2021年导数--复合函数的导数练习题(精品)
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题一．选择题（共26小题）1．设，则f′（2）=（）A．B．C．D．2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．3．下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=4．设f（x）=sin2x，则=（）A．B．C．1 D．﹣15．函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）6．下列导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+17．下列式子不正确的是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣39．函数的导数是（）A． B．C．D．10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．212．下列求导运算正确的是（）A． B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x13．若，则函数f（x）可以是（）A．B．C．D．lnx14．设，则f2013（x）=（）A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x）C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x）15．设f（x）=cos22x，则=（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣216．函数的导数为（）A．B．C．D．17．函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）18．函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x22．函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．23．函数的导数为（）A．B．C．D．24．y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）25．下列结论正确的是（）A．若，B．若y=cos5x，则y′=﹣sin5xC．若y=sinx2，则y′=2xcosx2D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2x26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）27．设y=f（x）是可导函数，则y=f（）的导数为．28．函数y=cos（2x2+x）的导数是．29．函数y=ln的导数为．30．若函数，则的值为．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．（2015春•拉萨校级期中）设，则f′（2）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=ln，令u（x）=，则f（u）=lnu，∵f′（u）=，u′（x）=•=，由复合函数的导数公式得：f′（x）=•=，∴f′（2）=．故选B．2．（2014•怀远县校级模拟）设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．【解答】解：由已知g′（1）=2，而，所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．3．（2014春•永寿县校级期中）下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=【解答】解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确对于选项B，成立，故B正确对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确对于选项D，成立，故D正确故选C4．（2014春•晋江市校级期中）设f（x）=sin2x，则=（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：因为f（x）=sin2x，所以f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．则=2cos（2×）=﹣1．故选D．5．（2014秋•阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）【解答】解：函数的导数y′=﹣sin（2x+1）（2x+1）′=﹣2sin（2x+1），故选：C6．（2014春•福建月考）下列导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 【解答】解：根据导数的运算公式可得：A，（x+）′=1﹣，故A错误．B，（2x）′=lnx2x，故B错误．C，（cosx）′=﹣sinx，故C错误．D．（xlnx）′=lnx+1，正确．故选：D7．（2013春•海曙区校级期末）下列式子不正确的是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．【解答】解：因为（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx，所以选项A正确；（sin2x）′=2cos2x，所以选项B正确；，所以C正确；，所以D不正确．故选D．8．（2013春•江西期中）已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3【解答】解：∵f′（x）=2e2x+1﹣3，∴f′（0）=2e﹣3．故选C．9．（2013春•黔西南州校级月考）函数的导数是（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数，∴y′=3cos（3x+）×3=，故选B．10．（2013春•东莞市校级月考）已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x【解答】解：由f（x）=sin2x，则f′（x）=（sin2x）′=（cos2x）•（2x）′=2cos2x．所以f′（x）=2cos2x．故选D．11．（2013秋•惠农区校级月考）y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：∵y=e sinx cosx（sinx），∴y′=（e sinx）′cosx（sinx）+e sinx（cosx）′（sinx）+e sinx（cosx）（sinx）′=e sinx cos2x（sinx）+e sinx（﹣sin2x）+e sinx（cos2x）∴y′（0）=0+0+1=1故选B12．（2012秋•珠海期末）下列求导运算正确的是（）A． B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x【解答】解：因为，所以选项A不正确；，所以选项B正确；（（2x+3）2）′=2（2x+3）•（2x+3）′=4（2x+3），所以选项C不正确；（e2x）′=e2x•（2x）′=2e2x，所以选项D不正确．故选B．13．（2012秋•朝阳区期末）若，则函数f（x）可以是（）A．B．C．D．lnx【解答】解：；；；．所以满足的f（x）为．故选A．14．（2012秋•庐阳区校级月考）设，则f2013（x）=（）A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x）C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x）【解答】解：∵f0（x）=sin2x+cos2x，∴f1（x）==2（cos2x﹣sin2x），f2（x）==22（﹣sin2x﹣cos2x），f3（x）==23（﹣cos2x+sin2x），f4（x）==24（sin2x+cos2x），…通过以上可以看出：f n（x）满足以下规律，对任意n∈N，．∴f2013（x）=f503×4+1（x）=22012f1（x）=22013（cos2x﹣sin2x）．故选：B．15．（2011•潜江校级模拟）设f（x）=cos22x，则=（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=cos22x=∴=﹣2sin4x∴故选D．16．（2011秋•平遥县校级期末）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴∴=故选D17．（2011春•南湖区校级月考）函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）【解答】解：y′=﹣sin（1+x2）•（1+x2）′=﹣2xsin（1+x2）故选C18．（2011春•瑞安市校级月考）函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）【解答】解：∵函数y=sin（﹣x）可看成y=sinu，u=﹣x复合而成且y u′=（sinu）′=cosu，∴函数y=sin（﹣x）的导数为y′=y u′u x′=﹣cos（﹣x）=﹣sin[﹣（﹣x）]=﹣sin （+x）故答案选D19．（2011春•龙港区校级月考）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）【解答】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=﹣1，则f′（x）=0，满足题意显然选项A成立故选A．20．（2010•永州校级模拟）函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）【解答】解：设y=sinu，u=2x2+x，则y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C．21．（2010•祁阳县校级模拟）函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x【解答】解：将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式．对外函数求导为y′=2u，对内函数求导为u′=cosx，故可以得到y=sin2x的导数为y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故选D22．（2010春•朝阳区期末）函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．【解答】解：对于函数，对其求导可得：f′（x）===；故选C．23．（2009春•房山区期中）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：令y=3sint，t=2x﹣，则y′=（3sint）′•（2x﹣）′=3cos（2x﹣）•2=，故选A．24．（2009春•瑞安市校级期中）y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）【解答】解：由于y=sin（3﹣4x），则y′=cos（3﹣4x）×（3﹣4x）′=﹣4cos（3﹣4x）故选D25．（2006春•珠海期末）下列结论正确的是（）A．若，B．若y=cos5x，则y′=﹣sin5xC．若y=sinx2，则y′=2xcosx2D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2x【解答】解：函数的导数为，，∴A错误函数y=cos5x的导数为：y′=﹣5sin5x，∴B错误函数y=sinx2的导数为：y′=2xcosx，，∴C正确函数y=xsin2x的导数为：y′=sin2x+2xcos2x，∴D错误故选C26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．【解答】解：由复合函数的求导法则可得，•[ln（x2+1）]′ln2=（1+x2）′ln2=•ln2故选A二．填空题（共4小题）27．（2013春•巨野县校级期中）设y=f（x）是可导函数，则y=f（）的导数为y′=f′（）．【解答】解：设y=f（u），u=，则y′=f'（u），u′=，∴y′=f′（）故答案为：y′=f′（）．28．（2013春•吴兴区校级月考）函数y=cos（2x2+x）的导数是﹣（4x+1）sin（2x2+x）．【解答】解：y′=﹣（4x+1）sin（2x2+x），故答案为﹣（4x+1）sin（2x2+x）．29．（2012•洞口县校级模拟）函数y=ln的导数为．【解答】解：y′=（）′=•（）′=•.=•=故答案为：30．（2009春•雁塔区校级期中）若函数，则的值为．【解答】解：由故=故答案为：．。
复合函数求导
不妨设在A点处切线的斜率为1，
则有 ， ，
则可得 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是利用导数得出切线斜率在 范围内，从而根据垂直得出斜率必须一个是1，一个是-1.
2．（2020·全国高二课时练习）已知函数 的导函数是 ，且 ，则实数 的值为（）
C．向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍
D．向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
【答案】D
【分析】
先求得 ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意 ，所以由 向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到 的图像.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
6．（2020·河北张家口市·涿鹿中学高二月考）已知下列四个命题，其中正确的个数有（）
① ，② ，③ （ ，且 ），④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】
由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可.
【详解】
① ，所以①错误；
② ，所以②错误；
③ （ ，且 ），所以③错误；
④ ，所以④错误.
．
（Ⅱ）因为 ，所以 ， ，
所以 ．
故函数 在 上单调递减．
当 时， ．
又当 时， ， ，
所以函数 在 上的取值范围是 ．
[说明：对当 时， 的证法：
因为 （当 时，取等号），
所以 ，
而当 时， ，
所以当 时， ．
又 （当，
故当 时， ]
复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质
复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质复合函数练习题：计算复合函数的导数与相关性质复合函数是数学中一种重要的概念，它在微积分、代数以及其他数学领域中都有广泛的应用。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解复合函数的导数计算以及相关的性质。
练习题一：设函数f(x) = x^2和g(x) = √x，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。
解答：首先，我们先求f(g(x))的导数。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为f'(g(x)) * g'(x)。
因此，我们需要先求出f'(x)和g'(x)。
对于函数f(x) = x^2，我们可以直接求导得到f'(x) = 2x。
对于函数g(x) = √x，我们也可以直接求导得到g'(x) = 1 / (2√x)。
接下来，将f'(x)和g'(x)代入链式法则公式中，我们可以得到f(g(x))的导数为f'(g(x)) * g'(x) = 2g(x) * (1 / (2√g(x))) = √g(x)。
同样的方法，我们使用链式法则来求g(f(x))的导数。
根据链式法则，g'(f(x)) * f'(x)。
将g(x)和f'(x)代入公式中，我们可以得到g(f(x))的导数为g'(f(x)) * f'(x) = (1 / (2√f(x))) * 2f(x) = (√f(x) / f(x))。
练习题二：设函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。
解答：首先，求出函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1的导数。
对于函数f(x) = sin(x)，我们可以直接求导得到f'(x) = cos(x)。
对于函数g(x) = x^2 + 1，我们可以直接求导得到g'(x) = 2x。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题一．选择题（共26小题）1．设，那么f′（2）=（）A．B．C．D．2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，那么曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．3．以下式子不正确的选项是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=4．设f（x）=sin2x，那么=（）A．B．C．1 D．﹣15．函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）6．以下导数运算正确的选项是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1 C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+17．以下式子不正确的选项是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，那么f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣39．函数的导数是（）A． B．C．D．10．已知函数f（x）=sin2x，那么f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x11．y=e sinx cosx（sinx），那么y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．212．以下求导运算正确的选项是（）A． B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x13．假设，那么函数f（x）能够是（）A．B．C．D．lnx14．设，那么f2021（x）=（）A．22021（cos2x﹣sin2x）B．22021（sin2x+cos2x）C．22021（cos2x+sin2x）D．22021（sin2x+cos2x）15．设f（x）=cos22x，那么=（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣216．函数的导数为（）A．B．C．D．17．函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）18．函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；假设a为任意的正实数，以下式子必然正确的选项是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x22．函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．23．函数的导数为（）A．B．C．D．24．y=sin（3﹣4x），那么y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）25．以下结论正确的选项是（）A．假设，B．假设y=cos5x，那么y′=﹣sin5xC．假设y=sinx2，那么y′=2xcosx2D．假设y=xsin2x，那么y′=﹣2xsin2x26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）27．设y=f（x）是可导函数，那么y=f（）的导数为．28．函数y=cos（2x2+x）的导数是．29．函数y=ln的导数为．30．假设函数，那么的值为．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．（2021春•拉萨校级期中）设，那么f′（2）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=ln，令u（x）=，那么f（u）=lnu，∵f′（u）=，u′（x）=•=，由复合函数的导数公式得：f′（x）=•=，∴f′（2）=．应选B．2．（2021•怀远县校级模拟）设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，那么曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．【解答】解：由已知g′（1）=2，而，因此f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，应选A．3．（2021春•永寿县校级期中）以下式子不正确的选项是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=【解答】解：由复合函数的求导法那么关于选项A，（3x2+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确关于选项B，成立，故B正确关于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确关于选项D，成立，故D正确应选C4．（2021春•晋江市校级期中）设f（x）=sin2x，那么=（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：因为f（x）=sin2x，因此f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．则=2cos（2×）=﹣1．应选D．5．（2021秋•阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）【解答】解：函数的导数y′=﹣sin（2x+1）（2x+1）′=﹣2sin（2x+1），应选：C6．（2021春•福建月考）以下导数运算正确的选项是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1 C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 【解答】解：依照导数的运算公式可得：A，（x+）′=1﹣，故A错误．B，（2x）′=lnx2x，故B错误．C，（cosx）′=﹣sinx，故C错误．D．（xlnx）′=lnx+1，正确．应选：D7．（2021春•海曙区校级期末）以下式子不正确的选项是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．【解答】解：因为（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx，因此选项A正确；（sin2x）′=2cos2x，因此选项B正确；，因此C正确；，因此D不正确．应选D．8．（2021春•江西期中）已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，那么f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3【解答】解：∵f′（x）=2e2x+1﹣3，∴f′（0）=2e﹣3．应选C．9．（2021春•黔西南州校级月考）函数的导数是（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数，∴y′=3cos（3x+）×3=，应选B．10．（2021春•东莞市校级月考）已知函数f（x）=sin2x，那么f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x【解答】解：由f（x）=sin2x，那么f′（x）=（sin2x）′=（cos2x）•（2x）′=2cos2x．因此f′（x）=2cos2x．应选D．11．（2021秋•惠农区校级月考）y=e sinx cosx（sinx），那么y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：∵y=e sinx cosx（sinx），∴y′=（e sinx）′cosx（sinx）+e sinx（cosx）′（sinx）+e sinx（cosx）（sinx）′=e sinx cos2x（sinx）+e sinx（﹣sin2x）+e sinx（cos2x）∴y′（0）=0+0+1=1应选B12．（2021秋•珠海期末）以下求导运算正确的选项是（）A． B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x【解答】解：因为，因此选项A不正确；，因此选项B正确；（（2x+3）2）′=2（2x+3）•（2x+3）′=4（2x+3），因此选项C不正确；（e2x）′=e2x•（2x）′=2e2x，因此选项D不正确．应选B．13．（2021秋•朝阳区期末）假设，那么函数f（x）能够是（）A．B．C．D．lnx【解答】解：；；；．因此知足的f（x）为．应选A．14．（2021秋•庐阳区校级月考）设，那么f2021（x）=（）A．22021（cos2x﹣sin2x）B．22021（sin2x+cos2x）C．22021（cos2x+sin2x）D．22021（sin2x+cos2x）【解答】解：∵f0（x）=sin2x+cos2x，∴f1（x）==2（cos2x﹣sin2x），f2（x）==22（﹣sin2x ﹣cos2x），f3（x）==23（﹣cos2x+sin2x），f4（x）==24（sin2x+cos2x），…通过以上能够看出：f n（x）知足以下规律，对任意n∈N，．∴f2021（x）=f503×4+1（x）=22021f1（x）=22021（cos2x﹣sin2x）．应选：B．15．（2020•潜江校级模拟）设f（x）=cos22x，那么=（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=cos22x=∴=﹣2sin4x∴应选D．16．（2020秋•平遥县校级期末）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴∴=应选D17．（2020春•南湖区校级月考）函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）【解答】解：y′=﹣sin（1+x2）•（1+x2）′=﹣2xsin（1+x2）应选C18．（2020春•瑞安市校级月考）函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）【解答】解：∵函数y=sin（﹣x）可看成y=sinu，u=﹣x复合而成且y u′=（sinu）′=cosu，∴函数y=sin（﹣x）的导数为y′=y u′u x′=﹣cos（﹣x）=﹣sin[﹣（﹣x）]=﹣sin（+x）故答案选D19．（2020春•龙港区校级月考）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；假设a为任意的正实数，以下式子必然正确的选项是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）【解答】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=﹣1，那么f′（x）=0，知足题意显然选项A成立应选A．20．（2020•永州校级模拟）函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）【解答】解：设y=sinu，u=2x2+x，那么y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），应选C．21．（2020•祁阳县校级模拟）函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x【解答】解：将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式．对外函数求导为y′=2u，对内函数求导为u′=cosx，故能够取得y=sin2x的导数为y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x应选D22．（2020春•朝阳区期末）函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．【解答】解：关于函数，对其求导可得：f′（x）===；应选C．23．（2020春•房山区期中）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：令y=3sint，t=2x﹣，那么y′=（3sint）′•（2x﹣）′=3cos（2x﹣）•2=，应选A．24．（2020春•瑞安市校级期中）y=sin（3﹣4x），那么y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）【解答】解：由于y=sin（3﹣4x），那么y′=cos（3﹣4x）×（3﹣4x）′=﹣4cos（3﹣4x）应选D25．（2006春•珠海期末）以下结论正确的选项是（）A．假设，B．假设y=cos5x，那么y′=﹣sin5xC．假设y=sinx2，那么y′=2xcosx2D．假设y=xsin2x，那么y′=﹣2xsin2x【解答】解：函数的导数为，，∴A错误函数y=cos5x的导数为：y′=﹣5sin5x，∴B错误函数y=sinx2的导数为：y′=2xcosx，，∴C正确函数y=xsin2x的导数为：y′=sin2x+2xcos2x，∴D错误应选C26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．【解答】解：由复合函数的求导法那么可得，•[ln（x2+1）]′ln2=（1+x2）′ln2=•ln2应选A二．填空题（共4小题）27．（2021春•巨野县校级期中）设y=f（x）是可导函数，那么y=f（）的导数为y′=f′（）．【解答】解：设y=f（u），u=，那么y′=f'（u），u′=，∴y′=f′（）故答案为：y′=f′（）．28．（2021春•吴兴区校级月考）函数y=cos（2x2+x）的导数是﹣（4x+1）sin（2x2+x）．【解答】解：y′=﹣（4x+1）sin（2x2+x），故答案为﹣（4x+1）sin（2x2+x）．29．（2021•洞口县校级模拟）函数y=ln的导数为．【解答】解：y′=（）′=•（）′=•.=•=故答案为：30．（2020春•雁塔区校级期中）假设函数，那么的值为．【解答】解：由故=故答案为：．。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题精品资料欢迎下载复合函数求导练题一、选择题（共26小题）1.设$f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}$，则$f'(2)=\frac{1}{9}$。
2.设函数$f(x)=g(x)+x+\ln x$，曲线$y=g(x)$在点$(1,g(1))$处的切线方程为$y=2x+1$，则曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x+2$。
3.下列式子不正确的是$(2sin2x)'=2cos2x$。
4.设$f(x)=sin2x$，则$f''(\frac{\pi}{4})=-1$。
5.函数$y=cos(2x+1)$的导数是$y'=-2sin(2x+1)$。
6.下列导数运算正确的是$(x^2)'=2x$。
7.下列式子不正确的是$(3x^2+xcosx)'=6x+cosx-xsinx$。
8.已知函数$f(x)=e^{2x}-3x$，则$f'(0)=2$。
9.函数$f(x)=\frac{1}{1+e^x}$的导数是$f'(x)=-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$。
10.已知函数$f(x)=sin2x$，则$f'(x)=2cos2x$。
11.$y=e^{sinx\ cosx\ sinx}$，则$y'=\frac{d}{dx}(e^{sinx\ cosx\ sinx})=cosx\ cos^2x\ e^{sinx\ cosx\ sinx}$，所以$y'(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
12.下列求导运算正确的是$(e^{2x})'=2e^{2x}$。
13.若$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1-x}}$，则函数$f(x)$可以是$ln\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$。
复合函数的求导例题
复合函数的求导例题我建议将偏导数定义,和全微分概念搞透,其它就迎刃而解,偏导数就是对函数的某一变量求导而将其它变量看作常量,全微分是对所有变量微分.因此本题复合函数求导就容易理解了,对φ(x)=f(x,f(x,x))全微分:∵dφ(x)=df(x,f(x,x))=f1'×dx+f2'×df(x,x)df(x,x)=f1'×dx+f2'×dx∴dφ(x)=f1'×dx+f2'×(f1'×dx+f2'×dx)左右二边除以dx,可得:φ'(x)=dφ(x)/dx=f1'+f2'×(f1'+f2')因此所谓复合函数求导,通过以上全微分求导就容易理解了.这才原汁原味!为什么不看书,∵⊿φ(x)=φ(x+⊿x)-φ(x),⊿f(x,f(x,x))=f(x+⊿x,f(x+⊿x,x+⊿x))-f(x,f(x,x))f1'=∂f(x,y)/∂x这里y为常量令y=c,即求导过程中不变,只要记住属于第几变量即可.同理f2'就是对第二个变量求偏导数至于这个变量用什么符合尽可不管.f(x,y)某单一变量的增量:⊿f(x,y)=f(x+⊿x,y)-f(x,y),(y不变),⊿f(x,y+⊿y)=f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y+⊿y),(y+⊿y保持不变)前者在(x,y)点对x变量求偏导数,后者在(x,y+⊿y)点对x变量求偏导数,当⊿x→0时∂f(x,y)/∂x=⊿f(x,y)/⊿x∂f(x,y+⊿y)/∂x=⊿f(x,y+⊿y)/⊿x当⊿x→0,⊿y→0时∂f(x,y)/∂x=∂f(x,y+⊿y)/∂x=f1'注意:∂f(x,y)/∂x≠∂f(x,y+⊿y)/∂x(y≠y+⊿y,只有⊿y→0,y+⊿y→y,才成立.这表示从(x+⊿x,y)点沿y为常量,平行x轴方向趋近(x,y)点(x+⊿x,y+⊿y)点,沿以y+⊿y为常量,平行x轴方向趋近(x,y+⊿y)点.当⊿x→0,同时⊿y→0时(x+⊿x,y+⊿y)点可正交分解为沿平行x,y轴趋近(x,y)点∴⊿f=f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y)=f(x+⊿x,y+⊿y)-f(x,y+⊿y)+f(x,y+⊿y)-f(x,y)=×⊿x+/⊿y=f1'⊿x+f2'⊿y(⊿x→0,⊿y→0,f1',f2'对应(x,y)点取偏导)因此全微分概念这才能帮助理解透彻!。
导数--复合函数的导数练习题(精品)
导数--复合函数的导数练习题(精品)函数求导函数求导有三种方法：一差、二比、三取极限。
第一种方法是求函数的增量，即Δy=f(x+Δx)-f(x)，然后用Δy/Δx来求导数。
第二种方法是求平均变化率，即[f(x+Δx)-f(x)]/Δx，然后用极限来求导数。
第三种方法是直接取极限求导数，即f(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx。
导数与导函数的关系：函数在某一点的导数就是导函数在该点的函数值。
常用的导数公式及求导法则：常数的导数为0，幂函数的导数为nx^(n-1)，指数函数的导数为a^xlna，对数函数的导数为1/xlna，三角函数的导数为cosx的导数为-sinx，sinx的导数为cosx，tanx的导数为sec^2x，cotx的导数为-csc^2x。
复合函数的导数：若函数ϕ(x)在点x处可导，函数f(u)在点u=ϕ(x)处可导，则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x处也可导，并且(f[ϕ(x)])' = f'(ϕ(x))ϕ'(x)。
要正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外到内，逐层求导。
例2 求函数 $y=\frac{5}{1-x}$ 的导数。
解：将 $y=\frac{5}{1-x}$ 写成 $y=5(1-x)^{-1}$，然后运用幂函数的求导法则和常数倍的求导法则，得到 $y'=-5(1-x)^{-2}(-1)=\frac{5}{(1-x)^2}$。
例3 求函数 $y=3-2x$ 的导数。
解：将 $y=3-2x$ 写成 $y=u$，其中 $u=3-2x$，然后运用复合函数的求导法则，得到 $y'=(3-2x)'(-2)=(-2)(-2)=4$。
也可以不写出中间变量 $u$，直接运用复合函数的求导法则，得到$y'=(3-2x)'(-2)=-2(3-2x)'=-2(-2)=4$。
复合函数的导数练习题(可编辑修改word版)
技能演练 基 础 强 化1. 函数 y ＝cos n x 的复合过程正确的是( )A ．y ＝u n ，u ＝cos x nB ．y ＝t ，t ＝cos n xC ．y ＝t n ，t ＝cos xD ．y ＝cos t ，t ＝x n 答 案 C2. y ＝e x 2－1 的导数是( )22A ．y ′＝(x 2－1)e x －1B ．y ′＝2x e x －1 2C ．y ′＝(x 2－1)e xD ．y ′＝e x －12 2解析y ′＝e x －1 (x 2－1)′＝e x －1·2x .答案 B3. 下列函数在 x ＝0 处没有切线的是() A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin x11C ．y ＝x＋2xD ．y ＝cos x1 1解析 因为 y ＝x ＋2x 在 x ＝0 处没定义，所以 y ＝x ＋2x 在 x ＝0 处没有切线．答案 C4. 与直线 2x －y ＋4＝0 平行的抛物线 y ＝x 2 的切线方程是()A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析 设切点为(x 0，x 02)，则斜率 k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)．故切线方程为 y －1＝2(x －1)，即 2x －y －1＝0. 答案 D5. y ＝log a (2x 2－1)的导数是()4x A.(2x 2－1)ln a1 4xB.2x 2－1 2x 2－1 C.D.(2x 2－1)ln aln a1 4x解析 y ′＝ (2x 2－1)′＝ .答案 A(2x 2－1)ln a (2x 2－1)ln a22 ax 2－1 ax 2－1 a －16．已知函数 f (x )＝ ax 2－1，且 f ′(1)＝2，则 a 的值为()A. a ＝1B ．a ＝2C ．a ＝D ．a >01 1 解析 f ′(x )＝ (ax 2－1)－ ·(ax 2－1)′2 21 ＝ ·2axax ＝ .由 f ′(1)＝2， a得＝2，∴a ＝2.答案 B7．曲线 y ＝sin2x 在点 M (π，0)处的切线方程是 ．解析 y ′＝(sin2x )′＝cos2x ·(2x )′＝2cos2x ， ∴k ＝y ′|x ＝π＝2.又过点(π，0)，所以切线方程为 y ＝2(x －π)． 答案 y ＝2(x －π)f ′(x ) 8．f (x )＝e 2x －2x ，则e x －1＝.解析 f ′(x )＝(e 2x )′－(2x )′＝2e 2x －2＝2(e 2x －1)． f ′(x ) 2(e 2x －1) ∴ ＝ e x －1 e x －1 ＝2(e x ＋1)． 答案 2(e x ＋1)能 力 提 升9. 已知函数 f (x )＝2x 3＋ax 与 g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点 P (2,0)，且在点 P 处有相同的切线．求实数 a ，b ，c 的值．解 ∵函数 f (x )＝2x 3＋ax 与 g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点 P (2,0)， ∴E rr o r !得 a ＝－8,4b ＋c ＝0， ∴f (x )＝2x 3－8x ，f ′(x )＝6x 2－8.又当 x ＝2 时，f ′(2)＝16，g ′(2)＝4b ， ∴4b ＝16，∴b ＝4，c ＝－16. ∴a ＝－8，b ＝4，c ＝－16.110.已知函数 f (x )＝ln x ，g (x )＝ x 2＋a (a 为常数)，直线 l 与函数 f (x )、g (x )的图像都相切，2且 l 与函数 f (x )图像的切点的横坐标为 1，求直线的方程及 a 的值．1解∵f(x)＝ln x，∴f′(x)＝x，∴f′(1)＝1，即直线l 的斜率为1，切点为(1,0)．∴直线l 的方程为y＝x－1.1又l 与g(x)的图像也相切，等价于方程组E rr o r!只有一解，即方程x2－x＋1＋a＝0 有2两个相等的实根，1 1∴Δ＝1－4×(1＋a)＝0，∴a＝－.2 2品味高考11.曲线y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的切线与直线y＝0 和y＝x 围成的三角形的面积为( )1 A. 3 21 B.－2C.D．1 3解析∵y′＝(－2x)′e－2x＝－2e－2x，∴k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2.2 2如图，由E rr o r!得交点坐标为( ，)，3 3y＝－2x＋2 与x 轴的交点坐标为(1,0)，1 2 1∴所求面积为S＝×1×＝.2 3 3答案 A12.若曲线y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a.∵在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，∴f′(0)＝a＝1.又0－b＋1＝0，∴b＝1.答案 A。
复合函数求导练习题及解答
复合函数求导练习题及解答1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。
?x?xf?f取极限求导数f’?lim?x?0?x求平均变化率2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。
．常用的导数公式及求导法则：公式①C?0，③’??sinx‘②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex⑤’?axlna ⑦?‘11’⑧? xlnax11’’cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]，[fg]’?f’g?g’ff’f’g?g’f [ ]?2gg例：32y?xx?4y???sinxxy?3cosx?4sinx y??2x?3?y?ln?x?2?2复合函数的导数如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且])ˊ= 或记作熟记链式法则若y= f ，u=?? y= f [?]，则f??u?y?x=yuxy?x=f若y= f ，u=?，v=?? y= f [?)]，则?? y?x=f复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外到内，逐层求导。
例1函数y?1的导数.4解：y?1?4． ?4，u?1?3x，则设y?u?4y’x?y’u?u’x?’u?’x??4u?5??12u?5?12?5?12．例2求y?x的导数． 1?x15解：y???x??， ?1?x??451?x?y’5?1?x??x?1?x1?x51?x????4‘?45?1?x?x21?x5?1?x??45?11?5??x5．56例求下列函数的导数y??2x解：y?3?2x令u=-2x，则有y=u，u=-2x??u??yux由复合函数求导法则y?x 有y′=??u?x=12?2x在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：yˊ=123?2x1?2x在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：yˊ=12?2x1?2x例4求下列函数的导数 y=?2xcos x y=ln解：y=由于y=而其中?2x?2xcos x是两个函数?2x与cos x的乘积，又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是yˊ=ˊcos x -?2xsin xcosx-?2xsin x=?cosx?2x2?2x-?2xsin xy=ln )是u= x+?x2与y=ln u复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求u?x时用函数和的求导法则，而求′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以1x??x2? [1+ˊ]=1x??x2??1?????? ?2?x2?2x=1x??x2?x??x2?x2=1?x2例设y?ln 求 y?. 解利用复合函数求导法求导，得y??[ln]??1x?x?12??1x?x2?1[1??]?1x?x?12[1?12x?12?]?1x?x?12[1?xx?12]?1x?12.小结对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.22例6求y=sin3x的导数.2222解：y′=［］′sin3x+′2222=2′sin3x+cos3x′222=2sin3x+3cos3x.1．求下函数的导数.y?cosy= y=5y=y=232c； ?y?sinx；?y?oxy?3y=2?112y= y=siny=cos363x?1?4?x)； ?y?lnsin．函数求导1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f；?yf?f?。
(2021年整理)(完整)复合函数的导数练习题
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函数求导1。
简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（1)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00. （3）取极限求导数=)(0'x f xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。
3．常用的导数公式及求导法则：（1）公式①0'=C ，(C 是常数） ②x x cos )(sin '=③x x sin )(cos '-= ④1')(-=n n nx x⑤a a a x x ln )('= ⑥x x e e =')( ⑦ax x a ln 1)(log '= ⑧x x 1)(ln '= ⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -= (2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±，)()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f += )()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 例：（1）()324y x x =- （2）sin x y x=(3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+复合函数的导数如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f （u ）在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f［)(x ϕ］在点x 处也可导，并且（f ［)(x ϕ］）ˊ= [])(x f ϕ')(x ϕ'或记作 x y '=u y '•x u '熟记链式法则若y= f （u ），u=)(x ϕ⇒ y= f ［)(x ϕ]，则x y '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则x y '=)()()(x v u f ψϕ'''(2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。
?x?xf?f取极限求导数f’?lim?x?0?x求平均变化率2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。
．常用的导数公式及求导法则：公式①C?0，③’??sinx‘②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex⑤’?axlna ⑦?‘11’⑧? xlnax11’’cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]，[fg]’?f’g?g’ff’f’g?g’f [ ]?2gg例：32y?xx?4y???sinxxy?3cosx?4sinx y??2x?3?y?ln?x?2?2复合函数的导数如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且])ˊ= 或记作熟记链式法则若y= f ，u=?? y= f [?]，则f??u?y?x=yuxy?x=f若y= f ，u=?，v=?? y= f [?)]，则?? y?x=f复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外到内，逐层求导。
例1函数y?1的导数.4解：y?1?4． ?4，u?1?3x，则设y?u?4y’x?y’u?u’x?’u?’x??4u?5??12u?5?12?5?12．例2求y?x的导数． 1?x15解：y???x??， ?1?x??451?x?y’5?1?x??x?1?x1?x51?x????4‘?45?1?x?x21?x5?1?x??45?11?5??x5．56例求下列函数的导数y??2x解：y?3?2x令u=-2x，则有y=u，u=-2x??u??yux由复合函数求导法则y?x 有y′=??u?x=12?2x在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：yˊ=123?2x1?2x在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：yˊ=12?2x1?2x例4求下列函数的导数 y=?2xcos x y=ln解：y=由于y=而其中?2x?2xcos x是两个函数?2x与cos x的乘积，又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求时再用复合函数求导法则，于是yˊ=ˊcos x -?2xsin xcosx-?2xsin x=?cosx?2x2?2x-?2xsin xy=ln )是u= x+?x2与y=ln u复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求u?x时用函数和的求导法则，而求′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以1x??x2? [1+ˊ]=1x??x2??1?????? ?2?x2?2x=1x??x2?x??x2?x2=1?x2例设y?ln 求 y?. 解利用复合函数求导法求导，得y??[ln]??1x?x?12??1x?x2?1[1??]?1x?x?12[1?12x?12?]?1x?x?12[1?xx?12]?1x?12.1．求下函数的导数. y?cos y= y=5y=y=y=2xy?3?112y= y=siny=cos363x?1c3； ?y?sinx2；?y?o1．求下列函数的导数y =sinx3+sin33x； y??4?x)； ?y?lnsin．sin2xlogax?1技能演练基础强化1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是 A．y＝un，u ＝cosxn B．y＝t，t＝cosnx C．y＝tn，t＝cosx D．y＝cost，t＝xn 答案 C2．y＝ex2－1的导数是 A．y′＝e22x2－1B．y′＝2xeD．y′＝ex2－1x2－1C．y′＝e解析y′＝e答案 B3．下列函数在x＝0处没有切线的是 A．y＝3x2＋cosx1C．y＝＋2xxx2－1xx2－1′＝e2·2x.B．y＝xsinx 1D．y＝cosx11解析因为y＝2x在x＝0处没定义，所以y＝＋2x在x＝0处没有切线．xx答案 C4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是 A．2x－y＋3＝0C．2x－y＋1＝0解析设切点为，则斜率k＝2x0＝2，∴x0＝1，∴切点为．故切线方程为y－1＝2，即2x－y－1＝0. 答案 D5．y＝loga的导数是x?2x－1?lna1?2x－1?lna4xB.2x－12x2－1lnaB．2x－y－3＝0 D．2x－y－1＝0 14x解析y′＝x2－1)′＝?2x－1?lna?2x－1?lna答案 A 6．已知函数f＝ax－1，且f′＝2，则a的值为 A．a ＝1C．a＝11解析f′＝·′22＝＝12ax2ax－1axax－1B．a＝D．a>0由f′＝2，得a＝2，∴a＝2. a－1答案 B7．曲线y＝sin2x在点M处的切线方程是________．解析y′＝′＝cos2x·′＝2cos2x，∴k＝y′|x＝π＝2.又过点，所以切线方程为y＝2．答案 y＝2f′?x?8．f＝e2x－2x，则＝________.e－1解析f′＝′－′＝2e2x－2＝2．f′?x?2?e2x－1?∴2． e－1e－1答案能力提升9．已知函数f＝2x3＋ax与g＝bx2＋c的图像都过点P，且在点P处有相同的切线．求实数a，b，c的值．解∵函数f＝2x3＋ax与g＝bx2＋c的图像都过点P， ?2×23＋2a＝0，?∴?得a＝－8,4b＋c＝0，?b×2＋c＝0，?∴f＝2x3－8x，f′＝6x2－8. 又当x＝2时，f′＝16，g′＝4b，∴4b＝16，∴b＝4，c＝－16. ∴a＝－8，b ＝4，c＝－16.110．已知函数f＝lnx，g＝2＋a，直线l与函数f、g 的图像都相切，2且l与函数f图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a的值．1解∵f＝lnx，∴f′＝，∴f′＝1，x即直线l的斜率为1，切点为．∴直线l的方程为y＝x－1.y＝x－1，??1又l与g的图像也相切，等价于方程组?1x2－x＋1＋a ??y＝22＋a2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝1－4×12＝0，∴a12品味高考11．曲线y＝e－2x＋1在点处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为′e－2x＝－2e－2x，∴k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，∴切线方程为y－2＝－2，即y＝－2x＋2.如图，由y＝－2x＋2，?得交点坐标为，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为，∴所求面积为S ＝12×1×2133.答案 A12．若曲线y＝x2＋ax＋b在点处的切线方程是x－y ＋1＝0，则)A．a＝1，b＝1C．a＝1，b＝－1解析∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a. ∵在点处的切线方程是x－y＋1＝0，∴f′＝a＝1.B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1又0－b＋1＝0，∴b＝1. 答案 A函数求导1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f；?yf?f?。
导数--复合函数的导数练习题
函数求导1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限） （1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00。
（3）取极限求导数=)(0'x f xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0002．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。
3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nxx⑤a a a xx ln )('=⑥xx e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '=⑧x x 1)(ln '= ⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -= （2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 例：（1）()324y x x =- （2）sin xy x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+复合函数的导数如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且(f [)(x ϕ])ˊ= [])(x f ϕ')(x ϕ'或记作 x y '=u y '•x u '熟记链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则x y '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则x y '=)()()(x v u f ψϕ'''（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
简单复合函数的导数(含答案)
简单复合函数的导数一、基础过关1．下列函数是复合函数的是________．(填序号)①y ＝－x 3－1x ＋1 ②y ＝cos(x ＋π4) ③y ＝1ln x④y ＝(2x ＋3)4 2．函数y ＝1(3x －1)2的导数y ′＝________. 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数y ′＝________.4．函数y ＝(2 011－8x )3的导数y ′＝________.5．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为________． 6．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．二、能力提升7．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________8．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 9．设曲线y ＝e 1－2x 与x ＝1的交点为P ，则过P 点的切线方程为____________．10．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．11．(1)设函数f (x )＝e x －e －x ，证明：f (x )的导数f ′(x )≥2； (2)设函数f (x )＝x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1)，解不等式f ′(x )>g ′(x )．三、探究与拓展12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为s ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715s 时的导数，并解释它的实际意义．答案1．②③④2．－6(3x －1)33．2x cos 2x －2x 2sin 2x4．－24(2 011－8x )25．－26．17．28．e 29．2x ＋e y －3＝010．解 f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1＝2ax 2＋(2a －2)x －1x ＋1， f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.11．(1)证明 f ′(x )＝(e x －e －x )′＝e x ＋e －x ，因为e x >0，e －x >0，所以e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即e 2x ＝1，x ＝0时，等号成立，所以f ′(x )≥2.(2)解 因为f ′(x )＝1＋1x －5，g ′(x )＝1x －1， 所以由f ′(x )>g ′(x )，得1＋1x －5>1x －1， 即(x －3)2(x －5)(x －1)>0，所以x >5或x <1.又两个函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x －5>0x －1>0， 即x >5，所以不等式f ′(x )>g ′(x )的解集为(5，＋∞)．12．解 函数s ＝5－25－9t 2可以看作函数s ＝5－x 和x ＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得s x ′＝－12x －12，x t ′＝－18t . 故由复合函数求导法则得s t ′＝s x ′·x t ′＝(－12x －12)·(－18t )＝9t 25－9t2， 将t ＝715代入s ′(t )，得s ′(715)＝0.875 (m/s)． 它表示当t ＝715 s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.。
高中试卷-5.2.3简单复合函数的导数 -B提高(含答案)
5.2.3简单复合函数的导数 -B 提高练一、选择题1．（2021·广东揭阳市高二期末）函数()sin 23f x x p æö=+ç÷èø的导函数()f x ¢为（ ）A ．()cos 23f x x p æö¢=+ç÷èøB ．()2cos 23f x x p æö¢=+ç÷èøC ．()cos2f x x¢=D ．()2cos2f x x¢=【答案】B 【详解】函数()sin 23f x x p æö=+ç÷èø可以看作函数sin y u =和23u x p=+的复合函数，根据复合函数的求导法则有()'()''sin '2'2cos 2cos 233u x f x y u u x u x p p æöæöç÷ç÷=×=×+==+ç÷ç÷èøèø.故选：B.2．（2020·四川省眉山车城中学高二期中）已知函数()()()ln 2131f x x xf ¢=-+，则()1f ¢=（）A ．1B ．－1C ．2D ．3【答案】B 【详解】因为()()()ln 2131f x x xf ¢=-+，所以2()3(1)21f x f x ¢¢=+-，令1x =，可得2(1)3(1)211f f ¢¢=+´-，解得(1)1f ¢=-.故选：B.3．（2021·江苏徐州市·高三期末）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()3002tP t P -=，其中0P 为时该放射性同位素的含量.已知15t =时，该放射性同位素的瞬时变化率为 4.5贝克时衰变所需时间为（ ）A ．20天B ．30天C ．45天D ．60天【答案】D【详解】由()3002tP t P -=得()30012ln230t P t P -¢=-××，因为15t =时，该放射性同位素的瞬时变化率为，即()015P P ¢==，解得018P =，则()30182t P t -=×，当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即() 4.5Pt =，所以301824.5t -×=，即30124t -=，所以230t -=-，解得60t =.故选：D.4．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2【答案】B【详解】设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有{1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0，x 0＝－1，a ＝2.5．（多选题）（2021·江苏高二）以下函数求导正确的是（）A ．若()2211x f x x -=+，则()()2241x f x x ¢=+B ．若()2x f x e =，则()2xf x e ¢=C ．若()f x =，则()f x ¢=D ．若()cos 23f x x p æö=-ç÷èø，则()sin 23f x x p æö¢=--ç÷èø【答案】AC【详解】对A ，()()()()()2222222112411+--×¢==++x x x xxf x xx，故A 正确对B ，()2222¢=×=x x f x e e ，故B 错；对C ，()()()()111222*********--éù¢=-¢=×-×=-=êúûëf x x x x 所以C 正确对D ，()sin 222sin 233p p éùæöæö¢=--×=--ç÷ç÷êúèøèøëûf x x x ，故D 错；故选：AC 6．（多选题）（2021·全国高二课时练）已知函数()f x 及其导数()¢f x ，若存在0x ，使得()()00f x f x ¢=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）A ．2()f x x =B ．()xf x e -=C ．()ln f x x =D ．1()f x x=【答案】ACD【详解】在A 中，若2()f x x =，则()2f x x ¢=，则22x x =，这个方程显然有解，故A 符合要求；在B 中，若()xf x e -=，则111()ln x x x f x e e e e -¢éùæöæö===-êúç÷ç÷èøèøêúëû¢，即x x e e --=-，此方程无解，故B 不符合要求；在C 中，若()ln f x x =，则1()f x x ¢=，由1ln x x=，令ln y x =，1y x =（0x >），作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C 符合要求；在D 中，若1()f x x =，则21()f x x¢=-，由211x x =-，可得1x =-，故D 符合要求．故选：ACD ．二、填空题7．（2020·陕西彬州市高二月考）已知y ＝，则y ′＝________．【答案】21xx -+【详解】y ＝＝()122ln 1x-+＝-12ln(1＋x 2)，所以y ′＝－21121x ´+·(2x )＝21xx -+.8．（2020·洛阳市第一高级中学高二月考）函数2()ln(1)f x x =+的图像在点(1,(1))f 处的切线的斜率为_________.【答案】1【详解】因为函数2()ln(1)f x x =+，所以22()1xf x x ¢=+，则在点(1,(1))f 处的切线的斜率22(1)111f k ¢==+=.9．（2020·广东湛江市·湛江二十一中高二开学考试）若函数()()ln 1ax f x e x =++，()04f ¢=，则a =__________.【答案】3【详解】由()()ln 1ax f x e x =++，得()11ax f x ae x ¢=++，()04f ¢=Q ，()014f a ¢\=+=，3a \=。
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函数求导
欧阳光明（2021.03.07）
1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）
（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；
（2）求平均变化率x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00。
（3）取极限求导数
=)(0'x f x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim 000
2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数
在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。
3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式
①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-= ④1')(-=n n nx x ⑤a a a x x ln )('= ⑥x x e e =')(
⑦a x x a ln 1)(log '=
⑧x x 1
)(ln '= ⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（x
x 2'sin 1
)cot -=
（2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±，
例：
（1）()324y x x =- （2）sin x
y x
=
（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+ （5）()ln 2y x =+
复合函数的导数
如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且
(f [)(x ϕ])ˊ= [])(x f ϕ')(x ϕ'
或记作 x y '=u y '•x u '
熟记链式法则
若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则
x y '=)()(x u f ϕ''
若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则 x y '=)()()(x v u f ψϕ'''
（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外到内，逐层求导。
例1函数4
)31(1x y -=的导数.
解：4
)
31(1x y -=
4
)31(--=x ． 设4-=u y ，x u 31-=，则
)3(45-⋅-=-u 55)31(1212---==x u 5
)31(12x -=
．
例2求51x
x y -=的导数．
解：5
11⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x x y ，
2
5
4)
1(1151x x x -⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-
56
5
4
)1(51---=x x ． 例3 求下列函数的导数 解：（1）x y 23-= 令 u=3 -2x ，则有 y=u ，u=3 -2x
由复合函数求导法则x u x u y y '•'='
有y ′=()x u x u )23('-'
=x
u
231)2(21--
=-•
在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u ，于是前面可以直接写出如下结果：
y ˊ=
x
x x
231)23(2321--
='-•-
在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：
y ˊ=
x
x
231)2(2321--
=-•-
例4求下列函数的导数
（1）y=x 21-cos x （2）y=ln (x +21x +) 解：（1）y=x 21-cos x
由于y=x 21-cos x 是两个函数x 21-与cos x 的乘积，而其中x 21-又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求x 21-导数时再用复合函数求导法则，于是
y ˊ=(x 21-)ˊcos x -x 21-sin x
=x x
cos 212)2(---x 21-sin x=x
x
21cos ---x 21-sin x
（2）y=ln (x +21x +)
由于y=ln (x +21x +)是u= x +21x +与y=ln u 复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法
则，在求x u '时用函数和的求导法则，而求(2
1x +)′的
导数时再用一次复合函数的求导法则，所以
y ˊ=
2
11x
x ++• [1+(21x +)ˊ]=
2
11x x ++•
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++21221x x =
2
11x x ++•
2
2
11x x x +++=
2
11x
+
例 5 设)1ln(++=x x y 求 y '.
解 利用复合函数求导法求导，得
])1(1211[11222'+++
++=
x x x x 1
1]1
1[1
12
2
2
+=
++++=x x x x x .
1．求下函数的导数.
（1）
cos 3
x y = （2）y =(1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2
(1)y =
3
2)
12(1
-x (2)y =4
1
31
+x (3)y =sin(3x －6π)
(4)y =cos(1+x 2)
⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =；⑶)4
cos(x y -=π
； ⑷
)13sin(ln -=x y ．
1．求下列函数的导数
(1) y =sin x 3+sin 33x ； （2）1
22sin -=x x
y (3))2(log 2-x a
2.求)132ln(2++x x 的导数
一、选择题（本题共5小题，每题6分，共30分） 1. 函数y =
2
)13(1
-x 的导数是（ ）
A. 3)13(6-x
B. 2)13(6-x
C. －3
)13(6
-x D.
－2
)
13(6-x 3. 函数y =sin （3x +4π
）的导数为（ ）
A. 3sin （3x +4
π
） B. 3cos
（3x +4
π
）
C. 3sin 2（3x +4π）
D. 3cos 2（3x +4
π
）
4. 曲线n x y =在x=2处的导数是12，则n=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 5. 函数y =cos2x +sin x 的导数为（ ） A. －2sin2x +x
x 2cos B.
2sin2x +
x
x 2cos
C. －2sin2x +x
x 2sin D.
2sin2x －
x
x 2cos
6. 过点P （1，2）与曲线y=2x 2相切的切线方程是（ ）
A. 4x －y －2=0
B. 4x+y －2=0
C. 4x+y=0
D. 4x －y+2=0 二、填空题（本题共5小题，每题6分，共30分） 8. 曲线y =sin3x 在点P （3
π
，0）处切线的斜率为___________。
9. 函数y =x sin （2x －2π）cos （2x +2
π
）的导数是 。
10. 函数y =)3
2cos(π
-x 的导数为 。
11. ___________,2)(,ln )(00'===x x f x x x f 则。
例2．计算下列定积分 （1）
2
(1)x x dx
+⎰
； （2）
2
21
1()x e dx
x
+⎰
（3）
20
sin xdx π
⎰
5．4
2x e dx -⎰的值等于 （ ）
42()A e e -- (B) 42e e + (C) 422e e +- (D) 422e e -+- 9.计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积.
复合函数的导数
1.C
2.B
3.B
4.A
5.A
6.A
7.y =u 3,u =1+sin3x
8.－3
9.y ′=
2
1
sin4x +2x cos4x 10.
)
3
2cos()
32sin(π
π
---x x
11.
x
x x 1sin 1cos 122⋅。