高中数学第一章《三角函数》正弦、余弦函数的周期性教案新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

正弦、余弦函数的周期性教案一、教材分析：《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．二、教学目标：学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x 的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.五、教学准备：三角板、多媒体课件六、教学流程：求下列函数的周期： (1)3sin4x y =，x R ∈；(2)sin()10y x π=+，x R ∈；(3)cos(2)3y x π=+,x R ∈(4)1sin()24y x π=-，x R ∈ 课外思考：1. 求函数()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>）的周期．2.求下列函数的周期：（1）|sin |x y =，x R ∈；（2）|2cos |x y =，x R ∈ 附：板书设计附：1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．教案设计说明《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程．设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节．以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计．教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想．下面从如下几个方面进行详细说明．一、教学内容的数学本质及教学目标定位本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画“周而复始”的变化规律．学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高．于是，结合以上的学情分析，我从“知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期．过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．并且在过程中渗透了本课的情感态度目标：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明．二、教学流程入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系．在数学和其它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁．四、教学诊断分析1．学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sin x图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律．2．部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调.3．本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去．五、教法特点及预期效果分析结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式，而在知识构建过程中，在教师引导下，使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，提高数学思维能力；注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术进行探索和发现．本节课遵循学生的认知规律，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，使学生理解周期概念的形成过程，体会蕴含在其中的数形结合的思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，并且来源于旧知识，设计内容一环扣一环，使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论；在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中，引导学生分析、归纳方法，注意优化学生的思维品质；在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法．通过本节课学习，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究，合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活，理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想，让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标.。

三角函数的周期性与性质

三角函数的周期性与性质三角函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决几何问题和分析问题中具有广泛的应用。

在本文中，我们将探讨三角函数的周期性和性质。

一、三角函数的周期性三角函数可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数等。

其中，正弦函数和余弦函数的最小正周期都是2π，而正切函数的最小正周期是π。

这意味着，在这个周期内，函数的值会重复。

1. 正弦函数的周期性正弦函数的最小正周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。

这意味着，如果我们将自变量x增加2π，函数的值不会改变。

例如，sin(0) = sin(2π) = 0，sin(π/2) = sin(5π/2) = 1。

2. 余弦函数的周期性余弦函数的最小正周期也是2π，即cos(x + 2π) = cos(x)。

换句话说，如果我们将自变量x增加2π，函数的值保持不变。

例如，cos(0) =cos(2π) = 1，cos(π/2) = cos(5π/2) = 0。

3. 正切函数的周期性正切函数的最小正周期是π，即tan(x + π) = tan(x)。

这意味着，如果我们将自变量x增加π，函数的值保持不变。

例如，tan(0) = tan(π) = 0，tan(π/4) = tan(5π/4) = 1。

二、三角函数的性质除了周期性之外，三角函数还具有一些有趣的性质，下面我们将介绍其中的几个。

1. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。

这意味着，正弦函数关于原点对称，而余弦函数和正切函数关于y轴对称。

2. 周期性我们已经知道三角函数具有周期性，但是需要注意的是，除了最小正周期之外，三角函数还具有其他周期。

例如，正弦函数的周期是2π，它的周期也可以是4π、6π等。

这是因为sin(x + 2nπ) = sin(x)，其中n是任意整数。

高中数学中的三角函数与周期性问题

高中数学中的三角函数与周期性问题在高中数学中，三角函数是一个非常重要的概念。

它不仅有着广泛的应用，还涉及到周期性问题。

本文将探讨三角函数的基本性质以及它在周期性问题中的应用。

首先，我们来了解一下三角函数的定义和基本性质。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

其中，正弦函数和余弦函数是最常见的两个三角函数。

正弦函数通常用sin表示，余弦函数通常用cos表示。

正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π。

这意味着在一个周期内，函数的值会重复出现。

例如，sin(0)和sin(2π)的值是相等的。

正弦函数和余弦函数的图像都是波形，可以用来描述周期性的现象，比如声音的波动、电流的变化等。

正弦函数和余弦函数还有一个重要的性质是它们的值域在[-1, 1]之间。

这意味着它们的取值范围是有限的，不会超过这个范围。

这个性质在实际问题中非常有用，可以用来限定一个变量的取值范围。

除了正弦函数和余弦函数，还有其他的三角函数，比如正切函数。

正切函数通常用tan表示。

正切函数的定义是tan(x) = sin(x) / cos(x)。

正切函数的图像也是周期性的，但它的周期是π。

正切函数在数学和物理中有着广泛的应用，比如在力学中描述物体的运动、在几何中描述角度的关系等。

在周期性问题中，三角函数有着重要的应用。

例如，在电路中，交流电的变化可以用正弦函数来描述。

在天文学中，行星的运动也可以用三角函数来描述。

在物理学中，波动现象的研究也离不开三角函数。

除了周期性问题，三角函数还有其他的应用。

例如，在几何中，我们可以用正弦函数和余弦函数来描述三角形的边长和角度之间的关系。

在数学分析中，三角函数是微积分的基础，可以用来求解各种函数的导数和积分。

总结起来，高中数学中的三角函数是一个非常重要的概念。

它不仅有着广泛的应用，还涉及到周期性问题。

通过学习三角函数的定义和基本性质，我们可以更好地理解和应用它们。

无论是在实际问题中还是在理论研究中，三角函数都扮演着重要的角色。

三角函数的周期性、奇偶性、对称性-高考数学复习

π
直线 x ＝对称，则函数 g ( x )＝
6
sin x ＋ a cos x 的图象(
C )
(1)因为函数 f ( x )＝ a sin x ＋ cos x ( a 为常数， x ∈R)的图象关于直线 x
π
π
＝对称，所以 f (0)＝ f
6
3
＝ sin x ＋
3
2 3
cos x ＝
sin
3
3
，所以1＝
π
＝ k π， k ∈Z，即φ＝ k π－， k ∈Z.
4
π
＋＋
4
π
为奇函数，所以φ＋
4
因此，选项D正确.
3.
π
(2024·河北衡水模拟)已知 x 0＝是函数 f ( x )＝
6
cos
π
2
− 3 cos φ＋
cos 3 x sin φ的一个极小值点，则 f ( x )的一个单调递增区间是(
＋
则f
π
−
4
＝－ 2 sin 2 −
π
4
＝ 2 cos 2 x ，为偶函数，A正确.
π
π

令2 x ＝＋ k π， k ∈Z，则 x ＝＋ π， k ∈Z，
2
4
2
π

即 f ( x )的对称轴为 x ＝＋ π， k ∈Z，B错误.
4
2
因为 x ∈
π
π
，
3
2
，所以2 x ∈
所以 f ( x )单调递增，C正确.
(1)(2024·江苏苏州模拟)已知函数 f ( x )＝ cos (π－ x )－ cos
C. π

高中数学三角函数知识点总结

高中数学三角函数知识点总结三角函数是研究角的变化规律的数学工具，它在高中数学中占有重要的地位。

三角函数主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

本文将对高中数学三角函数的知识点进行总结，包括定义、性质和应用等方面。

一、正弦函数1.定义正弦函数的定义是：在单位圆上，角θ的终边与x轴正半轴的交点的纵坐标，记作sinθ。

正弦函数的函数值在闭区间[-1,1]内取值。

2.基本性质（1）周期性：sin(θ+2π)=sinθ，其中π为圆周率。

函数的周期为2π。

（2）奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，sin(π-θ)=sinθ。

函数是奇函数，图像关于原点对称。

（3）对称性：sin(θ+π/2)=cosθ，sin(π/2-θ)=cosθ。

正弦函数与余弦函数相互等价。

3.图像特点正弦函数的图像呈现周期性变化。

在0到2π的区间内，函数图像从0开始上升至1，然后下降至0，在π上通过最低点0，然后在(π,2π)区间内下降至-14.基本关系式（1）和差角公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。

（2）倍角公式：sin2θ=2sinθcosθ。

（3）半角公式：sin(θ/2)=±√[(1-cosθ)/2]。

二、余弦函数1.定义余弦函数的定义是：在单位圆上，角θ的终边与x轴正半轴的交点的横坐标，记作cosθ。

余弦函数的函数值在闭区间[-1,1]内取值。

2.基本性质（1）周期性：cos(θ+2π)=cosθ，函数的周期为2π。

（2）奇偶性：cos(-θ)=cosθ，cos(π-θ)=-cosθ。

函数是偶函数，图像关于y轴对称。

（3）对称性：cos(θ+π/2)=-sinθ，cos(π/2-θ)=sinθ。

余弦函数与正弦函数相互等价。

3.图像特点余弦函数的图像也呈现周期性变化，并且与正弦函数的图像相位差为π/2、在0到2π的区间内，函数图像从1开始下降至0，然后上升至1，在π上通过最高点1，然后在(π,2π)区间内下降至-14.基本关系式（1）和差角公式：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ。

高中数学解题方法系列：三角函数周期问题的3种方法

高中数学解题方法系列：三角函数周期问题的3种方法1．定义法：定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。

对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。

下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。

例1．求函数y=3sin （332π+x ）的周期解：∵y=f （x ）=3sin （332π+x ）=3sin （332π+x +2π）=3sin （3232ππ++x ）=3sin[3)3(32ππ++x ]= f （x+3π）这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。

∴函数y=3sin （332π+x ）的周期是T=3π。

例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2π） = cos 6x +sin 6x= f （x ）∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2π例3：求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x=x cox xx 3cos 3sin sin ----=xx x x 3cos cos 3sin sin ++= f （x ）∴求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π2．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。