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A∨（A∧B） = A，
等等。
如果在集合代数中引进余集ˉ 的概念，在命题代数中引进否 定的概念，则在这两种代数中 都有类似的所谓De Morgan定律。 即，
A B= A∪ ，B A B= A∩ B ，
A B= A∨ ，B A B= A∧ B。
从代数的观点出发，我们是否 能对一种更为抽象的代数系统 进行研究，而这种抽象的代数 系统又具有象集合代数，命题 代数那样具体的代数系统所具 的一些最本质的性质？回答是 肯定的，这种抽象的代数系统 就是格（Lattice）和布尔代数 （Boolean Algebra）
如果这两种运算对于L中元 素满足：
（1）交换律：a×b=b×a， a b=b a。
（2）结合律： a×（b×c）=（a×b）×c，
a （b c）=（a b）c。 （3）吸收律：a×(a b)=a,
a (a×b)=a。 则称等幂律，实际上由×，满 足吸收律即可推出它们一定满
A B 当且仅当 B蕴涵A。
则（S，）是一个格。 A, B S,
sup{A，B} = A∧BS， inf{A，B} = A∨BS。
定义A′ 设（L，≤）是格， S是L的子集，即SL， 如果（S，≤）是格， 则称（S，≤）是格 （L，≤）的子格。 例如，（S6，D）是（S24，D）的子格。
定义B 设L是一个集合,×, 是L上两个二元代数运算，
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离散数学
(第三十八讲)
主讲人: 杨凤杰
学 时：64
第八章 格与布尔代数 §8.1 引 言 在第一章中我们介绍了关于集
合的理论。如果将ρ（S）看做 是集合S的所有子集组成的集合， 于是，ρ（S）中两个集合的并 集A∪B，两个集合的交集A∩B，就可以看
做是ρ（S）上的两个代数运算， 因此，（ρ（S），∪，∩）可看做是一
例8.2.3 设n是一个正整数，
Sn是n的所有因数的集合。 例S24如=，{1S,62=,{31,，4,26，,83,，126,}2，4}。 设D是“整除关系”，于是，
（S6，D），（S8，D）， （S24，D）和（S30，D）都是格，请读者分
别画出其Hasse图。
例8.2.4 设S是所有的命题集合，定义 “”关系如下：
§8.2 格 的 定 义 定义A 给出一个部份序集
（L，≤），如果对于任意 a，b∈L，L的子集（a，b）在 L中都有一个最大下界 （记为inf{a，b}）和一个最 小上界(记为sup{a，b}),则称（L，≤）
为一个格， 显然，一个序集是一个格，但是，不是所
有部份序集都是格。 下面给了一些格的例子，这些例子在本章
中要经常用到。
例8.2.1 S是任意一个集合， ρ（S）是S的幂集合，于是， 部份序集（ρ（S），）是一 个格。对
sup{A，B} = A∪B， inf{A，B} = A∩B。 当S仅有一个元素时，对应的格是包含两 个元素的链。 例8.2.2 设I+是所有正整数集合，D是I+中 的“整除关系”，亦即，对任意a， （bI∈+，ID+，）a是Db一当个且格仅。当不a整难除说b明，，于“是整，除关 系”是部份序关系，I+中子集{a，b}的 最小上界就是a,b的最小公倍,子集{a,b} 的最大下界就是a，b 的最高公因。
A∨A = A，
（2）交换律 A∧B = B∧A，
A∨B = B∨A，
（3）结合律
A∧（B∧C） = （A∧B） ∧C，
A∨（B∨C） = （A∨B）∨C，
（4）分配律
A, B,C S,
A∧（B∨C） = （A∧B） ∨（A∧C）
，
A∨（B∧C） = （A∨B） ∧（A∨C），
（5）吸收律 A∧（A∨B） = A，
个代数，这就是通常所说的集合代数。
在集合代数中，对运算∪，∩满足： (1) 等幂律 A∩A = A，
A∪A = A， (2) 交换律 A∩B = B∩A，
A∪B = B∪A， (3) 结合律
A∩（B∩C） = （A∩B）∩C， A∪（B∪C） = （A∪B）∪C，
(4) 分配律
A∩（B∪C） = （A∩B）∪（A∩C） ， A∪（B∩C） = （A∪B） ∩（A∪C）， (5) 吸收律 A∩（A∪B） = A，
足等幂律。任取L中元素a，由 ×，满足吸收律知， a×（aa）=a，a（a×a）=a。 故
a×a = a×（a（a×a））， aa = a（ a×（aa））。
又由×，满足吸收律知，上面两式的等 式右端都等于a。因此，
a×a = a， a a = a。 即,定义B中的×，运算亦满足等幂律。
A∪（A∩B） = A， 等等。
在第二章中我们介绍了命题 逻辑。如果将S看做是所有命 题的集合，于是，逻辑连结词 ∨，∧就可以看做是集合S上 的两个代数运算，因此， （S，∧，∨）可看做是一个 代数。这就是通常所说的命题代数。 在命题代数中，运算 A, B,C S, ∧，∨也满足
（1）等幂律 A∧A = A，