关于抽象复合函数定义域的求法

关于抽象复合函数定义域的求法

有同学反映，昨天上数学课讲解的关于定义域的求法，上课听懂了(其实我认为根本没有真正的懂)，但是不会做题，为此我把本节课的内容换个角度（用换元法）讲解一下，希望你能彻底理解。

先介绍几个名词：（能理解最好，如果感觉这些名词有点晕，你可以跳过）

【定义域】：就是初中我们所学的，函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间；

【值域】：函数y=f(x)的因变量y的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向y轴投影的区间；；

【显函数】：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5；

【隐函数】：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的；

【复合函数】：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。

讲解之前提醒很关键的一句：凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围。

【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数

y=f(g(x))的定义域？

思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关键是，后者的

g(x)相当于前者的x。

解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域

【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域.

解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x∈[0,3]，

说明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x做了一个换元，此处换元不能写为令x=3+2x。原因是y=f(x)中的x与

y=f(3+2x)的x虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x 就是一模一样了，x只能为-3了。

【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？

思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(x)的自变量x的范围，其中的关键是，前者的

g(x)相当于后者的x。

解决策略：求内函数t=g(x)在区间[m,n]的值域（t的取值范围），即为y=f(x)的定义域

【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.

解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5] 故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，

故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]

说明：函数y=f(x)与y=f(t)是同一个函数，与单个自变量是x还是t无关。另外，题型二是题型一的逆向题目。

【题型三】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？

思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(h(x))的自变量x的范围，其中的关键是，前者的g(x)相当于后者的h(x)，故先求出“桥梁”函数y=f(x)的定义域。

解决策略：用题型二的方法根据y=f(g(x))定义域求y=f(x)的定义域，用题型一的方法根据y=f(x)的定义域求y=f(h(x))的定义域

【例题3】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域.

解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5]

故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]，

故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5]

令t=3+x，则t=3+x∈[-1,5]

故，函数y=f(3+x)定义域为[-4,2]

说明：题型三其实是题型一与题型二的综合而已，会了前两个题型，第三个题型自然就会