主点、焦点和讲义节点13983235
完整word版点集拓扑讲义学习笔记
度量空间与连续映射2章第它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等．度量空间与连续映射§2.1本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．应细细体会证明的方法．注意，在本节的证明中,R→Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数，使＞00，存在实数δ∈R称为在点处是连续的，如果对于任意实数ε＞|x-得对于任何x∈R，当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考.察出发，抽象出度量和度量空间的概念，z∈X，，xy是一个集合，定义2.1.1 设Xρ：X×X→R．如果对于任何有页40 共** 页1 第（1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y；（2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)；（3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)则称ρ是集合X的一个度量．如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y ∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．着重理解：度量的本质是什么？例2.1.1 实数空间R．对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．）维欧氏空间．例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积＝R×R×…×R（）x=×→R如下：对于任意ρ定义,： y=，令）＝y xρ（，页40 共* 页2 第是的一个度量，因此偶容易验证（详见课本本节最后部分的附录）ρ，ρ)是一个度量空间．(这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．对这里定，称为义的度量ρ的通常度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量）例2.1.3 Hilbert空间H．记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即)|<∞} ＝ {x=(H定义ρ如下：对于任意＝（）∈H），yx ＝（(x,y)= 令ρ（即验证<∞）以及验证ρ是说明这个定义是合理的H的一个度量，均请参见课本本节最后部分的附录．偶对（H，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为Hilbert空间．这里定义的度量ρ称为H的通常度量，并且常常略而不提，迳称H为Hilbert 空间．例2.1.4 离散的度量空间．设（X，ρ）是一个度量空间．称（X，ρ）是离散的，或者称ρ是X x∈X，存在一个实数＞0使得ρ（的一个离散度量，如果对于每一个x，y） y∈X，x≠y，成立．＞对于任何页40 共** 页3 第例如我们假定X是一个集合，定义ρ：X×X→R使得对于任何x，y∈X，有(x,y)=ρ容易验证ρ是X的一个离散的度量，因此度量空间（X，ρ）是离散的．通过这几个例子，可知，度量也是一种映射，但它的象空间是实数．离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．定义2.1.2 设（X，ρ）是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合{y∈X|ρ（x，y）<ε}），或，称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻记作B（x，ε域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε邻域．此处的球形邻域是球状的吗？定理2.1.1 度量空间（X，ρ）的球形邻域具有以下基本性质：（1）每一点x∈X,至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域；（2）对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；(3) 如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．证明:（1）设x∈X．对于每一个实数ε＞0，B（x，ε）是x的一个球形邻域，所以x至少有一个球形邻域；由于ρ（x，x）=0，所以x属于它的每一个球形邻域．页40 共* 页4 第，）是x∈XB（x (2)如果B（x的两个球形邻域，任意选取实，）和数}min{ ，则易见有ε＞0，使得ε＜，）∩B（x，））B （x，εB（x 即B（x，ε）满足要求．）．显然．＞0．如果xρ（，yz∈B，（3）设y∈B（xε＝）．令ε-，），则（y ）＜xy，）+ρ）+ρ（y，x=ε（（（z，x）≤ρz，yρ，y）ε）．这证明B（εB（x，）．，所以z∈B（x定义2.1.3 设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B（a，ε）A，则称A是度量空间X中的一个开集．注意：此处的开集仅是度量空间的开集．例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集．设a，b∈R，a＜b．我们说开区间（a，b）={x∈R|a＜x＜b}是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b），若令ε＝min{x-a，b-x}，则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明无限的开区间（a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b}（-∞,∞）＝R都是R中的开集．然而闭区间[a，b]={x∈R|a≤x≤b}页40 共** 页5 第却不是R中的开集．因为对于a∈[a，b]而言，任何ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．类似地，半开半闭的区间（a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b}无限的闭区问[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}都不是R中的开集．定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质：本身和空集都是开集；X （1）集合（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．证明根据定理2.1.1（1）X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 满足开集的条件；空集X中不包含任何一个点，也自然地可以认为中，所以它满足开集的条件．的一个球形邻x如果x∈U∩V，则存在U设和V是X中的两个开集．（2）．根据V，的一个球形邻域B（x）包含于域B（x，）包含于U，也存在x ，（xε）同时包含于BB（2），x有一个球形邻域（x，）和B定理2.1.1，），因此（x，）U∩V B（x，B（x，）∩B（xε）由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V，因此U∩V是一个开集．页40 共* 页6 第中的开集构成的子集族．如果，则存在是一个由X3）设*Α（A有一个球形邻域包含于是一个开集，所以由于∈*x使得，显x∈然这个球形邻域也包含于中的一个开集．．这证明是X此外，根据定理2.1.1（3）可见，每一个球形邻域都是开集．球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广．定义2.1.4 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x∈VU，则称U是点x的一个邻域．下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．定理2.1.3 设x是度量空间X中的一个点．则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U．证明如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V使得x∈VU，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域也就包含于U．这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．页40 共** 页7 第f(如果对于)是两个度量空间，f:X→Y，∈X以及定义2.1.5 设X和Y （ε），，存在δ的某一个球形邻域B），的任何一个球形邻域B（f(),），则称映射在点处是连续的．（)，δ）），εB（使得f(Bf（如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是一个连续映射．以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广．因为如果在点f处连续，可以说成：和Y设ρ中的度量，则和分别是度量空间X对于任意给定的实数ε＞0，存在实数δ＞0使得对于任何x∈X只要ρ（x，x∈B （,δ）便有）＜δ（即f(f(x)∈B（.（即(f(x),f())ε））．＜ε)，下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点．以及∈X．X→Y则下述条件Y是两个度量空间，f：和定理2.1.4 设X：和（*2）*（1）和（2）分别等价于条件（1））f处是连续的；在点（1的每一个邻域的原象是的一个邻域；（1）*f( )（2）f是连续的；（2）*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．（）的一个邻域．根令U为f成立．1）蕴涵（）*：设（1）1证明条件（），ε）包含于B（fU（．由于f）有一个球形邻域2.1.3据定理，f（处是连续的，所以在点有一个球形邻域（（BfBεB（fB）），δ（（），）．然而，（（）使得，δf 页40 共* 页8 第），所以（），εU）（）是）B），这证明（（U（U的一个邻域．，δ（f1）*成立．任意给定）的一个邻条件（1）*蕴涵（1）．设条件（，根据定理2.1.3是（的一个邻域．f()，ε域B（εf(),），）则（B ）包含于δ（，有一个球形邻域B （）．f），ε（B（（f（B在点处连续．因此，δ））B（f（），ε）．这证明f中的一个开集，为Y*．设条件（2）成立．令V2条件（）蕴涵（2）是一个开集，所Vx）∈V．由于）．对于每一个x∈U，我们有f（U（＝VxU是1）*，）的一个邻域．由于以V是f（xf在每一点处都连续，故根据（由U＝∪x∈UUx．U．易见Ux的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得 U是一个开集．都是开集，根据定理2.1.2，于每一个Ux）的x是f（2）*成立，对于任意x∈X，设U条件（2）*蕴涵（2）．设（根．U）（（的一个开集x）V U．从而Vx∈）f一个邻域，即存在包含（x的一个邻域，对于U据条件（2）*，（V）是一个开集，所以）是x（是任意选取的，所以处连续．由于点x在点*成立，于是fx）而言，条件（1 f是一个连续映射．从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念性质（定理2.1.2作业：P47 1.2.3.4.页40 共** 页9 第拓扑空间与连续映射§2.2:本节重点. 并在此空间上建立起来的连续映射的概念拓扑与拓扑空间的概念,: 注意区别. 拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理 2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．ττ满足如下X是一个集合，定义2.2.1 设X的一个子集族．如果是条件：τ∈（；lX），Tτ；（2）若A，B∈A∩B∈，则（3）若τ是X的一个拓扑．则称ττ）是一个拓扑空间，或X如果，是集合X的一个拓扑，则称偶对（τT是一个相对于拓扑而言的拓扑空间；此外称集合的每一个元素都叫做Xττ．即：A∈A是开集.）或（开集XX拓扑空间（，）中的一个（此定义与度量空间的开集的性质一样吗？留给大家思考）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．页40 共* 页10 第现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．中的所有开集构为由ρ）是一个度量空间·令定义X2.2.2 设（X，的一个拓扑．我们称2.1.2）是，（X 为成的集族．根据定理，X的X由．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度度量ρ诱导出来的拓扑）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，X，ρρ）为拓扑量空间（空间时，指的就是拓扑空间（X，）空），HilbertR因此，实数空间，n维欧氏空间（特别，欧氏平面间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．例2.2.1 平庸空间．TT是X，}．容易验证，设X是一个集合．令的一个拓扑，称之为 ={X T）为一个平庸空间．在平庸空间（；并且我们称拓扑空间（X，X，的X平庸拓扑T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．例2.2.2 离散空间．TP（X），即由XX是一个集合．令 =的所有子集构成的族．容易验证，设TT）为一X；并且我们称拓扑空间（，的一个拓扑，称之为X的离散拓扑是X T）中，X的每一个子集都是开集．在离散空间（X，个离散空间.T ={，{a}，{a，b}，{a，{a，bc}．令，b，c}}．＝2.2.3 例设X TT）是一个拓扑空间．这个拓扑X的一个拓扑，因此（，容易验证，是X空间既不是平庸空间又不是离散空间．页40 共** 页11 第例2.2.4 有限补空间．设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令X|T ={U 的一个有限子集}∪{是X}T是X的一个拓扑：先验证；另外，根据定义便有∈T．）X∈T (因为 =)（1T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A（2）设A，B∈和B T ．的一个有限子集，所以A∩B∈是都不是空集．这时X,显然有）设（3．令，则如果X任意选取．这时是设的一个有限子集，所以P是X的一个拓扑，称之为3），X的有限补拓根据上述（1），（2）和（P）称为一个有限补空间．，扑．拓扑空间（X例2.2.5 可数补空间．设X是一个集合．令T 的一个可数子集}∪{X}={U X|是T 是X2.2.4通过与例中完全类似的做法容易验证（请读者自证）的一个T ）称为一个可数补空间．，的可数补拓扑．拓扑空间（拓扑，称之为XX页40 共* 页12 第一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？P使）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量设（X，ρ定义2.2.3PP）是一个ρ诱导出来的拓扑可度量化空，则称（得拓扑X，即是由度量间．根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑可以看出，和从§2．1中的习题23空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是中给出的那个空间只含有三个点，2.2.3离散空间，因此它不是可度量化的；例拓扑空间是比可度量空间的但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这范围要广泛．是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．U定义2.2.4 是两个拓扑空间，f:X→Y．如果中每一个开集Y设X和Y的一个连续映射，或简称Xf是中的一个开集，则称X到Y（的原象U）是映射f连续．按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理2.1.4的启发．并且那个定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）页40 共** 页13 第但所指出的却是连续映射的最重要的下面的这个定理尽管证明十分容易，性质．都是拓扑空间．则，Y和ZX定理2.2.1 设是一个连续映射；1:X→X）恒同映射：（也是连续映射．和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z（2）如果f:X→Y l连续．），所以证明（）设2f:X→Y,g:Y →Z都是连续映射（连续．这证明gof如在线性代数中我们考在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后群论中的同构，者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．是一个—一映射，f：X→Y Y设X和是两个拓扑空间．如果2.2.5 定义和f是一个同胚映射或同胚．都是连续的，则称：Y→X并且f定理2.2.2 设X都是拓扑空间．则Y和Z，：X→X）恒同映射（1是一个同胚；）如果f：X→Y（：Y→X也是一个同胚；2是一个同胚，则页40 共* 页14 第：X→Z也是一个同胚．：Y→Z都是同胚，则gof（3）如果f：X→Y和g 2.2.1，定理证明以下证明中所涉及的根据，可参见定理．5．4．．53和定理1．l是一个—一映射，并且（l是同胚．），都是连续的，从而是一个—一映射，并且f和）设f：X→Y是一个同胚．因此f都（2也都是连续的，也是一个—一映射并且是连续的．于是和所以也是一个同胚．，f都是—一映射，并且因此f和gf）设：X→Y和g：Y→Z都是同胚．（3和且gof射，并—因此gof也是一映，g续和都是连的． gof是一个同胚．都是连续的．所以：X→Y，则f和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚设定义2.2.6 X ．同胚于YX是同胚的，或称X与Y同胚，或称X称拓扑空间与拓扑空间Y 粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．都是拓扑空间．则和Z设X，Y定理2.2.3X同胚；1）X与（同胚；Y与X同胚，则（2）如来X与Y Z同胚．同胚，则与ZX与同胚，）如果（3X与YY 2.2.2直接得到．证明从定理在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，我们可以说：根据定理2.2.3，因而同胚关系将这个拓扑空两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．页40 共** 页15 第，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚P拓扑空间的某种性质．换言之，拓拓扑不变性质的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这段时期才完成的工作．种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某也正因为如此，是一个去粗取精的过程．一个方面）的精粹而进行的一次提升，新的概念和理论往往有更多的包容．一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正拓扑学无疑也是如此，的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．作业：P55 2,5,6,8,9,10§2.3 邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理2.3.1）．页40 共* 页16 第我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了．在定理2.1.4中我们已经发现，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然．P)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，定义2.3.1 设（X，P使得x∈VU，则称U满足条件：存在一个开集V∈是点x的一个邻域．点x的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事．定理2.3.1 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域．是空集，以下证明充分性．如果U证明定理中条件的必要性是明显的． U ≠．根据定理中的条件，当然U是一个开集．下设使得故U=，根据拓扑的定义，U是一个开集．定理2.3.2概括了邻域系的基本性质．页40 共** 页17 第是一个拓扑空间．记为点x∈XX的邻域系．则：定理2.3.2 设U∈x∈X，；并且如果≠，则（1）对于任何x∈U；U ∩V∈，V∈ U，则；（2）如果V∈并且U； V （3）如果，则U∈V∈满足条件：(a)VU和，则存在(b) （4）如果对于任何U∈ V ∈．y∈V，有P且由定义,∴X∈证明（1）,∴,≠如果 X,X∈，则x∈UU∈PP和使得∈则存在设2（）U，V∈．U．和∈ T,∴U∩V∈成立．从而我们有, U∈，并且设3（）P．V满足条件已经满足条件（a），根4（）设U∈．令V∈据定理2.3.1，它也满足条件（b）．以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用．这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁．定理2.3.3 设X是一个集合．又设对于每一点x∈X指定了x的一个子集族，并且它们满足定理2.3.2中的条件（1）～（4）．则x有惟一的一P子集族x ∈X，个拓扑T使得对于每一点在拓扑空间恰是点x（X，)中的邻域系．(证明略)页40 共* 页18 第现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去．定义2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，x∈X．如果的原象（U）是Ux∈X的一个邻域，则称映射ff（x）∈Y的每一个邻域是一个在点x处连续的映射，或简称映射f在点x处连续．与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发．并且该定理也保证了：当X 和Y是两个度量空间时，如果f: X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个映射，它在某一点x∈X处连续，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个在点x处连续的映射；反之亦然．这里我们也有与定理2.2.l类似的定理．定理2.3.4 设X，Y和Z都是拓扑空间．则）恒同映射：X→X在每一点x∈X（1处连续；（2）如果f：X→Y在点x∈X处连续，g：Y→Z在点f（x）处连续，则gof：X→Z在x处连续．证明请读者自己补上．以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系．定理2.3.5 设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y．则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．证明必要性：设映射f连续，这证明f在点X处连续．页40 共** 页19 第x处连续．充分性：设对于每一点x∈X，映射f在点f连续．这就证明了作业: ,掌握证明一个映射是否连续的方法．掌握证明一个子集是邻域的方法§2.4 导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，AX．如果点x∈X的每一个邻域U ，则称点xx中异于的点，即U∩（A-{x}是集合）≠A的一个凝聚中都有A点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如＝，）U ∩（A-{x}使得即存在x果x∈A并且不是A的凝聚点，x的一个邻域U 的一个孤立点．为Ax则称):(牢记即页40 共* 页20 第在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，）＝． d（A从而A的导集是空集，即2.4.2 例平庸空间中集合的凝聚点和导集．是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：设X是一个平庸空间，A A显然没有任何一个凝聚点，亦即第1种情形：．这时A=．（可以参见定理2.4.1中第（d（A）l=）条的证明．）。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十五章概率初步《用列举法求概率：画树状图求概率》
听课记录：2024秋季九年级人教版数学上册第二十五章概率初步《用列举法求概率：画树状图求概率》教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握通过画树状图来列举所有可能结果，进而求解某一事件概率的方法。
2.过程与方法：通过案例分析、动手实践，培养学生分析问题、构建数学模型的能力，以及运用树状图进行概率计算的技能。
3.情感态度价值观：激发学生对概率学习的兴趣，培养严谨的数学思维习惯和解决问题的能力。
导入教师行为：•展示一个涉及两步或多步随机事件的实例，如“抛掷一枚质地均匀的硬币两次，求两次都正面朝上的概率”。
•引导学生思考如何有效地列举出所有可能的结果，并提问：“有没有一种直观的方法可以帮助我们更清晰地看到所有可能的情况？”•引出画树状图的概念，解释其在列举复杂随机事件所有可能结果中的优势。
学生活动：•思考教师提出的问题，尝试在脑海中构想如何列举所有可能的结果。
•对教师提出的画树状图的方法表示好奇，准备学习这一新的解题工具。
过程点评：导入环节通过实际问题的引入，自然激发了学生的学习兴趣和探究欲望，同时巧妙地引出了本节课的主题——画树状图求概率，为后续学习做好了铺垫。
教学过程教师行为：•详细讲解画树状图的步骤：首先明确随机试验的每一步骤及其所有可能的结果，然后按照顺序将这些结果以树状图的形式画出来，最后根据树状图列举出所有可能的结果组合。
•示范如何为上述硬币抛掷问题画树状图，并引导学生观察树状图，理解其结构。
•提供多个类似的例题，如“从两个不同袋子中各抽取一个球，求抽到特定颜色组合的概率”，让学生分组尝试画树状图并求解概率。
•在学生解题过程中，教师巡回指导，关注学生是否正确理解了树状图的构建方法，并适时给予帮助和纠正。
学生活动：•认真听讲，理解画树状图的步骤和原理。
•积极参与例题的分析和解答，动手尝试画树状图，并计算相应事件的概率。
•在小组内分享自己的解题思路和树状图，讨论并解决遇到的问题。
过程点评：教学过程注重学生的动手实践和合作交流，通过教师示范、学生操作、小组讨论等多种方式，使学生充分理解了画树状图求概率的方法。
框架结构节点简化规则
框架结构节点简化规则框架结构节点简化规则是一种常用的软件工程技术，旨在通过精简复杂度和提高模块性，提升软件系统的可维护性和可扩展性。
本文将详细介绍框架结构节点简化规则的定义、作用、实现方法和实际应用场景等方面的内容，以期为软件工程师和开发者提供一份有益的参考。
一、定义和作用框架结构节点简化规则是指针对复杂系统中的框架结构，通过检查和修改相应的节点，来达到降低系统复杂度、提高可维护性和可扩展性的软件工程技术。
常见的框架结构节点包括模型视图控制器模式（MVC）、服务定位器模式（SL）、依赖注入模式（DI）等。
框架结构节点简化规则对软件系统具有如下主要作用：1. 减少代码耦合度：通过将框架结构节点简化并拆分为更小的模块，可有效减少代码之间的密切关联，从而降低系统的耦合度，提高系统的可维护性和可扩展性。
2. 增强模块化：通过将系统中的框架结构节点拆分为更小的模块，可帮助开发者更好地管理、维护和升级软件模块，增强系统的模块化。
3. 提高代码复用率：通过将框架结构节点简化并拆分为更小的模块，可使不同的模块之间更好地交互，提高代码复用率，并降低代码重复度。
二、框架结构节点简化规则的实现方法框架结构节点简化规则的实现方法包括如下几个方面：1. 检查和削减冗余的框架结构节点：通过检查软件系统中的框架结构节点，并削减不必要、过度的节点，以达到简化框架结构、降低耦合度的目的。
2. 增强模块化：通过将系统中的框架结构节点拆分为更小的模块，可帮助开发者更好地管理、维护和升级软件模块，增强系统的模块化。
3. 简化框架结构中的成分：通过简化框架结构中的成分，如简化模块、接口、方法等，可减少代码冗余、增加可读性和可理解性，提高代码复用率和可维护性。
4. 引入设计模式：通过引入适当的设计模式，如外观模式、迭代器模式、策略模式等，可使框架结构更加简单、灵活，增强系统的可扩展性和可维护性。
三、框架结构节点简化规则的实际应用场景框架结构节点简化规则广泛应用于软件系统开发和维护过程中的各个阶段，例如：1. 需求分析阶段：在需求分析阶段，开发人员可通过检查系统中的框架结构节点，往往能发现和解决诸如代码诊断、功能设计、数据类型设计等问题。
bp隐含层节点数经验公式
bp隐含层节点数经验公式
bp神经网络中隐含层节点数的经验公式是指在设计bp神经网络时，根据输入层和输出层的节点数，以及样本量和复杂性等因素，推算出隐含层节点数的一种公式。
经验公式可以帮助设计者更快速地确定隐含层节点数，避免无效的尝试和不必要的计算。
常用的经验公式包括：
1. 简单公式：隐含层节点数 = 输入层节点数 + 输出层节点数
2. 经验公式1：隐含层节点数 = 样本量 / (α*(输入层节点数+ 输出层节点数))
其中，α是一个经验参数，通常取值为2-10。
3. 经验公式2：隐含层节点数 = √(输入层节点数 * 输出层节点数) + α
其中，α也是一个经验参数，通常取值为10-100。
需要注意的是，经验公式只是在一定程度上推算出隐含层节点数，具体的设计方法还需要根据实际情况进行调整和优化。
- 1 -。
精练信息技术高二沪教版知识点精讲大全
精练信息技术高二沪教版知识点精讲大全1. 数据结构与算法在高二的信息技术课程中，数据结构与算法是一个非常重要的知识点。
数据结构是指数据元素之间的关系，而算法则是解决问题的方法和步骤。
学好数据结构与算法对于提高编程技能、解决实际问题至关重要。
1.1 数组数组是最基本的数据结构之一，它是一种线性结构，可以存储多个相同类型的元素。
数组的特点是：连续的内存空间和相同类型的元素。
通过索引值可以快速访问到数组中的元素。
1.2 链表链表也是一种常见的数据结构，与数组不同的是，链表中的元素不是连续存储的，而是通过指针相互连接。
链表分为单向链表、双向链表和循环链表等形式。
链表的插入和删除操作相比数组更加高效。
1.3 栈与队列栈是一种后进先出（Last In First Out，LIFO）的数据结构，只允许在末尾插入和删除元素。
而队列是一种先进先出（First In First Out，FIFO）的数据结构，允许在末尾插入元素，在头部删除元素。
1.4 树与图树是一种非线性的数据结构，由节点和边组成。
树的特点是有且只有一个根节点，每个节点可以有多个子节点。
常见的树结构有二叉树、平衡二叉树和二叉搜索树等。
图是一种由节点和边组成的非线性结构，每个节点可以与其他节点相连。
2. 网络与通信在现代社会中，网络与通信技术的发展已经成为了人们生活的基础和支撑。
高二信息技术课程中，网络与通信也是重要的知识点之一。
2.1 计算机网络计算机网络是指将多台计算机通过网络连接在一起，实现信息传递和资源共享的过程。
计算机网络按照规模可以分为局域网、城域网和广域网等。
常见的网络协议有TCP/IP协议，常见的网络设备有交换机和路由器。
2.2 网络安全网络安全是指保护计算机网络不受未经授权的访问、破坏、使用、披露、修改或者干扰的过程。
网络安全的重要性日益凸显，随着网络攻击手段的不断升级，保护网络安全变得更加关键。
2.3 无线通信无线通信是一种通过无线传输介质进行信息传递的方式。
TEKLA常用系统节点设置上课讲义
XSTEEL常见节点设置一、梁梁铰接形式一：采用菜单1，特殊的全深度（185）节点举例：要创建H200的梁铰接节点如图1，点菜单1，特殊的全深度（185）节点，进入该节点的图形参数选项如图在“图形”选项中一般只需填写如图所示的两个参数，左下角参数控制加劲板距梁翼缘边的间隙，此处参数一般填0，右上角参数控制次梁与主梁的间隙，此处参数一般填10。
2，点“板”选项，进入该节点板选项设置，如图在“板”选项中，一般只要填写图示3个参数，参数1控制板厚度，参数2控制连接板在梁腹板的两侧方向，参数3控制连接板的切角形式及大小。
3，点“加劲肋”选项，进入该节点的加劲板设置，如图在“加劲肋”选项中，一般只要填写图示3个参数，参数1控制加劲板厚度，参数2控制加劲板的形式，参数3控制加劲板的切角形式。
4，点“螺栓”选项，进入该节点的螺栓设置，如图在“螺栓”选项中，图示部分参数分别控制螺栓的大小，规格，类型，螺栓的边距，间距，排数，列数。
形式二采用菜单1，有加劲肋的梁（129）节点举例：要创建H300的梁铰接节点如图1、点菜单1，有加劲肋的梁（129）节点，进入该节点的图形参数选项如图 1.2.1在“图形”选项中一般只需填写如图所示的三个参数，左下角参数控制加劲板距梁翼缘边的间隙，此处参数一般填0，右上角参数控制次梁与主梁的间隙，此处参数一般填10，次梁下翼缘处参数控制下翼缘的切割深度（此处参数控制不准确，需对每个节点实际切割长度较合，故一般不在这里控制参数，改到“槽口” 选项设置）2、点“板”选项，进入该节点板选项设置，如图在“板”选项中一般只需填写如图所示的三个参数，分别控制连接板厚度，连接板在梁的两侧方向，连接板的切角形式。
3、点“加劲肋”选项，进入该节点板加劲肋设置，如图在“加劲肋”选项中，一般只要填写图示3个参数，参数1控制加劲板厚度，参数2控制加劲板的形式，参数3控制加劲板的切角形式。
4、点“螺栓”选项，进入该节点的螺栓设置，如图在“螺栓”选项中，图示部分参数分别控制螺栓的大小，规格，类型，螺栓的边距，间距，排数，列数。
平面系统中心与焦点判定问题的若干注释
平面系统中心与焦点判定问题的若干注释作者：韩茂安来源：《上海师范大学学报·自然科学版》2013年第06期摘要：常微分方程理论是数学的一个十分重要的学科，其主要任务是研究解的性态，其中平面系统中心与焦点的判定问题是常微分方程定性理论的重要内容之一.对于高维（包括无穷维）系统，在一定条件下可以通过中心流形定理降维至二维自治系统，因此，平面系统中心与焦点的判定问题是最基本的内容.微分方程定性理论著作，都会不同程度地论过这一问题.针对这一问题进行总结、思考和研究，对已有概念做一些引伸，对已有结果给出新的认识与证明，提出一些新的结论.这些内容都很难在现有文献中找到.关键词： Poincaré映射；中心；可积性；首次积分；周期函数中图分类号： O 175.12文献标识码： A文章编号： 10005137（2013）06056515收稿日期： 20131012基金项目：国家自然科学基金（11271261）作者简介：韩茂安（1961-），男，上海师范大学数理学院教授.1Poincaré映射与中心、焦点概念考虑二维Ck自治系统dxdt=f（x，y），dydt=g（x，y），（1）其中f，g为Ck光滑函数，k≥1.设原点为（1）的孤立奇点，则f（0，0）=g（0，0）=0.如所周知，如果矩阵（f，g）（x，y）（0，0）有特征值α±β i，β≠0，则原点为（1）的焦点、中心奇点或中心-焦点.对线性系统来说，焦点与中心都有明确的定义，对非线性系统来说，大多常微分方程书中都没有给出明确的定义.如果矩阵（f，g）（x，y）（0，0）有零特征值，则原点也有可能是焦点或中心，一般是从几何相图上来理解这些概念，但一般书中也没有给出明确的定义.为了引出一般系统（1）以原点为焦点或中心的定义，先从Poincaré映射入手.设在原点的某邻域内有一条通过原点的Cr上述讨论表明，为了研究函数P在含零的小区间上的光滑性，不妨把光滑曲线L取在x轴上.事实上，情况还不是这么简单，因为还要对（1）引入坐标变换，把（1）化为较标准的形式，这时候曲线L也会随之而变.不过，这些过程都不会引起实质性的麻烦.下面对初等奇点的情况讨论Poincaré映射的光滑性，本文最后一节作者将对幂零奇点情况讨论Poincaré映射的光滑性及其解析性质，以及涉及幂零焦点稳定性和幂零中心存在性等问题.设矩阵（f，g）（x，y）（0，0）的特征值为一对共轭复根α± β i，且β≠0.则经过一个线性变换可把（1）化成下述形式：dxdt=α x+β y+f1（x，y），dydt=-β x+α y+g1（x，y），（5）其中f1与g1为非线性项，且为Ck函数.如果对方程（1）来说，把曲线L取在x轴上，由于直线在线性变换之下的像还是直线，那么对方程（5）来说曲线L就位于过原点的某一直线上，又注意到方程（5）的线性部分在任何旋转变换下是不变的，于是（5）的曲线L就不妨取在x轴上，此时，按照定义1.1系统（5）就有一个Poincaré映射P（a），其几何意义就是（5）从点（a，0）出发的正半轨绕原点一周后与x轴交点的横坐标，其中a≠0.此外，补充定义P（0）=0.当然，这个映射P是存在的，利用平面系统有关经典定理可知，利用下面的方法也能独立地获得这一结论.用极坐标把（5）化为一个一维周期系统，并利用这个周期系统来研究映射P的存在性和光滑性等.本节之开始已引入了定义于曲线截线上的Poincaré映射，一般教材上都是取直线截线（特别是在焦点型奇点附近）来讨论焦点的稳定性和阶数.因为直线在非线性变换下之像必是曲线，因此取曲线截线是必要的.焦点的稳定性和阶数跟截线的选取无关，它们在变量变换下也不改变.这些证明详见文献[5]和[6].2初等焦点的稳定性与后继函数的性质考虑系统（5）.按照定义1.2，如果存在r0>0使对一切a∈（0，r0）有P（a）-a0或=0），则称原点为系统（5）的稳定焦点（不稳定焦点或中心），其中P为上节所引入的（5）的Poincaré映射.像这种利用Poincaré映射定义的稳定性称为轨道稳定性.另一方面，已知原点又可视为（5）的零解，则可以讨论它在Lyapunov意义下的稳定性.另外，一维周期方程（8）的零解r=0也有Lyapunov意义下的稳定性问题.这些稳定性之间的关系如下：定理 2.1设f1，g1为Ck函数，k≥1，则对Ck系统（5），下列几点等价：（1）原点为（5）的稳定焦点（依照定义1.2的轨道稳定）；（2）原点为系统（5）的焦点且是稳定的（在Lyapunov意义下）；（3）原点为系统（5）的渐近稳定零解（在Lyapunov意义下）；（4）解r=0为一维周期系统（8）的渐近稳定零解（在Lyapunov意义下）.文献[4]与[7]详细证明了这一定理.由上述定理可知，至少有4种方式来定义焦点的稳定性，且这4种方式是彼此等价的.本文作者用的是定理所列的第一种方式.文献[4]用的是第二种方式.现在，引入后继函数或位移函数，即d（a）=P（a）-a，于是，如果对充分小的a>0有d （a）0），这等价于原点就是稳定（不稳定）焦点，则利用轨线的不相交性，可知此时对充分小的-a>0应有d（a）>0（0函数ad（a）恒正或恒负，也就是说ad（a）是一个定号函数.详之，如果原点是稳定焦点（不稳定焦点），则函数ad（a）是定正的（定负的）.由此可知，如果d（a）=dmam+o（am），dm≠0，m≤ k，则下标m必为奇数（即m=2l+1），且原点是稳定的当且仅当dm很多系统都含有一个或多个不定常数，称这些常数为参数，而所考虑系统的焦点稳定性可能会随着参数的改变而发生变化.若设（5）的右端函数依赖于参数δ，则自然地，函数P与d 都依赖于该参数，可将它们分别写为P（a，δ）与d（a，δ）.现在要考虑函数d（a，δ）关于变量a的在a=0的幂级数的性质，因此，需要假设（5）是C∞系统，详之，假设（5）的右端函数关于（x，y）是无穷次连续可微的，而关于参数δ是Cr的，其中r≥1.那么函数d（a，δ）关于a是C∞的，而关于δ是Cr的.从而可将d（a，δ）在a=0展开成下述幂级数： d（a，δ）=∑j≥1vj（δ）aj，（9）其中每个vj（δ）关于δ都是Cr的.如果（5）的右端函数在原点邻域内是解析的（即它们可展成在原点邻域内收敛的幂级数），则d（a，δ）必为解析函数，即上述级数在a=0的某邻域内收敛.有关Hopf分支中极限环个数的研究，可参考著作[5，6，11，15-17]等.3中心、首次积分与周期函数本节仍研究系统（5），并假设它是解析的.大数学家Poincaré与Lyapunov都曾研究过解析系统出现初等中心的充要条件，并由后来的数学家给出严格的证明或推广.Poincaré获得的结论是：解析系统（5）以原点为中心当且仅当所有Lyapunov常数Lk都等于零.Lyapunov得到的结论是：解析系统（5）以原点为中心当且仅当所有Lyapunov常数Lk都等于零，且相应的无穷级数V（x，y）必收敛到一个解析的首次积分.这里，函数V（x，y）称为某系统的首次积分，如果该函数沿着这一系统的解取常数值.于是，有下列结论.定理3.1解析系统（5）以原点为中心当且仅当它有形如（15）的解析首次积分.很多著作中称上述定理为 Lyapunov中心定理.然而，大多书中只是叙述该结论而未给出证明.这里参考[13]中对Poincaré定理的证明（根据[13]，这个证明实际上是Picard于1928年给出的）来给出一个初等证明.这里给出的证明之主要思路与[13]相同，但仔细比较就可发现有些细节是不同的，特别是需要应用引理2.1.在上述定理的条件下，积分因子μ理论上是一定存在的，而且满足恒等式（μ X）′x+（μ Y）′y≡0，但在实际问题中一般是难于求出的.可以利用上述恒等式给出（5）具有一些特殊形式的积分因子的充要条件和（5）有只与x有关的积分因子的充要条件.利用上述恒等式还可以给出解析系统（5）为可积系统的必要条件.事实上，如果解析系统（5）为可积系统，则利用上述等式就可以求出μ在原点展开式的诸系数（可设μ（0，0）=1）.上述定理对非解析系统仍类似成立，由上述证明易见下述结论成立.推论3.1如果（5）是以原点为中心的Ck系统，且存在于原点邻域内为Ck+1的首次积分V（x，y）=x2+y2+h.o.t.，k≥1，则必存在Ck-1的积分因子μ（x，y），且μ（0，0）≠0，使得（25）成立.文献[8]利用上述定理还研究了极限环在焦点与中心邻域内的分支问题，这里不再给出.参考文献：[1]韩茂安，朱德明.微分方程分支理论[M].北京：煤炭工业出版社，1994.[2]韩茂安.动力系统的周期解与分支理论[M].北京：科学出版社，2002.[3]HALE J K，KOCAK H.Dynamics and Bifurcations[M].New York：Springer-Verlag，1991.[4]赵爱民，李美丽，韩茂安.微分方程基本理论[M].北京：科学出版社，2013.[5]HAN M A.Bifurcation Theory of Limit Cycles[M].Beijing：Science Press，2013.[6]HAN M A.Bifurcation Theory of Limit Cycles of Planar Systems[M]∥CANADA A，DRABEK P，FONDA A.Handbook of Differential Equations，Ordinary DifferentialEquations.Elsevier，2006.[7]韩茂安，周盛凡，邢业朋，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2011.[8]HAN M A，ROMANOVSKI V G.Limit cycle bifurcations from a nilpotent focus or enter of planar systems[J].Abstract and Applied Analysis，2012，Article ID 720830：28，doi：10.1155/2012/720830.[9]BAUTIN N N.On the number of limit cycles which appear with the variation of coefficients from an equilibrium position of focus or center type[J].Transl Amer Math Soc，1954，100：397-413.[10]CHICONE C.Ordinary Differential Equations with Applications[M].Spinger，1999.[11]ROMANOVSKI V G， SHAFER D S.The Center and Cyclicity Problems：A Computational Algebra Approach[M].Boston，Basel，Berlin：Birkhuser，2009.[12]张芷芬，丁同仁.微分方程定性理论[M].北京：科学出版社，1985.[13]桑森，康蒂.非线性微分方程[M].黄启昌，译.北京：科学出版社，1983.[14]韩茂安.中心与焦点判定定理证明之补充[J].大学数学，2011，27（1）：142-147.[15]CHOW S N，JACK K H.Methods of Bifurcation Theory[M].New York：Springer-Verlag，1982.[16]HAN M A，YU P.Normal Form，Melnikov Function and bifurcation of LimitCycles[M].Springer-Verlag，2012.[17]LIU Y，LI J，HUANG W.Singular Point Values，Center Problem and Bifurcations of Limit Cycles of Two Dimentional Differential Autonomous Systems （二阶非线性系统的奇点量.中心问题与极限环分叉）[M].Science Press，2008.[18]马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京：科学出版社，2001.[19]ANDREEV A F.Investigation of the behavior of the integral curves of a system of two differential equations in the neighbourhood of a singular point[J].Transl Amer Math Soc，1958（8）：183-207.[20]LIAPUNOV A M.Studies of one special case of the problem of stability of motion[J].Mat Sb，1983，17：253-333.[21]LIU Y，LI J.New study on the center problem and bifurcations of limit cycles for the Lyapunov system （I）[J].Int J Bifurcation and Chaos，2009，19（11）：3791-3801.Abstract： The center and focus problem is one of the main topics of the qualitative theory of ordinary differential equations.Systems in higher dimensional spaces can be reduced to systems in the plane with the help of the center manifold theorem.Therefore，it is fundamental to study the center and focus problem for planar systems.One can find the materials in related text books for graduate students of mathematics.In this article，we give a survey and present some further studies on the problem.Key words： Poincarémap； center； integrability； first integral； period function（责任编辑：冯珍珍）。
主点、焦点和节点
主点是整个视觉系统的 核心，它能够引导观众 的视线，突出重点信息， 强化主题。
焦点则是与主点相互呼 应的元素，它能够进一 步突出主点的地位，增 强视觉冲击力。
节点则是整个视觉系统 的细节部分，它能够丰 富画面的层次感和空间 感，提升整体的美感。
在实际应用中的意义
主点、焦点和节点共同 影响信息传达的效果， 有助于提升用户体验和 信息传递的效率。
作用：焦点在节点中起 到引导观众视线和强调 重点的作用，是整个视 觉流程的聚焦点。
设计原则：为了更好地 突出焦点，可以采用不 同的设计手法，如放大 、亮色、动态等。
实际应用：在网页设计 、广告、海报等视觉传 达设计中，焦点的作用 尤为重要，能够提高信 息的传达效率。
03
节点
定义
节点表示网络中的设备或 终端
节点在网络中起到平衡负载的作用，能够提高网络的稳定性和 可靠性。
节点在网络中起到控制流量的作用，能够优化网络性能和效率。
节点在网络中起到安全保障的作用，能够防相互作用的机制
主点、焦点和节点共同构成了一个完整的系统，它们之间的相互作用是动态的。
主点、焦点和节点的 概念
单击此处添加副标题
汇报人：XX
目录
CONTENTS
Part One
主点
Part Two
焦点
Part Three
节点
Part Four
主点、焦点和 节点的相互影 响
Part Five
如何运用主点、 焦点和节点
01
主点
定义
主点是图形中 最主要的点， 通常用于确定 图形的方向和
在设计、规划和实施过 程中，充分考虑三者之 间的关系，能够提高整 体布局和流程的合理性。
主点、焦点和节点..
f’>0的系统称为正系统， f’<0的系统称为负系统。
焦距的大小可由入射高度h和物、像方孔径角给
出。 像方焦距：平行于光轴的入射光线高度为h， 其共轭出射光线与光轴夹角为u’，则像方焦距 为：f h / tgu
f h / tgu 物方焦距：
4.单个折射球面的主平面
根据主平面定义，有
光学模型： 焦点、焦平面，主点、主平面，节点、节平面
1.焦点、焦平面
F’点是物空间无限远轴上点的共轭像点，
称为理想光学系统的像方焦点（或第二 焦点或后焦点）。
过F’点作垂直于光轴的平面，称为像方焦平面（或
后焦平面）。
由物方无限远射来的任何方向的平行光束，经光学
系统后会聚于像方焦平面上一点。
f nr n n
6.单个球面反射镜的主平面和焦距
反射是折射的特例，n’=-n，则反射球面镜的 物像方焦距为: f f r
2
结论：反射球面的焦点位于球心和顶点的中间 球面反射镜的主平面：
nlH lH nlH n n lH 1 nlH nlH 1 1 2 结论：球面反射镜的物像方主平面重合， l l r
2.主点、主平面
主平面：垂轴放大率为 1 的共轭面称为光学系 统的主平面，QH为物方主平面，Q’H’为像方主平面 主点：主平面与光轴的交点H和H’称为主点，H称 为物方主点，H’称为像方主点。 注：除望远系统外，所有系统都有一对主平面。 光学系统总是包含一对主点（主平面），一对焦 点（焦平面），前者是一对共轭点（面），后者 不是。
nlH nlH 1 nlH nlH (1)
两主平面是一对共轭面，满足物像位置关系公式
关于point的知识点总结
关于point的知识点总结一、Point的定义与特点1.1 Point的定义Point是几何学中最基本的概念之一，通常被定义为一个没有大小和形状的位置。
这意味着Point只有位置信息，没有其他属性。
在几何学中，Point通常用字母表示，如A、B、C等。
1.2 Point的特点Point是几何学中最基本的要素，它不占据任何空间，也不具有任何维度。
因此，Point没有长度、宽度和高度，也不具有方向。
Point只是一个抽象的概念，是几何图形的构成要素之一。
二、Point的应用领域2.1 几何学中的Point在几何学中，Point是构成几何图形的基本要素。
几何学中的直线、线段、射线等都是由点组成的。
通过点之间的连接和排列，可以构建出不同的几何图形，如三角形、四边形、圆等。
Point在几何学中有着广泛的应用，是几何学研究的重要基础。
2.2 代数学中的Point在代数学中，Point通常表示为一个坐标，如(x, y)。
代数学中的坐标系是通过Point来构建的，通过坐标系可以描述平面上的点的位置。
通过代数学的方法，可以对Point进行更加精确的描述和分析，从而应用到更加复杂的问题中，如曲线的方程、函数图像的研究等。
2.3 拓扑学中的Point在拓扑学中，Point是一个非常重要的概念，它是拓扑空间的基本要素。
拓扑学研究的是空间的性质和结构，而Point则是空间的最基本的构成要素。
通过Point之间的连接和排列，可以构建出不同的拓扑空间，如球面、环面等。
拓扑学中的Point的研究对于理解空间的性质和结构具有非常重要的意义。
三、Point的相关概念3.1 点线面体在几何学中，Point、Line、Plane和Solid是几何图形的四个基本要素。
Point是构成Line 的基本要素，Line是由无数个Point连接而成的，Plane则是由无数个Line连接而成的，Solid则是由无数个Plane连接而成的。
这四个基本要素构成了几何空间中的所有物体。
TEKLA常用系统节点设置
XSTEEL常见节点设置一、梁梁铰接形式一：采用菜单1，特殊的全深度（185）节点举例：要创建H200的梁铰接节点如图1，点菜单1，特殊的全深度（185）节点，进入该节点的图形参数选项如图在“图形”选项中一般只需填写如图所示的两个参数，左下角参数控制加劲板距梁翼缘边的间隙，此处参数一般填0，右上角参数控制次梁与主梁的间隙，此处参数一般填10。
2，点“板”选项，进入该节点板选项设置，如图在“板”选项中，一般只要填写图示3个参数，参数1控制板厚度，参数2控制连接板在梁腹板的两侧方向，参数3控制连接板的切角形式及大小。
3，点“加劲肋”选项，进入该节点的加劲板设置，如图在“加劲肋”选项中，一般只要填写图示3个参数，参数1控制加劲板厚度，参数2控制加劲板的形式，参数3控制加劲板的切角形式。
4，点“螺栓”选项，进入该节点的螺栓设置，如图在“螺栓”选项中，图示部分参数分别控制螺栓的大小，规格，类型，螺栓的边距，间距，排数，列数。
形式二采用菜单1，有加劲肋的梁（129）节点举例：要创建H300的梁铰接节点如图1、点菜单1，有加劲肋的梁（129）节点，进入该节点的图形参数选项如图1.2.1在“图形”选项中一般只需填写如图所示的三个参数，左下角参数控制加劲板距梁翼缘边的间隙，此处参数一般填0，右上角参数控制次梁与主梁的间隙，此处参数一般填10，次梁下翼缘处参数控制下翼缘的切割深度（此处参数控制不准确，需对每个节点实际切割长度较合，故一般不在这里控制参数，改到“槽口”选项设置）2、点“板”选项，进入该节点板选项设置，如图在“板”选项中一般只需填写如图所示的三个参数，分别控制连接板厚度，连接板在梁的两侧方向，连接板的切角形式。
3、点“加劲肋”选项，进入该节点板加劲肋设置，如图在“加劲肋”选项中，一般只要填写图示3个参数，参数1控制加劲板厚度，参数2控制加劲板的形式，参数3控制加劲板的切角形式。
4、点“螺栓”选项，进入该节点的螺栓设置，如图在“螺栓”选项中，图示部分参数分别控制螺栓的大小，规格，类型，螺栓的边距，间距，排数，列数。
点度中心度 中介中心度 特征向量中心度
点度中心度中介中心度特征向量中心度下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!网络分析中的节点中心度指标引言网络分析是研究网络结构和网络中节点之间关系的一门重要学科。
BUS工作室培训重难点视频讲义
第一章字段1.1字段介绍1.1.1字段的命令字段命令：Field。
字段为一种特殊的文本，为系统文件、图形等信息的文字形式，默认情况下，字段呈现灰色背景。
1.1.2字段的显示fielddisplay变量控制字段显示，1（背景），0（普通）不可用字段的显示为##- - - 信息没有指定1.2常用字段介绍如下图所示，CAD的字段主要分为8个类别，所属内容包罗万象，但常用的为对象、图纸集、文档这3类字段。
1.3对象类的字段对象类的字段，我使用的最多的是求面积,通常配合表格使用。
以下为150*150矩形的面积的求法。
1.4文档类字段文档类字段，可以通过dwg文件的属性查看得到。
我使用的最多的是自定义字段，通常把自定义的字段添加到图框的标题栏中。
修改与定义文段类字段的方法：dwgpropos。
1.5图纸集类字段图纸类的字段只有在图纸上才有意义（即定义在布局上，且该布局被纳入图纸集）1.6块占位符字段占位符这个概念表示当前的含义，CAD存在2种占位符，1种为图纸集占位符，一种为块占位符。
1.6.1块的占位符使用必须是在块的内部以属性的方式插入，插入好之后，必须更新属性。
本质就是让我们访问块的内部消息。
占位符字段的特点是：只有在插入属性的时候有效。
定义属性：attdef修改块的属性之后一定要进行更新，更新属性：attsync块是命名对象：rename1.7图纸集字段与块图纸类字段无法在块中起到作用，如果希望在块里面起到作用，必须以属性的形式被定义到块里面。
即在块的默认中，加入字段表达式。
1.8图纸集的占位符图纸集的占位符需要用在视图标签或标注块中使用，必须是链接的视口才有意义。
1.8.1占位符字段的特点是：只有在插入属性的时候有效。
1.8.2模型视图与图纸视图的链接1、DWG文件当中一定要有模型视图2、把DWG文件的位置添加到模型视图3、把模型视图放置到图纸上面1.8.3图纸集的占位符（用在视图标签或标注块）图纸集的特性当中进行指定第二章块的基本知识与属性块2.1块的基本操作2.1.1定义块1.定义块(B)2.快速定义块：临时块（A$......）操作：1.带基点复制（ctrl + shift +C），2.粘贴为块（ ctrl + shift + V）3.写块（WBLOCK）2.1.2插入块、编辑块1.插入块(I)2.编辑块(BE)。
oc节点参数
oc节点参数全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：oc节点参数是一种在计算机科学中广泛应用的概念，它们通常用于描述和控制程序的运行行为。
在计算机网络领域，oc节点参数也被用来描述网络节点之间的关系和通信方式。
让我们来了解一下什么是oc节点参数。
oc节点参数是指在计算机系统中的一个节点上所具有的各项属性和特征，这些属性和特征会影响节点的运行状态和行为。
一个网络节点的oc参数可能包括其IP地址、端口号、数据包大小、带宽限制等等。
这些参数在网络通信中起着至关重要的作用，可以帮助节点之间实现有效的数据传输和通信。
在实际应用中，oc节点参数通常被用来描述网络节点的特性和约束。
一个节点的带宽限制参数可以限制其在网络中传输数据的速度，从而避免网络拥塞和数据丢失。
节点的IP地址和端口号等参数则可以用来标识和定位节点在网络中的位置，实现数据的正确路由和传输。
oc节点参数还可以用来描述节点之间的关系和通信方式。
在分布式系统中，节点之间的通信通常需要通过一定的协议和规则来进行，这些规则可以通过节点参数来动态配置和调整。
在一个集群中，节点之间可能需要通过特定的通信协议来实现数据同步和负载均衡，这就需要通过节点参数来指定通信协议和传输规则。
oc节点参数在计算机网络和分布式系统中起着非常重要的作用，它们可以帮助我们描述和控制节点的运行行为，实现网络通信和数据传输。
通过灵活地配置和调整这些参数，我们可以实现高效的网络通信和系统运行，提升系统的性能和可靠性。
希望通过本文的介绍，读者对oc节点参数有了更深入的理解，能够在实际应用中更好地应用和调整这些参数，实现更好的系统性能和用户体验。
【文章结束】。
第二篇示例：OC节点参数是指信息传输网络中的一个重要组成部分，它主要用于确定数据包在网络中的传输路径和其他相关参数。
在网络通信中，OC节点参数的设置对于数据的传输速度和稳定性有着重要的影响，合理设置OC节点参数是确保网络通信正常运行的关键之一。